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拓展二 数列求和的方法
思维导图常见考法
考点一 裂项相消
【例1】（2020·云南弥勒市一中月考（理））若数列 的前 项和 满足 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】证明：当 时， ，计算得出 ，
当 时，根据题意得， ，所以
，即
，即 数列 是首项为-2，公比为2的等比数列
由（1）知，，1
则
【一隅三反】
1．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））设数列 满足： ，且 （ ），
.
（1）求 的通项公式：
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） （ ）（2）
【解析】(1)由 ( )可知数列 是等差数列,设公差为 ,
因为 ,所以 ,解得 ,
所以 的通项公式为: ( );
(2)由(1)知 ,
所以数列 的前 项和:.
2．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 （ ），
因为 ，且 成等比数列，
所以 ，即 ，
解得 （舍去）或 ，
所以 ，
（2）由（1）可得 ，
所以
考点二 错位相减
【例2】．（2020·贵州省思南中学月考）已知数列 满足 ，且
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）
时，有 ，即 ，故 ，
又 时也适合该式，
（2）因为 ，
所以 ①
则 ②
①-②得，
.
【一隅三反】
1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列 是公差 的等差数列，其前n项和为 ，满足
，且 ， ， 恰为等比数列 的前三项．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ， ；（2）见解析【解析】（1）由题意， ，得 ，
由 ，得 ， ．所以 ．
由 ， ，得公比 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ①
得 ②
①-②得
．
所以 ．
从而 ．
2．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）设数列 、 都有无穷项， 的前 项和为
， 是等比数列， 且 .
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和为 .【答案】（1） ； （2）
【解析】（1）当 时， = =4；
当 时， ，
且 亦满足此关系，
∴ 的通项为 ，
设 的公比为 ，则 ，则 ，
∴ ；
（2）由题意， ，
而 ，
，
两式相减，有 ，
．
3．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）已知数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，而 ，
∴数列 是等比数列，公比为1，首项为1，
∴ ，∴ ；
（2）由（1） ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，∴ ，
∴ ．
考点三 分组求和
【例3】．（2020·赣榆智贤中学月考）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为
.若 ， ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） （2）【解析】（1）由 , ，
则 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，
所以
设等比数列 的公比为
由 ，
，
解得 ，
所以 ，
（2） ，
数列 的前 项和
【一隅三反】
1．（2020·河南高二月考）已知数列 的前 项和 ，在各项均不相等的等差数列 中，
，且 ， ， 成等比数列，（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，则 ， ，
∵ ， ， 成等比数列，∴ ，即 ．
整理得 ，解得 （舍去）或 ，
∴ ．
当 时， ，当 时， ．
验证：当 时， 满足上式，
∴数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
∴
．
2．（2020·河南高二月考（理））已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ， ，
由于 是 和 的等差中项，即 ，即 ，解得 .
因此，数列 的通项公式为 ；
（2） ，
.
3．（2020·天水市第一中学）已知等比数列 的各项均为正数， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设公比为
由题意可知 ，整理得 ，解得 （舍）， ，即
则
（2）
考点四 倒序相加
【例4】．（2020·全国高三其他（文））已知函数 ，若，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当 时取等号
本题正确选项：
【一隅三反】
1．（2020·江苏高二期中）设函数 ，利用课本（苏教版必修 ）中推导等差数列前 项和的
方法，求得 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，
，
设 ，
则 ，
两式相加得 ，因此， .
故选：B.
2．（2019·浙江丽水·高二月考）已知函数 ，则
的值为（ ）
A．4033 B．-4033
C．8066 D．-8066
【答案】D
【解析】 ，所以原式
.
3．（2020·江苏常熟中学月考）已知函数 ，设 （ ），则数列 的
前2019项和 的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，
所以
所以
因为
所以 ，
所以
则数列 的前2018项和
则
所以
所以
又
故选：
考点五 奇偶并项
【例5】．（2020·湖南高二月考）设 ，数列 的前 项和为 ，已知 ，______.请在① ， ， 成等比数列，② ，③ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，
并解答下面问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】选①，（1）由 得： ，
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
由 ， ， 成等比数列得 ，解得 .
∴ .
（2） ，
.
选②，（1）由 得 ，
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
由 得 ，解得 ，
∴ .
（2） ，
∴
.选③，（1）同理，由 得 ，
∴数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
由 得 ，解得 ，
∴ .
（2） ，
∴
.
【一隅三反】．
1（2019·广东汕头·金山中学高二月考（理））设 是数列 的前n项和，已知 ，
⑴求数列 的通项公式；
⑵设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，所以当 时，
两式相减得 ， 所以
当 时， ， ，则所以数列 为首项为 ，公比为 的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当 为奇数时，
当 为偶数时，
综上
2．（2020·内蒙古集宁一中期中（理））已知数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当 时， .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两式相减，得 ，即又因为 ，所以 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
（2）由（1）可知
故当 为偶数时，
当 为奇数时，
所以
考点六 绝对值求和
【例6】．（2020·鄂尔多斯市第一中学高二期中（理））已知数列 的通项公式 ，则
（ ）
A．150 B．162 C．180 D．210
【答案】B
【解析】由对勾函数的性质可知：
当 时，数列 为递减；当 时，数列 为递增．
所以
==
=
=162
【一隅三反】
1．（2020·广东宝安·高二期末）已知 是首项为32的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数
列 前10项和为( )
A．58 B．56 C．50 D．45
【答案】A
【解析】 是首项为32的等比数列, 是其前n项和,且 ,所以公比不为1，
,
,
,
,
,
数列 前10项和为 ,
故选：A
