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拓展拔高 8 阿波罗尼斯圆
【背景】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山
大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他
的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
【考情】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点,尤其是阿波罗尼斯圆在高
考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系,寻找动点满足的条
件,得出动点的轨迹是一个定圆,从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关
系问题,并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.
一、阿波罗尼斯圆定义
一般地,平面内到两定点距离之比为常数 λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做
“阿波罗尼斯圆”.特殊地,设定点为 A,B,动点为 P,则当λ=1时, 点P的轨迹是线
段AB的垂直平分线.
【探究】以直线AB为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设|AB|=2a(a>0),则A点的坐标为(-a,0),B点的坐标为(a,0),P点的坐标为P(x,y).
根据题意有P∈{ ||PA| },得 =λ .
P =λ(λ>0) √(x+a)2+ y2 √(x-a)2+ y2
|PB|
整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2),①当λ≠1时,方程可化为 λ2+1 2+y2=( 2λa ) 2 ,
(x- a)
λ2-1 λ2-1
即点P的轨迹是以(λ2+1a,0)为圆心,
λ2-1
AB
2λa | |
| |为半径的圆. (注:r= 1 )
λ2-1 λ-
λ
②当λ=1时,方程可化为x=0,即点P的轨迹为y轴(即线段AB的垂直平分线).
二、阿波罗尼斯圆的应用
视角一 求轨迹方程及轨迹的有关问题
|PA|
[例 1](1)设 A,B 是平面上两点,则满足 =k(其中 k 为常数,k≠0 且 k≠1)的点 P 的
|PB|
√6
轨迹是一个圆,已知A(√6,0),B( ,0),且k=√2,则点P所在圆M的方程为_______.
2
|PA|
【解析】设P(x,y),由题意可得, =√2,即|PA|=√2|PB|,
|PB|
则 +y2=2[ √6 2+y2],整理得x2+y2=3.
(x-√6)2 (x- )
2
答案:x2+y2=3
(2)如图,在等腰△ABC 中,已知 AB=AC,B(-1,0),AC 边的中点为 D(2,0),则点 C 的轨
迹所包围的图形的面积等于__________.【解析】因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为
(x-3)2+y2=4(y≠0).
设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-
y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),故所求的面积为4π.
答案:4π
(3)正方形 ABCD 的边长为 3,P 为正方形 ABCD 边界及内部的动点,且|PB|=2|PA|,
则动点P的轨迹长度为__________.
【解析】建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),设P(x,y),
又因为|PB|=2|PA|,所以√(x-3)2+ y2=2√x2+ y2,化简为x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所
以P点的轨迹是以Q(-1,0)为圆心,半径为2的圆.
又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点,所以动点P与y轴正半轴的交点为
M(0,√3),动点P与x轴正半轴的交点为N(1,0),则动点P的轨迹长度为圆弧MN,
MA √3 π π
在△QMA中,AM=√3,QM=2,所以sin∠MQA= = ,∠MQA= ,所以圆弧MN=
MQ 2 3 3
2π
×2= .
32π
答案:
3
视角二 求三角形面积的最值问题
[例2](1)满足条件AB=2,AC=√2BC的△ABC的面积的最大值为__________.
【解析】方法一(直解法):
建立如图的直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C点的坐标为(x,y),
因为|AC|=√2|BC|,所以√(x+1)2+ y2=√2×√(x-1)2+ y2.
整理得(x-3)2+y2=8,
所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,2√2为半径的圆(除去与x轴的交点).
设圆心为M,当CM⊥x轴时, ABC的面积最大,此时|CM|=2√2,
1 1 △
(S ) = |AB|·r= ×2×2√2=2√2.
ABC max
2 2
△
方法二(秒解法):
AB 2
由题意可知,动点 C 的轨迹是圆 M,且半径 r= 1= 1 =2√2,分析可得,当且仅
λ- √2-
λ √2
1 1
当CM⊥AB时, ABC面积最大,(S ) = |AB|·r= ×2×2√2=2√2.
ABC max
2 2
△
△
答案:2√2(2)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sin A=2sin B,acos B+bcos A=2,
则△ABC面积的最大值为__________.
【解析】依题意,sin A=2sin B,得BC=2AC,
a2+c2-b2 b2+c2-a2
acos B+bcos A= + =c=2,即 AB=2,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB
2c 2c
的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设A(1,0),B(-1,0),C(x,y),x≠0,
5 16
由BC=2AC,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆,其方程为(x- )2+y2= ,x≠0,边AB高的最
3 9
4 4
大值为 ,所以(S ) = .
ABC max
3 3
△
4
答案:
3
