4.6 数列的通项公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：累加法.........................................................................2
考点二：累乘法.........................................................................2
考点三：构造法.........................................................................3
考点四：倒数法.........................................................................3
考点五：隔项等差数列................................................................ 4
考点六：隔项等比数列................................................................ 4
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）........................................... 4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：累加法.........................................................................5
题型二：累乘法.........................................................................8
题型三：构造法....................................................................... 10
题型四：倒数法....................................................................... 12
题型五：an=Sn-Sn-1法...............................................................15
题型六：将an替换成Sn-Sn-1 ...................................................... 18
题型七：新数列前n 项和型........................................................22
题型八：对数变换法................................................................. 25
题型九：换元法....................................................................... 26
题型十：不动点法.................................................................... 27
模块三：综合巩固....................................................................... 27
4.6 数列的通项公式
模块一：基础知识
考点一：累加法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n
，则称数列
n
a
为“变差数列”，求变差数列
n
a
的通项时，利
用恒等式
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
3
1
2
1
n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
a
f
3
2
(2)
a
a
f
4
3
(3)
a
a
f
1
(
1)
n
n
a
a
f n
将上述
1
n 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
2
1
3
2
4
3
1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n
整理得：
1
na
a
=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n
考点二：累乘法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n
，则称数列
n
a
为“变比数列”，求变比数列
n
a
的通项时，利用
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
1
1
3
4
2
3
1
2
1
n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
f
a
3
2
(2)
a
f
a
4
3
(3)
a
f
a
1
(
1)
n
n
a
f n
a
将上述
1
n 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
2
3
4
1
2
3
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
n
a
a
a
a
f
f
f
f n
a
a
a
a
整理得：
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
a
f
f
f
f n
a
考点三：构造法
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n
（其中：
1
k
p
m
），由此构造出新的等比数列
m
an
，先求出
m
an
的通项，从而
求出数列
na
的通项公式.
标准模型：
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）或
1
n
n
a
ka
p
（
p
k,
为常数，
0
kp
）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如
)
(
*
1
1
N
n
q
p
qa
a
n
n
n
，可通过两边同除
1
n
q
，将它转化为
p
q
a
q
a
n
n
n
n
1
1
，从而构造数列
n
n
q
a
为等差数列，先求出
n
n
q
a
的通项，便可求得
na
的通项公式.
（2）形如
1
*
1
(
)
n
n
n
a
ka
q
n
N
，可通过两边同除
1
n
q
，将它转化为
1
1
1
n
n
n
n
a
a
k
q
q q
，换元令：
n
n
n
a
b
q
，
则原式化为：
1
1
n
n
k
b
b
q
，先利用构造法类型1 求出
nb ，再求出
na
的通项公式.
（3）形如
)
0
(
1
1
k
a
ka
a
a
n
n
n
n
的数列，可通过两边同除以
n
n a
a
1
，变形为
k
a
a
n
n
1
1
1
的形式，从而
构造出新的等差数列
n
a
1
，先求出
n
a
1
的通项，便可求得
na
的通项公式.
考点四：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如
q
pa
qa
a
n
n
n
1
（
q
p, 为常数，
0
pq
）的数列，通过两边取“倒”，变形为
q
p
a
a
n
n
1
1
1
，
即：
q
p
a
a
n
n
1
1
1
，从而构造出新的等差数列
n
a
1
，先求出
n
a
1
的通项，即可求得
n
a .
类型2：形如
1
n
n
n
ka
a
pa
q
（
q
p, 为常数，
0
p
，
0
q
，
0
k
）的数列，通过两边取“倒”，变形
为
1
1
1
n
n
q
p
a
k a
k
，可通过换元：
1
n
n
b
a
，化简为：
1
n
n
q
p
b
b
k
k
（此类型符构造法类型1：用“待
定系数法”构造等比数列：形如
p
ka
a
n
n
1
（
p
k,
为常数，
0
kp
）的数列，可用“待定系数法”将
原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n
（其中：
1
k
p
m
），由此构造出新的等比数列
m
an
，先求出
m
an
的通项，从而求出数列
na
的通项公式.）
考点五：隔项等差数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n
，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n
；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n
2
(2)
(1) :
n
n
a
a
d
（其中d 为常数）；或
1
1
(1)
(3) :
(
2)
n
n
a
a
d n
则称数列{
}
na
为隔项等差数
列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等差数列，公差为d ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等差数列，公差为d ；
考点六：隔项等比数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n
，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n
；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n
2
(2) :
(1)
n
n
a
q
a
（其中q 为常数）；或
1
1
(1) :
(
2)
(3)
n
n
a
q n
a
则称数列{
}
na
为隔项等比数列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等比数列，公比为q ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等比数列，公比为q ；
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）
1 对于数列{
}
na
，前n 项和记为
n
S ；
①
1
2
3
1
n
n
n
S
a
a
a
a
a
；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
S
a
a
a
a
n
1 -②：
1
(
2)
n
n
n
S
S
a
n
n
S 法归类
角度1：已知
n
S 与
na
的关
系；或
n
S 与n 的关系
用
1
n
n
S
S
，得到
na
例子：已知
2
4
1
n
n
S
a
，求
na
角度2：已知
na
与
1
n
n
S
S
的
关
系
；
或
na
与
1
n
n
S
S
的关系
1
n
n
S
S
替换题目中
的
na
例子：已知
1
2
(
2)
n
n
n
a
S S
n
；
已知
1
1
n
n
n
S
a
S
角度3：已知等式中左侧含
有：
1
n
i
i
i
a b
作差法（类似
1
n
n
S
S
）
例子：已知
1
2
3
2
3
2n
n
a
a
a
na
求
na
2 对于数列{
}
na
，前n 项积记为
nT ；
①
1
2
3
1
n
n
n
T
a a a
a
a
；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
T
a a a
a
n
①②：
1
(
2)
n
n
n
T
a
n
T
nT 法归类
角度1：已知
nT 和n
的关系
角度1：用
1
n
n
T
T
，得到
na
例子：
nb
的前n 项之积
(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n
.
角度2：已知
nT 和
na 的关系
角度1：用
1
n
n
T
T
替换题目中
na
例子：已知数列
na
的前n 项积为
nT ，且
1
2
1
n
n
a
T
.
模块二：题型分类
题型一：累加法
1. 已知数列{
}
na
满足
1
1
2
1
1
n
n
a
a
n
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
解：由
1
2
1
n
n
a
a
n
得
1
2
1
n
n
a
a
n
则
1
1
2
3
2
2
1
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[2(
1) 1] [2(
2) 1]
(2 2 1)
(2 1 1) 1
2[(
1)
(
2)
2 1]
(
1) 1
(
1)
2
(
1) 1
2
(
1)(
1) 1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
所以数列{
}
na
的通项公式为
2
na
n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
1
2
1
n
n
a
a
n
转化为
1
2
1
n
n
a
a
n
，进而求出
1
1
2
3
2
2
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，即得数列{
}
na
的通项公式。
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2(
2)
n
n
a
a
a
n
n
，则
na
的通项公式为（
）
A．
2
3
na
n
B．
2
3
n
a
n
n
C．
2
3
2
n
n
n
a
D．
2
3
4
n
n
n
a
【答案】C
【详解】∵
1
1
1,
3
2(
2)
n
n
a
a
a
n
n
，∴
1
3
2(
2)
n
n
a
a
n
n
，
∴
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
3
2
3
5
4 1
n
n
2
3
2
3
2
1
2
n
n
n
n
，
故选：C.
3.满足
1
2
n
n
a
a
n
，
1
13
a
，则
na
n 取最小值时，n （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】由已知可得
1
2
1
n
n
a
a
n
，
1
2
2
2
n
n
a
a
n
，…，
3
2
2 2
a
a
，
2
1
2 1
a
a
,将上面式
子左右两边分别相加可得
1
2 1 2
1
na
a
n
，
2
13
na
n
n
，
13 1
na
n
n
n
令
13
1
F n
n
n
，
*
N
n
，
2
13
1
F
n
n
，
当
13
n
时，
F n 为减函数，
13
n
时，
F n 为增函数，且
*
N
n
，
又
19
3
3
F
，
25
4
4
F
，
且
3
4
F
F
∴
25
4
4
F n
F
，故当
4
n
时，
na
n 取得最小值.
故选：B.
