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人教A版数学--数列专题五
知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项
的应用,
数列不等式能成立（有解）问题
典例1、已知数列 中， ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围．
随堂练习：已知等差数列 中，公差 ， ， 是 与 的等比中项，设数列
的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求实
数 的取值范围.典例2、已知数列 、 满足 ， ， ， ﹒
（1）求证： 为等差数列，并求 通项公式；
（2）若 ，记 前n项和为 ，对任意的正自然数n，不等式 恒成立，求
实数 的范围．
随堂练习：已知数列 满足 ， （ 为非零常数），且
.（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若数列 满足 ，且 ；
（i）求数列 的通项公式；
（ii）若对任意正整数i， ， 都成立，求实数 的取值范围.
典例3、已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足 ，
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足： ， ，若不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.随堂练习：已知数列 满足： ， ， ，且 ；等比数列
满足： ，
， ，且 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 都成立，求实
数 的取值范围．
知识点二 数列新定义
典例4、从一个无穷数列 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 的一个无穷递增子列．已知数列 是正实
数组成的无穷数列，且满足 ．
（1）若 ， ，写出数列 前 项的所有可能情况；
（2）求证：数列 存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数 ，都存在 ，使得 ．
随堂练习：给定正整数m，数列 ，且 .对
数列A进行T
操作，得到数列 .
（1）若 ， ， ， ，求数列 ；
（2）若m为偶数， ，且 ，求数列 各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列 为常数列”的充要条件，并给出证明.典例5、已知数列 为无穷递增数列，且 ．定义： 数列 ： 表示满足
的所有i中最大的一个．数列 ： 表示满足 的所有i中最小的一个（
，2，3…）
（1）若数列 是斐波那契数列，即 ， ，（ ，2，3，…），
请直接写出 ， 的值；
（2）若数列 是公比为整数的等比数列，且满足 且 ，求公比q，并求出
此时 ， 的值；
（3）若数列 是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得 ， 都是等差数
列．
随堂练习：对于数列 ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
， ，…，
， ，记 ， ， ．对于数列 ， ，…，与 ， ，…， ，定义 ．若数列 ， ，…，
满足 ，则称数列 为 数列．
（1）若 ，写出 ，并求 ；
（2）对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 若存在，
写出一个数列 ，若不存在，说明理由：
（3）若 数列 满足 ，求数列A的个数．
典例6、已知数列 为有限数列，满足 ，则称 满足性质
.
（1）判断数列 和 是否具有性质 ，请说明理由；
（2）若 ，公比为 的等比数列，项数为12，具有性质 ，求 的取值范围；
（3）若 是 的一个排列 符合 都具
有性质 ，求所有满足条件的数列 .随堂练习：已知数列 ，给出两个性质：①对于任意的 ，存在 ，当
时，都有 成立；②对于任意的 ，存在 ，当
时，都有 成立．
（1）已知数列 满足性质①，且 ， ，试写出 的值；
（2）已知数列 的通项公式为 ，证明：数列 满足性质①；
（3）若数列 满足性质①②，且当 时，同时满足性质①②的 存在且唯一.
证明：数列 是等差数列．
人教A版数学--数列专题五答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析； （3）
解：（1）由题意得：（2） 为常数
数列 是首项为2，公差为1的等差数列
（3）
令 ，
当 时， ， 递增 当 时， ， 递减
当 或n=3时， 有最大值
随堂练习：答案： （1） ， （2）
解：（1）∵ 则 ，解得 或 （舍去）
∴ . 又∵ ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，即 ，
则数列 是以首项 ，公比为 的等比数列，
∴ .
（2） ，，
两式相减得：
∴
∵ 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立
①当 是奇数时， 任意的 '恒成立 ∴ 对任意的
恒成立
②当 是偶数时， 对任意的 恒成立 ∴ 对任意的
恒成立
令 ， 对任意的 恒成立 ∴
为递增数列
①当 是奇数时，则 ，即 ②当 是偶数时，则 ∴
.典例2、答案： （1）证明见解析； . （2） .
