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2024 届高三年级寒假开学适应性考试
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试用时 120分钟。注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在
答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上
要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.设等比数列{ a }的各项均为正数，S 为其前n项和，若a =2，a a a =a ，则S =（ ）
n n 1 2 3 4 9 3
A.6 B.8 C.12 D.14
2.已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这组数据的第70百分位数为（ ）
A.4.9 B.6 C.6.5 D.7
3.已知 f ( x )在( 0,+∞)上单调递减，且x >0，则下列结论中一定威立的是（ ）
0
A. f ( x +1 )> f ( x ) B. f ( x +1 )< f ( x )
0 0 0 0
C. f ( x −1 )> f ( x ) D. f ( x −1 )< f ( x )
0 0 0 0
4.已知非零向量a，b，满足 a = b ，且a⋅b=0，对任意实数λ，µ，下列结论正确的是（ ）
( ) ( ) ( ) ( )
A. λa−µb ⋅ λa−µb =0 B. λa−µb ⋅ µa+λb =0
( ) ( ) ( ) ( )
C. λa−µb ⋅ λa+µb =0 D. λa+µb ⋅ µa+λb =0
π 1
5.在△ABC中，若a = 2，∠A= ，cosC =− ，则c=（ ）
6 3
3 2 8 3 8
A. B. C. D.
3 3 9 3
6.如图，在正方体ABCD−ABC D 中，AB=2，E，F 分别是DD ，BB 的中点.用过点 F 且平行于平面
1 1 1 1 1 1
ABE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司5
A.2 5 B. 6 C. 5 D.
2
7.已知正整数 N 的 70次方是一个 83 位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到 0.001），可得 N 的值
为（ ）
M 2 3 7 11 13
0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
lgM
A.13 B.14 C.15 D.16
8.已知线段AB的长度为10，M是线段AB上的动点（不与端点重合）.点N在圆心为M，半径为MA的圆上，
且B，M，N不共线，则△BMN的面积的最大值为（ ）
25 25 25 3 25 3
A. B. C. D.
2 4 2 4
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分。
9.已知函数 f ( x )的定义域为R，则以下选项正确的是（ ）
A.若 f ( x+1 )=−f ( x )，则 f ( x+2 )= f ( x )
B.若 f ( x+2 )= f ( x )，则 f ( x+1 )=−f ( x )
C.若 f ( x+2 )= f (−x )，且 f ( x )为奇函数，则 f ( x+4 )= f ( x )
D.若 f ( x+2 )= f (−x )，且 f ( x+4 )= f ( x )，则 f ( x )为奇函数
10.已知m，n都是正整数，且m0,0<ϕ<π)的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和
2
最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图像与x轴的交点.将绘有该图像的纸片沿x轴折成
学科网（北京）股份有限公司直二面角，如图2所示，此时 AB = 10.下列结论正确的有（ ）
π
A.ϕ=
3
B.图2中，AB⋅AC =5
C.图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C
{ }
D.图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合.设集合T = Q∈S AQ ≤2 ，则T表示的区域的面积大于
π
4
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分，把答案填在答题卡相应横线上。
12.设a∈R，若复数( a−2i )( 2+i )在复平面内对应的点位于虚轴上，则a =__________.
13.设抛物线 C：y2 =2px ( p>0 )的焦点为 F，点 E 是 C 的准线与 C 的对称轴的交点，点 P 在 C 上.若
∠PEF =30°，则sin∠PFE =__________.
14. 已 知 实 数 m 满 足 ： 当 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax2 +bx+c=0 有 实 数 根 时 ，
( a−b )2 +( b−c )2 +( c−a )2 ≥ma2恒成立.则m的最大值为__________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步凝.启息.教师甲、乙这七天的步数
情况如图1所示.
学科网（北京）股份有限公司图1
图2
（1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
（2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数内X，求X的分布列及数学
期望；
16.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱ABC−ABC 中，∠ABC =90°，AB= BC = BB =2，E，F分别为AB，BC 的中点.
1 1 1 1 1 1
（1）求证：EF∥平面ACC A ；
1 1
1
（2）若点P是棱BB 上一点，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为 ，求线段BP的长.
1 5
17.（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
已知椭圆Γ： + =1 ( a>b>0 )的右焦点坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的 2 倍，直线l交Γ椭圆
a2 b2
于不同的两点M和N，
（1）求椭圆Γ的方程；
（29.若直线l的方程为y =kx+t ( k ≠0 )，点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N 分别与x轴相交
于P、Q两点，求证： OP ⋅ OQ 为定值.
