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人教A版数学--数列专题一
知识点一 累加法求数列通项,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和
典例1、已知数列{a}，{b}满足a=b=1， 是公差为1的等差数列， 是公
n n 1 1
差为2的等差数列．
（1）若b=2，求{a}，{b}的通项公式；
2 n n
（2）若 ， ，证明： ．
随堂练习：已知数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 ．典例2、设数列 满足 ，且 ．等差数列 的公差d大于
0．已知 ，且 成等比数列．
（1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
随堂练习：已知等差数列 满足 ， ，数列 满足 ，
．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．典例3、设数列 的前 项和为 ， ， ，数列 中， ， ，
，…， ，…是首项、公差均为2的等差数列.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
随堂练习：已知数列 中， ，当 时， ，记
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．知识点二 由Sn求通项公式,裂项相消法求和
典例4、已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求证：数列 的前 项和 ．
随堂练习：已知数列 的前 项和为 ，且 ．1、求 的通项公式；
2、设数列 的前 项和为 ，证明： ．
典例5、已知数列 的前n项和为 ， ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
随堂练习：已知 是数列 的前n项和， ，且 ．（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
典例6、已知数列 的前n项和为 ，已知 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．随堂练习：已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足： ， ，数列 的前 项和 ，求证：
；
∴2q2 +q−1=0
（3）若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
人教A版数学--数列专题一答案
典例1、答案： （1） ； （2）证明见解析
解：（1）因为 是公差为1的等差数列， 所以 ，
即 ，且 ， 所以 ，
累加得 ， 所以 ， 则 ；（2）因为 ， 累加得 ，
所以 ， 则 ， 则
，
令 ， 且 ，
所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，
且 ，
从而 ，
所以 ，
当 时， 时， ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1） . （2） .
解：（1）由题意数列 满足 ，
则 .
（2）由（1）可得 ， 故 ，
所以 ，
故典例2、答案：（1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：因为 ， 所以 ，
又 ， 所以数列 是以4为首项，2为公差的等差数列，
则 ，
当 则
，n=1成立 所以 ；
（2）由 ，得 ，
又 成等比数列，使用 ，
即 ，解得 （ 舍去）， 所以
，
则 ，
所以 .
随堂练习：答案：（1） ， ； （2） .
解：（1）设数列 的公差为 ，由题可得 ，解得 ，
故 ；
因为 满足 ， ，
故当 时，，
故 ， 符合该式，所以 ；
（2）由题可得 ，设 的前 项和为 ，
则 ，
故
则
即 ，故 .
故数列 的前 项和为 .
典例3、答案： （1） ， . （2）
解：（1）当 时，由 可得： ；
当 时，由 ①， ②
则 得： 所以 .
因为 ， ，所以数列 为等比数列，所以 .
因为 ， ， ，…， ，…是首项、公差均为2的等差数列，所以 ， ， ，…… ，
累加得： ，
所以 .n=1成立 综上所述： ， .
（2）
所以数列 的前 项和
所以
.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得 ， 所以 ，即 ．
当 时，
．
当 时， 也符合． 综上， ．
（2）证明：由（1）得 ， 当 时 ；
当 时， ，故当 时，
． 综上， ．
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）当 时， ．
当 时， ， 则 ，
当 时， 满足上式，则 ．
（2）由（1）可得 ，
则 ．
∵ ∴ 所以 .
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意，当 时， ，
当 时，由 得 ，两式相减，得 ，又 ，
故数列 的通项公式为 .
（2）依题意，得 ，
则 ， 所以
.
典例5、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为 ， ， 所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ， 也成立， 所以 的通项公式 ．
（2）证明：由（1）知 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）当 时， 可得 ．当 时， ，
所以 ， 所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
时也符合，故 ．
（2）证明：由（1）知 ， 所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．得证
典例6、答案：（1） ；（2）证明见解析.
解:（1）因为 ，所以 ，
故 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
故 为首项为2，公差为2的等差数列，即 ，即 .
（2）由（1）得 ，当 时， ，
所以
，故得证.随堂练习：答案：（1） ；（2）证明见解析；（3） .
解:（1） 时， ，解得 或 （舍去）
当 时，
化简得：
，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， .
（2）证明： ，
，
数列 的前 项和
（3）由已知条件参数分离可得 （ ）
当且仅当 即 时， 有最大值 ， .