解：（1）∵ ， ，两边同除以 得： ，从而 ，
，
是首项为1，公差为1的等差数列， ， ∴ ；
（2）由 ， ，
∴ ，∴ ， ∴
，
∴ ， ，
两式相减得， ，
∴ ＝ ，
中每一项 ， 为递增数列，∴ ，
∵ ，∴ ， ， .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）（i） ；（ii）解：（1）由 可得
即 ，
因此 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）（i）因为
所以由 可得
因此
即
（ii）当n为奇数时， 单调递减，得 ；
当n为偶数时， 单调递增，得 ；
因为 ，所以 ，
因此 的最大值为 ，最小值为 ，因为对任意正整数i， ， 都成立，所以 ，即
解得 .
典例3、答案： （1） ， ；（2） .
详解:（1）当 时， ，∴ ，
当 时，由
得： ，即 ，
∴数列 是公差为2的等差数列，
∵ ，∴ . 由条件得 ， ，
∴ ，即数列 是公比为2的等比数列， ∴ .
（2） ，设数列 的前 项和为 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ， ∴ ，
由 得 ， 累加得 ，
即 ， ∴ ， ∴ ，
令 ，则 ，∴ ，
∴ ， ∴ .
随堂练习：答案：（1） （ ）， （ ）， （2）
解：（1）由 两边同除 得： ，
两边同除 得： ， 则 ，
所以
，（ ）
所以 ，又 符合 ， 故 （ ），
（2）由 得： ，解得： ， 所以 （ ）.
∵ ， ∴ ①
∴ ②
由①-②得： ，
∴ .
则 ，由 得：，
因为 所以当 为偶数时， ；当 为奇数时，
.
故 所以 ，即 ，
故 的取值范围是 .
典例 4、答案： （1） 、 、 、 或 、 、 、 或 、 、 、 （2）证明见解析
（3）证明见解析
解：（1）由已知 ，即 ，可得 或 .
当 时，由 ，即 ，因为 ，可得 ；
当 时，由 ，即 ，因为 ，可得 或 .
因此，若 ， ，
写出数列 前 项的所有可能情况为： 、 、 、 或 、 、 、 或 、 、 、
.
（2）证明：对于数列 中的任意一项 ，
由已知得， 或 ，即 或 ．
若 ，则由 可得 ；若 ，则 ，此时 ，即 ．
设集合 ， 、 ，且 ，
， ， ， ， ， ，
则数列 是数列 一个无穷递增子列．
（3）证明：考察数列 和 ．
①当 或 时，显然成立；
②当 时，设 ，由（2）可知 ．
如果 ，那么 ， 或 ，于是总有 ，
此时 ；
如果 ，那么 ， 或 ，于是总有 ，
此时 ．
综上，当 且 时总有 ． 所以
，
所以 ， ， ， ，
叠加得 ， ．
令 ，解得 ，
即存在 ，（其中 表示不超过 的最大
整数），
使得 ． 又因为 是 的子列，令 ，则 ．由①②可知，对于任意实数 ，都存在 ，使得 ．
随堂练习：答案： （1） （2） （3） ，证明见
解析
解：（1）由题意 时， ， ， ，由 ，知 ，
所以 ， ， ， ， 故 .
（2）记数列 的所有项和为S，
因为 ，且 ，所以 ，
则 ，故 .
当 ， 或 ， 时取到等
号，
所以当 ， 或 ， 时，
S取到最大值，为 .
（3）“数列 为常数列”的充要条件是 （ ）
证明如下：先证充分性：当 （ ）时，
，
所以 为常数列； 再证必要性：当 为常数列时，记
，设 中有x个 ，则必有 个 ，
将数列 的所有项相加得： ，由 ，且m
为奇数，
所以 ，
所以 ，由 得： ，所
以 ，
所以 .