18.（本小题满分17分）
x lnx
已知函数 f ( x )= ，g ( x )=
ex x
（1）求 f ( x )和g ( x )的极值；
（2）是否存在直线y =a，其与曲线 y = f ( x )和曲线y = g ( x )共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列如果存在，求出直线的位置；如果不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
给定正整数n≥2，设集合M = { αα=( t ,t ,⋅⋅⋅,t ) ,t ∈{ 0,1 } ,k =1,2,⋅⋅⋅,n } .对于集合M 中的任意元素
1 2 n k
β=( x ,x ,⋅⋅⋅,x ) 和 γ=( y ,y ,⋅⋅⋅,y ) ， 定 义 β⋅γ= x y +x y +⋅⋅⋅+x y ， 设 A⊆ M ， 且 集 合
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
p,i = j,
A= { αα =( t ,t ,⋅⋅⋅,t ) ,i =1,2,⋅⋅⋅,n } ，对于A中任意元素α，α ，若α⋅α = 则称A具有性
i i i1 i2 in i j i j 1,i ≠ j,
质T ( n, p ) .
（1）判断集合A= {( 1,1,0 ) , ( 1,0,1 ) , ( 0,1,1 )} 是否具有性质T ( 3,2 ) ?说明理由；
（2）判断是否存在具有性质T ( 4, p )的集合A，并加以证明；
（3）若集合A具有性质T ( n, p )，求t +t +⋅⋅⋅+t = p ( j =1,2,⋅⋅⋅,n ) .
1j 2j nj
学科网（北京）股份有限公司2024 届高三年级寒假开学适应性考试数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D D B B D A C A AC ACD BC
填空题
3 9
12.-1 13. 14.
3 8
7.【解析】因为正整数N 的70次方是一个83位数，所以1082 ≤ N70 <1083，
取常用对数得82≤70lgN <83，即1.171≤lgN <1.186
由表可知lg15=lg ( 3×10÷2 )=lg3+lg10−lg2≈0.477+1−0.301=1.176∈[ 1.171,1.186 ) ,
所以N的值为15.
8.【解析】如图：设A (−5,0 )，B ( 5,0 )，M ( a,0 )，圆M的半径为r，
则 MB = 10−r ， MN =r ( 00 )的焦点为F ,0，
2
p
点E是C的准线与C的对称轴的交点，其坐标为E − ,0，
2
学科网（北京）股份有限公司y 3
点P在C上，设为P ( x ,y )，若∠PEF =30°，则tan∠PEF = 0 = ，
0 0 p 3
x +
0 2
p y 3
且 PF = x + ，则sin∠PFE = 0 = .
0 2 PF 3
( a−b )2 +( b−c )2 +( c−a )2
14.解析：设µ= ，其中a、b、c为实数：a ≠0.
a2
当方程ax2 +bx+c=0有实数根时，设其两根为x 、x .
1 2
b c
由韦达定理知x +x =− ，x x = .
1 2 a 1 2 a
( a−b )2 +( b−c )2 +( c−a )2
于是µ=
a2
2 2 2
b b c c
= 1−
+
−
+
−1
a a a a
=( 1+x +x )2 +(−x −x −x x )2 +( x x −1 )2 =2 ( x2 +x +1 )( x2 +x +1 )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
3 3 9
≥2× × = .
4 4 8
1
当且仅当x = x =− ，即a =b=4c≠0时等号成立.
1 2 2
9
因此µ的最小值为 .
8
9
所以m的最大值为 .
8
解答题：
15.解：（1）设“甲比乙的步数多”为事件A，
2
在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，所以P ( A )= ；
7
（2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天；
X 的所有可能取值为0，1，2，
C3C0 2 C2C1 4 C1C2 1
P ( X =0 )= 5 2 = ，P ( X =1 )= 5 2 = ，P ( X =2 )= 5 2 = ，
C3 7 C3 7 C3 7
7 7 7
学科网（北京）股份有限公司所以X 的分布列为
X 0 1 2
P
2 4 1
7 7 7
2 4 1 6
E ( X )=0× +1× +2× = .
7 7 7 7
16.（1）取线段BC的中点H ，连接FH ，EH ，因为E，F 分别为AB，BC 的中点，故有EH∥AC，
1 1
FH∥CC ，
1
又因为AC,CC ⊂平面ACC A ，EH,FH ⊂/ 平面ACC A ，故EH∥平面ACC A ，FH∥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又EH FH = H ，则平面EHF∥平面ACC A ，因EF ⊂平面EHF ，则EF∥平面ACC A .
1 1 1 1
（2）如图，分别以BC，BA，BB 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系B−xyz.
1
则A ( 0,2,0 )，B ( 0,0,0 )，B ( 0,0,2 )，E ( 0,1,0 )，F ( 1,0,2 )，
1
设点P ( 0,0,z )，BP=λBB ，则0≤λ≤1，
1
代入坐标得：(
0,0,z
)=λ(
0,0,2
)，即P ( 0,0,2λ)，
于是AP=( 0,−2,2λ)，EB=( 0,−1,0 )，EF =( 1,−1,2 )，
n⋅EB=−b=0
设平面BEF的法向量为n=( a,b,c )，则有 ，
n⋅EF =a−b+2c=0
故可取n=(−2,0,1 )
.
2λ 1 1
依题意得， cos n,AP = = ，解得λ= ，
5×2 λ2 +1 5 2
即线段BP的长为1.
学科网（北京）股份有限公司17解：（1）由题意得a= 2b，a2 −b2 =4，
x2 y2
解得a =2 2，b=2，所以椭圆Γ的方程为 + =1.
