文档内容
第五章 三角函数 综合测评 B 卷
一、单选题
1．使函数 为奇函数，且在区间 上是减函数的 的一个值是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数 图象 的一个最高点为 ，由这个点到相邻最低点的一段图
象与 轴相交于点 ，则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．为了得到 的图象，只需把函数 的图象上的所有点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当扇形的圆心角的弧度数为 时，扇面看上去
形状较为美观，那么此时 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等腰三角形底角的正弦值为 ，则顶角的正弦值是（ ）
A． B． C．－ D．－
6．已知点 是角 终边上一点，则 等于（ ）
A． B． C． D．7．已知 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
8．已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个
单位长度，所得图象关于 轴对称，则 的一个值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设函数 的图象为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．图象 关于直线 对称
C．图象 可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
D．函数 在区间 ， 上是增函数
10．已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向右平移 个
单位长度，得到函数 ，若 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．a的最小值为
11．如图，摩天轮的半径为 ，其中心 点距离地面的高度为 ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，
且 转一圈，若摩天轮上点 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A．转动 后点 距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第 和第 点 距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 的时间为
12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成
的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为
C． 在区间 上单调递增 D． 的最小值为1
三、填空题
13．若 ， ， ， ，则 __．
14．下列关于函数 的说法中，错误的是______________.
①函数 的图象关于直线 对称；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 在区间 上单调递增；
④函数 是一个偶函数，则 ， .
15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角
为 ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 ，则 的值是______．16．已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取
值范围是_____．
四、解答题
17．我们知道如果点 是角 终边 上任意一点（ ），则根据三角比的定义： ，
，因此点 的坐标也可以表示为 ．
（1）将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，求点 的坐标 ．（即分别把 、 用 、 表示
出来）
（2）将 绕坐标原点 逆时针旋转 角度至 ，求点 的坐标 ．（即分别把 、 用 、 、
表示出来）
（3）把函数 的图像绕坐标原点逆时针旋转 后，可以得到函数___________的图像．（写出
解析式和定义域）
18．已知函数 ，且满足 .
（1）求实数a、b的值；
（2）记 ，若函数 是偶函数，求实数t的值.19．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，
摩天轮上点P的起始位置在最高点．
（1）试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
20．如图，已知 是半径为1，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的动点， 是扇形的内接矩形.
记 ，矩形 的面积为 .
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）当 取何值时， 最大？并求出 的最大值.
21．已知函数 ．
（1）求 的周期；
（2）求 的严格减区间；
（3）解方程 ；
（4）当 时，求函数 的值域．22．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最大值与最小值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
参考答案
1．C
【解析】由 为奇函数，
所以 ，
故A，C符合范围，
当 时， ，不符题意，
当 时， ，在 上为减函数，符合题意，
故选：C
2．C
【解析】根据题意可得 ，
由函数的解析式函数 ，
易知最高点和相邻最低点的中点在 轴上，也为函数 的零点，
故该最低点坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
再由最高点为 ，所以 ，
由 ，所以 ，所以这个函数的解析式是 ，
故选：C
3．A
【解析】解：由已知中平移前函数解析式为 ，
平移后函数解析式为： ，
可得平移量为向右平行移动 个单位长度，
故选： ．
4．A
【解析】由扇形的圆心角的弧度数为 ，
可知剩余部分圆心角弧度数为 ，
故 ，
故选：A.
5．A
【解析】设底角为θ，则θ∈ ，顶角为180°－2θ.
∵sin θ＝ ，∴cos θ＝ ＝ ，∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2× .
故选：A
6．A
【解析】解析：由题意可得sinα= ，cosα= ，
cos =cos cos α+sin sinα= × + × .
故选：A
7．B
【解析】解： ，
可得 ，令 ， ． ，
可得 ．
则 的最大值是： ．
故选： ．
8．D【解析】 最小正周期为 ， ，解得： ， ；
图象向左平移 个单位长度得： ，
图象关于 轴对称， ，
解得： ，则当 时， .
故选：D.
