第46讲数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 46 讲 数列中的奇偶项问题（微专题） 题型选讲 题型一、分段函数的奇偶项求和 例1、（深圳市罗湖区期末试题）已知数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 求数列 的前100项和. 【解析】 【小问1详解】 ， 所以 是常数列，即 ； 【小问2详解】 的 由（1）知， 是首项为2，公差为3 等差数列， 由题意得 ， ， 设数列 ， 的前50项和分别为 ， ， 所以 ， ， 所以 的前100项和为 ； 综上， ， 的前100项和为 . 变式1、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列 满足 ． (1)证明： 是一个等差数列；(2)已知 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）当 时，可得 ， 当 时，由 ， 则 ， 上述两式作差可得 ， 因为 满足 ，所以 的通项公式为 ，所以 ， 因为 （常数）， 所以 是一个等差数列． （2） ， 所以 ， 所以数列 的前 项和 ． 变式2、（2023·吉林·统考三模）已知数列 满足 的前n项和为 ． (1)求 ， ，并判断1024是数列中的第几项； (2)求 ． 【答案】(1) ， ；1024是数列 的第342项 (2)【详解】（1）由 可得 ， ． 令 ，解得： 为偶数，不符合题意，舍去； 令 ，解得： ，符合题意． 因此，1024是数列 的第342项． （2） ． 另解：由题意得 ，又 ， 所以数列 是以 为首项，4为公比的等比数列． ，又 ， 所以数列 是以4为首项，6为公差的等差数列． 为数列 的前n项和与数列 的前 项和的总和． 故 . 变式3、（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列 满足 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意 , 所以 , 因为 ,所以数列 是首项为2,公比为2的等比数列, 所以 ,即 ,而 , 所以 （2）方法一：由 得 方法二：因为 所以 变式4、（2023·湖南邵阳·统考三模）记 为等差数列{ }的前n项和，已知 ，数列{ }满足 . (1)求数列{ }与数列{ }的通项公式； (2)数列{ }满足 ，n为偶数，求{ }前2n项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列 的公差为d， ，即 ， ， . ，① ，② 所以①-②得， ， .当 时， ，符合 . .（2） ，依题有： . 记 ，则 . 记 ， 则 . 所以 变式5、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，其公比 ， ， 且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)已知 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 是等比数列，公比为 ，则 ， 所以 ，解得 ， 由 ，可得 ，解得 ， 所以数列 的通项公式为 ． （2）由（1）得 ，当n为偶数时， ； 当n为奇数时 ； 综上所述： . 题型二、含有（−1） n类型 例2、【2020年新课标1卷文科】数列 满足 ，前16项和为540，则 _____________ 【答案】 【解析】 ， 当 为奇数时， ；当 为偶数时， . 设数列 的前 项和为 ， ， . 故答案为： . a  a 2a 3a 变式1、（2021·山东济宁市·高三二模）已知数列 n 是正项等比数列，满足 3是 1、 2的等差中项，a 16 4 ． a  （1）求数列 n 的通项公式； （2）若 b n 1n log 2 a 2n1，求数列 b n  的前n项和 T n ． a  q 【解析】（1）设等比数列 n 的公比为 ， a 2a 3a 2a 2a 3a 2aq2 2a 3aq 因为 3是 1、 2的等差中项，所以 3 1 2，即 1 1 1 ， 1 q  因为 a 1 0 ，所以 2q2 3q20 ，解得q= 2或 2， a  q= 2 因为数列 n 是正项等比数列，所以 ． a 16 a aq 8a 16 a 2 a 22n1 2n 因为 4 ，即 4 1 1 ，解得 1 ，所以 n ； （2）解法一：（分奇偶、并项求和） a 22n1 由（1）可知， 2n1 ， b 1n log a 1n log 22n1 1n 2n1 所以， n 2 2n1 2 ， T 3579L 2n12n1 n ①若 为偶数， n n 3579L 2n12n1 2 n   2 ； T T b n12n1n2 n n3 ②若 为奇数，当 时， n n1 n ， T 3 n1 当 时， 1 适合上式， n,n为偶数 T  综上得 n n2,n为奇数（或T n n11n 1， nN ）； 解法二：（错位相减法） a 22n1 由（1）可知， 2n1 ，b 1n log a 1n log 22n1 1n 2n1 所以， n 2 2n1 2 ， T 11 312 513 7L 1n2n1 n ， T 12 313 514 7L 1n12n1 所以 n 2T 3212 13 L 1n1n12n1 所以 n   11n1 32 1n2n1311n1 1n2n1 2 22n21n ， 所以 T n n11n 1 ，nN 变式2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a}前n项和为S， ， . n n （1）求数列{a}的通项公式及前n项和S； n n （2）设 ，求{b}前n项和T. n n 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前 项和即 可； （2）根据（1）中所求即可求得 ，对 分类讨论，结合等差数列的前 项和公式，即可容易求得结果. 【详解】（1）由 得 . 又因为 ，所以 ， 则 ，解得 ；故 ， . （2） . 当 为偶数时： . 当 为奇数时： . 综上得 题型三、a +a 类型 n n+1例3、（2023·广东深圳·统考一模）记 ，为数列 的前n项和，已知 ， ． (1)求 ，并证明 是等差数列； (2)求 ． 【解析】（1）已知 ， 当 时， ， ；当 时， ， ，所以 ． 因为 ①，所以 ②． ②－①得， ，整理得 ， ， 所以 （常数）， ， 所以 是首项为6，公差为4的等差数列． （2）由（1）知， ， ， ． 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ． 综上所述， 变式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列 满足 ， ；数列 前 项和为 ，且 ， . (1)求数列 和数列 的通项公式； (2)设 ，求 前 项和 .【答案】(1) ， ； (2) . 【解析】 【分析】 （1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. (1) ， ，∴ ，又 ， ， （ 为正整数）时， 是首项为1，公差为2的等差数列, ∴ ， ， （ 为正整数）时， 是首项为1，公差为2的等差数列. ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 时， ，∴ ， 又 ，∴ 时， ， ，∴ ； (2) 由（1）得 ， 设 ① 则 ②① ②得 ， ，∴ 变式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列 满足 ， ；数列 前 项和为 ，且 ， . (1)求数列 和数列 的通项公式； (2)设 ，求 前 项和 . 【答案】(1) ， ； (2) . 【解析】 【分析】 （1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. (1) ， ，∴ ，又 ， ， （ 为正整数）时， 是首项为1，公差为2的等差数列, ∴ ， ， （ 为正整数）时， 是首项为1，公差为2的等差数列. ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 时， ，∴ ， 又 ，∴ 时， ， ，∴ ；(2) 由（1）得 ， 设 ① 则 ② ① ②得 ， ，∴