文档内容
南海区 2027 届高一上学期学业水平测试
数学试题
本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合 ，再根据交集含义即可.
【详解】 ，则 .
故选：B.
2. 设命题 ： ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有量词命题的否定形式，即可判断.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 为 ， .
故选：D
3. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和零点存在性定理即可得到答案.
【详解】根据指数函数、对数函数单调性知，
在(0,+∞)上的单调递增，
又因为f (1)=21+ln1−3=−1<0,f (2)=22+ln2−3=ln2+1>0，
且函数图象连续不间断，
则根据零点存在性质定理知 的零点所在的区间是 .
故选：C
4. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对数函数的性质比较大小关系即可.
【详解】由 ，则 ，
所以 .
故选：A
5. 已知函数 ，则 （ ）A. 5 B. 0 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数性质代入计算即可.
【详解】 .
故选：B.
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数值的正负可排除选项CD；根据函数的奇偶性可排除选项A；
【详解】当 时， ，故排除CD；
而 的定义域为 ，
且 ，
所以 是奇函数，所以排除A.
故选：B
7. 人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 （单位：dB）与声音强度（单位： 满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音
的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）
A. 108dB B. 81dB C. 72dB D. 63dB
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】设一般两人小声交谈时声音强度 为，则 ，即 ，
所以 ，即老师声音的等级约为63dB.
故选：D.
8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有 恒成立，若 ，
则满足 的 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先变形不等式 ，构造并判断函数 的单调性和奇
偶性，再解抽象不等式.
【详解】设 ，由 ，可知， ，
即 ，
设函数 ，函数 在 上是增函数，
且 是奇函数，所以 ， 是 上的奇函数，因为 ，所以 ，
，即 ，即 ，
则 .
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列条件中可以作为“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可.
【详解】设该条件所表示的集合为 ，因为其是“ ”的一个必要不充分条件，
则 .
对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.
故选：ACD.
10. 已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】应用特殊值 即可判断A、D；根据基本不等式及指数函数单调性判断B、C.
【详解】A、D：当 时， 且 ，错；
B：由 ，则 ，整理可得 ，对；C：由 单调递增，且 ，故 ，对.
故选：BC
11. 若存在两个不相等的实数 ， ，使 ， ， 均在函数 的定义域内，且满足
，则称函数 具有性质 ，下列函数具有性质 的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数新定义，利用基本不等式 得判断A，根据函数新定义结合
特殊值法说明存在即可判断BD，根据函数新定义，分类讨论判断C.
【详解】对于A选项， 的定义域为R，且 ，对任意的 、 且 ，
，
即 ，A选项中函数不满足条件；
对于B选项， 的定义域为R，取 ， ，
则 ，而 ，
即存在 ，B选项中的函数满足条件；
对于C选项，假设 具有性质 ，则存在 ，使得 ，
则 ，即 ，
若 同号，则 ，即 ，
所以 ，得 ，显然不成立；
若 异号，则 ，即 ，
将上述方程看作关于 的二次方程，解得 ，
此时满足 ，C选项中的函数满足条件；
对于D选项，因为 ，取 ，
所以 ， ，
则存在 ，所以D选项中的函数满足条件.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质 的定义，结合函数的性质即可得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据对数运算法则即可得到答案.
【详解】 .
故答案为：6.
13. 已知函数 ， 在 上单调递增，写出满足条件的实数 的一个
值______.【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用函数单调性和赋值法即可得
【详解】因为函数 ， 在(0,+∞)上单调递增，
所以
{ 2m−3>0 ) ⇒m>2，
m2-m-2>0
当 时，此时 ，满足题意
故答案为：3
14. 已知函数 满足 ，若函数 与 图象的交点为 ，
，…， ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据 以及 的对称性，求得 的值.
【详解】由于函数 满足 ，所以函数 的图象关于 对称，
设 ，则 ，
则函数 的图象关于 对称，故 和 的交点关于 对称，
则 ，
设 .
两式加，可得
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据两函数的对称性再进行求和即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合 ， .
