2025年高考数学一轮专题复习--数列专题一（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-数列（含答案）（完结）

人教A版数学--数列专题一 知识点一 累加法求数列通项,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和 典例1、已知数列{a}，{b}满足a=b=1， 是公差为1的等差数列， 是公 n n 1 1 差为2的等差数列． （1）若b=2，求{a}，{b}的通项公式； 2 n n （2）若 ， ，证明： ． 随堂练习：已知数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 ．典例2、设数列 满足 ，且 ．等差数列 的公差d大于 0．已知 ，且 成等比数列． （1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 ． 随堂练习：已知等差数列 满足 ， ，数列 满足 ， ． （1）求 ， 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和．典例3、设数列 的前 项和为 ， ， ，数列 中， ， ， ，…， ，…是首项、公差均为2的等差数列. （1）求数列 、 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 . 随堂练习：已知数列 中， ，当 时， ，记 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．知识点二 由Sn求通项公式,裂项相消法求和 典例4、已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求证：数列 的前 项和 ． 随堂练习：已知数列 的前 项和为 ，且 ．1、求 的通项公式； 2、设数列 的前 项和为 ，证明： ． 典例5、已知数列 的前n项和为 ， ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）证明： ． 随堂练习：已知 是数列 的前n项和， ，且 ．（1）求 的通项公式； （2）证明： ． 典例6、已知数列 的前n项和为 ，已知 ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）证明： ．随堂练习：已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ， ， （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足： ， ，数列 的前 项和 ，求证： ； ∴2q2 +q−1=0 （3）若 对任意 恒成立，求 的取值范围. 人教A版数学--数列专题一答案 典例1、答案： （1） ； （2）证明见解析 解：（1）因为 是公差为1的等差数列， 所以 ， 即 ，且 ， 所以 ， 累加得 ， 所以 ， 则 ；（2）因为 ， 累加得 ， 所以 ， 则 ， 则 ， 令 ， 且 ， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ， 且 ， 从而 ， 所以 ， 当 时， 时， ， 所以 ． 随堂练习：答案： （1） . （2） . 解：（1）由题意数列 满足 ， 则 . （2）由（1）可得 ， 故 ， 所以 ， 故典例2、答案：（1）证明见解析， （2） 解：（1）证明：因为 ， 所以 ， 又 ， 所以数列 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则 ， 当 则 ，n=1成立 所以 ； （2）由 ，得 ， 又 成等比数列，使用 ， 即 ，解得 （ 舍去）， 所以 ， 则 ， 所以 . 随堂练习：答案：（1） ， ； （2） . 解：（1）设数列 的公差为 ，由题可得 ，解得 ， 故 ； 因为 满足 ， ， 故当 时，， 故 ， 符合该式，所以 ； （2）由题可得 ，设 的前 项和为 ， 则 ， 故 则 即 ，故 . 故数列 的前 项和为 . 典例3、答案： （1） ， . （2） 解：（1）当 时，由 可得： ； 当 时，由 ①， ② 则 得： 所以 . 因为 ， ，所以数列 为等比数列，所以 . 因为 ， ， ，…， ，…是首项、公差均为2的等差数列，所以 ， ， ，…… ， 累加得： ， 所以 .n=1成立 综上所述： ， . （2） 所以数列 的前 项和 所以 . 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意得 ， 所以 ，即 ． 当 时， ． 当 时， 也符合． 综上， ． （2）证明：由（1）得 ， 当 时 ； 当 时， ，故当 时， ． 综上， ． 典例4、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）当 时， ． 当 时， ， 则 ， 当 时， 满足上式，则 ． （2）由（1）可得 ， 则 ． ∵ ∴ 所以 . 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意，当 时， ， 当 时，由 得 ，两式相减，得 ，又 ， 故数列 的通项公式为 . （2）依题意，得 ， 则 ， 所以 . 典例5、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ， 也成立， 所以 的通项公式 ． （2）证明：由（1）知 ， 所以 ， 所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）当 时， 可得 ．当 时， ， 所以 ， 所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 时也符合，故 ． （2）证明：由（1）知 ， 所以 ， 所以 ． 因为 ，所以 ．得证 典例6、答案：（1） ；（2）证明见解析. 解:（1）因为 ，所以 ， 故 ，即 ， 又因为 ，所以 ， 故 为首项为2，公差为2的等差数列，即 ，即 . （2）由（1）得 ，当 时， ， 所以 ，故得证.随堂练习：答案：（1） ；（2）证明见解析；（3） . 解:（1） 时， ，解得 或 （舍去） 当 时， 化简得： ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， . （2）证明： ， ， 数列 的前 项和 （3）由已知条件参数分离可得 （ ） 当且仅当 即 时， 有最大值 ， .