4.已知数列
na
满足
1
*
1
3n
n
n
a
a
n
N
，
1
3
a
，则
na
．
【答案】
1
3
3
2
n
【详解】因为数列
na
满足
1
*
1
3n
n
n
a
a
n
N
，
所以
2
2
1
3
a
a
，
3
3
2
3
a
a
，…，
1
3
2
n
n
n
a
a
n
，
当
2
n
时，
2
3
1
2
1
3
2
1
3
3
3
3n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
3
3
2
n
；
当
1
n 时，
2
1
3
3
3
2
a
，满足上式．
综上所述，
1
3
3
2
n
na
．
故答案为：
1
3
3
2
n
．
5.若数列
na
满足：
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a
，则数列
na
的通项公式为
na
．
【答案】2
1
n / 1
2n
【详解】由
1
2n
n
n
a
a
，得
1
2n
n
n
a
a
，所以
当
2
n
时，
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
2
2
2 1
n
n
1
1 2
1 2
n
2
1
n
，而
1
1
a 满足上式，
所以
2
1
n
na
.
故答案为：
2
1
n
na
.
6.已知数列{
n
a }中，
1
2
a
，且
1
(
1)
1
n
n
n n
a
a
.其中
*
N
n
，
(1)求数列{
na }的通项公式；
【答案】(1)
1
1
na
n
，
*
N
n
；
【详解】（1）（法一）由題意知，
1
1
1
1
1
1
n
n
a
a
n n
n
n
，则
1
1
2
1
1
1
1
,
,
1
1
2
n
n
a
a
a
a
n
n
，
累加得：
1
1
1
n
a
a
n
且
2
n
，又
1
2
a
，故
1
1
na
n
，
而
1
2
a
符合上式，故
*
1
N ,
1
n
n
a
n
.
（法二）由题意知，
1
1
1
1
,
1
1
n
n
a
a
n n
n
n
则
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
，
所以
1
1
1
1
1
1,
1
1
n
n
a
a
a
n
n
则
1
1
na
n
.
7.在数列
na
中，
1
2
a
，且
1
1
ln 1
n
n
a
a
n
，求数列
na
的通项公式．
【答案】
2
ln
na
n
【详解】由题设
1
1
ln
n
n
n
a
a
n
，
所以
1
2
1
1
2
(
ln
...
ln
2
2
ln
1
1
)
...
(
)
n
n
n
n
a
a
a
n
n
a
a
a
且
2
n
，
显然
1
ln1
2
2
a
满足上式，
所以
2
ln
na
n
7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列
na
中，
1
1
a ，
2
1
n
n
a
a
n
，求通项
na ．
【答案】
3
2
2
3
6
6
n
n
n
n
a
.
【详解】由
2
1
n
n
a
a
n
，得
2
2
1
2
3
2
2
1
1 ,
2 ,
1
,
n
n
a
a
a
a
a
a
n
以上个式子相加，又
2
2
2
2
1
2
1
1
2
3
6
n n
n
n
，
所以
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
6
1 1
2
3
1
1
6
6
n
n
n
n
n
n
n
a
n
．
题型二：累乘法
1.已知数列
na
满足
1
1
1
1,
,
2
n
n
a
n
a
n
a
n
，则
na （
）
A．n
1
B．
1
1
n
C．n
D．1
n
【答案】D
【详解】因为
1
1,
2
n
n
a
n
n
a
n
，
所以
3
2
1
2
1
1
2
1
,
,
2
3
n
n
a
a
a
n
a
a
a
n
，
上述各式相乘得
1
1
na
a
n
，
因为
1
1
a ，所以
1
na
n
，
经检验，
1
1
a 满足
1
na
n
，
所以
1
na
n
.
故选：D.
2.在数列
na
中，若
1
2
a
，
1
1
2 1
n
n
a
a
n
，则
na
的通项公式为
．
【答案】
2n
na
n
【详解】由题意知
1
1
2 1
n
n
a
a
n
，故
1
1
2(
1)
2 1
n
n
a
n
a
n
n
，
故
3
2
1
1
2
1
2 2
2 3
2
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
2
2
n
n
n
n
，
故答案为：
2n
na
n
3.在数列
na
中，
1
2
n
n
n
a
a
n
（n∈N*），且
1
4
a
，则数列
na
的通项公式
na
.
【答案】
8
1
n n
【详解】解：由
1
2
n
n
n
a
a
n
，得
1
2
n
n
a
n
a
n
，
则
2
1
1
3
a
a
，
3
2
2
4
a
a
，
4
3
3
5
a
a
，
1
1
2
1
n
n
a
n
n
a
n
，
累乘得
1
1
2
3
3
2
1
2
3
4
5
1
1
1
na
n
n
n
a
n
n
n
n n
，
所以
8
1
na
n n
.
故答案为：
8
1
n n
.
4.若数列
na
的首项
1
1
a ，且
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式为
.
【答案】
(
1)
2
2
n n
na
【详解】解：数列{
}
na
中，
1
1
a ，
1
1
2
2
n
n
n
a
a
n
，
1
1
2n
n
n
a
a
，
3
2
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
1 2
2
2n
1 2
(
1)
2
n
(
1)
2
2
n n
．
故答案为：
(
1)
2
2
n n
na
．
5.已知：
1
1
3
a
，
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
n
（
2
n
）求数列
na
的通项.
【答案】
1
2
1
na
n
.
【详解】在数列
na
中，
1
1
3
a
，当
2
n
时，
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
n
，显然
1
0
na
，则
1
2
1
2
1
n
n
a
n
a
n
，
3
2
1
1
2
1
1 3 5
2
1
1
3 5 7
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
a
a
a
a
a
n
n
，
1
1
3
a
也满足上式，
所以数列
na
的通项是
1
2
1
na
n
.
6.已知数列
na
满足：
1
1
2
a
，
1
1
2
n
n
n
a
a
n
，求数列
na
的通项公式.
【答案】
2
n
n
n
a
.
【详解】由题意得
1
1
1
2
n
n
a
n
a
n
，
当
2
n
时，
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
n
a
a
a
a
a
n
n
L
L
，
又
1
1
2
a
也满足上式，所以
2
n
n
n
a
.
故
2
n
n
n
a
.
7.已知数列{
}
na
满足
1
1
2(
1)5
3
n
n
n
a
n
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
解：因为
1
1
2(
1)5
3
n
n
n
a
n
a
a
，
，所以
0
na
，则
1
2(
1)5n
n
n
a
n
a
，故
1
3
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
(
1) (
2)
2 1
(
1)
1
2
[2(
1 1)5
][2(
2 1)5
]
[2(2 1) 5 ][2(1 1) 5 ] 3
2
[ (
1)
3 2] 5
3
3 2
5
!
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n n
n
所以数列{
}
na
的通项公式为
(
1)
1
2
3 2
5
!.
n n
n
na
n
题型三：构造法
1.数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2(
2)
n
n
a
a
n
，则此数列的通项公式
na
.
【答案】
1
2 3
1
n
【详解】因为
1
3
2(
2)
n
n
a
a
n
，所以
1
1
3
1
n
n
a
a
，又
1
1
a ，
所以
1
1
2
a
，所以
1
na
是以2 为首项，3为公比的等比数列，
所以
1
1
2 3n
na
，则
1
2 3
1
n
na
.
故答案为：
1
2 3
1
n
2.已知数列
na
满足
1
1
2
1,
1
n
n
a
a
a
，则
na
的通项公式（
）
A．
1
2n
na
B．
1
2
1
n
na
C．
2n
na
D．
2
1
n
na
【答案】D
【详解】由
1
2
1
n
n
a
a
得
1
1
2(
1)
n
n
a
a
，而
1
1
2
a
，
故{
1}
na
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
1
2n
na
，即
2
1
n
na
.
故选：D
3.已知数列
na
中，
1
1
4,
4
6
n
n
a
a
a
，则
na 等于（
）
A．
2
1
2
2
n
B．
2
1
2
2
n
C．
2
1
2
2
n
D．
2
1
2
2
n
【答案】C
【详解】
1
1
4
2
4(
2),
6,
n
n
n
n
a
a
a
a
Q
所以
1
2
4,
2
n
n
a
a
所以数列
2
na
是一个以2 为首项，以4 为公比的等比数列，
所以
1
2
1
2
2
4
,
2
2
n
n
n
n
a
a
.
故选：C
4.已知数列
na
满足
1
3
2
n
n
a
a
，
3
2
22
a
a
，则满足
160
na
的最小正整数n
．
【答案】5
【详解】由
3
2
3
2
3
2
22
a
a
a
a
，解得
2
3
5
17
a
a
，
又
2
1
3
2
a
a
，所以
1
1
a ．
另一方面由
1
3
2
n
n
a
a
，可得
1
1
3
1
n
n
a
a
，
所以
1
na
是首项为
1
1
2
a
，公比为3 的等比数列，
所以
1
2 3
1
n
na
，易知
na
是递增数列，
又
4
2 27 1
53
a
，
5
2 81 1
161
a
，
所以满足
160
na
的最小正整数
5
n
．
故答案为：5．
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
1
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，则数列
na
的通项公式
na
．
【答案】
2
3n
n
【详解】∵
1
1
1
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，
∴
1
1
3
3
1
2
n
n
n
n
a
a
n
，
即
1
1
3
3
1
2
n
n
n
n
a
a
n
．又
1
1
a ，
1
1
3
3
a
，
∴数列
3n
na
是以3 为首项，1 为公差的等差数列，
∴
3
3
1
1
2
n
na
n
n
，
∴数列
na
的通项公式
2
3
n
n
n
a
．
故答案为：
2
3n
n
.