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ;
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求两个集合，再根据集合的运算，即可求解；
（2）根据 ，分 和 两种情况，列式求 得到取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，
，得 ，则 ， 或
所以 ， ;
【小问2详解】
若 ，则 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，解得： ，
综上可知， .
16. 给定函数 ， .
（1）在同一直角坐标系中画出函数 ， 的图象；（2） ，用 表示 ， 中 的最大者，记为 ，求不等
式 的解集.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数与分段函数的图像得出答案；
（2）根据图像求出 的解析式，然后分类讨论求解即可
【小问1详解】
【小问2详解】
因为 ，3
{− x+4,04
2
当 时， ，即 ，所以 ，
当 时， ，即 ，所以 ，
当 时， ，即 ，所以 ，
所以不等式 的解集为
17. 已知函数 是偶函数.
（1）求 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义加以证明;
（3）解不等式 .
【答案】（1） ；
（2）单调递增，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由偶函数的性质有 恒成立，即可得参数值；
（2）令 ，应用作差比较 大小证明单调性；
（3）根据已知（2）有 ，结合对数函数单调性求解集.
【小问1详解】
由题设 ，即 恒成立，所以 .【小问2详解】
在 上的单调递增，证明如下：
由（1）知 ，令 ，
则 ，
由 ，故 ，故 在 上的单调递增，得证.
【小问3详解】
由题设及（2）知： ，则 或 ，
所以 或 ，解集为 .
18. 学校 和学校 相距20km，现计划在学校外以 为直径的半圆弧（不含 ， 两点）上选择一点
建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校 的影响度与所选地点
到学校 的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校 的影响度与所选地点到学校 的距离的平方成反
比，比例系数为 .对学校 和学校 的总影响度为学校 和学校 的影响度之和.记 点到学校 的距
离为 km，建在 处的污水处理厂对学校 和学校 的总影响度为 .统计调查表明：当 在 的中点
时，对学校 和学校 的总影响度为0.085.
（1）将 表示成 的函数；
（2）判断半圆弧 （不含 ， 两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校 和学校
的总影响度最小？若存在，求出该点到学校 的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 垂 直 关 系 可 知 ， ， 再 根 据 题 意 ， 转 化 为
，再代入数据，即可求解；
（2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值.
【小问1详解】
由 为直径，得 ，所以 ，
由已知得 ，
又当垃圾处理厂是 的中点时，对城 和城 的总影响度为 ，
即 时， ，代入上式得 ，解得 ，
所以 表示成 的函数为： ；
【小问2详解】
，
令 ， ，
则 ，
又 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 ，当 时，等号成立，所以弧 上存在一点，该点到城 的距离为 km时，建在此处的垃圾处理厂对城市 和城 的总影
响度最小为 .
19. 已知正实数集 ，定义 称为 的商集，用 来表示
集合 中元素的个数.
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）试判断 与 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】（1） ；
（2）15； （3） ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据新定义写出集合 ；
（2）令 ，根据定义描述分析得到 ，结合已知求 的最
小值；
（3）依次分析 、 得到 ，再讨论 ，结合
及 重 复 元 素 最 多 的 情 况 ， 得 到
，即可证.
【小问1详解】由 ，结合商集的定义有 ；
【
小问2详解】
设 ，当 时， ，当 时， 有 个，所以 的个数最多为
.
但是，在这些比值中，有的可能相等，如 时， 中存在 ，
也可能互不相等，如 时， 中没有相同的元素.
所以 中 的元素个数不大于 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 的最小值为15.
【小问3详解】
，证明如下：
显然 ，当 时， .
当 时， ，即 .
由上， ，
当 时， ， 最大为 ，
对于 ， 为定值时，重复最多，（以下 为常数）
的个数为 个，重复 个， 的个数为 个，重复 个，的个数为 个，重复 个， 的个数为 个，重复 个，
的个数为 个，重复 个， 的个数为 个，重复 个，
所以 最小为 ，
综上，
【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据新定义分析得到 最大和最小情况对应关于 的
表达式为关键.
