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第 17 节 等比数列及前 n 项和
基础知识要夯实
1．等比数列的定义
如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 ( 不为零 )，那么这个数列
叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a}的首项为a，公比为q，则它的通项a＝a · q n － 1 (a≠0，q≠0)．
n 1 n 1 1
3．等比中项
若 G 2 ＝ a · b _ ( ab ≠ 0) ，那么G为a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a · q n － m ，(n，m∈N )．
n m ＋
(2)若{a}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N )，则a · a ＝ a · a .
n ＋ k l m n
(3)若{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则{λa}(λ≠0)， ，{ }，{a·b}， 仍是等
n n n n n
比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S，
n n
S＝
n
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{a}的前n项和为S ，则S ，S －S ，S －S 仍成等比数列，其公比为
n n n 2n n 3n 2n
__ q n __.
难点正本 疑点清源
1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列中的函数观点
利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨
论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．两个防范
(1)由a ＝qa，q≠0并不能立即断言{a}为等比数列，还要验证a≠0.
n＋1 n n 1
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1
这一特殊情形导致解题失误．
典型例题剖析
考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]
1．已知等比数列{a}满足a＝ ，aa＝4(a－1)，则a 等于( )
n 1 3 5 4 2
A．2 B．1
C. D.
【答案】C
【解析】由{a}为等比数列，得aa＝ ，又aa＝4(a－1)，所以 ＝4(a－1)，解得a＝2.
n 3 5 3 5 4 4 4
设等比数列{a}的公比为q，则由a＝aq3，得2＝ q3，解得q＝2，所以a＝aq＝ .
n 4 1 2 1
2．(2022·湘东五校联考)已知在等比数列{a}中，a＝7，前三项之和S＝21，则公比q的值是( )
n 3 3
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
【答案】C
【解析】当q＝1时，a＝7，S＝21，符合题意；
n 3
当q≠1时，由 得q＝－ .
综上，q的值是1或－ ，故选C.
3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层
中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a}，则前7项的和S ＝381，公比q＝
n 7
2，依题意，得S＝ ＝381，解得a＝3.
7 1
4．已知等比数列{a}的前n项和为S，且a＋a＝ ，a＋a＝ ，则＝________.
n n 1 3 2 4
【答案】2n－1
【解析】设等比数列{a}的公比为q，
n∵ ∴
由①除以②可得 ＝2，
解得q＝ ，代入①得a＝2，
1
∴a＝2× n－1＝ ，
n
S＝ ＝4 ，
n
∴ ＝2n－1.
【方法技巧】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，
1 n n
一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1
n n 1
时，{a}的前n项和S＝ .
n n
考点二等比数列的判定与证明
【例1】已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，S ＝4a ＋2(n∈N*)，若b ＝a －2a ，求证：{b}
n n 1 n＋1 n n n＋1 n n
是等比数列．
【证明】因为a ＝S －S ＝4a ＋2－4a－2＝4a －4a，
n＋2 n＋2 n＋1 n＋1 n n＋1 n
所以 ＝
因为S＝a＋a＝4a＋2，所以a＝5.
2 1 2 1 2
所以b＝a－2a＝3.
1 2 1
所以数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列．
n
[解题技法]
等比数列的判定方法定义法 若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)或 ＝q(q为非零常数且n≥2，
n∈N*)，则{a}是等比数列
n
中项公式法
若数列{a}中，a≠0且 ＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列
n n n n＋2 n
若数列{a}的通项公式可写成a＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则
n n
通项公式法
{a}是等比数列
n
前n项和公式 若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{a}是等比数
n n n
法 列
【提醒】(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空
题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
[过关训练]
1．对任意等比数列{a}，下列说法一定正确的是( )
n
A．a，a，a 成等比数列 B．a，a，a 成等比数列
1 3 9 2 3 6
C．a，a，a 成等比数列 D．a，a，a 成等比数列
2 4 8 3 6 9
【答案】
【解析】设等比数列{a}的公比为q，则a ＝aq2，a ＝aq5，a ＝aq8，满足(aq5)2＝aq2·aq8，即
n 3 1 6 1 9 1 1 1 1
＝a·a.
3 9
2．已知数列{a}的前n项和为S，且S＝2a－3n(n∈N*)．
n n n n
(1)求a，a，a 的值；
1 2 3
(2)是否存在常数λ，使得{a ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a ；若不存在，请说
n n
明理由．
【解析】(1)当n＝1时，S＝a＝2a－3，解得a＝3；
1 1 1 1
当n＝2时，S＝a＋a＝2a－6，解得a＝9；
2 1 2 2 2
当n＝3时，S＝a＋a＋a＝2a－9，解得a＝21.
