文档内容
热点 7-2 椭圆及其应用
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、
填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。
基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
满分技巧
在椭圆的定义中条件 不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．
否则：①当 时，其轨迹为线段 ； ②当 时，其轨迹不存在．
【例1】（2021·高二课时练习）已知 ， 是两个定点，且 （ 是正常数），动点 满足
，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【解析】因为 （当且仅当 时，等号成立 ，所以 ，
当 且 时， ，此时动点 的轨迹是椭圆；
当 时， ，此时动点 的轨迹是线段 ．故选：C．
【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的
两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C【解析】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .故选：C
【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上一点且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 .
因为椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆 上一点且 ，
所以 ，所以 ，
所以 .故选：B
【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆 与圆 外切，
与圆 内切，则动圆圆心 点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ；
圆 的圆心 ，半径 ；
因为 ，可知圆 与圆 内切于点 ，
显然圆心 不能与点 重合，设圆 的半径为 ，
由题意可知： ，则 ，
可知点M的轨迹是以 为焦点的椭圆（点 除外），
且 ，可得 ，所以 点的轨迹方程为 .故选：D.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆 上， 是椭圆的左焦点，O为坐标原点，
N是 中点，且ON长度是4，则 的长度是__________．
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为 ，连接
由已知得 ，则
因为N是 中点， 为 的中点，
，
再根据椭圆定义得
【题型2 利用定义求距离和差最值】
满分技巧
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住|PF|与|PF|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF|·|PF|的最值；
1 2 1 2
（2）利用定义|PF|＋|PF|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
1 2
【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上
一动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆 ，则 ， ， ，
如图，设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
，
由图形知，当 在直线 （与椭圆的交点）上时， ，
当 不在直线 （与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ；
当 在 的延长线（与椭圆的交点）上时， 取得最小值 ，
的最小值为 ．故选： ．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知 为椭圆 ： 的右焦点， 为 上一点， 为圆
： 上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】依题意 ，设椭圆 的左焦点为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
，
当 三点共线，且 在 之间时等号成立.
而 ，
所以 ，
当 四点共线，且 在 之间，
是 的延长线与圆 的交点时等号成立.故选：D
【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N分别为
和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设圆 和圆 的圆心分别为 ,半径分别为 .
则椭圆 的焦点为 .
又 , ， ，
故 ，
当且仅当 分别在 的延长线上时取等号.
此时 最大值为 .故选：C.【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，P为椭圆
上任一点，点Q的坐标为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得， ，
则 ，
因为 ，
则当 三点共线时，取值最大或最小.
由已知得， ， ， ， ， .
当 点位于图中 时，根据三角形三边关系取值最大.
.
当 点位于图中 时，根据三角形三边关系取值最大.
.
故答案为： .
【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
点P在椭圆C上，且 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】由椭圆方程可得 ， ，则 ，
如图，连接 并延长，交椭圆于P，
则 ，
(当且仅当点 三点共线时，且点 位于第三象限时取等号)
此时 取最大值为
【题型3 椭圆标准方程的求解】
满分技巧
1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；
（2）定量：依据条件及 确定 的值；（3）写出标准方程；
2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 ；
3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为 ，将点的坐标代入，解方
程组求得系数。
【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】C
【解析】若曲线 是椭圆，则有： 解得： ，且
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C
【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .故选：A.
【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线 经过焦点在坐标轴上的椭圆
的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ；令 ，可得 .
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为 ， .因为 ，所以椭圆的焦点在 轴上.
设椭圆的方程为 ，则 ， ，
所以椭圆的方程为 .故选：C.
【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆 ： 右焦点为 ，
其上下顶点分别为 ， ，点 ， ，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知， ， ；
所以 ， ，
又 ，所以 ，可得
在椭圆中， ，又 ，所以
即椭圆的标准方程为 .故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，
左、右焦点分别为 ， ，延长 交椭圆E于点P．若点A到直线 的距离为 ， 的周长
为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得 ， ， ，则直线 的方程为 ，
所以点A到直线 的距离 ①．
由 的周长为16，得 ，即a+c=8②，
联立①②，解得 ③．
因为 ，所以 ④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以 ，故椭圆E的标准方程为是 .故选：B．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
满分技巧
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立|AF |+|AF |，|AF | 2+|AF | 2 ，
1 2 1 2
|AF ||AF |之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（
1 2
）
性质1：|AF |+|AF |=2a，|BF |+|BF |=2a.（两个定义）
1 2 1 2
拓展：∆AF F 的周长为|AF |+|AF |+|F F |=2a+2c
1 2 1 1 1 2
∆ABF 的周长为|AF |+|AF |+|BF |+|BF |=4a
1 1 2 1 2
性质2：4c2=|F F | 2=|AF | 2+|AF | 2 −2|AF ||AF |cosθ（余弦定理）
1 2 1 2 1 2
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上的点， 分别是椭圆的左、右焦点，
若 ，则 的面积为
【答案】
【解析】椭圆 中， ，则 ，有 ，
是椭圆 上的点， ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，得 ，
所以 .