6.已知在数列
na
中，
1
5
6
a
，
1
1
1
1
3
2
n
n
n
a
a
，则
na
．
【答案】3
2
2
3
n
n
【详解】因为
1
5
6
a
，
1
1
1
1
3
2
n
n
n
a
a
，所以
1
1
2
2
2
1
3
n
n
n
n
a
a
，
整理得
1
1
2
2
3
2
3
3
n
n
n
n
a
a
，所以数列
2
3
n
na
是以
1
4
2
3
3
a
为首项，
2
3 为公比的等比数列，所以
1
4 2
2
3
3 3
n
n
na
，解得
3
2
2
3
n
n
n
a
．
故答案为：3
2
2
3
n
n
.
题型四：倒数法
1.已知数列
na
满足
1
1
2
a
，且
+1= 3
+1
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式为
=
na
．
【答案】
1
3
1
n
【详解】由
+1= 3
+1
n
n
n
a
a
a
两边取倒数可得
+1
1
1
=
3
n
n
a
a
，即
+1
1
1
3
n
n
a
a
．
所以数列
1
na
是首项为2，公差为3 等差数列.
所以
1
2
3
1
3
1
n
n
n
a
，所以
1
3
1
na
n
．
故答案为：
1
3
1
n .
2．（多选）已知数列
na
满足
1
1
1,
2
3
n
n
n
a
a
a
a
，则下列结论正确的有（
）
A．
1
3
na
为等比数列
B．
na
的通项公式为
1
1
2
3
n
n
a
C．
na
为递增数列
D．
1
na
的前n 项和
2
2
3
4
n
nT
n
【答案】ABD
【详解】因为
1
1
1,
2
3
n
n
n
a
a
a
a
，
所以
1
2
3
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+3，所以
1
1
1
3
2
3
n
n
a
a
，
又因为
1
1
3
4
a
，
所以数列
1
3
na
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，故A 正确；
1
1
1
3
4
2
2
n
n
n
a
，即
1
1
2
3
n
n
a
，故B 正确；
因为
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
1
1
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
，
因为
1
n ，所以
2
1
1
0
2
3
0,2
3
0,2
n
n
n
，
所以
1
0
n
n
a
a
，所以
na
为递减数列，故C 错误；
1
2
3
1
n
na
，
则
2
3
4
1
2
4 1 2
2
2
2
2
3
3
2
3
4
1 2
n
n
n
nT
n
n
n
，故D 正确.
故选：ABD.
3.已知函数
2
2
x
f
x
x
.
(1)若在数列
na
中，
1
1
a ，
*
1
n
n
a
f a
n
N
，计算
2a 、
3
a 、
4a ，并由此猜想通项公式
na ；
(2)证明（1）中的猜想．
【答案】(1)
2
2
3
a
，
3
1
2
a
，
4
2
5
a
，
2
1
na
n
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为
2
2
x
f
x
x
，在数列
na
中，
1
1
a ，
*
1
n
n
a
f a
n
N
，则
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，
所以，
1
2
1
2
2
2
2
1
2
3
a
a
a
，
2
3
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
3
a
a
a
，
3
4
3
1
2
2
2
2
1
2
5
2
2
a
a
a
，
猜想，对任意的n
N ，
2
1
na
n
.
（2）证明：因为
1
1
a ，
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，则
1
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
，即
1
1
1
1
2
n
n
a
a
，
所以，数列
1
na
是首项为
1
1
1
a = ，公差为
1
2 的等差数列，
所以，
1
1
1
1
2
2
n
n
n
a
，故对任意的n
N ，
2
1
na
n
.
4.已知数列的递推公式
1
3
4
1
n
n
n
a
a
a
，且首项
1
5
a
，求数列
na
的通项公式．
【答案】
3
2
3
2
na
n
【详解】令
1
n
n
a
a
x
．先求出数列的不动点
3
4
1
x
x
x
，解得
1
2
2
x
x
．
将不动点
1
2
2
x
x
代入递推公式，得
1
3
4
2
2
1
n
n
n
a
a
a
，
整理得
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
，
1
2
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
，
∴
1
1
1
1
2
2
n
n
a
a
．
令
1
2
n
n
b
a
，则
1
1
n
n
b
b
，
1
1
1
1
2
3
b
a
．
∴数列
nb
是以1
3 为首项，以1 为公差的等差数列．
∴
nb
的通项公式为
1
2
1 1
3
nb
b
n
n
．
将
1
2
n
n
b
a
代入，得
1
2
2
3
n
n
a
．
∴
3
2
3
2
na
n
．
5.已知数列
na
的通项公式为
1
3
5
a
，
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)若
1
2
3
1
1
1
1
100
n
a
a
a
a
，求满足条件的最大整数值.
【答案】(1)
3
3
2
n
n
n
a
(2)99
【详解】（1）解：因为
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a
，
所以
1
2
1
1
2
1
3
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
，
则
1
1
1
1
1
1
3
n
n
a
a
，
又
1
1
2
1
3
a
，
所以数列
1
1
na
是以2
3 为首项，1
3 为公比的等比数列，
所以
1
1
2
1
2
1
3
3
3
n
n
na
，
所以1
3
2
3
n
n
na
，
所以
3
3
2
n
n
n
a
；
（2）解：由（1）可得
1
2
1
3n
na
，
则
2
1
2
3
1
1
1
1
2
2
2
1
1
3
3
3
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
，
由
1
2
3
1
1
1
1
100
n
a
a
a
a
，则
1
1
100
3n
n
，
因为函数
1
1
3x
y
x
是增函数，
且当
99
n
时，
99
1
1
1
100
100
3
3
n
n
，
当
100
n
时，
100
1
1
1
101
100
3
3
n
n
，
所以满足
1
2
3
1
1
1
1
100
n
a
a
a
a
的最大正整数n 的值为99.
题型五：an=Sn-Sn-1法
1.已知数列
na
的前n项和
3
2
n
n
S
，
na
的通项公式为
.
【答案】
1
5,
1
2 3
,
2
n
n
n
a
n
【详解】当
1
n 时，
1
1
1
3
2
5
a
S
，
当
2
n
时，
1
1
1
3
2
3
2
2 3
n
n
n
n
n
na
S
S
，
1
5
a
不适合上式，
故
na
的通项公式为
1
5,
1
2 3
,
2
n
n
n
a
n
，故答案为：
1
5,
1
2 3
,
2
n
n
n
a
n
2．（多选）设
n
S 为数列
na
的前n项和，已知
1
3
a
，
m
，
N
n
，
m n
m
n
S
S S
，则（
）
A．
na
是等比数列
B．
4
54
a
C．
8
5
6
7
8
9
3
a
a
a
a
a
D．
3n
n
S
【答案】BD
【详解】因为
1
3
a ，
m
，
N
n
，
m n
m
n
S
S S
，
所以
1
1
1
3
n
n
n
n
S
S S
S a
S
，又
1
3
S
，
所以
n
S
是首项为3 ，公比为3 的等比数列，所以
3n
n
S
，故D 正确；
当
2
n
时，
1
1
1
3
3
2 3
n
n
n
n
n
n
a
S
S
，
当
1
n 时，
1
3
a
，不满足上式，所以
1
2 3
,
2
3,
1
n
n
n
a
n
，故A 错误；
因为
3
4
2
3
54
a
，故B 正确；
因为
9
8
5
6
7
8
9
4
4
9
3
3
3
a
a
a
a
a
S
S
，故C 错误．
故选：BD．
3.已知数列
na
的前n项和
2
2
n
S
a
n
n
a
，
*
nN ．若
na
是等差数列，则
na
的通项公式
为
．
【答案】
4
3
na
n
【详解】由
2
(
2)
n
S
a
n
n
a
知，
当
1
n 时，
1
1
2
1
a
S
a
；
当
2
n
时，
1
2(
2)
(3
)
n
n
n
a
S
S
a
n
a
，
此时，当
2
n
时，
2
4(
2)
(3
)
3
5
a
a
a
a
，
当
2
n
时，
1
2(
2)
n
n
a
a
a
，而
2
1
3
5
2
1
4
a
a
a
a
a
，
若数列
na
是等差数列，则2(
2)
4
a
a
，
所以
0
a
，则
4
3
na
n
.
