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高一数学试题拉练一
本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚，
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸试卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出幂函数 的表达式，然后将 代入求得 的值.
【详解】设 ，将点 代入得 ，解得 ，则 ，
所以 ，答案为B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
2.函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】
分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.
【详解】 ， ， ，
， ， ，
由零点存在定理可知： 零点所在区间为 .
故选： .
【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.
3.设 ， ， ，则 的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断 的大小.
【详解】因为底数2>1，则 在R上为增函数，所以有 ；
因为底数 ，则 为 上的减函数，所以有 ；
因为底数 ，所以 为 上的减函数，所以有 ；
所以 ，答案为A.
【点睛】本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.
4.下列四个函数中，与函数 相等的是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】
分别化简每个选项的解析式并求出定义域，再判断是否与 相等.
【详解】A选项：解析式为 ，定义域为R，解析式不相同；
B选项：解析式为 ，定义域为 ，定义域不相同；
C选项：解析式为 ，定义域为 ，定义域不相同；
D选项：解析式为 ，定义域为R，符合条件，答案为D.
【点睛】函数相等主要看：（1）解析式相同；（2）定义域相同.属于基础题.
5.函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
要使得 有意义，要满足真数大于0，且分母不能为0，即可求出定义域.
【详解】要使得 有意义，则要满足 ，解得 .答案为C.
【点睛】常见的定义域求解要满足：（1）分式：分母 0；
（2）偶次根式：被开方数 0；
（3）0次幂：底数 0；
（4）对数式：真数 ，底数 且 ；
（5） ： ；6.已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可以得到周期，然后利用周期公式求 ，再将特殊点代入即可求得 的表达式，结合 的范围即可确
定 的值.
【详解】由图可知， ，则 ，所以 ，
则 .将点 代入得 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 .答案为C.
【点睛】已知图像求函数 解析式的问题：
（1） ：一般由图像求出周期，然后利用公式 求解.
（2） ：一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.
（3） ：一般将已知点代入即可求得.7.已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出 ，再利用两角和的余弦公式即可求得式子的值.
【详解】因为 ， ，所以 ，
则 ，答案为A.
【点睛】主要考查同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式的运用.属于基础题.
8.已知函数 是定义域为 的奇函数，且满足 ，当 时，
，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. -2 D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用周期性将 转化为 ，再利用奇函数的性质将 转化成 ，然后利用
时的函数表达式即可求值.
【详解】由 可知， 为周期函数，周期为 ，
所以 ，又因为 为奇函数，有 ，因为 ，所以 ，答案为B.
【点睛】主要考查函数的周期性，奇偶性的应用，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.设全集 ，集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 集合 的真子集个数为8
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用集合的交并补运算法则，以及集合真子集个数计算公式即可判断.
【详解】A选项：由题意， ，正确；
B选项： ，不正确；
C选项： ，正确；
D选项：集合A的真子集个数有 ，不正确；
所以答案选AC.
【点睛】主要考察集合的交、并、补运算，以及集合子集个数问题：如果集合A含有n个元素，则：
（1）子集个数： ；
（2）真子集个数： ；
（3）非空子集个数： ；
（4）非空真子集个数： .
10.已知函数 ，则（ ）A. B. 函数 的图象与 轴有两个交点
C. 函数 的最小值为-4 D. 函数 的最大值为4
【答案】ABC
【解析】
【分析】
A项：代入求值即可判断.B项：将函数图像与 轴的交点问题转化为对应方程根的问题即可判断.C、D项
涉及到函数最值问题，将其配方之后便可判断.
【详解】A选项： ，正确；
B选项：因为 ，令 得：
，即得 或 ，所以 或 ，
即 的图像与 有两个交点，正确.
C选项：因为 ，所以当 ，即 时，
，正确.
D选项：由上可知， 没有最大值.
所以答案为ABC.
【点睛】主要考查函数求值，函数图像与 轴交点个数问题以及函数最值问题.对于函数图像与 轴交点个
数问题，经常利用以下等价条件进行转化：函数 零点问题 方程 根的问题 函数
图像与 轴交点横坐标的问题；对于与二次函数复合的函数最值问题经常利用换元法以及配方法
进行求解.
11.已知曲线 ， ，则下列结论正确的是（ ）A. 把 上所有的点向右平移 个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不
变），得到曲线
B. 把 上所有点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不
变），得到曲线
C. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 个单位
长度，得到曲线
D. 把 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 个单位
长度，得到曲线
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据左右平移变换以及伸缩变换相关结论即可判断，但要注意变换的顺序引起的变化.
【详解】先平移变换后伸缩变换：先把 上所有点向左平移 个单位长度得到 ，又因为
，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线 ，B选项正确.
先伸缩变换后平移变换：因为 ，所以先将 上各点的横坐标伸长为原来的3倍，得到
，又因为 ： ，则再把所得图像上所有点向左平移 个单位长度，即可得到 ，D选项正确.
【点睛】三角函数图像变换主要包括平移变换、周期变换、振幅变换．
平移变换（左右）：将 图像上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到 （
）；
周期变换：若 ，则将 上各点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），得到 ；若
，则将 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 ；
振幅变换：若 ，则将 上各点的纵坐标缩小为原来的 （横坐标不变），得到 ；若
，则将 上各点的纵坐标伸长为原来的 倍（横坐标不变），得到 ；
12.给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能成为 的充分条
件的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】AD
【解析】
【分析】
本题选择的是使 成立的充分条件，即选出①②③④中可以推出 的序号．
【详解】①由” 可知 ，所以 ，故 ；
② 当 时， ；当 时， ，故 ；
③ 由 ，得 ，故 ；
④ ．故选AD．
【点睛】本题考查充分条件的定义，根据结果找条件，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】
逆用两角差的正切公式即可求得.
