文档内容
专题 01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：定义法求轨迹方程...........................................................2
题型二：直接法..............................................................................5
题型三：代入法（相关点法）.......................................................8
题型四：点差法............................................................................14
三、专项训练.....................................................................................18
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线 与方程 之间有以下两个关系：
①曲线 上的点的坐标都是方程 的解；
②以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点．
此时，把方程 叫做曲线 的方程，曲线 叫做方程 的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为 ；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
x、y
（4）用坐标 表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点 所满足的几何上的等量关系，再用点 的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 ，
， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ，
且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点 ，并且在定圆B：
的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，动圆 的半径为 ，由圆与圆的位置关系可得 ，判断
出 的轨迹为以 为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出 的轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为 ，动圆 的半径为 ，则 ，
因为动圆 在定圆 ： 的内部与其相内切，
所以 ,所以 ，即 ，因为 ， ,所以 ，
由椭圆的定义可知： 的轨迹为以 为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 .
故选：A
2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆 过动点 ，并且在定圆 ：
的内部与其相内切，则动圆圆心 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，动圆 的半径为 ，由圆与圆的位置关系可得 ，判断
出 的轨迹为以 为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出 的轨迹方程.
【详解】设 ，动圆 的半径为 ，则 ，
因为动圆 在定圆 ： 的内部与其相内切，
所以 ,
所以 ，即 ，
因为 ， ,所以 ,
由椭圆的定义可知： 的轨迹为以 为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 .
故选：A
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M： ，圆N：
均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得 ， ，进而得
，从而利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由圆M： ，得圆心 ，半径 ，
由圆N： ，得圆心 ，半径 ．
设圆P的半径为r，则有 ， ．
两式相减得 ，
所以圆心P的运动轨迹为以 、 为焦点的双曲线的左支，
又 ，所以C的方程为 ．
故选：B．
4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆 过定点 ，且与已知圆 ：
相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两圆相切，得 ，结合 ，得动点 的轨迹是以
、 为焦点的双曲线，再根据 求出 ，可得结果.
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
当动圆 与圆 相外切时， 则 ，即
当动圆 与圆 相内切时，因为定点 在圆 外，所以只能是圆 内切于动圆 ，
所以 ，即
综上所述： ，又 ，
所以动点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
所以动圆圆心P的轨迹方程是 .
故选：D
5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆 ： 相内切，且与定直线 相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据
抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【详解】设动圆M的半径为r，依题意： ，
点M到定直线 的距离为 ，
所以动点M到定点 的距离等于到定直线 的距离，
即M的轨迹为以F为焦点， 为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M的轨迹方程是 .
故选：D．
6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆
外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，可得动点M到C
（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由
此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝
3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物
线，
所以 ，其方程为 ，
故选：A题型二：直接法
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知 ，若动点P满足直线 与直线
的斜率之积为 ，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出动点 ，利用条件直接建立关系 ，化简得出
，从而得出结论.
【详解】设 ，因为 ，所以 ，
又因为直线 与直线 的斜率之积为 ，所以 ，
整理得 .
故选：C.
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点 的坐标分别为 ，直线
相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的差是1，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，分别求出直线 的斜率，结合题意列出方程，整理即可得解.
【详解】解：设 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，有
直线 的斜率与直线 的斜率的差是1，所以 ，
通分得： ，整理得： ，即点 的轨迹方程为 .
故选：B.
3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点 ， ，
直线 与直线 的斜率之积为-4，则动点 的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设动点P的坐标为（x，y），则由条件得
即 （x≠0）．
所以动点P的轨迹C的方程为
故选A．
4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中， ，动点
P满足 则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且
，则 .
【答案】
【分析】设 ，根据 可得圆的方程，利用垂径定理可求 .
【详解】设 ，则 ，整理得到 ，
即 .
因为 ，故 为 的中点，过圆心 作 的垂线，垂足为 ，
则 为 的中点，则 ，故 ，
解得 ，
故答案为： ， .5．（2024高三·全国·专题练习）已知点 ， ，直线PM，PN的斜率乘积
为 ，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
【答案】
【分析】有已知条件结合斜率公式求解即可
【详解】设P点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴曲线C的方程为 .
故答案为： .
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，离心
率等于 ，设双曲线的两条渐近线分别为直线 ；若点 分别在 上，且满足
，则线段 的中点 的轨迹 的方程为
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为 ．设 ，
，线段 的中点 ，根据 得到轨迹方程.
【详解】由已知 ，求得 ，得双曲线方程为 ，
从而其渐近线方程为 ．
设 ， ，线段 的中点 ，
由已知不妨设 ， ，
从而 ， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
则M的轨迹C的方程为 ．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆 与 轴交于点 、 ，过圆上动点
( 不与 、 重合)作圆 的切线 ，过点 、 分别作 轴的垂线，与切线 分别交于
点 ，直线 与 交于点 ， 关于 的对称点为 ，则点 的轨迹方程为
【答案】
【分析】相关点法求轨迹方程：设 ，先根据条件，求出 ， 两点的坐标，再联立
直线 和 求出交点 ，根据 ， 两点关于 对称，确定用 ， 表示点 的坐
标，再由点 在圆上，列方程整理即可.【详解】
依题意作图，有 ， ，设 ( )， .