3 1 2 3 3 3
(2)假设{a＋λ}是等比数列，则(a＋λ)2＝(a＋λ)(a＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
n 2 1 3
下面证明{a＋3}为等比数列：
n
∵S＝2a－3n，∴S ＝2a －3n－3，
n n n＋1 n＋1
∴a ＝S －S＝2a －2a－3，即2a＋3＝a ，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n＋1
∴2(a＋3)＝a ＋3，∴ ＝2，
n n＋1
∴存在λ＝3，使得数列{a＋3}是首项为a＋3＝6，公比为2的等比数列．
n 1
∴a＋3＝6×2n－1，即a＝3(2n－1)(n∈N*)．
n n
考点三等比数列的性质及应用
【例2】(1)已知等比数列{a}的各项为正数，且aa ＋aa ＝18，则log a ＋log a ＋…＋log a ＝(
n 5 6 4 7 3 1 3 2 3 10)
A．12 B．10
C．8 D．2＋log 5
3
(2)设等比数列{a}中，前n项和为S，已知S＝8，S＝7，则a＋a＋a 等于( )
n n 3 6 7 8 9
A. B．－
C. D.
(3)已知等比数列{a}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比q＝
n
________.
【答案】(1)B (2)A (3)2
【解析】(1)由aa＋aa＝18，得aa＝9，
5 6 4 7 5 6
所以log a＋log a＋…＋log a ＝log (aa…a )
3 1 3 2 3 10 3 1 2 10
＝log (aa)5＝5log 9＝10.
3 5 6 3
(2)因为a＋a＋a＝S－S，且S，S－S，S－S 也成等比数列，即8，－1，S－S 成等比数列，
7 8 9 9 6 3 6 3 9 6 9 6
所以8(S－S)＝1，即S－S＝ ，
9 6 9 6
所以a＋a＋a＝ .
7 8 9
(3)由题意，得
解得 所以q＝ ＝2.
[解题技法]
应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋
q(m，n，p，q∈N*)，则a ·a＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注
意设而不求思想的运用．
【跟踪训练】
1．在等比数列{a}中，如果a＋a＝40，a＋a＝60，那么a＋a＝( )
n 1 2 3 4 7 8
A．135 B．100
C．95 D．80
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，a ＋a ，a ＋a ，a ＋a ，a ＋a 成等比数列，其首项为40，公比为
1 2 3 4 5 6 7 8，所以a＋a＝40× ＝135.
7 8
2．已知数列1，a，a 9是等差数列，数列1，b，b，b 9是等比数列，则 ＝________.
1 2, 1 2 3,
【答案】
【解析】因为数列1，a，a 9是等差数列，所以a＋a＝1＋9＝10.因为数列1，b，b，b 9是等比
1 2, 1 2 1 2 3,
数列，所以 ＝1×9＝9，又b＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b＝3，则 ＝ .
2 2
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ，则公比 （ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 2.故选：D
2．已知数列 的前 项和为 ， ， ，且 ，若
对任意 都成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】数列 的前n项和为 ， ， ，且 ，
所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，
则 ，
故 ，
所以 ，
所以 ，
因为 对任意 都成立，
所以 ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
因此
即 ，故 的最小值为 ．故选：C
3．等比数列 中， ， ，数列 ， 的前 项和为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，所以 ，所以 .故选：B
4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分
为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，
已知第五实验室比第二实验室的改建费用高 万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高 万
元，并要求每个实验室改建费用不能超过 万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用
最多需要（ ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
【答案】C
【解析】设装修费为x万元，设备费为 ， ，
由题意得： ，解得 ，所以 ，
又因为每个实验室改建费用不能超过 万元，
所以 ，解得 ，
所以这十个实验室投入的总费用最多需要：
，故选：C
5．在正项数列 中，首项 ，且 是直线 上的点，则数列
的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正项数列 中， ，且 是直线 上的点，
可得 ，所以 ，可得数列 是首项为2，公比为2的等比数列，则 的前 项和 .故选：B
6．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ，又 ，可得 ，∴ .故选：A
7．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的
本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取
款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取
出的钱共有（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】D
【解析】设此人2020年6月1日存入银行的钱为 元，2021年6月1日存入银行的钱为 元，以
此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为 元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有 元．
由题意，得 ， ， ，……，
，
所以 ．
故选：D．
8．已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选C．
9．已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得数列 为等比数列
所以 故选：A
10．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1023 B．511 C． D．
【答案】A
【解析】设数列 的公比为 ，由题意可得 ，所以 ，
由题得 .故 .故选：A.
11．等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，
解得 ，即 ，所以 ，故选：D.
12． 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数
字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产
方式带来巨大的变化．目前我国最高的 基站海拔 米．从全国范围看，中国 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有 个工程队共承建 万个基站，从第二个工程队开始，
每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设每个工程队承建的基站数形成数列 ，
则由题可得 ，故 是以 为公比的等比数列，
可得 ，解得 .故选：B.
二、填空题
13．已知等比数列 的前n项和 ，且 成等差数列，则 的值为___________.