9．CD
【解析】解： .由 知， 的最小正周期为 ，故 正确；
.当 时， 取得最大值，故图象 关于直线 ，故 正确；
.将 向左平移 个单位得 ，故 不正确；
.函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，取
，得函数 的一个单调递增区间是 ，一个单调递减区间是 ，故在区间
上 不是单调递增的，而是先递增后递减，故 不正确.
故选： .
10．ACD
【解析】由图象可得，函数 的图象过点 ， ，
所以 ，可得 ，因为 ， ，可得 ，
由图象过点 ，且在单调递减区间内，可得 ，
解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，故A正确，B错误；
由 ，可得 的图象关于直线 对称，所以 ，C正确；
由 ，解得 ，
又由 ，所以 ，故D正确．
故选ACD．
11．AC
【解析】解： 摩天轮 转一圈，
在 内转过的角度为 ，
建立平面直角坐标系，如图，
设 是以 轴正半轴为始边， 表示点 的起始位置 为终边的角，
以 轴正半轴为始边， 为终边的角为 ，
即点 的纵坐标为 ，
又由题知， 点起始位置在最高点处，
点距地面高度 关于旋转时间 的函数关系式为：
即
当 时， ，故A正确；
若摩天轮转速减半， ，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第 点距安地面的高度为
第 点距离地面的高度为
第 和第 时 点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈， 点距离地面的高度不低于 ，
即 ，
即 ， ，
得 ，
或 ，
解得 或 ，共 ，故D错误．
故选：AC．
12．AD
【解析】因为 , ，所以 是偶函数，A正确；
显然是周期函数，
因为 ，所以B错误；
因为当 时，
，
所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减，C错误；
因为
当 时，设 ，则 ，∴ ，∴ ，
同理：当 时， ，
由B中解答知， 是 的周期，所以 的最小值为1，D正确.
故选：AD.
13．
【解析】解： ，可得： ，①
两边平方可得， ，解得： ，
，可得： ，②由①②解得： ，
又 ，可得： ，两边平方，可得： ， ，
．
故答案为： ．
14．②③
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②， ，故②错误；
对于③， ，
当 时， ，函数 单调递减，故③错误；
对于④， ，
函数 是偶函数，所以 ， ，
即 ， ，故④正确.
故答案为：②③.
15．
【解析】 大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，
则由题可得每个直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，
所以小正方形的边长为 ，
小正方形的面积是 ， ， ，
，则 ，
，则 ，
.
故答案为： .16．
【解析】
．
由 ，可得 ，解得 ， ．
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，且 ，
即 且 ，
因为 ，
分别取 ，1,2,3 ，
，
∴ 的取值范围是 ，
故答案为： ．
17．（1） ； ；（2） ； ；（3）
．
【解析】 ，
（1）
；
同理， ；
（2） ，
故 ；
同理， ；
（3）在（2）中令 得 ，可得 ，
同理， ，
因此， ，
所以，函数为 ．
18．（1） ， ；（2） ， .
【解析】（1）由题意 ，所以 .
（2）由（1）
所以 ，
因为 是偶函数，所以 ，所以
19．（1） ；（2）有 点距离地面超过70 m.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
（1）设 是以 为始边， 为终边的角，
在 内转过的角为 ，即 ，
∴以 为始边， 为终边的角为 ，即 点纵坐标为 ，
∴ 点距地面的高度为 ，由题可知， ，∴ .
（2）当 时，解之得， ，
持续时间为 即在摩天轮转动一圈内，有 点距离地面超过70 m.
20．（1） ；（2） 时， .
【解析】（1）在 中， ， ，在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴
.
（2）由 得 ，所以当 ，即 时， .
21．（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】
，
（1）周期为： ；
（2）令 ，解得 ，
所以 的严格减区间为 ；
（3）由 ，得 ，所以 ，或 ，
解得 或 ；
（4）当 ，则 ，
此时 ，
所以函数 的值域为
22．（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
，当 时， 取最小值为 ，
当 时， 取最大值为 ；
（2） 的图像的对称轴为 ，
要使 在区间 上单调，
那么 ，或 ，即 或 ，
又 ，所以 .