【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆
上，若 ，则 .
【答案】2【解析】因椭圆方程为 ，则 .
因 ，则 .
又由椭圆定义，可得 ，
则
.
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设 为坐标原点， 为椭圆 的焦点，点 在
上， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：不妨设 ，
根据椭圆定义可得 ， ；
由余弦定理可知 ；
又因为 ，所以 ，又 ，
即可得 ，解得 ；
又 ，即 ；
所以可得 ；故选：C
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，短半轴长
为 ，离心率为 ，直线 交该椭圆于 两点，且 的周长是 的周长的3倍，
则 的周长为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【解析】由题意可得 ，由离心率为 ，得 ，得 ，
易知 的周长 ，的周长 ，
由椭圆的定义得 ， ，
则 ，
即 ，所以 ，故选：B．
【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 是椭圆 的两个焦
点，点 在 上，若 的离心率 ，则使 为直角三角形的点 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由 可得 ，即 ，可得 ，
因此以 为直径作圆与 必有四个不同的交点，
因此 中以 的三角形有四个，
除此之外以 为直角， 为直角的 各有两个，
所以存在使 为直角三角形的点 共有8个.故选：D
【题型5 求椭圆的离心率与范围】
满分技巧
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e
的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x ，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x|≤a，a－c≤|PF|≤a＋c
0 0 0 1
等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有 a，b，c的不等关
系式，适用于题设条件直接有不等关系。
【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C： 的左右焦点为 ，过
的直线与 交于 两点，若满足 成等差数列，且 ，则C的离心率为（
）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得到 ，
设 ， ,
在 中，由余弦定理得，
，解得 ，
为等边三角形，
则在 中， ， ，
又 ， ，
得 ，解得 .故选：B.
【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知 为椭圆 上一点， 分别
为其左右焦点， 为其右顶点， 为坐标原点，点 到直线 的距离为 ，点 到 轴的距离为
，若 ，且 成等比数列，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
过点 作 轴于点 ，过 作 于点 ，如图所示，
则 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
由椭圆定义得， ，则 ，
又因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，所以
【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，经过 的直线交椭圆 于 两点， 为坐标原点，且 ，则椭圆
的离心率为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由 ，
得 ，所以 .
【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设 ， 分别是椭圆
的左、右焦点，过 作 轴的垂线与椭圆 交于 ， 两点，若 为钝角三角
形，则离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与椭圆 交于 两点，
可得 ，即 ，
因为 为钝角三角形，则 ，可得 ，即 ，即 ，
又因为 ，可得 ，即 ，即 ，且 ，解得 ，
即椭圆 的离心率的取值范围为 .故选：A.
【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知 ， 分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，
， ，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
.
由正弦定理可得， ，
所以 ， .
根据椭圆的定义可知， ，
所以有 ，
所以有
.
因为， ，所以 ，
令 ，则 ，设 ，
则函数 在 上单调递增.
又 ， ，
所以， ，即 .
