3.9 圆锥曲线中的轨迹问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：轨迹与轨迹方程............................................................. 2
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程.........................................2
考点三：定义法求曲线轨迹方程.................................................... 2
考点四：直接法求曲线轨迹方程.................................................... 3
考点五：相关点法（代入法）....................................................... 3
考点六：参数法.........................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：定义法求动点轨迹.......................................................... 4
题型二：直接法求动点轨迹.......................................................... 6
题型三：相关点法求动点轨迹....................................................... 8
题型四：参数法求动点轨迹........................................................ 10
题型五：交轨法求动点轨迹........................................................ 11
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹.............................................14
题型七：空间中的动点轨迹........................................................ 15
模块三：综合巩固....................................................................... 16
3.9 圆锥曲线中的轨迹问题
模块一：基础知识
考点一：轨迹与轨迹方程
1.轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示
出来，轨迹方程就产生了.
（1）求轨迹方程的实质是将形"转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；
（2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形
状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方
程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后
再根据条件建立关于a,b 的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把
椭圆方程设为mx
2＋ny
2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．思路：直接解不等式,确定函数单调区间
求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定
双2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.
“焦点跟着正项走”,若x
2项的系数为正,则焦点在x 轴上;若y
2项的系数为正,那么焦点在y 轴上.确定方
程的形式后,然后再根据a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出a,b 的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为
了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax
2＋By
2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程
0,
0
b
y
x a
b
a
,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x
2
a
2－y
2
b
2
＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x
2
a
2－y
2
b
2＝
λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p 的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
考点三：定义法求曲线轨迹方程
1.若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确
定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法.
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的
焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c 为常数：
(1)若a>c,则集合P 为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P 为线段；
(3)若a<c,则集合P 为空集．
4. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P 点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P 点不存在．
5. 平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物
线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
注意：(1)定直线l 不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
考点四：直接法求曲线轨迹方程
1.定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接
将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程.
2.方法步骤：
①建系，建立适当的坐标系；
②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式，列出动点P 所满足的关系式；
④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y 的方程式，并化简；
⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
考点五：相关点法（代入法）
1.定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可
用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法.
20 方法步骤：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标
0x 、
0y ，然后代入点P 的坐标
0
0
,
x
y
所满足的曲
线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
考点六：参数法
1.定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的
轨迹.这种方法称为交轨法.
2.方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
模块二：题型分类
题型一：定义法求动点轨迹
1．(1)若动圆M 与圆
2
2
1 : (
1)
9
F
x
y
内切，与圆
2
2
2 : (
1)
1
F
x
y
外切.求动圆圆心M 的轨迹
1
C 的方程；
(2)若动圆M 与圆
2
2
3 : (
3)
9
F
x
y
､圆
2
2
4 : (
3)
1
F
x
y
都外切.求动圆圆心M 的轨迹
2
C 的方程.
2.若点
,
P x y 满足方程
2
2
3
4
12
(
1)
(
2)
5
x
y
x
y
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4.如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且
2
AB
，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平
分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（
）
A．圆
B．射线
C．长轴为4 的椭圆
D．长轴为2 的椭圆
5.与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
6．已知圆
2
2
4 3
0
x
y
y
的圆心为S，过点
0, 2 3
T
的直线m 交圆S于C 、D 两点，过点T 作SC 的
平行线，交直线SD于点M ，则点M 的轨迹为（
）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
7．已知圆
2
2
2
16
x
y
的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点
2,0
N
，线段PN 的垂直平分线交
PM 于G 点，则点G 的轨迹C 的方程为
．
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过B
作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
9.在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过
1,0
A
，且与圆C ：
2
2
1
9
x
y
相切，则圆心P 的轨
迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．拋物线
10.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP
上,且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l
的斜率k 的取值范围.
11.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：
2
2
2
8
x
y
,
2,0
B
,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆
的圆点P 的轨迹为C .
