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第五章 三角函数 综合测评 A 卷
一、单选题
1．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮
上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝ ，A＝3 B．ω＝ ，A＝3
C．ω＝ ，A＝5 D．ω＝ ，A＝5
2．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan ＝－ 则实数a的值是（ ）
A．2 B． C．－2 D．－
3．同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图象关于直线x＝ 对称；（3）在 上单调递
增”的一个函数是（ ）
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
4．某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面
120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计
建筑物多高？（ ）
（参考数据： ）
A．50 B．38 C．27 D．15
5．已知函数 的一部分图象如图所示，如图 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．若 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
7．已知 ，α∈ ，函数 ，且对任意的实数x，不等式
恒成立，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 在 上恰有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．若函数 的最大值为6，则
C．直线 是函数 的图象的一条对称轴
D．函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期是 B． 的最小值是
C．直线 是图象的一条对称轴 D．直线 是图象的一条对称轴
11．已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 是最小正周期为 的奇函数
B． 是 图像的一个对称中心
C． 在 上单调递增
D．先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单位
长度，即可得到函数 的图象．12．函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点 是 的对称中心
B．直线 是 的对称轴
C． 在区间 上单调减
D． 的图象向右平移 个单位得 的图象
三、填空题
13．已知 ，则 ________.
14．已知 为钝角，且 ，则 ______.
15．函数y＝－3sin (x≥0)的初相为________．
16．关于 有如下说法：
①若f(x)＝f(x)＝0，则x x 是π的整数倍，
1 2 1 2
②函数解析式可改为 ，
③函数图象关于 对称，
④函数图象关于点 对称．
其中正确的是____（填正确的序号）
四、解答题
17．如图是函数 的一段图像.（1）求此函数解析式；
（2）分析一下该函数图像可以由函数 的图像经过怎样的变换得到.
18．已知函数 的最小正周期为 ，且其图象经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 ， ， ，且 ， ，求 的值．
19．已知函数f(x)＝cos(2x )+2sin2x．
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈(0, )时，求函数f(x)的值域．
20．已知函数 .
（1）求 的单调增区间；
（2）求 取最大值时 值的集合；
（3）函数 在 上有零点，求 的取值范围.21．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读
数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，
其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
（1）求函数p(t)的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）画出函数p(t)的草图；
（4）求出此人的血压在血压计上的读数．
22．已知函数f（x）=2cos2 ，g（x）= 2.
（1）求证：f =g（x）；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，π]的单调区间，并求使h（x）取到最小值时x的值.参考答案
1．A
【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
，则 ．故选:A
2．C
【解析】∵ ，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝ ＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
3．C
【解析】由（1）知T＝π＝ ，ω＝2，排除A．
由（2）（3）知x＝ 时，f(x)取最大值，
对于B，当 时， ，取到最小值，不合题意，
对于C，当 时， ，符合题意，
对于D，当 时， ，不合题意，
故选：C
4．C
【解析】设走了3分钟到达 （如图所示），
走过的圆心角为 ，，
因为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以建筑物的高度：
故选：C
5．D
【解析】根据图象可知，函数的最大值4和最小值0，得 ，解得 ，
函数的周期为 ，即 ，
当 时取最大值4，即 ， ，
即 ， .
故选：D.
6．A
【解析】解： ， ，
又 ， ，
，
故选：A.
7．A
【解析】由 ，即 ，
得 或 .
又
恒成立，因为 ，即 ，所以 ，
又α∈ ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A.
8．A
【解析】解： 在 上恰有两个零点，即 在 上恰有两
个解，
则 ， ，由三角函数的图象与性质可得 ， ，
， ，
故选：A．
9．BC
【解析】对于A，函数 的最小正周期 ,故A错误；
对于B，函数 最大值为 ，若函数 的最大值为6，则
，故B正确；
对于C，代入 可知 ，函数取得最大值，所以直线 是函数 的图象的一
条对称轴，故C正确；
对于D，函数 的图象向右平移 个单位长度得到
，与 图像不同，故D错误.