【题型6 椭圆的中点弦问题】
满分技巧
解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点
x2 y2
1
坐标和斜率的关系，具体如下：直线 l (不平行于 y 轴)过椭圆a2 b2 ( ab0 )上两点 A 、 B ，其中
b2
k k
AB P(x，y ) AB OP a2
中点为 0 0 ，则有 。
x2 y2
1 1 1
a2 b2
x2 y2
2 2 1
A(x，y ) B(x，y ) a2 b2
证明：设 1 1 、 2 2 ，则有 ，
x2 x2 y2 y2 y2 y2 b2
1 2 1 2 0 1 2
上式减下式得
a2 b2
，∴
x
1
2 x
2
2 a2
，
y y y y y y 2y y y y b2 b2
1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 k k
∴
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
2x
0
x
1
x
2
x
0
a2
，∴
AB OP a2
。
y2 x2
1
特殊的：直线 l (存在斜率)过椭圆 a2 b2 ( ab0 )上两点 A 、 B ，线段 AB 中点为 P(x 0 ，y 0 ) ，
a2
k k
AB OP b2
则有 。
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： 的右焦点为F，斜率为2的直
线与椭圆C交于点A，B，且 ，点D为线段AB的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：由题意知 ，设 ， ，
则 ，
同理可得 ．
因为 ，所以 ．
由 ， ，两式相减得 ，
因为直线AB的斜率为2，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ．解法二：由题意知 ，设 ， ， ，
则 ，
同理可得 ，因为 ，所以 ．
设直线AB的方程为 ，与 联立并整理得 ，
所以 ，
故 ，得 ，又 ，所以 ，
故 ，所以 ．
解法三：由题意知 ，设 ， ，
则 ，
同理可得 ，因为 ，所以 ．
设 ，则 ，
又 ，所以 ，故 ， ，故选：D．
【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 外的一点
满足 （ 为坐标原点），过点 的直线与 交于 两点，且 ，若直线 的斜率
之积为 ，则 ．
【答案】
【解析】如图，取线段 的中点为 ，连接 ，
则由题意可得， ，又 ，所以 ．
因为直线 的斜率之积为 ，所以 ．
设 ，则 ，两式相减可得 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，所以 ．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，若椭圆C上有不同的两点关于直线
对称，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 是椭圆C上关于直线l： 对称的两个点，
是线段PQ的中点，则 ，两式相减，
得 .
∵ ， ，
∴ .
∵ ，∴ ，故 ，
联立 ，解得 ，∴ .
∵点M应在椭圆C的内部，∴ ，解得 .
∴实数m的取值范围是 .
【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与圆O相切
于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若 ，则直线l的方程为
．
【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ,由于 ,所以 ,进而 ,
设 ，设直线上任意一点 ，由于 是圆的切线，所以 ，
所以 ，
令 则 ，所以 ，
由中点坐标公式可得 ，
设 ,则 ，
两式相减可得 ，
所以 ,又 ， ,
所以 ，解得 ，进而
故直线l的方程为 ，即 .
【题型7 直线与椭圆相交弦长求解】
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x ，y)，(x ，y)，
1 1 2 2
1
AB = 1+k2 x x 2 4x x 1+ y y 2 4y y
1 2 1 2 k2 1 2 1 2
则弦长公式为：
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜
率为 的直线l与椭圆 有两个不同的交点 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意得 ,
解得 , ， ，∴椭圆 的方程为 .
由 ，设直线 的方程为 ， ， .
联立得 ，得 ，
又直线 与椭圆 有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
故当 ，即直线 过原点时， 最大，最大值为 .
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线l与椭圆 .交于A，B两点，若
的面积为 （O为坐标原点），求直线l的方程.
【答案】
【解析】显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ，
由 消去x得 ，
，
，
，
于是 的面积为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆 的离心率为 ，且过点
.
（1）求 的标准方程；（2）过点 的直线 与 交于 两点，当 时，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）由题意， ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）易知直线 的斜率不为0，
设 ，即 ， ，
，消去y，得 ，
，
，
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 或 .
【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴
上，离心率为 ，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点 ，且斜率为 的直线 交椭圆于A， 两点，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为： ，
因为焦距为 ， ，
又离心率 ， ，
再由 ，所以椭圆标准方程为： .