故答案为：
4
3
na
n
.
4.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，
*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
na
n
(2)
3
1 1
1
4
2
1
nT
n
n
【详解】（1）由
2
2
n
n
n
a
a
S
得
2
1
1
1
2
n
n
n
a
a
S
，故两式相减可得：
2
2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
S
S
，化简
得
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
，
由于{
}
na
各项均为正数，所以
1
0
n
n
a
a
，故
1
1
n
n
a
a
（常数），
又当
1
n 时，
2
1
1
1
1
2
2
a
a
S
a
，由于
1
0
a
，故
1
1
a ，
所以数列{
}
na
是以1 为首项，1 为公差的等差数列；
故
na
n
．
（2）由（1）得：
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
1
[
]
(
1)(
1)
2
1
1
n
n
n
b
a
a
n
n
n
n
；
所以当
2
n
时，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
[1
...
]
2
3
2
4
3
5
3
1
2
1
1
nT
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
3
1 1
1
1
2
2
1
4
2
1
n
n
n
n
；
当
1
1,
0
n
T
也符合上式，
故
3
1 1
1
4
2
1
nT
n
n
5.已知各项为正的数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
2
1
1
4
n
n
S
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列满足
nb
，
1
1
b
a
，
2
2
3
b
a
a
，
3
4
5
6
b
a
a
a
，
4
7
8
9
10
b
a
a
a
a
，…，依此类推，求
nb
的
通项公式.
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
3
nb
n
【详解】（1）因为
2
1
1
4
n
n
S
a
①，所以
2
1
1
1
1
4
n
n
S
a
②
②－①两得
2
2
1
1
1
1
1
1
4
4
n
n
n
a
a
a
，即
1
1
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
，
又因
0
na
，所以
1
2
n
n
a
a
；当
1
n 时
2
1
1
1
1
1
4
S
a
a
，解得
1
1
a ，所以
2
1
na
n
.
（2）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，数列
nb
的前n 项和为
nT .
nb 为
na
中的n 项之和，
nT 为
na
中的前
1
2
n n
项和.
2
n
S
n
，
1
2
2
1
2
n n
n
n n
T
S
，
当
2
n
时，
2
2
3
1
1
1
2
2
n
n
n
n n
n
n
b
T
T
n
，
1
1
1
b
a
也满足上式.故
3
nb
n
.
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
*
4
2
3
n
n
n
S
a
a
n
N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
na
和数列
2n 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
nb
，求
nb
的前100 项
和.
【答案】(1)
*
2
1,
na
n
n
N
(2)9089
【详解】（1）依题意
0
na
，当
1
n 时，解得
1
3
a
，
2
4
2
3
n
n
n
S
a
a
，当
2
n
时，有
2
1
1
1
4
2
3
n
n
n
S
a
a
，作差得：
2
2
1
1
4
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，
1
1
1
2
0,
2 ,
0
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
a
a
，
1
2
2
n
n
a
a
n
，
数列
na
是首项为3，公差为2 的等差数列，
*
2
1,
na
n
n
N .
（2）由（1）得，
100
201
a
，又
7
8
2
201
2
，同时
7
93
187
2
a
，
100
93
b
a
1
2
7
1
2
100
1
2
93
2
2
2
b
b
b
a
a
a
7
1
93
2 2
1
93
9089
2
2 1
a
a
.
所以
nb
的前100 项和为9089.
题型六：将an替换成Sn-Sn-1
1.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a
，
1
1
n
n
n
S
S
a
，则
na
．
【答案】
2,
1
4
,
2
(2
3)(2
5)
n
n
n
n
【详解】由
1
1
n
n
n
S
S
a
，得到
1
1
n
n
n
n
S
S
S
S
，
然后两边同除以
1
n
n
S
S
得到
1
1
1
1
n
n
S
S
，即
1
1
1
1
n
n
S
S
，
于是数列
1
n
S
是公差为1
的等差数列．
而
1
2
a
，于是
1
1
3
2
1
2
2
n
n
n
S
，进而得到
2
3
2
n
S
n
，
所以当
2
n
时，有
1
2
2
4
3
2
5
2
2
3
2
5
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
（
2
n
）．
综上所述，
2,
1
4
,
2
(2
3)(2
5)
n
n
a
n
n
n
．
故答案为：
2,
1
4
,
2
(2
3)(2
5)
n
n
n
n
2.已知正项数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S a ，且
1
2
n
n
n
a
S
S
n
.
(1)求
na ；
(2)设
1
n
n
b
S
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
7
4
nT
.
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)证明见解析
【详解】（1）当
2
n
时，
1
1
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
，
即
1
1
1
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
，
由数列为正项数列可知，
1
1
n
n
S
S
，又
1
1
1
S
a
，
即数列
n
S
是首项为1，公差为1 的等差数列，
即
n
S
n
，则
1
1
n
S
n
，
2
n
当
2
n
时，
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
，当
1
n 时，
1
2 1 1
1
a
成立，
所以
2
1
na
n
（2）由（1）可知，
2
n
S
n
，则
2
1
nb
n
，
当
2
n
时，
2
1
1
1
1
1
1
nb
n
n n
n
n
1
7
1
4
T
，成立，
2
2
1
5
7
1
2
4
4
T
，成立，
当
3
n
时，
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
...
2
3
4
2
3
3
4
1
nT
n
n
n
，
即
1
1
1
7
1
7
1
4
2
4
4
nT
n
n
.
综上可知，
7
4
nT
，得证.
3．（多选）已知数列
na
的前n 项和为
0
n
n
S
S
，且满足
1
4
0
2
n
n
n
a
S
S
n
，
1
1
4
a
，则下列说法正
确的是（
）
A．数列
na
的前n 项和为
4
n
S
n
B．数列
na
的通项公式为
1
4
1
na
n n
C．数列
na
不是递增数列
D．数列
1
n
S
为递增数列
【答案】CD
【详解】
1
4
0
2
n
n
n
a
S
S
n
，则
1
1
4
0
2
n
n
n
n
S
S
S
S
n
，即
1
1
1
4
2
n
n
n
S
S
，
故
1
n
S
是首项为4 ，公差为4 的等差数列，故
1
4
n
n
S
，即
1
4
n
S
n
，
1
1
1
1
4
4
2
4
4
4
4
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n n
，
1
1
4
a
.
对选项A：
1
4
n
S
n
，错误；
对选项B：
1 ,
1
4
1
2
4
1
n
n
a
n
n n
，错误；
对选项C：
1
1
4
a
，
2
1
8
a
，故数列
na
不是递增数列，正确；
对选项D：
1
4
n
n
S
，故数列
1
n
S
为递增数列，正确；
故选：CD.
4.已知数列
na
，
1
1
3
a
，其前n 项的和为
n
S ，且满足
2
3
1 3
0
2
n
n
n
S
S
a
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
3
1
1
1
2
2
3
3
n
S
S
S
S
n
L
．
【答案】(1)
1 ,
1
3
1
,
2
3
1
n
n
a
n
n n
(2)证明见解析
【详解】（1）当
2
n
时，
1
n
n
n
a
S
S
，
又因为
2
3
1 3
0
n
n
n
S
S
a
，所以
2
1
3
1 3
0
n
n
n
n
S
S
S
S
，
即
1
1
3
0
n
n
n
n
S
S
S S
，则
1
1
1
3
n
n
S
S
，
又
1
1
3
S
，所以数列
1
n
S
是以3 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
1
3
3
1
3
n
n
n
S
，则
1
3
n
S
n
，
从而当
2
n
时，
1
1
1
1
3
3
1
3
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n n
，
显然
1
n ，
1
1
3
a
不符合上式，
故数列
na
的通项公式为
1 ,
1
3
1
,
2
3
1
n
n
a
n
n n
（2）由（1）得
1
3
n
S
n
，
当
2
n
时，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
1
3
1
n
S
n
n
n n
n
n
，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
3
3
2
3 2
3
3
1
n
S
S
S
S
S
n
n
n
1
1
1
2
1
2
1
3
3
3
3
3
n
n
，故不等式成立.