8 4
（2）由题意知M′点的坐标为M′( x ,−y )，
1 1
x2 y2
将y =kx+t，代入 + =1
8 4
( )
得： 2k2 +1 x2 +4ktx+2t2 −8=0，
4kt 2t2 −8
∴x +x =− ，x x =
1 2 2k2 +1 1 2 2k2 +1
2t
y + y =k ( x +x )+2t =
1 2 1 2 2k2 +1
t t
对于直线y =kx+t，令y =0得x=− ，∴ OP = −
k k
y + y
对于直线M′N ：y− y = 2 1( x−x )，令y =0
2 x −x 2
2 1
−y ( x −x ) x y +x y x ( kx +t )+x ( kx +t )
得x= 2 2 1 +x = 1 2 2 1 = 1 2 2 1
y + y 2 y + y y + y
2 1 2 1 2 1
2kx x +t ( x +x ) 8k
= 1 2 1 2 =− ，
y + y t
2 1
8k
∴ OQ = −
t
t 8k
OP ⋅ OQ = − ⋅ − =8.
k t
1−x
18.解析：（1） f′( x )= ，
ex
当x<1时， f′( x )>0，当x>1时， f′( x )<0，
所以 f ( x )在(−∞,1 )上单调递增，在( 1,+∞)上单调递减，
1
所以当x=1时， f ( x )取得极大值 ，无极小值.
e
学科网（北京）股份有限公司1−lnx
g′( x )= ，
x2
当0< x0，当x>e时，g′( x )<0，
所以g ( x )在( 0,e )上单调递增，在( e,+∞)上单调递减，
1
当x=e时，g ( x )取得极大值 ，无极小值.
e
（2）当直线y =a过两个函数图象的交点时，满足题意.
设交点为A ( x ,a )，
2
直线y =a与 f ( x )在A的左边交点为P ( x ,a )，与g ( x )在A的右边交点为Q ( x ,a )，
1 3
x x lnx lnx
由（1）知0< x <1< x 1，lnx >lne=1，且 f ( x )在( 1,+∞)上单调递减，
2 3
x x 1
所以x =lnx ，则 3 = 3 = ，
2 3 x lnx a
2 3
x x 1
所以 3 = 2 = ，即x ，x ，x 成等比数列.
x x a 1 2 3
2 1
19.解：（1）因为(
1,1,0
)⋅(
1,1,0
)=1×1+1×1+0×0=2，同理(
1,0,1
)⋅(
1,0,1
)=(
0,1,1
)⋅(
0,1,1
)=2.
又(
1,1,0
)⋅(
1,0,1
)=1×1+1×0+0×1=1，
学科网（北京）股份有限公司同理(
1,1,0
)⋅(
0,1,1
)=(
1,0,1
)⋅(
0,1,1
)=1.
所以集合A= {( 1,1,0 ) , ( 1,0,1 ) , ( 0,1,1 )} 具有性质T ( 3,2 ) .
（Ⅱ）当n=4时，集合A中的元素个数为4.由题设 p∈{ 0,1,2,3,4 } .
假设集合A具有性质T ( 4, p )，则
①当 p=0时，A= {( 0,0,0,0 )} ，矛盾.
②当 p=1时，A= {( 1,0,0,0 ) , ( 0,1,0,0 ) , ( 0,0,1,0 ) , ( 0,0,0,1 )} ，不具有性质T ( 4,1 )，矛盾.
③当 p=2时，A⊆ {( 1,1,0,0 ) , ( 1,0,1,0 ) , ( 1,0,0,1 ) , ( 0,1,1,0 ) , ( 0,1,0,1 ) , ( 0,0,1,1 )} .
因为(
1,1,0,0
)和(
0,0,1,1
)至多一个在A中；
(
1,0,1,0
)和(
0,1,0,1
)至多一个在A中；
(
1,0,0,1
)和(
0,1,1,0
)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4，矛盾.
④当 p=3时，A= {( 1,1,1,0 ) , ( 1,1,0,1 ) , ( 1,0,1,1 ) , ( 0,1,1,1 )} ，不具有性质T ( 4,3 )，矛盾.
⑤当 p=4时，A= {( 1,1,1,1 )} ，矛盾.
综上，不存在具有性质T ( 4, p )的集合A.
（Ⅲ）记c =t +t +⋅⋅⋅+t ( j =1,2,⋅⋅⋅,n )，则c +c +⋅⋅⋅+c =np.
j 1j 2j 4j 1 2 n
若 p=0，则A= {( 0,0,⋅⋅⋅,0 )} ，矛盾.
若 p=1，则A= {( 1,0,0,⋅⋅⋅,0 )} ，矛盾.
故 p≥2.
假设存在 j使得c ≥ p+1，不妨设 j =1，即c ≥ p+1.
j 1
当c =n时，有c =0或c =1 ( j =2,3,⋅⋅⋅,n )成立.
1 j j
所以α,α,⋅⋅⋅,α 中分量为1的个数至多有n+( n−1 )=2n−1<2n≤np.
1 2 n
当 p+1≤c