（1）求C的方程；
（2）试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E , F 两点时,恒有
EAM
FAM
？若
存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
12.已知一定点
(0,1)
F
,及一定直线l：
1
y ,以动点M 为圆心的圆M 过点F,且与直线l 相切．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设P 在直线l 上,直线PA,PB 分别与曲线C 相切于A,B,N 为线段AB 的中点．求证：|
|
2 |
|
AB
NP
,且
直线AB 恒过定点．
题型二：直接法求动点轨迹
1．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点
( 1,1)
A
关于原点O对称，点P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之
积为
1
3
，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
B．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
C．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
D．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
2.已知点
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
，直线PA 的斜率为
1k ，直线PB 的斜率为
2k ，若
2
1
1
k
k
，则点P 的轨迹为不
包含A ，B 两点的（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
MB
，则点M
的轨迹方程是
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
4．阿波罗尼斯（约前262—前190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
0,
1
k k
k
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
0,0
O
，
3,0
A
，动点P 满足
1
2
PO
PA
，
则点P 的轨迹方程是
．
5.已知A，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N.若
2
1
2
MN
AN NB
，则
动点M 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
6．在平面直角坐标系xOy 中，A（6，0），点B 为圆C：
2
2
6
1
1
x
y
上的动点，点P 满足
2
PO
PA
，
则动点P 的运动轨迹方程为
.
2
PB
PA
的最小值为
.
7.设点M、N 分别是不等边ABC
的重心与外心，已知
(0,1)
A
、
(0,
1)
B
，且MN
AB
．则动点C 的轨迹
E
；
8.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
9．设平面上有一条长度为4 的线段AB ，试建立适当的平面直角坐标系，求：
(1)到线段AB 两端点的距离的平方差为16 的点的轨迹方程；
(2)到线段AB 两端点的距离的平方和为16 的点的轨迹方程．
10.设动点M 在直线
0
y
和
2
y 上的射影分别为点N 和R ,已知
2
MN MR
OM
,其中O为坐标原点.
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过直线
2
0
x
y
上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB ( A , B 为切点),求证：直线AB 经过定点.
题型三：相关点法求动点轨迹
1.设定点
6,2 ,
A
P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．
2．如图所示，从双曲线x
2－y
2＝1 上一点Q 引直线x＋y＝2 的垂线，垂足为N．求线段QN 的中点P 的轨迹
方程．
3.如图,P 是圆x
2＋y
2＝4 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点D,点M 满足DM
→＝1
2
DP
→.
(1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A,B,求以OA,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的
顶点E 的轨迹方程．
4．已知面积为16 的正方形ABCD的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，
3
1
4
2
OP
OA
OB
，
则动点P 的轨迹方程是
．
5.直线y
x
和y
x
上各有一点,
P Q（其中点
,
P Q 的纵坐标分别为
,
P
Q
y
y 且满足
0
P
Q
y y
），
OPQ
△
的面
积为4，则PQ的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
4
x
y
B．
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
y
x
D．
2
2
8
x
y
6．一条线段的长等于10，两端点
,
A B 分别在x 轴和P 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
AB
，则点M 的
轨迹方程是（
）
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
7.已知点P 为圆
2
2
18
x
y
上一动点，PQ
x
轴于点Q ，若动点M 满足
1
2
3
3
OM
OP
OQ
,求动点M 的轨
迹C 的方程；
8.已知
2,1 ,
2, 1 ,
A
B
O
为坐标原点，动点
,
P x y 满足OP
mOA
nOB
，其中
,
R
m n
，且
2
2
1
2
m
n
，
则动点P 的轨迹方程是
.
9.如图，在圆
2
2
4
x
y
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线
段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？
10．已知抛物线
2
1
y
x
，定点
3 ,1 ,
A
B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有
:
1: 2
BP PA
，
当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．
11．如图所示，已知
(4,0)
P
是圆
2
2
36
x
y
内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足
90
APB
，求矩形
APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
题型四：参数法求动点轨迹
1．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线1
2
,l l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，若点M 是线段AB 上的
点，且满足
2
BM
AM
，则点M 的轨迹方程是
．
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，F 到双曲线
2
2
1
3
y
x
的渐近线的距离为2 .
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过动点
,0
A a
作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程.
3.已知双曲线
2
2
1
4
y
x
与直线
:
2
l y
kx
m k
有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交
x 轴、y 轴于
,0 ,
0,
A x
B
y 两点．当点M 运动时，点
,
P x y 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
0
4
x
y
y
B．
2
2
1
0
4
x
y
y
C．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
D．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
4．已知椭圆C:
2
2
1
9
4
x
y
，若动点
0
0
P x
y
，
为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点
P 的轨迹方程
.