5.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a ，当
2
n
时，
1
n
n
n
S
S
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
1
1
b ，且
1
1
2n
n
n
n
b
b
a
，求数列
nb
的通项公式．
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
1
2
5
2
4
n
nb
n
【详解】（1）由
1
n
n
n
a
S
S
，得
1
1
n
n
n
n
S
S
S
S
，
因为
0
n
S > ，所以
1
1
n
n
S
S
，
所以
n
S
是以
1
1
S 为首项，1 为公差的等差数列，所以
1 (
1)
n
S
n
n
，
所以，当
2
n
时，
1
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
，
当
1
n 时，
1
1
a 也满足上式，
所以数列
na
的通项公式为
2
1
na
n
．
（2）由
1
1
1
2
(2
1) 2
n
n
n
n
n
b
b
a
n
知：
当
2
n
时，
1
2
1
3
2
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
，
0
1
2
1 1 2
3 2
(2
3) 2n
n
①，
则
1
2
1
2
2
1 2
3 2
(2
3) 2n
nb
n
②，
由
①
②得：
2
1
2
2
1
1
2 (2
1)
2(2
2
2
)
(2
3) 2
2
(2
3) 2
2 1
n
n
n
n
nb
n
n
，
化简得：
1
(2
5) 2
4(
2)
n
nb
n
n
，
当
1
n 时，
1
1
b 也满足上式，
所以数列
nb
的通项公式为
1
(2
5) 2
4
n
nb
n
．
6.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
n
n
n
S S
S
.
(1)若
1
n
S ，证明：数列
1
1
n
S
为等差数列.
(2)若
1
2
a
，
1
1000
na
，求n的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【详解】（1）（1）由已知，
0
n
S
，
1
n
S ，
1
1
2
n
n
S
S
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
，
故数列
1
1
n
S
为公差为1 等差数列
（2）因为
1
2
a
，不满足条件，此时
1
2
S
，
1
1
1
1
S
，
由（1）知数列
1
1
n
S
为首项为1 公差为1 等差数列，所以
1
1
n
n
S
，故
1
1
n
S
n
，
当
2
n
时，
1
1
1
1
1
(
1)
n
n
n
a
S
S
n
n
n n
，
由
1
1000
na
，故
1
1
(
1)
1000
n n
，即
1
1000
n n
，
因为
*
nN ，所以
33
n
.故满足
1
1000
na
的n 最小值为33.
题型七：新数列前n 项和型
1．（多选）已知数列
na
满足
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
，则（
）
A．
2
2
na
n
B．
na
的前n 项和为(
3)
n n
C．
( 1)n
n
a
的前100 项和为100
D．
10
na
的前20 项和为284
【答案】ABD
【详解】当
1
n 时，
2
1
2
4
a
，
当
2
n
时，
2
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
a
a
a
n
，
两式相减可得：
1
1
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
n
，
所以
2
2
na
n
，当
1
n 时，
1a 满足
n
a ，故
2
2
na
n
，故A 正确；
na
的前n 项和为
2
4
2
2
3
2
n
n
n
n
，故B 正确；
令
( 1)
( 1)
2
2
n
n
n
n
b
a
n
，
nb
的前100 项和为：
4
6
8 10
202
2 50
100
，故C 错误；
令
10
2
8
n
n
c
a
n
，
所以
10
na
的前20 项和为：
1
2
3
4
5
20
b
b
b
b
b
b
6
4
2
0
2
4
6
32
16 2
32
12
12
8 34
284
2
，故D 正确.
故选：ABD.
2.已知数列
na
满足
1
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
a
a
a
a
n
，
*
N
n
，记数列
2
na
n
的前n 项和为
n
S ，则
n
S （
）
A．
2
2
1
2
2
n
n
n
B．
2
1
2
2
2
2
n
n
n
C．
2
2
2
2
n
n
n
D．
2
2
3
2
2
n
n
n
【答案】B
【详解】由题设
1
1
a 且
1
2
3
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
a
a
a
a
n
(n ≥2)，故
1
1
1
2
n
n
a
且
2
n
，
所以
1
2n
na
，又
1
1
a 也满足，故
1
2n
na
，则2
2n
na
n
n
，
所以
2
2
1
2 (1 2 )
(
1)
(2
2
...
2 )
(1
2
...
)
2
2
1 2
2
2
2
n
n
n
n
n n
n
n
S
n
.
故选：B
3.数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
n
n
a
a
a
a
a
n
L
，
*
nN ，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
【答案】(1)
na
n
【详解】（1）解：
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
n
n
a
a
a
a
a
n
L
，
当
2
n
时，
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
1
n
n
a
a
a
a
a
n
，
作差，得
1
1
n
n
n
a
a
a
n
，即
1
1
n
n
a
a
n
n
.
因为
1
1
a ，
2
2
a
，所以
2
1
2
1
a
a
，满足
1
1
n
n
a
a
n
n
，
即
na
n
为常数列，即
1
na
n ，
na
n
.
4.已知数列
na
的前n 项之积为
nb ，且
2
*
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n n
b
b
b
N
．
(1)求数列
n
n
a
b
和
nb
的通项公式；
【答案】(1)
*
n
n
a
n n
b
N
，
*
1
1
nb
n
n
N
【详解】（1）
2
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n
b
b
b
①，
2
1
1
2
1
2
1
(
1)
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n
n
b
b
b
②，
①-②可得
1
1
2 ,
1
n
n
a
a
n n
b
b
也满足上式，
*
n
n
a
n n
b
N
③．
数列
na
的前n 项之积为
,
nb 当
2
n
时，
1
n
n
n
b
a
b
，代入③可得
1
1
nb
n
，
*
1
1
nb
n
n
N
．
5.已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
1
2
1
2
3
n
a
a
a
a
n
n
，
*
nN ．
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
【答案】(1)
na
n
【详解】（1）数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,
3
1
2
1
2
3
n
a
a
a
a
n
n
①,
当
2
n
时,
1
1
2
(
1)
1
2
1
na
a
a
n
n
②,
①②得：
1
na
n ，所以
(
2)
na
n n
,
又
1
1
a ，也满足上式，故
na
n
．
6.已知数列
na
满足
1
2
3
1
1 4
1
2
3
1
6
n
n
n n
n
a
a
a
n
a
na
．求
na 的值；
【答案】(1)
2
1
na
n
【详解】（1）由题意可知：数列
n
na
的前n 项和
1 4
1
6
n
n n
n
S
，
当
1
n 时，可得
1
1
1
1
a
S
，所以
1
1
a ；
当
2
n
时，可得
1
1
4
1
1
4
5
6
6
n
n
n
n n
n
n
n
n
na
S
S
2
2
1 4
1
1 4
5
4
3
1
4
9
5
2
1
6
6
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
．
所以
2
1
na
n
；
又因为
1
1
a 也符合
2
1
na
n
，所以
2
1
na
n
．
题型八：对数变换法
1.已知数列{
}
na
满足
5
1
2 3n
n
n
a
a
，
1
7
a
，求数列{
}
na
的通项公式。
解：因为
5
1
1
2 3
7
n
n
n
a
a
a
，
，所以
1
0
0
n
n
a
a
，
。在
5
1
2 3n
n
n
a
a
式两边取常用对数得
1
lg
5lg
lg3
lg 2
n
n
a
a
n
⑩
设
1
lg
(
1)
5(lg
)
n
n
a
x n
y
a
xn
y
○
11
将⑩式代入○
11 式，得5lg
lg3
lg 2
(
1)
5(lg
)
n
n
a
n
x n
y
a
xn
y
，两边消去5lg
na 并整理，得
(lg3
)
lg 2
5
5
x n
x
y
xn
y
，则
lg3
5
lg 2
5
x
x
x
y
y
，故
lg3
4
lg3
lg 2
16
4
x
y
代入○
11 式，得
1
lg3
lg3
lg 2
lg3
lg3
lg 2
lg
(
1)
5(lg
)
4
16
4
4
16
4
n
n
a
n
a
n
○
12
由
1
lg3
lg3
lg 2
lg3
lg3
lg 2
lg
1
lg7
1
0
4
16
4
4
16
4
a
及○
12 式，
得
lg3
lg3
lg 2
lg
0
4
16
4
na
n
，
则
1
lg3
lg3
lg 2
lg
(
1)
4
16
4
5
lg3
lg3
lg 2
lg
4
16
4
n
n
a
n
a
n
，
所以数列
lg3
lg3
lg 2
{lg
}
4
16
4
na
n
是以
lg3
lg3
lg 2
lg7
4
16
4
为首项，以5 为公比的等比数列，则
1
lg3
lg3
lg 2
lg3
lg3
lg 2
lg
(lg7
)5
4
16
4
4
16
4
n
na
n
，因此
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6
16
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
16
16
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
16
16
4
4
4
4
5
5
5
1
4
lg3
lg3
lg 2
lg3
lg3
lg 2