过点 的圆 的切线 的方程为 ，
所以 ， .
联立
解得 ，所以点 .
又点 ， 关于点 对称，所以
，即 ，
又点 在圆 上，所以 ，
把 代入整理得， ，又 ，
所以点 的轨迹方程 ( ).故答案为： ( ).
3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆 的左右焦点为 、 ，点 为椭
圆上任意一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为 ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】先利用椭圆的几何性质得到 的轨迹方程为： ，再根据 的坐标与
的坐标关系可得 的轨迹方程.
【详解】
如图，延长 交 的延长线于 ，连接 .
因为 为 的平分线且 ，
故 为等腰三角形且 ， ，
所以 .
在 中，因为 ，所以 ，
故 的轨迹方程为： .
令 ，则 ，所以 即 ，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨
迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的
轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.
4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆 上一点， 为椭圆的两个焦
点，则 的内心轨迹方程为 .【答案】
【分析】设 的内心为 ，连接 交 轴于点 ，由内角平分线性质定理得到
，设 ，再由焦半径公式及内角平分线定理得到
，则 ，然后利用向量关系把 的坐标用 的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设 的内心为 ，连接 交 轴于点 ，连接
在 中 是 的角平分线.
根据内角平分线性质定理得到 .
同理可得 .
所以 ，根据等比定理得：
在椭圆 中，
所以
设 ，则
同理
又 ，则 ，可得
所有
由 ，得 ，
所以 ，代入椭圆 方程.得 ，由 ，则 .
所以 的内心轨迹方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆 上的动点M在x轴上的投影为N，
点C满足 ．
(1)求动点C的轨迹方程C；
【答案】(1)
【分析】（1）设出点，根据已知列式得出点 与点 坐标的关系，即可根据点 是圆
上的动点，代入化简即可得出答案；
【详解】（1）设 ， ，则 ，
则 ， ，
，
，即 ，
点 是圆 上的动点，
，整理得 ，
则动点C的轨迹方程C为： .
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为
， ，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交
点：②M是△ABC的外心；③
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；【答案】(1) ；
【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；
【详解】（1）设C（x，y），G（ ， ），M（ ， ），
因为M是△ABC的外心，所以
所以M在线段AB的中垂线上，所以 ，
因为 ，所以 ，
又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
化简得 ，
所以顶点C的轨迹方程为 ；
题型四：点差法
1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过点
且斜率为1的直线交椭圆于 两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用点差法可得 的关系，从而可求得 ，即可的解.
【详解】设 ，则 ，由已知有， ，
作差得 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
则 的方程为 .
故选：D．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆 四个顶点构成的四边形的
面积为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且线段 的中点为 ，
则椭圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 代入椭圆方程相减，利用 ， ， ，
得出 等量关系，即可求解.
【详解】设 ， ，则 ， ，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为 ，所以 ， ，
所以 ，由 ，得 ，又因为 ，解得 ，
，
所以椭圆C的方程为 ．
故选：A．
3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为 ，并且截直线 所得弦的中点
的横坐标是 的椭圆的标准方程为（ ）A． B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】设椭圆方程为 ，且 ，及交点 ，将两
点代入椭圆方程可得 ，根据弦中点坐标关系可得
，结合直线方程得 ，再由椭圆的焦距求得 的值，即可得椭圆标准方
程.
【详解】解：设椭圆方程为 ，且
设直线 与椭圆相交的两点坐标为 ，由题意可知 ，即
，
所以 ，
又 在椭圆上，可得： ，两式相减得 ，
整理得： ，则 ，所以
，
又直线 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以
椭圆 的焦距为 ，所以 ，则 ，
故可得： 解得 ，故椭圆的标准方程为： .
故选：A.
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为
，过点 的直线交双曲线E于A、B两点.若 的中点坐标为 ，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由 ，利用点差法求解.
【详解】解：设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，化简得 ，
又 ，解得 ，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦
点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据 ， ， 的关系得出 ，设出 ， 两点的坐标，代入双曲线方
程，两式相减利用中点坐标公式，求出 ，再根据直线过点 ， 求出 ，即可得出
，进而求出 ， 得出双曲线的标准方程.
【详解】解：设双曲线 的标准方程为： ，
由题意知： ，
即 ①
设 ， ，的中点为 ，
， ，
又 ， 在双曲线上，
则 ，
两式作差得： ，
即 ，
即 ，
又 ，
即 ，
解得： ②，
由①②解得： ， ，
双曲线的标准方程为： .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及
“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.
6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，
则线段 的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知直线 不与 轴重合，设点 、 ，设直线 的方程为
，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段 的中点坐
标，进而可得出线段 的中点的轨迹方程.