（2）由（1）知：左焦点为 ，直线 的方程为：
则 ，
，
由弦长公式 ,
到直线 的距离 ,
．
【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆 的左
右顶点分别为 ，左右焦点 ．已知 ， ．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为1的直线 交椭圆于A，B两点，与以 为直径的圆交于C，D两点．若 ，
求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意， ， ，
解得 ， ， ，
所以椭圆方程为 ．
（2）设直线 为 ， ， ，
由题意，以 为直径的圆的方程为 ，
则圆心到直线 的距离 ，即 ，
所以 ，
由 ，消去 ，整理得 ，，解得 ，又 ，所以 ，
， ，
，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以直线 的方程为： 或 ．
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和
圆 均相切，且一个内切、一个外切．
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程．
（2）已知点 ，过点 的直线 与轨迹 交于 两点，记直线 与直线 的交点为
．试问：点 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）点 恒在定直线 上
【解析】（1）设点 的坐标为 ，圆 的半径为 ．
由已知条件，得 ．
①当动圆 与圆 外切，与圆 内切时， ，
从而 ．
②当动圆 与圆 内切，与圆 外切时， ，
从而 ．
综上可知，圆心 的轨迹 是以 为焦点，6为长轴长的椭圆．
易得圆 与圆 交于点 与 ，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ．
联立直线 与轨迹 的方程，得消去 并整理，得 ．
所以 ， ，
则有 ．
由已知条件，得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
则点 的坐标 满足 ．
又 ，
所以 ．
把 代入上式，得 ．
故点 恒在定直线 上．
【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
点 是椭圆 上三个不同的动点（点 不在 轴上），满足 ，且
与 的周长的比值为 ．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）判断 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）是定值，定值为
【解析】（1）依题意点 、 、 三点共线，点 、 、 三点共线，
则 的周长为 ，
则 的周长为 ，
所以 ，即 ，
椭圆 的离心率为 ．
（2）解法一：设 且 ，
则有 ，即 ，由题 由 ，
可得 ，则 ，
由题设直线 ，联立 ，
化简整理可得
显然 成立，故 ， ，
同理可得 ，
（定值）.
解法二：设 且 ，则由 ，即有
①，
由题 ，由 ，
可得 ，
则 ， ，
点 在椭圆上，则 ，则将上式代入整理得 ②，
②-①整理化简得 ，同理可得 ，
（定值）.
【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点 到点 与到圆
的圆心 的距离之和等于该圆的半径.记 的轨迹为曲线 .
（1）说明 是什么曲线，并求 的方程；
（2）设 是 上关于 轴对称的不同两点，点 在 上，且 异于 两点， 为原点，直线 交轴于点 ，直线 交 轴于点 ，试问 是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，
请说明理由.
【答案】（1） ；（2） 为定值，这个值为
【解析】（1）根据题意可知圆 可化为 ，
所以可知圆心 ，半径 ，
易知 和 两点关于原点对称，且 ，
所以由椭圆定义可知 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
即 ，可得 ；
因此曲线 的方程为 .
（2）不妨设 ， ，且 ， ；则易知 ；
易知直线 的斜率都存在，如下图所示：
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
可得直线 交 轴于点
直线 的斜率为 ，其方程为 ，
可得直线 交 轴于点
所以 ，
可得 ；
由 ， 可得， ， ；
所以 ；
因此 为定值， .
【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆 ，圆，椭圆C的左、右焦点分别为 ．
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若 ，求 的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【解析】（1）设 ，由于 ，
而 ，则 ，
所以 （其中 ），
．
（2）设 ，则 ，即 ，
设过点R的圆O的切线斜率都存在时的方程： ，
代入椭圆方程得： ，
整理得： ，
则 ，
即 ，
是上述关于k的方程的两个根，则 ，
即两条切线的斜率都存在时，有两条切线相互垂直；
而当过R的切线斜率不存在时，易知R点的坐标为 ，
此时显然两条切线相互垂直，
综上，过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，则两条切线相互垂直．【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是
上异于左、右顶点的动点， 的最小值为2，且 的离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）若圆 与 的三边都相切，判断是否存在定点 ， ，使 为定值．若存在，求出
点 ， 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在定点 ，
【解析】（1）设 ， ．
由对称性，不妨设 ，
则 ，所以 ， ．
因为 ， ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ，所以 ．
由 ；解得 ；
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设圆 的半径为 ， ．
由（1）不妨设 ，则 的面积 ，
所以 ，
所以 ， ．
由 ， ，得直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离为 ．
整理，得 ．把 代入上式，得 ，
即 ．
由题意得 ， ， ，
所以 ，则 ．
把 ， 代入椭圆 的方程，得 ，
所以点 在椭圆 上，
所以存在定点 ， ，使 为定值2．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得离心率为 ，又 ，所以 ，故选：A
2．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实
数a为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 可知焦点在x轴上，
由题意可得： ，解得 .故选：C.
3．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆 ， 的离心率分别为 ，
，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B【解析】对于椭圆 ，有 .
因为 ，所以 ，解得 ．故选：B
4．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆 上有两点 、 ， 、 分别为椭圆 的左、
右焦点， 是以 为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 边与 轴交于点 ，且 是以 为中心的正三角形，
则 ，且 为 的重心，
由重心定理可得， ，则 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，由椭圆的定义可得，
，即 ，
化简可得 ，则 .故选：C
5．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的两条弦 ， 相交于点 （点
在第一象限），且 轴， 轴.若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，则 ， ， ， ，
由题知 ， 关于 轴对称， ， 关于 轴对称，
所以 ， ，
即 ， ，所以 ， ，
因为 ， 在椭圆 上，所以 ，
即 ，解得 .故选：D.