lg
(lg7
)5
4
16
4
4
6
4
(lg7
lg3
lg3
lg 2 )5
lg3
lg3
lg 2
[lg(7 3
3
2 )]5
lg(3
3
2 )
lg(7 3
3
2 )5
lg(3
3
2 )
lg(7
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
1
1
1
5
1
16
4
5
4
1
5
1
5
1
16
4
2
)
lg(7
3
2
)
n
n
n
n
n
则
1
1
5
4
1
5
1
5
16
4
7
3
2
n
n
n
n
na
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
5
1
2 3n
n
n
a
a
转化为
1
lg3
lg3
lg 2
lg3
lg3
lg 2
lg
(
1)
5(lg
)
4
16
4
4
16
4
n
n
a
n
a
n
，从而可知数列
lg3
lg3
lg 2
{lg
}
4
16
4
na
n
是等比数列，进而求出数列
lg3
lg3
lg 2
{lg
}
4
16
4
na
n
的通项公式，最后再
求出数列{
}
na
的通项公式。
题型九：换元法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
1 (1
4
1
24
)
1
16
n
n
n
a
a
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
解：令
1
24
n
n
b
a
，则
2
1 (
1)
24
n
n
a
b
故
2
1
1
1 (
1)
24
n
n
a
b
，代入
1
1 (1
4
1
24
)
16
n
n
n
a
a
a
得
2
2
1
1
1
1
(
1)
[1
4
(
1)
]
24
16
24
n
n
n
b
b
b
即
2
2
1
4
(
3)
n
n
b
b
因为
1
24
0
n
n
b
a
，故
1
1
1
24
0
n
n
b
a
则
1
2
3
n
n
b
b
，即
1
1
3
2
2
n
n
b
b
，
可化为
1
1
3
(
3)
2
n
n
b
b
，
所以{
3}
nb
是以
1
1
3
1
24
3
1
24 1
3
2
b
a
为首项，以
2
1 为公比的等比数列，因此
1
2
1
1
3
2( )
( )
2
2
n
n
nb
，则
2
1
( )
3
2
n
nb
，即
2
1
1
24
( )
3
2
n
na
，得
2 1
1
1
( )
( )
3 4
2
3
n
n
na
。
评注：本题解题的关键是通过将1
24
na
的换元为
nb ，使得所给递推关系式转化
1
1
3
2
2
n
n
b
b
形式，
从而可知数列{
3}
nb
为等比数列，进而求出数列{
3}
nb
的通项公式，最后再求出数列{
}
na
的通项公式。
题型十：不动点法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
21
24
4
4
1
n
n
n
a
a
a
a
，
，求数列{
}
na
的通项公式。
解：令
21
24
4
1
x
x
x
，得
2
4
20
24
0
x
x
，则
1
2
2
3
x
x
，
是函数
21
24
( )
4
1
x
f x
x
的两个不动点。
因为
1
1
21
24
2
2
4
1
21
24
2(4
1)
13
26
2
13
21
24
3
21
24
3(4
1)
9
27
9
3
3
4
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
。所以数列
2
3
n
n
a
a
是以
1
1
2
4
2
2
3
4
3
a
a
为首项，以9
13 为公比的等比数列，故
1
2
13
2(
)
3
9
n
n
n
a
a
，则
1
1
3
13
2(
)
1
9
n
n
a
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
21
24
( )
4
1
x
f x
x
的不动点，即方程
21
24
4
1
x
x
x
的两个根
1
2
2
3
x
x
，
，进而可推出
1
1
2
2
13
3
9
3
n
n
n
n
a
a
a
a
，从而可知数列
2
3
n
n
a
a
为等比数列，再求出数列
2
3
n
n
a
a
的通项公式，最后求出数列{
}
na
的通项公式。
模块三：综合巩固
1．数列5,2, 3, 10,
的通项公式可能是（
）
A．
2
6
na
n
B．
3
6
na
n
C．
6
na
n
D．
8
3
na
n
【答案】A
【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解.
【解析】对于A 中，由
2
6
na
n
，可得
1
2
3
4
5,
2,
3,
10,
a
a
a
a
，符合题意，所以A 正确；
对于B 中，由
3
6
na
n
，可得
1
2
5,
2
a
a
，不符合题意，所以B 错误；
对于C 中，由
6
na
n
，可得
1
2
5,
4
a
a
，不符合题意，所以C 错误；
对于D 中，由
8
3
na
n
，可得
1
2
3
5,
2,
1
a
a
a
，不符合题意，所以D 错误.
故选：A.
2．已知数列
na
的前n项和
3
n
S
n
，则
1
5
1
5
2
a
a
的值为（
）
A．125
B．135
C．145
D．155
【答案】D
【分析】根据
na 与
n
S 之间的关系分析求解即可.
【解析】由题意可得：
3
3
1
5
5
4
3
1
1,
5
4
6
1
1
a
S
S
a
S
，
所以
1
5
1
1
5
1
61
5
155
2
2
a
a
.
故选：D.
3．已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
n
n
n
a
a
na
，则
10
a
（
）
A．1
45
B．1
46
C．1
55
D．1
56
【答案】B
【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.
【解析】
1
1
n
n
n
a
a
na
，则
1
1
1
1
n
n
n
n
na
n
a
a
a
，
2
1
1
1
1
a
a
，
3
2
1
1
2
a
a
，…，
10
9
1
1
9
a
a
，以上各
式相加可得，
10
1
1
1
1
2
3
9
45
a
a
，
10
1
46
a
.
故选：B
4．在数列
na
中，
0
na
，
1
1
a ，
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a
，则
113
a
（
）
A．4 14
B．15
C．
223
D．10
【答案】B
【分析】依题意对
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a
化简，采用累乘法得到
2
113
a
，从而得到
113
a
【解析】因为
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a
，所以
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
n
a
a
n a
a
，即
2
2
1
1 2
2
1
n
n
n a
n
a
，得
2
1
2
2
1
2
1
n
n
a
n
a
n
.
所以
2
2
2
2
2
2
2
113
3
112
111
2
113
1
2
2
2
2
2
112
111
110
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
225
223
221
5
3
1
225
223
221
219
3
1
.
因为
0
na
，所以
113
15
a
.
故选：B.
5．已知数列{an} 满足a1=1，且
1
1
1
( ) (
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
A．
3
2
n
na
n
B．
2
3
n
n
n
a
C．an=n+2
D．an=（n+2）·3 n
【答案】B
【解析】试题分析：由题可知，将
1
1
1
( ) (
2
3
3
n
n
n
a
a
n
，两边同时除以
，得出
，
运用累加法，解得
，整理得
2
3
n
n
n
a
；
考点：累加法求数列通项公式
6．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列
na
：1，1，2，3，5，8…，其中从第3
项起，每一项都等于它前面两项之和，即
1
2
1
a
a
，
2
1
n
n
n
a
a
a
，这样的数列称为“斐波那契数列”.若
3
6
9
174
2
1
m
a
a
a
a
a
，则m （
）
A．175
B．176
C．177
D．178
【答案】B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得：
2
n
n
a
a
1
na ，使用累加法求得
2
1
n
n
S
a
，然后将
3
6
9
174
2
1
a
a
a
a
中的2 倍展成和的形式（如
3
3
3
1
2
3
2a
a
a
a
a
a
）即可
求解．
【解析】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，
1
2
1
a
a
，
由
*
2
1
n
n
n
a
a
a
n
N
，得
2
n
n
a
a
1
na ，
所以
1
3
2
a
a
a
，
2
4
3
a
a
a
，
3
5
4
a
a
a
，
2
n
n
a
a
1
na ，
将这n个式子左右两边分别相加可得：
1
2
2
2
2
1
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
，
所以
2
1
n
n
S
a
.
所以
3
6
9
174
3
3
6
6
9
9
174
174
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
172
173
174 1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
174
176
1
S
a
.
故选：B．
7．已知数列
na
满足
*
1
2
2
1
2
2
1
1,
1,
N
,
n
n
n
n
a
a
n
a
a
a
n
则集合{
|
20}
m
m a
中元素的个数为（
）
A．14
B．20
C．24
D．25
【答案】C
【分析】利用累加法得到
2
2
1
2
1
4 2
1
3
8
n
n
n
a
，即可得到
2
1
1,
2
4
3 ,
8
n
n
n
a
n
n
n
为偶数
为奇数
，然后分n 为
偶数和奇数两种情况列不等式求解即可.
【解析】由题意得
2
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2 1
n
n
L
1 1
1
2
n
n
2
3
2
2
n
n
2
2
1
4 2
1
3
8
n
n
，
2
1
1
2
1
2
n
a
n
n
，
所以
2
1
1,
2
4
3 ,
8
n
n
n
a
n
n
n
为偶数
为奇数
，
当n 为偶数时，令1
1
20
2 n
，解得
38
n
，
当n 为奇数时，令
2
4
3
20
8
n
n
，因为函数
2
4
3
8
n
n
y
的对称轴为
2
n ，当
9
n
时，
2
4
3
15
20
8
n
n
，当
11
n
时，
2
4
3
21
20
8
n
n
，所以
9
n
，
综上可得集合
20
m
m a
中元素的个数为38
9
1
24
2
2
.