典例5、答案： （1） , （2） , , （3）
解：（1）数列 是斐波那契数列,则 的项分别是
当 时,则 ;当 时,则 ,当 时,则 ;当
时,
则
以此类推,可知当 时, 表示满足 的所有i中最大的一个,
所以 , 表示满足 的所有i中最小的一个,所以
（2）因为数列 是公比为整数的等比数列,故公比
当 时, 的项为 , 表示满足 的所有i中最大的一个,所以
,
同理 ; 表示满足 的所有i中最小的一个,所以 ,同理 ,符合题意.
当 时, 的项为 , 表示满足 的所有i中最大的一个
，不符合,当 时, 的项增长的更快速,此时 ,故
不符合题意.综上, , ,
（3）由数列 是公差为d的等差数列,且单调递增,所以 ,又因为
,
设数列 , 的公差分别为 ,则
则 ,
当 时, 满足
由于 是任意正整数,故可知
同理可知当 时, 满足
由于 是任意正整数,故可知 ,综上可知 ,又因为 ,
所以 可以是任意一个正整数.故
随堂练习：答案： （）1 ； ；（2）不存在适合题意的数
列 ；（3） .
解：（1）由 ， 可得 ，， ∴ ；
（2）∵ ，
由数列A为 数列，所以 ，
对于数列 ， ，…， 中相邻的两项 ，
令 ，若 ，则 ，若 ，则 ，
记 中有 个 ，有 个 ，则 ，
因为 与 的奇偶性相同，而 与 的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列 ；
（3）首先证明 ，
对于数列 ， ，…， ，有 ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
∵ ，
，
∴ ， 故 ，
其次，由数列 为 数列可知， ， 解得 ，
这说明数列 中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列 中 的个数为 个，此时数列 有 个，所以数列 的个
数为 个.典例 6、答案：（）1 满足， 不满足 （2）
（3）共 4 个满足，分别是 ： 和 和 和
解：（1）对于第一个数列有 ，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有 不满足题意，该数列不满足
性质 .
（2）由题意可得， 两边平方得：
整理得：
当 时，得 ， 此时关于 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ， 所以 或者 ，
所以取 .
当 时，得 ， 此时关于 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ， 所以 ，所以取
.
当 时，得 .
当 为奇数的时候，得 ，因为 ，故显然成立
当 为偶数的时候，得 ，因为 ，故显然不成立，故当 时，矛盾，舍去.
当 时，得 . 当 为奇数的时候，得 ，
显然成立，
当 为偶数的时候，要使 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ，
所以 或者 ，所以取 . 综上可得， .
（3）设 ， ，
因为 ， 故 ， 所以 可以取 或者 ，
若 ， ，则 ， 故 或 （舍，因为
），
所以 （舍，因为 ）.
若 ， ，则 ， 故 （舍，因为 ），或
所以 （舍，因为 ）.
所以 均不能同时使 ， 都具有性质 .
当 时，即有 ， 故 ，故
，
故有数列 ： 满足题意.
当 时，则 且 ，故 ，故有数列 ： 满足题意.
当 时， ， 故 ，故
，
故有数列 ： 满足题意.
当 时，则 且 ， 故 ，
故有数列 ： 满足题意. 故满足题意的数列只有上面
四种.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
解：（1）因为数列 满足性质①，且 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 ，同理可得： .
（2）因为数列 的通项公式为 ，所以，对于任意的 ，令
，则 ，
.
又 ，则 ，即 .
又 ，所以 ， 即对于任意的 .
所以，对于任意的 ，令 ，则当 时，都有 成立，
所以，数列 满足性质①.
（3）由题意，数列 满足性质①②，且当 时，同时满足性质①②的 存在,
即对于任意的 ，存在 ，当 时，都有 成立，
所以，当 时， ， 即 .
对于任意的 ,有 ，
对于任意的 ,有 ,
，
又当 时，同时满足性质①②的 存在且唯一,
所以，当 时， , 所以，满足条件的数列 是等差数列.
