文档内容
第 06 讲 特殊的平行四边形（10 个知识点+10 种题型
+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于
斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条
边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．
知识点2．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
知识点3．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
知识点4．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改
变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线
相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，
首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因
而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不
只是正方形．
知识点5．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2条对称轴，分别是每组对边中点连
线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
知识点6．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四
边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
知识点7．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四
边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行
四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等
有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝
∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
知识点8．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图
形，有四条对称轴．
知识点9．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
知识点10．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
知识复习
一．直角三角形斜边上的中线（共3小题）
1．（2023春•赣州期末）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投
圈游戏，目标物放在斜边 的中点 处，已知 ，则点 到目标物的距离是
．2．（2023 春•禹城市期中）如图所示，在 中， 是 上的中线，且
．
（1）已知 ，求 的度数；
（2）已知 ，求 的度数；
（3）已知 ，求 的度数．
3．（2023春•南陵县期末）如图，在 中， ，且 ， 分别是 ，
上的高， ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 的长为
A．10 B．12 C．13 D．14
二．菱形的性质（共4小题）
4．（2023•漳州模拟）如图，点 ， 分别在菱形 的边 ， 上，且
．求证： ．
5．（2023春•秦淮区期中）求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．
已知：如图， 是菱形 的一条对角线．
求证： ．
证明：6．（2023春•朝阳区校级期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
7．（2023春•海淀区校级月考）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的
“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图
2所示的面积为7的正方形 ，和如图3所示的边长为1的正方形 ，则图1中菱
形的边长为 ．
三．菱形的判定（共4小题）
8．（2023•桃城区三模）已知如图，在 中， ， 为锐角，将
沿对角线 边平移，得到△ ，连接 和 ，若使四边形 是菱形，需添
加一个条件，现有三种添加方案，甲方案： ；乙方案： ；丙方案：
；其中正确的方案是
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲9．（2023春•青川县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放
在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ．
10．（2023春•乐东县期末）下列说法中，正确的是
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
11．（2023春•沈丘县期末）如图， 中，点 是 的中点，连接 并延长交
延长线于点
（1）求证： ；
（2）连接 、 ，
①当 时， 的形状是 ；
②若 ，当 时，四边形 是菱形．
四．菱形的判定与性质（共4小题）
12．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，
他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得 ，接着活动学具成为图（2）所示
的正方形，并测得对角线 ，则图（1）中菱形的对角线 长为A．20 B．30 C． D．
13．（2023春•秦淮区期中）邻边长分别为1， 的平行四边形纸片，如图那样折一
下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折
一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的
平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则 的值
．
14．（2023春•中江县月考）以 点为圆心，5为半径画弧，再以 点为圆心，相同长度为
半径画弧，交前弧于 、 两点，已知 ，则以 、 、 、 四点为顶点的四边
形的面积是 ．
15．（2023秋•南山区校级期中）如图， 为平行四边形 的对角线， ，
是 的中点， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形．
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
五．矩形的性质（共4小题）16．（2022秋•温江区期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．对角相等 B．对角线相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
17．（2023•兴庆区校级开学）长方形 的三个顶点的坐标是 、 、 ，
那么 点坐标是 ．
18．（2024•槐荫区开学）如图，矩形 中，过对角线 的中点 作 的垂线 ，
分别交 ， 于点 ， ．证明： ．
19．（2023春•无棣县期末）如图，在矩形 中， ， 分别是 ， 上的点， ，
分别是 ， 的中点，当点 在 上从点 向点 移动，而点 保持不动时，下
列结论成立的是
A．线段 的长逐渐增大 B．线段 的长逐渐减小
C．线段 的长不变 D．线段 的长先增大后减小
六．矩形的判定（共4小题）
20．（2022秋•平遥县期末）平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，要使平行
四边形 是矩形请添加一个条件 ．
21．（2023春•惠州校级期中）如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线
．设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长；
（3）当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．22．（2023春•凉山州期末）在四边形 中， 、 交于点 ，在下列条件中，不
能判定四边形 为矩形的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ，
23．（2023•长汀县模拟）已知：菱形 的对角线 ， 交于点 ， ，
．求证：四边形 是矩形．
七．矩形的判定与性质（共4小题）
24．（2023春•启东市期中）如图，在矩形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，
是线段 的中点， ， ， ， 为垂足，连接 ．若 ，
， ，则 的最小值是 ．
25．（2023春•孝义市期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形 是平
行四边形，请同学们添加个条件使 是矩形．小彤添加的条件是： ．则小彤判定 是矩形的依据是
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
26．（2023 春•青县期末）如图在四边形 中， ， ， ，
， ；
（1） 的长为 ；
（2）点 从点 出发，以每秒3个单位的速度在射线 上运动，连接 ，当以点 、
、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， 的值是 ．
27．（2023春•朝天区期末）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，
延长 到点 ，使得 ．连接 ．过点 作 ，交 于点 ，连接
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
八．正方形的性质（共3小题）
28．（2022秋•郓城县期末）下列说法正确的是
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
29．（2023春•富锦市校级期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形 ， ， ， 的面
积的和为 ．
30．（2024•鹿城区校级开学）如图，正方形 中， 为 边上的点，连结 ，作
的垂直平分线交 于 ，交 于 ，连结 ．已知 ．
（1）若正方形的边长为4，求 的长．
（2）求证： ．
九．正方形的判定（共3小题）