故选：C.
8．定义
,
max
,
,
a a
b
a b
b a
b
．若数列
na
的前n 项和为
2
20
R,
N
n
S
n
n
n
，数列
nb
满足
1
1
1
1
2,2n
n
n
n n
b
b
b
b b
，令
max
,
n
n
n
c
a b
，且
3
nc
c
恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
4, 3
B．
3, 2
C．
2
1
,
0
3
2
D．
2
3,
0
3
【答案】D
【分析】根据题意，求得
2
20
na
n
，
2n
nb
，结合
max
,
n
n
n
c
a b
，且
3
nc
c
恒成立，得到
0
或
0
，
2
3
a
b
且
4
3
b
a
，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【解析】由数列
na
的前n 项和为
2
20
R,
N
n
S
n
n
n
，
当
2
n
时，可得
2
2
1
20
(
1)
20
(
1)
2
20
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
，
又由当
1
n 时，
1
1
20
2
a
S
，适合上式，
所以数列
na
通项公式为
2
20
na
n
，
由数列
nb
满足
1
2
b
且
1
1
1
2n
n
n
n
n
b
b
b b
，可得
1
1
1
1
1
2n
n
n
b
b
，
即
2
3
4
1
2
2
3
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
2
2
2
2 n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
，
各式相加可得
1
2
2
3
4
1
1
1
[1 ( )
]
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
b
b
，
又由
1
1
1
2
b
，所以
1
1
2n
nb
，所以
2n
nb
，
因为
max
,
n
n
n
c
a b
，且
3
nc
c
恒成立，
当
0
，
20
na
，
2n
nb
，符合题意；
当
0
，则满足
0
且
2
3
a
b
且
4
3
b
a
，即
3
4
4
20
2
2
6
20
0
，解得
2
3
3
；
综上，实数的取值范围为
2
3,
0
3
.
故选：D.
9．(多选)若数列{
}
na
满足
4
9
a
，且
1
1
(
1)(
3
)
0(
*)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
N
，则首项
1a 可能是（
）
A．6
B．5
3
C．2
D．1
3
【答案】AD
【解析】由题意可知
1
1
n
n
a
a
或
1
3
n
n
a
a
，分别讨论两种情况下的
1a 即可.
【解析】因为
1
1
(
1)(
3
)
0(
*)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
N
，
所以
1
1
n
n
a
a
或
1
3
n
n
a
a
，
当
1
1
n
n
a
a
时，{
}
na
是公差为1 的等差数列，此时
1
4
3
9
3
6
a
a
d
，
当
1
3
n
n
a
a
时，{
}
na
是公比为3 的等差数列，此时
4
1
3
3
9
1
3
3
a
a
q
，
故首项
1a 可能是6或1
3 ，
故选：AD
10．(多选)已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
n
n
a
a
a
，则（
）
A．
na
是递减数列
B．
,
3
na
n n
C．
2021
2022
2
a
D．
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
a
a
a
【答案】BD
【分析】结合数列的单调性、递推公式以及累加法、累乘法、放缩法、裂项相消法的应用，对各项逐一判
断，即可得到本题答案.
【解析】对于A：易知
0
na
，否则与
1
0
a
矛盾，由
2
1
n
n
n
a
a
a
，得
2
1
0
n
n
n
a
a
a
，所以
1
n
n
a
a
，所
以数列
na
是递增数列，故A 错误；
对于B：由选项A 的判断知
1
2
1
1
n
n
a
a
a
a
，所以
2
1
n
n
a
a
，由
2
1
n
n
n
a
a
a
，得
2
1
n
n
n
a
a
a
，
所以，
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
，即
3
na
n n
，故B 正确；
对于C：由
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，得
1
1
n
n
n
a
a
a
，
则
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
2 n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，所以
2021
2022
2
a
，故C
错误；
对于D：由
2
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，得
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，即
1
1
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，所以，
1
2
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，故D 正确.
故选：BD
11．(多选)已知正项数列
na
满足：
2
1
1
1
1,
1
n
n
n
na
a
a
na
，则（
）
A．
2
5
1
2
a
B．
na
是递增数列
C．
1
1
1
n
n
a
a
n
D．
1
1
1
1
n
n
k
a
k
【答案】BCD
【分析】利用递推公式计算
2a ，由
1
n
n
a
a
结果判断
na
是递增数列，再把
1
n
n
a
a
的结果进行放大和缩小
可判断C,D 选项.
【解析】由
2
1
1
1
1,
1
n
n
n
na
a
a
na
，得
2
2
1
2
1
1
a
a
a
，即
2
2
2
1
a
a
，解得
2
1
5
2
a
，因为
na
正项数列，所
以
2
1
5
2
a
，故A 错误；
因为
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1)
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
na
a
na
na
a
a
a
a
na
na
na
，又
na
正项数列，
所以
1
1
1
0
1
n
n
n
n
a
a
a
na
，即
1
0
n
n
a
a
，因此
na
是递增数列，故B 正确；
由上可知，
1
1
na ，所以
1
1
1
1
1
1
1
1)
1
(
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
na
n
a
n
，即
1
1
1
n
n
a
a
n
，故C 正确；
因为
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
na
a
a
a
na
na
n
，即
1
1
n
na
a
n
，
所以
2
1
1
a
a
，
3
2
1
2
a
a
，
3
4
1
3
a
a
，…，
1
1
n
na
a
n
，
因此，
1
1
1
1
1
1
2
3
na
a
n
，即
1
1
1
1
n
n
k
a
k
，故D 正确.
故选：BCD.
12．(多选)已知数列
na
满足
1
1
3,2
3
2
n
n
a
a
a
，则（
）
A．
3
17
4
a
B．
2
na
是等差数列
C．
3
2
log
2
na
是等差数列
D．数列
3
1
3
2
2
2
1
log
2
log
2
n
n
a
a
的前100 项和为100
101
【答案】ACD
【分析】选项A，由递推公式直接计算即可；选项B，由条件可得
1
2
2
3
2
n
n
a
a
，从而可判断；选
项C，由选项B 的判断过程可进一步得出
na 的通项公式，从而得出
3
2
log
2
na
，可判断；选项D，由上面
的过程可得
3
1
3
2
2
2
1
1
1
1
log
2
log
2
1
1
n
n
a
a
n n
n
n
，由裂项相消可得答案.
【解析】当
1
n 时，
1
2
3
2
7
2
2
a
a
，当
2
n
时，
2
3
3
2
17
2
4
a
a
，A 正确.
由
1
2
3
n
n
a
a
2，得
1
2
2
3
2
n
n
a
a
，即
1
2
3
2
2
n
n
a
a
.
因为
1
2
1
a
，所以
2
na
是首项为1，公比为3
2 的等比数列，B 错误.
从而可得
1
3
2
1
2
n
na
，则
1
3
2,
2
n
na
，所以
1
3
3
2
2
3
log
2
log
2
2
1
2
n
na
n
，
因为
3
3
1
2
2
log
2
log
2
1
n
n
a
a
，所以
3
2
log
2
na
是等差数列，C 正确.
3
1
3
2
2
2
1
1
1
1
log
2
log
2
1
1
n
n
a
a
n n
n
n
，
所以数列
3
1
3
2
2
2
1
log
2
log
2
n
n
a
a
的前100 项和为
1
1
1
1
1
100
1
2
2
3
100
101
101
，D 正确.
故选：ACD
13．设
n
S 是数列
na
的前n 项和，且
2
cos
π
3
n
n
S
n
，则
6a
.
【答案】21
2 /10.5
【分析】根据
na 与
n
S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.
【解析】因为
2
cos
π
3
n
n
S
n
，则
2
5
5
π
π
1
5
cos
π
25
cos 2π
25
cos
25
3
3
3
2
S
，
2
6
6
cos2π
36 1
35
S
，
所以
6
6
5
1
21
35
25
2
2
a
S
S
.
故答案为：21
2 .
14．若
na
满足：
*
1
0
1
n
n
a
a
n
N
，则满足上述条件数列
na
的一个通项公式为
．
【答案】
2
3
n
na
【分析】根据条件，数列
na
单调递减，且0
1
na
，写出符合要求的即可.
【解析】因为
*
1
0
1
N
n
na
a
n
，即数列
na
单调递减，
所以满足上述条件数列
na
的一个通项公式可以为
2
3
n
na
．
故答案为：
2
3
n
na
.（答案符合条件即可）
15．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
a
n
，
2
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a
，
*
N
n
.则集合
20
m
m a
中元素的个数
为
.