【详解】抛物线 的焦点为 ，设点 、 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ，所以， ，
设线段 的中点为 ，则 ， ，则 ，
所以， ，化简可得 .
因此，线段 的中点的轨迹方程为 .
故选：D.
三、专项训练
1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑
动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出 、 、 点坐标，由题意可得 、 两点坐标间的关系，用 点的横纵坐
标替换 、 点坐标代入计算即可得.
【详解】设 、 ， ，
则有 ， ，即 ， ，
由题意可得 ，即 ，即 .
故选：D.
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为 的正方形 的顶点 、 分别在 轴
和 轴上滑动， 为坐标原点， ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】设点 、 、 ，由平面向量的坐标运算可得出 ，由
正方形的面积公式可得出 ，将 代入等式 整理可得出点 的轨
迹方程.
【详解】设点 、 、 ，
由 ，
所以， ，可得 ，
因为正方形 的面积为 ，即 ，即 ，
整理可得 ，因此，动点 的轨迹方程为 .
故选：C.
3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴
上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点 、 、 ，由已知条件可得出 ，分析可知，
为 的中点，可得出 ，代入等式 化简可得出点 的轨迹方程.
【详解】设点 、 、 ，则 ，可得 ，
因为点 关于点 的对称点为 ，则 为 的中点，
所以， ，可得 ，将 代入 可得 ，即 ，
因此，点 的轨迹方程为 .
故选：C.
4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点 到定点 的距离比点 到 轴
的距离大 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】设点 ，可得出 ，分 、 两种情况讨论，化简
可得出点 的轨迹方程.
【详解】设点 ，因为平面上动点 到定点 的距离比点 到 轴的距离大 ，
则 ，
当 时，则有 ，即 ，
等式 两边平方整理可得 ；
当 时，则有 ，即 ，
等式 两边平方可得 .
综上所述，点 的轨迹方程为 或 .
故选：D.
5．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线 上，则点 与点P连线的
中点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 的中点为 ，根据中点坐标公式可得 ，进而将 点的坐标
代入曲线方程即可求解.
【详解】设 的中点为 ，
因为 ，则 ，因为点P在曲线 上，
所以将 代入曲线 ，
则 ，即 ，
所以 的中点的轨迹方程是 .
故选：C.
6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P是圆 上的动点，作
轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出中点 ，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理
出轨迹方程.
【详解】如下图所示：
不妨设 ，则满足 ；
易知 ，
又线段 的中点为 ，可得 ；
即 ，代入方程 可得 ，
整理得 .
故选：D
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线 交抛物线 ： 于 轴异侧两点 ，
，且 ，过 向 作垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】B【分析】设直线方程 ，代入抛物线消去x，由 和韦达定理，解得 可
得直线 经过定点 ，由 可知 在以 为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线 ，将它与抛物线方程联立得： ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，故 或 ，
当 时， 在直线 上，故舍去，所以 ，
所以直线 经过定点 ，由 可知 在以 为直径的圆 （原点
除外）上.
故选：B.
8．（23-24高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为 ，若抛物线过点A（﹣1，
0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出切线方程，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等
于其到焦点的距离，然后两式平方后消去a求得x和y的关系式即可．
【详解】设切点为（a，b），∴ ，
则切线为： ，即 ，当 时也成立，
设焦点（x，y），由抛物线定义可得：
①，
②，
②-①得 ，代入②得
化简可得抛物线的焦点轨迹方程为 ，（依题意焦点不能与A，B共线，
∴y≠0．）
故选：C9．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知 ， ， ，第三个顶点C在曲
线 上移动，则 的重心的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设 ，由题可得重心坐标为： ，后由横纵坐标间关系
可得答案.
【详解】设 ，因 ，则 .
因 ， ，则重心坐标为 .
设 ，则 ，则 .
故重心轨迹方程为： .
故答案为： .
10．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆 上有一点 ， 是 轴上的定
点，若有一点 满足 ，则 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，根据题意，得到 ，代入椭圆方程，即可求
解.
【详解】解：设 是所求轨迹上的一点，且 ，
因为 ，且 ，可得 ，
即 ，可得 ，
代入椭圆 ，可得 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
11．（23-24高二·全国·课后作业）已知点 是曲线 上任意一点， ，连接
并延长至 ，使得 ，求动点Q的轨迹方程 ．
【答案】【分析】设出动点 和相关点 ，再根据条件 ， ，再代入即可
得出结果.
【详解】设动点 的坐标 ，点P坐标 ， ，
因为 ，所以 ， ，
可得 ， ，
代入 ，得 ，整理得 ，
所以动点Q的轨迹方程为 ．
故答案为：
12．（23-24高二上·全国·课后作业）设圆 的圆心为A，点P在圆
上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】设 ，P（x，y），利用中点坐标公式得出 ，然后结合点 在圆
0 0
上即可求解.
【详解】圆 可化为 ，
则 ，设 ，P（x，y），所以
0 0
整理得 ,即 ，
将点 代入圆的方程得 ，
即为 .
故答案为： .