6．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆 上一点 （ 在 轴上方）向 轴作垂线，垂足恰好为左焦点 ， 是椭圆与 轴正半轴的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 ，
其中 为坐标原点，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知点 的横坐标为 ，设点 ，其中 ，
将点 的坐标代入椭圆方程可得 ，
解得 ，即点 ，
由题意可知点 、 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，则 ，
所以， .故选：B.
7．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设 ， 同时为椭圆 ： 与双曲线 ：
的左、右焦点，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线
的离心率分别为 ， ， 为坐标原点，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，焦距为2c，
由椭圆定义可得 ，由双曲线定义可得 ，解得 ， ，
当 时，可得 ，即 ，
可得 ，则 ，所以 ，
由 ，可得 ，可得 ，即 ，
，
可设 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，
所以 ．故选：D.
8．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是椭圆
在第一象限的任意一点， 为 的内心，点 是坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，
设内切圆分别与 轴相切于点 ，
则 ， ，
，
，
又
∴ ，
易知 ，
， ，
设 ， ，
当且仅当 时等号成立，故选：A
9．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线 ，则（ ）
A．当 时， 是圆
B．当 时， 是椭圆且一焦点为
C．当 时， 是椭圆且焦距为
D．当 时， 是焦点在 轴上的椭圆
【答案】AC【解析】对于A项，当 时，曲线C可化为 是圆，A正确；
对于B项，当 时，曲线C可化为 是焦点在 轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当 时，曲线 是椭圆，且 ，所以 ，故C正确；
对于D项，当 时，曲线 不是椭圆，故D错误.故选：AC.
10．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选）已知椭圆 的左､右焦
点分别为 ，离心率为 ，且经过点 在椭圆上，则（ ）
A． 的最大值为3
B． 的周长为4
C．若 ，则 的面积为
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】由题意，椭圆离心率为 ，则 ，
则 ，代入 ，得 ，
所以 ，
对 ，由题意 ，故 正确；
对 的周长为 ，故B错误；
对 ，若 ，则由余弦定理得：
.
即 ，故 ，
故 ，故C正确；
对D，由余弦定理
，
即 ，解得 ，
故 ，故D正确，故选:ACD
11．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围
【答案】
【解析】因为方程 表示椭圆，
所以 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为 .
12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】根据椭圆的定义： ，
取得最小值时，即 最小，
如图所示： ，
当 ， ， 共线时取得最小值．
的最小值为： ﹒
13．（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知椭圆 的上、下焦点分别为 ，
，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且 ，求 的余弦值；
（2）若直线 与椭圆C交于A，B两点，记M为线段 的中点，求直线 的斜率．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）依题意， ，则 ，
而 ，
故 ；
（2）设 ， ，则
两式相减可得， ，则 ，即 ，
即 ，
而直线 的斜率 ，
故 ．
14．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为
、 ，斜率不为0的直线 过点 ，与椭圆交于 两点，当直线 垂直于 轴时， ，椭圆的离
心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】（1）设椭圆的焦距为 ，则 ，①
将 代入椭圆方程得： ，解得 ，所以 ，②
又 ，③
综合①②③解得： ， ， ，
所以椭圆M的方程为 ．
（2）存在．设 ， ， ，直线 ，
联立方程： ，得 ，
所以 ， ，
， ，
，当 ，即 时， 为定值 ，
所以存在点 ，使得 为定值．
15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆 ，圆 ，动圆P与圆M外切
并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点 的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率
之和为-2，证明：直线l过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）设动圆P的半径为r，
因为动圆P与圆M外切，所以 ，
因为动圆P与圆N内切，所以 ，
则 ，
由椭圆定义可知，曲线C是以 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，
设椭圆方程为 ，
则 ， ，故 ，
所以曲线C的方程为 .
（2）①当直线l斜率存在时，设直线 ， ，
联立 ，
得 ，
设点 ，则 ，
，
所以 ，
即 ，得 .
则 ，因为 ，所以 ，即 ，
直线 ，
所以直线l过定点 .
②当直线l斜率不存在时，设直线 ，且 ，
则点
，解得 ，
所以直线 也过定点 .
综上所述，直线l过定点 .