【详解】原式 .
【点睛】主要考查两角差的正切公式的运用，属于基础题.
14.设函数 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据2的范围确定表达式，求出 ；后再根据 的范围确定表达式，求出 .
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
【点睛】分段函数求值问题，要先根据自变量的范围，确定表达式，然后代入求值．要注意由内而外求值，
属于基础题.
15.一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形 的半径为 ，弧长为 ，则 ，解得 ，所以 ，答案为6.
【点睛】主要考查弧长公式、扇形的周长公式以及面积公式，属于基础题.
16.已知函数 是定义在 的偶函数，且在区间 上单调递减，若实数 满足
，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用偶函数的性质将不等式化简为 ，再利用函数在 上的单调性即可转化为
，然后求得 的范围.
【详解】因为 为R上偶函数，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 为 上的减函数， ，所以 ，
解得 ，所以 ， 的范围为 .
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为
与 大小比较的形式： ；
（2）利用函数单调性将 转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
2.偶函数的性质： ；奇函数性质： ；
3.若 在D上为增函数，对于任意 ，都有 ；若 在D上为减函数，对于任意 ，都有 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据两个集合的交集为 ，可知 ，即充要条件就是 .（2）由（1）可
知，要找充分不必要条件，即是在 找一个值，都是符合题意的值.
【详解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}
中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是
M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
【点睛】本小题主要考查利用集合的交集来求解参数的取值范围，考查找充分不必要条件的方法，属于中
档题.
18.（1）求值： ；
（2）已知 ， ，试用 表示 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）先将小数转化为分数并约简，然后各式化成指数幂的形式，再利用指数运算法则即可化简求值.
（2）先利用对数的换底公式，以及相关的运算公式将 转化为以 表示的式子，然后换成
m，n即可.【详解】解：（1）
原式
（2）
原式
【点睛】主要考查指数幂运算公式以及对数的运算公式的应用，属于基础题.
19.（1）写出下列两组诱导公式：
①关于 与 的诱导公式；
②关于 与 的诱导公式.
（2）从上述①②两组诱导公式中任选一组，用任意角的三角函数定义给出证明.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）按要求写出对应公式即可.（2）利用任意角定义以及对称性即可证明对应公式.
【详解】解：（1）① ， ， .
② ， ， .
（2）①证明：设任意角 的终边与单位圆的交点坐标为 .
由于角 的终边与角 的终边关于 轴对称，因此角 的终边与单位圆的交点 与点 关于 轴对称，
所以点 的坐标是 .
由任意角的三角函数定义得，
， ， ；
， ， .
所以 ， ， ..
②证明：设任意角 的终边与单位圆的交点坐标为 .
由于 角的终边与角 的终边关于 轴对称，
因此角 的终边与单位圆的交点 与点 关于 轴对称，
所以点 的坐标是 .
由任意角的三角函数定义得，
， ， ；
， ， .
所以 ， ， .【点睛】主要考查对诱导公式的掌握以及推导过程，熟练运用任意角三角函数的定义，属于基础题.
20.已知 的图象上相邻两对称轴的距离为 .
（1）若 ，求 的递增区间；
（2）若 时，若 的最大值与最小值之和为5，求 的值.
【答案】(1) 增区间是[kπ－ , kπ＋ ], k∈Z (2)
【解析】
试题分析： 首先根据已知条件，求出周期 ，进而求出 的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递
增区间 ， ，即可求出 的递增区间
由确定出的函数解析式，根据 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数
的最大值，即可得到 的值
解析：已知
由 ，则T＝π＝ ，∴w＝2
∴
（1）令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ则－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ故f(x)的增区间是[kπ－ , kπ＋ ], k∈Z
（2）当x∈[0, ]时， ≤2x＋ ≤
∴sin(2x＋ )∈[－ , 1]
∴ ∴
点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和
的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的
性质，属于中档题．
21.已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）用函数单调性的定义证明 在 上是减函数.
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）既可以利用奇函数的定义 求得 的值，也可以利用在 处有意义的奇函数的性质
求 ，但要注意证明该值使得函数是奇函数.
（2）按照函数单调性定义法证明步骤证明即可.
【详解】解：（1）解法一：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，
所以 .
解法二：因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
即 ，解得 .
当 时， .
因为
，
所以当 时，函数 是定义域为 的奇函数.
（2）由（1）得 .
对于任意的 ，且 ，
则.
因为 ，所以 ，则 ，
而 ，所以 ，即 .
所以函数 在 上是减函数.
【点睛】已知函数奇偶性求参数值的方法有：
（1）利用定义 （偶函数）或 （奇函数）求解.
（2）利用性质：如果 为奇函数，且在 处有意义，则有 ；
（3）结合定义利用特殊值法，求出参数值.
定义法证明单调性：（1）取值；（2）作差（作商）；（3）变形；（4）定号（与1比较）；（5）下结论.
22.某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本 （单位：元/ ）与上市
时间 （单位：10天）的数据如下表：
时间 5 11 25
种植成本 15 10.8 15
（1）根据上表数据，从下列函数： ， ， ， 中（其中
），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系；
（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【答案】（1） ；（2）该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.
【解析】
【分析】
（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型 符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数 .
（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.
【详解】解：（1）以上市时间 （单位：10天）为横坐标，以种植成本 （单位/ ）为纵坐标，画
出散点图（如图）.
根据点的分布特征， ， ， 这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，
只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，
所以选取函数模型 进行描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系.
将表格所提供的三组数据分别代入 ，
得
解得
所以，描述该蔬菜种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为 .
（2）由（1）知 ，
所以当 时， 的最小值为10，
即该蔬菜上市150天时，该蔬菜种植成本最低为10（元/ ）.【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；
（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；
二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.