故选:BC
10．ABD
【解析】由题意得
，
对于A： ，所以 的最小正周期是 ，故A正确；
对于B：当 时， 的最小值为 ，故B正确；对于C、D：令 ，解得
当 时，可得一条对称轴为 ，故D正确，
无论k取任何整数， ，故C错误，
故选：ABD
11．BD
【解析】由题意得， ，
当 时， 取到最值，即 ，解得 ，
所以 ．
对于A， ，故 不是奇函数，故A错误；
对于B， ，则 是 图像的一个对称中心，故B正确；
对于C，当 时， ，又 在 上先增后减，则
在 上先增后减，故C错误；
对于D，将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个单
位长度，得 ，故D正确．
故答案为:BD
12．CD
【解析】由图知： 且 ，则 ，
∴ ，可得 ，
又 过 ，
∴ ，得 ，又 ，
∴当 时， .
综上， .A： 代入得： ，故错误；
B： 代入得： ，故错误；
C：由 ，故在 上 单调递减，则 上递减，
而 ，故正确；
D： ，故正确；
故选：CD
13．
【解析】 ，
故答案为：
14．
【解析】解： ， ，
为钝角，
.
故答案为：
15．
【解析】因为y＝－3sin (x≥0)
所以由诱导公式可知y＝－3sin ＝3sin ，
当 时，故所求的初相为－ .
故答案为：
16．②③
【解析】①若f(x)＝f(x)＝0，则x x 是半个周期的整数倍，而函数 的周期为π，故x
1 2 1 2 1x 是 的整数倍，故不正确．
2
②函数解析式 ，故正确．
③当 时，y＝ 3是函数的最小值，故函数图象关于 对称，故正确．
④当 时，y＝3是函数的最大值，故函数图象关于 对称，故不正确．
故答案为：②③．
17．（1） ；（2）变换情况见解析.
【解析】（1）由图像知 ，解得 ，
由 ， ， .
当 时， ， ，又 ， ，
所以所求函数解析式为 .
（2）把函数 图像上的所有点，向左平移 个单位，得到 图像，
然后把函数 图像上的所有点，纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 ，得到
的图像，
再把函数 图像上的所有点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 ，得到
的图像，
最后把函数 图像上的所有点，向下平移1个单位，得到 的图像.
18．(1) ；(2) .
【解析】(1)因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
因为函数 的图象经过点 ，所以 ，得 ， ，即 ， ，
由 ，得 ．
所以函数 的解析式为： .
(2)由(1)中结论可得， ，
由 ，得 ，
，得 ，
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 .
19．（1）最小正周期为π，增区间 [kπ ,kπ+ ]，k∈Z；（2）( ,2]．
【解析】（1）f(x)＝cos(2x )+2sin2x＝ cos2x+ sin2x+2 ＝sin(2x )+1，
∴最小正周期为 ．
令2kπ ≤2x ≤2kπ+ ，得kπ ≤x≤kπ+ ，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ ,kπ+ ]，k∈Z．
（2）当x∈(0, )时，2x ∈( , )，sin(2x )∈( ,1]，
∴f(x)＝sin(2x )+1∈( ,2]，即函数f(x)的值域为( ,2]．
20．（1）增区间为 ， ；（2） ；（3） .
【解析】解：（1） 函数 ，
令 ，
解得 ， ，
函数 的增区间为 .（2）令 ， ，解得 ， ，此时 .
取得最大值时 的集合是 ，
（3）函数 在 上有零点等价于 与直线 有交点，当 时，
， ，
函数 在 上的值域是 ，
若函数 在 上有零点，
则 的取值范围是 .
21．（1） min；（2）80(次)；（3）作图见解析；（4）90mmHg．
【解析】[解]（1）由于ω＝160π，代入周期公式 ，可得 (min)，所以函数p(t)的周期
为 min．
（2）每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝ ＝80(次)．
（3）列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg．
22．（1）证明见解析；（2）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，当x= 时，函数h
（x）取到最小值.
【解析】（1）因为 ，，
，
所以 .
（2）函数 ，
∵ ，如图，结合函数的图像，
∴函数h（x）在的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
根据函数h（x）的单调性，可知当x= 时，函数h（x）取到最小值.