31．（2023春•河西区期中）已知：如图，在每个边长都为1的小正方形网格中，点 ，
， 都在格点上，连接 ， ， ．
（1） 的长为 ； 的长为 ；（直接写出答案即可）
（2） 的周长为 ；（直接写出答案即可）
（3）请你利用图中的网格，在图中找到一个点 ，并连接 和 ，使得四边形
是正方形．32．（2023春•海淀区校级期中）下列命题中，是真命题的是
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
33．（2023春•嵊州市期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发
现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你
认为合适的边、角或对角线的条件是 ．（写出一个即可）
一十．正方形的判定与性质（共4小题）
34．（2023春•雁峰区期末）下列说法中，正确的是
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
35．（2023春•市中区期末）如图，正方形 的边长为4， 是对角线 上一动点，
于点 ， 于点 ，连接 ，给出四种情况：
①若 为 的中点，则四边形 是正方形；②若 为 上任意一点，则 ；
③点 在运动过程中， 的值为定值4；
④点 在运动过程中，线段 的最小值为 ．
正确的有
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
36．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，正方形 的边长为2， 是对角线 上一动点，
于点 ， 于点 ，连结 ，给出四种情况：
①若 为 上任意一点，则 ；
②若 ，则 ；
③若 为 的中点，则四边形 是正方形；
④若 ，则 ．
则其中正确的是 ．
37．（2023春•淮阳区期末）（1）将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在
上的点 处，得到折痕 ，如图1．求证：四边形 是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，点 恰好落在 上的点 处，
点 落在点 处，得到折痕 ， 交 于点 ，如图2．线段 与 是否相等？
若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．强化训练
一、单选题
1．（2020八年级下·四川成都·学业考试）如图，四边形 是菱形，过点D的直线
分别交 ， 的延长线于点E，F，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法中错误的是（ ）
A．矩形的两条对角线相等
B．菱形的两条对角线互相垂直
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
3．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，矩形 的对角线 、 相交于点O，
， ，若 ， ，则四边形 的周长为（ ）A．28 B．20 C．14 D．10
5．（22-23八年级下·天津·期中）如图，在 中， ， 是 的中点，作
于点 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 、 相交
于点 ，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23八年级下·辽宁铁岭·期末）如图：在 中， ， ， 是斜边
上的一个动点， ， ，垂足分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A．6 B． C．5 D．
8．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正方形ABCD所在的平面内找一点P，
使其与正方形中的每一边所构成的三角形均是等腰三角形，这样的点共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
9．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，现有一张边长为4的正方形纸片 ，将正
方形纸片折叠，使得B点落在 边上点P处（P不与A，D重合）折痕为 ，C点落在
G点处， 交 于H，连接 ．下列结论：① ；②
；③ 的周长为8；④若 ，则 ．其中正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图， 是矩形 的对角线，过 的中点
作 的垂线，分别交 于点 ，连接 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④若 平分 ，则
．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题
11．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，木工师傅要做一个矩形木框，做好以后测量
得长 ，宽 ．若对角线 的长为 ，则这个木框
（填“合格”或“不合格”），判定的依据是 ．
12．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在 中， ， 、 分别是 、
的中点，是 上一点，连接 、 ，若 ，则 ．
13．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形 的边长为2，E是 的中点，
点P是 边上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
14．（22-23八年级下·北京密云·期中）如图，矩形 中， ， ， 为
中点， 为 边上任意一点， ， 分别为 ， 中点，则 的长 ．
15．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，
AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．16．（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，菱形 的两对角线 ， 相交
于点O，若 ， ，则菱形的边长为 ，周长为 面积为
17．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中） 的四边形，它的中点四边形是矩
形．
18．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知正方形 为 边上一点
（不与端点重合），以 为一边作正方形 ，连接 ，若 ，则
的面积为 ．
三、解答题
19．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平行四边形 中， 、
相交于点O，且 ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求矩形 的面积．
20．（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点
，点 、 分别是 、 的中点，若 ，求 的长度．
21．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在 中， ，点D为射线 上一动点
（点D不与B，C重合），以 为边作菱形 ，使 ，连接 ．(1)如图1，当点D在线段 上时，直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且 时，求证： ．
22．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形 中，点 在对角线 上，点
在边 上（点 与点 、 不重合）， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求证：四边形 是正方形．
23．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片 对折，使 与 重合，得到折痕 ．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，
得到折痕 ．
(1)若点N刚好落在折痕 上时，
①如图1，过N作 ，求证： ；
②如图2，求 的度数；
(2)如图3，当M为射线 上的一个动点时，已知 ， ，若 的直角三角形
时，求 的长．
24．（22-23八年级下·广东深圳·期中）（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相
等，四个角都为直角．如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，连接
，并延长 到点G，使 ，连接 ．若 ，则
之间的数量关系为______；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究
之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在 中， ，D，E在 上， ，
若 的面积为16， ，请直接写出 的面积．25．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）在 中， 、 交于点O，过点O作
直线 、 ，连接 、 、 、 ．
(1)如图①，试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图②，当 时，四边形 的形状是______；
(3)如图③，在（2）的条件下，若 ，四边形 的形状是________；
(4)如图④，在（3）的条件下，若 ，试四边形 的形状是，并说明理由．26．（22-23八年级下·河南南阳·期末）下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平
行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线 外一点 ．
求作：直线 ，使 ．
作法：如下图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧在直线 上
方相交于点 ；
③作直线 ．
则直线 就是所求作的直线．
请按要求解答下列问题：
(1)请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使
用 铅笔作图）
(2)完成下面的证明．
证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形（____________________）（填写推理的依据）．
∴ （____________________）（填写推理的依据）．
即 ．(3)若 ，可知四边形 是矩形（____________________）（填写推理的依据）．
