文档内容
第 06 讲 相似三角形的应用举例
课程标准 学习目标
①利用相似测量高度 1. 掌握利用相似求高度的类型与方法，并能够在实际应用中熟练应用。
②利用相似测量距离 2. 掌握利用相似求距离的类型与方法，并能够在实际应用中熟练应用。
知识点01 利用相似测量高度
1. 利用相似测量高度：
类型 利用光线与影子测量 利用平面镜反射 利用标杆测量
示意图
四边形DEFC∽DEBA
相似图形 △ABC∽△DEF △ABC∽△DEC
∽EFBE
测量人的高度，标杆的
测影长以及人的高度，从而得 测量人的高度以及人和旗杆
测量数据 高度以及人、标杆、旗
到旗杆的高度 到平面镜的距离
杆之间的距离
【即学即练1】1．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学
测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆AB高度为 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学
测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.6m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝14m．据此
可得旗杆AB高度为 m；
（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小
组同学测得小王的眼睛距地面高度DE＝1.8m，标杆CF＝5m，小王到标杆距离EF＝2m，标杆到旗杆距
离FB＝4m，求旗杆AB的高度．
知识点02 利用相似测量距离
1. 利用相似测量距离：测量原理 构造相似三角形利用对应边成比例求解
“X”字型相似 “A”字型相似
示意图
相似三角形 △ABC∽△DEC △CBA∽△CNM
测量数据 测量AB、CB、CE即可得到DE 测量MN、CN、CB，即可得到AB
【即学即练1】
2．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组
成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下BC的距离为2a；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E
观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使DE∥BC，记录下DE的距离为5a；
④测量出BE之间的距离大约为27m．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
【即学即练2】
3. 在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，小聪采用了如下方法：如图，从A处沿与AB垂直的直线方向
走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走 15m到达D处，再右转90°走到E处，使点B，C，E恰好在一条直线上，量的DE＝20m，这样就可以求出河宽AB．请说明理由，并计算出结果．
题型01 利用相似测量高度
【典例1】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第 1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》
中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
AB∥CD，AC与BD交于点O，OF⊥AB于点F，OE⊥CD于点E，若物距OF为10cm，像距OE为
15cm，蜡烛火焰倒立的像CD的高度是8cm，则蜡烛火焰AB的高度是（ ）
A． B． C．6cm D．8cm
【变式1】小明测量旗杆AB高度，如图所示．他首先在旗杆的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝
12米．然后小明沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端A，并测得ED＝3米，眼
睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），则旗杆AB的高为（ ）
A．6.0米 B．6.2米 C．6.3米 D．6.4米
【变式2】延时课上，老师布置任务如下：让王林站在 B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树
（CD），所用工具为一个平面镜 P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王林目高
（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王林（ ）m处才能观测到大树的顶端．A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】数学思考
（1）我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标
杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在
太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图 1），它的影长五寸（备注：1丈＝
10尺，1尺＝10寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程： ＝ ．
解决问题
（2）数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图2，甲同学在古塔AB的影子顶端
D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4m，然后，乙同学在BD的延长线上找出一点
F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF＝2.5m．已知图中所有点均在同一平面内，木棒CD＝
2m，AB⊥BF，CD⊥BF，请根据以上测量数据，求古塔的高度AB．
【变式4】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，
于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A
的像；第二次他把镜子放在点C′处，他在点F′处正好在镜中看到树尖A的像．已知AB⊥BF′，
EF⊥BF′，E′F′⊥BF′，小军的眼睛距地面1.7m（即EF＝E′F′＝1.7m），量得CC′＝12m，CF＝1.8m，C′F′＝4.2m．求这棵古松树的高度AB．
（镜子大小忽略不计）
【变式5】某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点C处垂直于地面竖立了高度为2米
的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4
米．将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直
线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得FG＝6米，CG＝60米．
（1）请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
（2）“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的
合理化建议．
题型02 利用相似测量距离
【典例1】如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取
点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且AC⊥AP；使CD⊥AC且P、B、D三点在同一条直线上．
若测得AB＝15m，BC＝3m，CD＝8m，则A、P两点间的距离为（ ）【典例1】 【变式1】 【变式2】
A．60m B．40m C．30m D．20m
【变式1】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光
的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD
（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面距离OE为2cm，则实像CD
的高度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河
的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE＝20米）的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调
整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线
杆恰好被小军、小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）．已知电线杆A，B之间的距离
为75米，小军、小强两人之间的距离CD为30米，则这条河的宽度为（ ）
A．25米 B．30米 C．45米 D．50米
【变式3】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺
就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，
他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C．分别在AB，AC的延长线
上取点D，E，使得DE∥BC．经测量，BC＝80米，DE＝100米，且点E到河岸BC的距离为90米．已
知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【变式4】为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的
点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组测量 观察者从B点向东走到C点，此 观测者从B点出发，沿着南偏 观测者从B点向东走到O点，在
方案 时恰好测得∠ACB＝45°． 西80°的方向走到点C，此时 O点插上一面标杆，继续向东走
恰好测得∠ACB＝40°． 相同的路程到达C点后，一直向
南走到点D，使得树，标杆，人
在同一直线上．
测量
示意
图
（1）第一小组认为要知道河宽AB，只需要知道线段 的长度．
（2）第二小组测得BC＝35米，请你帮他们求出河宽AB．
（3）第三小组认为只要测得CD就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出
证明；如果不可行，请说明理由．
1．高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长8m，则该建筑物的高度是
（ ）
A．3m B． C．12m D．
2．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为（ ）A．2m B．4m C．6m D．8m
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，
C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离
地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）
A．16.5m B．13.5m C．15m D．12m
5．2021年7月24日，在射击女子10米气步枪比赛中，中国选手杨倩赢得东京奥运会首枚金牌．如图为步
枪在瞄准时的示意图，AB∥CD，从眼睛O到准星的距离 OE为80cm，眼睛到目标 F的距离OF为
200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点1mm，则目标偏离
的距离为（ ）
A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm
6．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝18cm，高AD＝12cm，现在要把它加工成长与宽的比为
3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周
长为（ ）cm．A．15cm B．13cm C．26cm D．30cm
7．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，然先求出内孔的直径AB．现
用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量，如果 ，且量得CD长为3cm，那么零件的厚度
为（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
8．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共
线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂
直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河的宽度PQ是（ ）
A．70m B．80m C．90m D．100m
9．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 G正好在书
架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（ ）
A．5cm B． C． D．8cm10．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如
图1），它的两条边长分别为 a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了
“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图 2，从“矩”EFG
的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得DE＝1米，AD＝4米，
若“矩”的边EF＝1米，FG＝0.5米，则这根杆子的长AB为（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
11．如图，一朵小花到照相机镜头的距离AB为15cm，镜头到传感器的距离BC为10cm．若小花高3cm，
则小花在传感器上的高度为 ．
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 A，B，Q在同一水
平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则
树高PQ＝ m．
13．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形
成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大 0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地
面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为 米．
14．图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹
臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．
如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 1 4 mm．15．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上
翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力
臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地
面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
17．在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高
度AB，测量步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在BC的延长线上，当小华
从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离
ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在
平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米．
请根据以上测量过程及数据求出树的高度AB．18．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的
主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通
过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．
（1）若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，求蜡烛的像CD的长度；
（2）设 ， ，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的
像．
19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件
PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边 AB、AC上，PQ交
AD于H点．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ 6 0 mm．
（2）若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度．20．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜
和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8
厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到
光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