【答案】-2
【解析】因为等比数列 的前n项和 ，
当 时； ；
当 时， ，
所以 ①，
.又 成等差数列，
所以 ，即 ②
.由①②解得 ，
所以 .故答案为：-214．若数列 满足 ，则称 为“追梦数列”.已知数列 为“追梦数列”，
且 ，则数列 的通项公式 __________.
【答案】 ##
【解析】根据题意，“追梦数列” 满足 ，即 ，则数列 是公比
为 的等比数列.
若数列 为“追梦数列”，则 .
故答案为： .
15．设等比数列 的前n项和为 ．若 ， ， ，则 _________．
【答案】155
【解析】由等比数列的性质可知 ， ， ， ， 是等比数列，
由条件可知 ， ，则此等比数列的公比 ，又 ，
所以 ， ，
所以 .故答案为：155
16．已知等比数列 的公比 ，其前n项和为 ，且 ，则数列
的前2021项和为___________.
【答案】【解析】因 ，
所以 ，所以 ，得 或 （舍去），所以 ，故 .
因为 ，
所以 .
故答案为：
三、解答题
17．已知正项数列{an}的首项a＝1，其前n项和为Sn，且an与an 等比中项是 ，数列{bn}
1 +1
满足： ．
（Ⅰ）求a，a，并求数列{an}的通项公式；
2 3
（Ⅱ）记 ，n∈N*，证明： ．
【解析】（Ⅰ）由an与an 等比中项是 ，得2Sn＝anan ，①
+1 +1
分别取n＝1，2，得2a＝aa，2（a+a）＝aa，解得a＝2，a＝3．
1 1 2 1 2 2 3 2 3
于是有2Sn ＝an an ，②
+1 +1 +2
联立①②可得an ﹣an＝2．
+2
∴{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，
又a＝1，a＝2， ，
1 2
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n；
（Ⅱ）证明：依题意， ，
当n≥2时， ，两式相减得 ．
又 也符合上式，
∴ ，
则
．
∴ ．
18．已知正项数列 ，其前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由已知 ，①
所以有 ，②
②-①，得 ，即 ，∴ ，
所以数列 是公比为 的等比数列．
又 ，∴ ．所以
（2）由（1）得 ，当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，
19．已知等差数列{an}中，a+a＝16，a＝17．
1 5 6
(1)求数列{an}的通项公式；
(2){bn}为正项数列，若{bn}的前n项和为Sn，且S＝2，bn ＝Sn+2，
1 +1
求数列{an bn}的前n项和Tn．
【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a+a＝2a＝16，∴a＝8，
1 5 3 3
∴d 3，
故an＝8+（n﹣3） 3＝3n﹣1；
(2)当n≥2时，∵bn ＝Sn+2，bn＝Sn +2，
+1 ﹣1
∴bn ﹣bn＝bn，即bn ＝2bn，
+1 +1
当n＝1时，b＝S+2＝4，也满足bn ＝2bn，
2 1 +1
故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即bn＝2n，
故an bn＝（3n﹣1） 2n，
Tn＝（3﹣1） 2+（6﹣1） 22+……+（3n﹣1） 2n，①
2Tn＝（3﹣1） 22+（6﹣1） 23+……+（3n﹣1） 2n+1，②①﹣②得，
﹣Tn＝（3﹣1） 2+3 22+3 23+……+3 2n﹣（3n﹣1） 2n+1，
故Tn＝﹣4 （3n﹣1） 2n+1
＝ ．
20．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满足 ，
.
(1)求数列 的前n项和 ；
(2)若对于 ，总有 成立，求实数m的取值范围.
【解析】 (1)因为 ， ， 为等差数列，所以 ，所以 ，两式相减得
，
即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，
又 ， ，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以，
所以 ；
(2)
解：由（1）得不等式为 ，整理得 ，
令 ，则 ，
所以当 ， 时， ，即 ，
当 ， 时， ，即 ，所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 ，解得 .
所以实数m的取值范围为 .
21．已知数列 是递增的等差数列，数列 的前 项和
（1）求 的通项公式；
（2）若等比数列 的各项均为正数，且 ，求数列 的前 项和
【解析】（1）设 的公差为 ，
则 ，
即 ，所以 ，
解得 ，
所以 .
（2）设 的公比为 ，
由（1）知
解得
所以
因此
所以 ，
所以
22．已知数列 满足： ， .
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求使 成立的最大正整数n的值.（其中，
符号 表示不超过x的最大整数）【解析】∵ ，显然
∴ ，
是以 为首项，3为公比的等比数列
即 ，所以 .
（2）
.
因为n≥2时， ，
.
所以n≥2时， .
又n=1时， ，
所以 ； 时， ，所以 时，
.
由 ，及 ，得 .
所以使 成立的最大正整数n的值为45.