5.已知斜率为2
5 的动直线与椭圆
2
2
1
5
4
x
y
交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为M ，则M 的轨迹长度
为
．
6.平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
7．如图，设点A 和B 为抛物线
2
4
y
px
0
p
上原点以外的两个动点，已知OA
OB
，OM
AB
．求
点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
8．过抛物线
2
2
y
px
（
0
p
）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
9．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点
C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.
题型五：交轨法求动点轨迹
1.设
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
与x 轴的两个交点，1
2
,
P P 是椭圆上垂直于
1
2
A A 的弦的端点，则直线
1 1
A P 与
2
2
A P
交点的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
B．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
C．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
2．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，则直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程为
．
3.如图，椭圆
2
2
0
2
2
:
1
x
y
C
a
b
（
0
a
b
，,a b为常数），动圆
1
1
2
2
2
:
C
x
y
t
，
1
b
t
a
，点
1
2
,
A A 分别为
0
C 的左，右顶点，
1
C 与
0
C 相交于
, , ,
A B C D 四点，求直线
1
AA 与直线
2
A B 交点M 的轨迹方程.
4.已知矩形ABCD中，
2 6,
2 2, , , ,
AB
BC
E F G H
分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF
所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线
,
HF BC 上的动点
,
R S 满足
,
OR
OF CS
CF
R
.求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程.
5．已知反比例函数
1
y
x
的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设
1A 、
2
A 为双曲线C 的两个顶点，点
0
0
,
M x
y
、
0
0
,
N y x
是双曲线C 上不同的两个动点.求直线
1A M
与
2
A N 交点的轨迹E 的方程；
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过
2
2
:
25
O x
y
上的点P 作切线l ，l 分别与直线
5
x
，
5
x 交于
点
,
C
D ，圆O与x 轴交于点,
A B．
(1)若P 点坐标是(3,4) ，求直线
,
AC
BD 的方程；
(2)若
( , )
P s t 是圆O上的动点，证明：两条动直线
,
AC
BD 的交点M 总在同一个椭圆T 上，并求出椭圆T 的
方程．
7.已知抛物线
2
:
C y
x
,过点
1,2
M
的直线交抛物线C于
,
A B 两点,以
,
A B 为切点分别作抛物线C的两条
切线交于点P .
（1）若线段AB 的中点N 的纵坐标为3
2 ,求直线AB 的方程；
（2）求动点P 的轨迹.
8．已知双曲线
2
2
1
2
x
y
的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ,点
1
1
,
P x y
,
1
1
,
Q x
y
是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线
1A P 与
2
A Q 交点的轨迹E 的方程
（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个公共点，且1
2
l
l
，求h 的值.
9．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，求直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程．
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹
1．求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
2．直线l 与椭圆
2
2
1
4
x
y
交于A，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB 中点的轨迹方程是
．
3．椭圆
2
2
1
4
x
y
，则该椭圆所有斜率为1
2 的弦的中点的轨迹方程为
．
4．斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
5．已知曲线上一动点P 到两定点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
的距离之和为4 2 ，过点
1,0
Q
的直线L 与曲线
相交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦AB 满足：AM
MB
，求点M 的轨迹方程；
6．已知抛物线
2
2
y
x
，过点
2,1
Q
作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程.
7．已知点
1,1
A
，
,
P Q 为抛物线
2y
x
上异于A 点的两动点，且
0
AP AQ
.
(1)求证：直线PQ 必过一定点；
(2)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.