【答案】24
【分析】利用累加法得到
2
2
1
2
1
4 2
1
3
8
n
n
n
a
，
*
N
n
，即可得到
2
1,
2
4
3 ,
8
n
n
n
a
n
n
n
为偶数
为奇数
，然
后对n分奇数和偶数两种情况讨论.
【解析】由题意得
2
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
n
，
*
N
n
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
1
1
1 1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
1
4 2
1
3
3
2
2
8
n
n
n
n
，
又
2
2
1
1
2
n
n
a
n
，
所以
2
1,
2
4
3 ,
8
n
n
n
a
n
n
n
为偶数
为奇数
，
*
N
n
，
当n 为偶数时，令
1
20
2
n
，解得
38
n
，
当n 为奇数时，令
2
4
3
20
8
n
n
，因为函数
2
4
3
8
n
n
y
的对称轴为
2
n ，
当
9
n
时，
2
4
3
15
20
8
n
n
，当
11
n
时，
2
4
3
21
20
8
n
n
，所以
9
n
，
综上可得集合
20
m
m a
中元素的个数为38
9
1
24
2
2
.
故答案为：24
16．
1
2
3
,
,
,
,
n
A
a a a
a
，
1,0,1
1,2,3,
,
ia
i
n
为一个有序实数组，
f
A 表示把A 中每个-1 都变为
1
，0，每个0 都变为1
，1，每个1 都变为0，1 所得到的新的有序实数组，例如：
1,0,1
A
，则
1,0, 1,1,0,1
f
A
．定义
1
k
k
A
f
A
，
1,2,3,
k
，若
1
1,1
A
，
n
A 中有
nb 项为1，则
nb
的前2n
项和为
．
【答案】
2
1
2
2
3
n
【分析】设
n
A 中有
nc 项为0，其中1 和1
的项数相同都为
nb ，由已知条件可得
1
1
1
2
2
2
n
n
n
b
c
n
①，
1
1
2
n
n
n
b
b
c
n
②，进而可得
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
③，再结合
1
2n
n
n
b
b
④可得
1
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{ }
nb
的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得
结果.
【解析】因为
1
1,1
A
，依题意得，
2
1,0,0,1
A
，
3
1,0, 1,1, 1,1,0,1
A
，
显然，
1A 中有2 项，其中1 项为1
，1 项为1，
2
A 中有4 项，其中1 项为1
，1 项为1，2 项为0，
3
A 中有8 项，其中3 项为1
，3 项为1，2 项为0，
由此可得
n
A 中共有2n 项，其中1 和1
的项数相同，
设
n
A 中有
nc 项为0，所以2
2n
n
n
b
c
，
1
1
b ，
从而
1
1
1
2
2
2
n
n
n
b
c
n
①，
因为
f
A 表示把A 中每个1
都变为1
，0，每个0 都变为1
，1，每个1 都变为0，1 所得到的新的有序
实数组，
则
1
1
2
n
n
n
b
b
c
n
②，
①+②得，
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
③，
所以
1
2n
n
n
b
b
④，
④-③得，
1
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
，
所以当n 为奇数且
3
n
时，
3
2
4
1
2
2
4
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1 4
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
，
经检验
1
n 时符合，
所以
2
1
3
n
nb
（n 为奇数），
当n 为偶数时，则n
1
为奇数，
又因为
1
1
2
2
n
n
n
b
b
n
，
所以
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
3
3
n
n
n
n
n
n
b
b
，
所以
2 +1,
3
2
1,
3
n
n
n
n
b
n
为奇数
为偶数
，
当n 为奇数时，
+1
1
2
1
2
1
2
3
3
n
n
n
n
n
b
b
，
所以
nb
的前2n 项和为
2
1
2
1
1
3
5
2
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
2
2
4
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
2 +2 +2 +
+2
1 4
3
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
.
故答案为：
2
1
2
2
3
n
.
【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采
取分组求和解出.
17．在数列
na
中，
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，其中p，q 为常数，
0
p
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
【答案】(1)
4
2
na
n
(2)88 不是数列
na
中的项
【分析】（1）将
1
2
a
，
17
66
a
代入到通项公式
na
pn
q
中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得
出通项公式；
（2）令
88
na
，解出n 的值，若为正整数，则是数列
na
中的项；若不是正整数，则不是数列
na
中的
项.
【解析】（1）解：因为
1
2
a
，
17
66
a
，通项公式
na
pn
q
，
所以
2
17
66
p
q
p
q
，
解得，
4
2
p
q
，
所以
4
2
na
n
；
（2）令4
2
88
n
，
解得
45
2
n
，
因为
*
N
n
，
所以88 不是数列
na
中的项.
18．已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
1
n
n
na
n
a
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
n
n
a
b
的前n项和为
n
S ，且
3
1
2
n
n
S
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
1
na
n
(2)
1
1
3
3
n
n
n
T
【分析】（1）由已知可得
1
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n
n
，然后利用累加法求出
na
n ，从而可求得
na
的通项公式；
（2）由
3
1
2
n
n
S
结合（1）可求出
nb ，然后利用错位相减法可求得结果.
【解析】（1）因为
1
1
1
n
n
na
n
a
，所以
1
1
1
1
1
1
1
n
n
a
a
n
n
n n
n
n
，
所以
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
，
所以
2
1
na
n
．
（2）因为
3
1
2
n
n
S
，所以当
1
n 时，
1
1
1
1
a
S
b
，得
1
1
b ；
当
2
n
时，
1
1
1
3
1
3
1
3
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
b
，所以
1
2
1
3
n
n
n
b
（
1
n 时也成立）．
因为
0
1
2
1
1
3
5
2
1
3
3
3
3
n
n
n
T
，所以
1
2
3
1
1
3
5
2
1
3
3
3
3
3
n
n
n
T
，
所以
1
0
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
3
3
1
2
1
3
3
3
3
3
3
3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
T
1
1
2
1
2
2
1 1
2
3
3
3
n
n
n
n
n
，
故
1
1
3
3
n
n
n
T
．
19．数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
*
1
1
1,2
N
n
n
a
S
na
n
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
2n
na
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
na
n
；
(2)
1
2
1 2n
nT
n
．
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合
1
(
2)
n
n
n
S
S
a n
变形，再借助构造法求解即得.
（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得.
【解析】（1）由
1
2
n
n
S
na
，得当
2
n
时，
1
2
1
n
n
S
n
a
，两式相减得：
1
1
n
n
n
a
na
，
从而
1
1
n
n
a
a
n
n
，即数列
na
n
是常数列，因此
1
1
1
na
a
n
，
所以数列
na
的通项公式是
na
n
.
（2）由（1）知
2
2
n
n
na
n
，
则
1
2
3
1 2
2
2
3 2
2n
nT
n
，
于是
2
3
1
2
1 2
2
2
1
2
2
n
n
nT
n
n
两式相减得：
1
2
3
1
2
2
2
2
2
n
n
nT
n
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
1
1
2
2
n
n
，
所以
1
2
1 2n
nT
n
．
20．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意正整数n，有2
n
n
S
na
，且
2
3
a
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
n
n
n
a
b
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
4
n
T
.
【答案】(1)
3
1
na
n
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式2
n
n
S
na
，利用
1
2
n
n
n
a
S
S
n
可得
1
1
n
n
a
n
a
n
，利用累乘法，结合验
证首项，即可求得答案；
（2）由（1）可得
1
2
n
n
n
a
b
的表达式，利用错位相减法可求得
nT ，即可证明结论.
【解析】（1）由题意对任意正整数n，有2
n
n
S
na
，
则
1
n 时，
1
1
2S
a
，即
1
1
1
2
,
0
a
a
a
；
当
2
n
时，
1
1
2
(
1)
n
n
S
n
a
，则
1
1
2
1
n
n
n
a
n
a
na
，
即
1
1
n
n
n
a
na
，即
1
1
n
n
a
n
a
n
，
故
2
n
时，
1
3
2
1
2
2
1
2
2 3
3
1
2
3
1
n
n
n
n
n
a
a
a
n
n
a
a
n
a
a
a
n
n
，
1
0
a
也适合上式，故
3
1
na
n
；
（2）证明：由（1）可得
2
3
1
2
2
n
n
n
n
a
b
n
，
故
2
3
1
1
4
7
3
5
3
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
，
则
2
3
4
1
1
1
4
7
3
5
3
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
T
，
故
1
2
3
4
1
1
1
1
(1
)
1
1
1
1
1
1
3
2
1
3
2
4
2
3(
)
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
T
1
3
4
2
2n
n
，
故
3
4
4
2
n
n
n
T
，由于
N
n
，故3
4
0
2n
n
，
故
4
n
T
.
