专题12数列通项及数列前n项和求法（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题 12 数列通项及数列前 n 项和求法 一、知识速览 二、考点速览知识点1 数列的递推公式 1、递推公式：如果已知数列{a}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a 与它的前一 n n 项a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． n－1 2、通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出a n 都可确定一个数列， 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值， 也都可求出数列的任 递推公式 逐项求出数列的项，直至求出所需的a ，也可通过变形 n 意一项 转化，直接求出a n 知识点2 数列通项公式的求法 1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规 律写出此数列的一个通项． 2、公式法 （1）使用范围：若已知数列的前 n项和 S 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 n 构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法：适用于a ＝a＋f(n)，可变形为a －a＝f(n) n＋1 n n＋1 n 要点：利用恒等式a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )(n≥2，n∈N*)求解 n 1 2 1 3 2 n n－1 4、累乘法：适用于a ＝f(n)a，可变形为＝f(n) n＋1 n 要点：利用恒等式a＝a···…·(a≠0，n≥2，n∈N*)求解 n 1 n 5、构造法：对于不满足a ＝a＋f(n)，a ＝f(n)a 形式的递推关系，常采用构造法 n＋1 n n＋1 n 要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解 类型一：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式： （1）若 时，数列{ }为等差数列； （2）若 时，数列{ }为等比数列； （3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有 如下两种：法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定 系数法）得 ，即 构成 以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为 首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出 类型二：形如 型的递推式： （1）当 为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项， 以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整 理可得 法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得： ，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用累加法便可求 出 （2）当 为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可 得 法二：当 的公比为 时，由递推式得： —①， ，两边同时乘以 得 —②，由①②两式相减得 ，即 ，构造等比数 列。 法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）时， 要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），得： ，再结合第一种类型。 6、取倒数法：a ＝(p，q，r是常数)，可变形为＝·＋ n＋1要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； ②若p≠r，则转化为a ＝sa＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解 n＋1 n 7、三项递推构造：适用于形如 型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数 得 ，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型． 8、不动点法 f(x)=x f(x) （1）定义：方程 的根称为函数 的不动点． f(x) a =f(a ) 利用函数 的不动点，可将某些递推关系 n+1 n 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列， 这种求数列通项的方法称为不动点法． （2）在数列 中， 已知，且 时， （ 是常数）， ①当 时，数列 为等差数列； ②当 时，数列 为常数数列； ③当 时，数列 为等比数列； ④当 时，称 是数列 的一阶特征方程， 其根 叫做特征方程的特征根，这时数列 的通项公式为： ； （3）形如 a 1 =m 1， a 2 =m 2， a n+2 =p⋅a n+1 +q⋅a n（p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得 a x2 =px+q 通项 n，其特征方程为 （*）． β c c （1）若方程（*）有二异根α、 ，则可令 （ 1、 2是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根α= β ，则可令 a n =(c 1 +nc 2 )⋅αn （ c 1、 c 2是待定常数）． c c a =m a =m (其中 1、 2可利用 1 1， 2 2求得) 知识点3 几种数列求和的常用方法 1、公式法 （1）等差数列 的前n项和 ，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列 的前n项和 ，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ① ；② ； ③ ； ④ 2、分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和， 注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列； n n n n n ②通项公式为a＝的数列，其中数列{b }，{c}是等比数列或等差数列. n n n 3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a＝(－1)nf(n)类型， n 可采用两项合并求解． 例如， ． 4、倒序相加法：如果一个数列{a}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那 n 么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通 过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 一、已知S 求a 的三个步骤 n n （1）利用a＝S 求出a. 1 1 1 （2）当n≥2时，利用a＝S－S (n≥2)求出a 的表达式． n n n－1 n （3）看a 是否符合n≥2时a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形 1 n 式，即a＝ n 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解． n n n－1 n n－1 （2）利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解． n n－1 n n n－1 【典例1】（2023·山东烟台·校联考三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 （ ） A．20 B．19 C．18 D．17【典例2】（2023·广东广州·高三校考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，记数列 的前 项和 ， 且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二、累加法求通项公式 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足： ， ，则数列 的通项公式为 ． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若 是函数 的极值点，数 列 满足 ， ，则数列 的通项公式 ． 三、累乘法求通项公式 形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造： 【典例1】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若 ，则通项公式 .【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，求 . 四、形如 的构造法 形如 （ 为常数， 且 ）的递推式，可构造 ，转化为等 比数列求解．也可以与类比式 作差，由 ，构造 为等比数列， 然后利用叠加法求通项． 【典例1】（2023春·四川泸州·高三校考开学考试）若数列 满足， ， ， 则数列 的前 项和 . 【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，且 （ ，且 ）， 则数列 的通项公式为 ． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 且 ，则数列 的通项公式为 . 五、形如 的构造法 形如 ， ）的递推式，当 时，两边同除以 转化为关于 的等差数列；当 时，两边人可以同除以 得 ，转化为 ． 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项 公式．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足： ， （ ），数列 满足： ．求数列 的通项公式． 六、形如 的构造法 通过配凑转化为 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的通项公式． 【典例2】（2022秋·河北保定·高三校考期中）若 ， ，则 ； 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ，则数列 的通 项公式为 . 七、取倒数法求通项 对于 ，取倒数得 ． 当 时，数列 是等差数列； 当 时，令 ，则 ，可用待定系数法求解． 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 且 ，则 为（ ） A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ，则 的通项公式为 ． 八、裂项相消法求数列的前n项和 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相 消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 1 1 1 1 1 1 1 1  (  )  (  ) （1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n1 1 1 1 1  2n1 1 1       （3） n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2) （4） n2(n1)2 n2 (n1)2 n1 1 1 1  1 1      ( nk  n) （5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k 2n (2n11)(2n 1) 1 1    (2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11 （7） 【典例1】（2023·江西景德镇·统考三模）在数列 中， ， ， 则数列 的前 项和 （ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）数列 中， ， ，则 （ ） A．97 B．98 C．99 D．100 【典例3】（2023·四川绵阳·校考模拟预测）设数列 的前n项和为 ， ． （1）求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．（2）若数列 的前m项和 ，求m的值， 九、错位相减法求数列的前n项和 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的 n n n n 表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． c =(An+B)⋅qn 3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法． T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn n ① qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1 n ② 得： ． An B A B A T =( + − )qn+1 −( − )q 整理得： n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2 ． 【典例1】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列. （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和，求 和 .【典例2】（2023秋·河南郑州·高三校考阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求 . 【典例3】（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列 满足： . （1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 易错点1 由 求 时忽略对“ ”检验 点拨：在数列问题中，数列的通项 与其前n 项和 之间关系如下 ，在使 用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛ ｝的 与 关系时，先令 求出 首项 ，然后令 求出通项 ，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令 求出 通项 ，也不对 进行检验。 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 ，则 . 【典例3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 易错点2 裂项求和剩余项出错 点拨：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩 余的正数项，则后面剩余的是负数项． 【典例1】（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知在数列 中， ， ，且 为等差数列． （1）求 的通项公式； （2）记 为数列 的前n项和，证明： ． 【典例2】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 . （1）求 ； （2）求 . 【典例3】（2023·河南·模拟预测）记 为等差数列 的前n项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n项和 ．