题型七：空间中的动点轨迹
1.如图，点A 是平面外一定点，过A 作平面的斜线l，斜线l 与平面所成角为50．若点P 在平面内
运动，并使直线AP 与l 所成角为35，则动点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线的一支
2.已知空间直线a 、b 和平面满足：a
b
，a
，/ /
b
.若点P
，且点P 到直线a 、b 的距离相等，
则点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 为棱
1
1
A B 中点，点Q 在侧面
1
1
DCC D 内运动，若
PBQ
PBD
，则动点Q 的轨迹所在曲线为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长均相等，P 是侧面
1
1
AAC C 内一点，若点P 到平面
1
1
BB C C 的距离
1
3
2
PE
PA
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
模块三：综合巩固
1.已知ABC
的周长为12，且
4
BC
，则ABC
的顶点A 的轨迹为（
）
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.线段AB 的端点B 在圆C 上运动，则线段AB 的中点M 的轨
迹方程为（
）
A．
2
2
3
1
4
x
y
B．
2
2
3
1
4
x
y
C．
2
2
3
1
4
x
y
D．
2
2
4
1
3
x
y
3.平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
4．动点
,
M x y 到定点
4,0
F
的距离与M 到定直线l ：
25
4
x
的距离的比等于4
5 ，则动点M 的轨迹方
程是（
）
A．
2
2
1
25
9
x
y
B．
2
2
1
25
16
x
y
C．
2
2
1
25
9
y
x
D．
2
2
1
25
16
y
x
5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定
义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0
1
e
时，轨迹为椭圆；当
1
e 时，轨迹为抛物线；当
1
e 时，轨迹为双曲线.现有方程
2
2
3
4
12
x
y
x
y
表
示的圆锥曲线为（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
7.半径不等的两定圆
1
O 、
2
O 无公共点，动圆O 与
1
O 、
2
O 都内切，则圆心O 的轨迹是（
）
A．双曲线的一支
B．椭圆
C．双曲线的一支或椭圆
D．抛物线或椭圆
8.动圆M 经过定点
4, 1
P
，且与y 轴相切，则圆心M 的轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
9.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，Q 为上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
所在平面内的动点，当直线DQ 与
1
DA 的所成角为45°
时，点Q 的轨迹为（
）
A．圆
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
10．已知
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q 与
点P 关于x 轴对称，则直线
1
PA 与直线
2
QA 的交点M 所形成的轨迹为（
）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．两条互相垂直的直线
11.（多选）已知
1 0
A ，，
10
B ，，直线AP ，BP 相交于P ，直线AP ，BP 的斜率分别为
1k ，2k ，则（
）
A．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的椭圆
B．当
1
2
1
k
k
×
= - 时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的圆
C．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的双曲线
D．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的抛物线
12.（多选）若A 是圆C 所在平面内的一定点，P 是圆C 上的一动点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相
交于点Q ，则点Q 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
13.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点
1
0, 2
的距离，记动点P 的轨迹为W ．则W 的方
程为
；
14.已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的轨
迹方程
．
15.在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆
2
2
1
45
:
2
0
4
C
x
y
x
内切，且与圆
2
C ：
2
2
3
2
0
4
x
y
x
外
切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .则轨迹E 的方程为
；
16．已知等腰三角形ABC 的顶点为
(4 2)
，
A
，底边的一个端点为
(5 3)
，
B
，则底边的另一个端点C 的轨迹方程
为
．
17．已知圆M 与圆
2
2
:
1
O x
y
内切，且圆M 与直线
2
x
相切，则圆M 的圆心的轨迹方程为
．
18．已知椭圆
2
2
1
4
9
x
y
，一组平行直线的斜率是3
2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段
的中点轨迹方程是
．
19.已知点M 为圆
2
2
:
1
O x
y
上的动点，点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，延长
1F M 至N ，使得
1
MN
F M
，线段
1F N 的垂直平分线交直线
2
F N 于点P ，记P 的轨迹为Γ .则Γ 的方程为
.
20.已知点M 到点
( 2,0)
F
的距离比点M 到直线
3
x
的距离小1.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)求线段MF 中点Q 的轨迹方程.
21.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
22．设椭圆方程为
2
2
1
4
y
x
，过点
0,1
M
的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
1
2
OP
OA
OB
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
23．已知拋物线
2
:
4
C y
x
，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点
,
A B
和点
,
.
,
C D AB CD 的中点分别为
,
M N .
(1)若直线AB 的斜率为2，求直线MN 的方程；
(2)求线段MN 的中点E 的轨迹方程.
24．已知Rt ABC
的斜边为AB，且
1,0 ,
3,0
A
B
.求:
(1)
ABC
外接圆的一般方程;
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
25.己知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
的焦点为F , P 为C上的动点,Q 为P 在动直线
0
y
t t
上的投影．当
PQF
△
为等边三角形时,其面积为4 3 ．
（1）求C的方程；
（2）设O为原点,过点P 的直线l 与C 相切,且与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
交于A , B 两点,直线OQ 与线段AB 交于点
M ．试问：是否存在t ,使得
QMA
△
和△QMB 的面积相等恒成立？若存在,求t 的值；若不存在,请说明理
由．
26.在平面直角坐标系xOy 中,点D , E 的坐标分别为
2,0
,
2,0 , P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积
等于
1
4
.
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知直线y
kx
m
与椭圆：
2
2
1
4
x
y
相交于A , B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m使得
3
4
OA
OB
OM
+
=
,求m的取值范围.
