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特训 04 特例法、构造法解导数小题（八大题型）
例1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f'(x), 若对任意x>0都有
2f(x)+xf'(x)>0成立，则( ) .
A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)
C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)
一般解法：(构造法)令g(x)=x²f(x), 其导函数g'(x)=2xf(x)+x²f(x).
当x>0时，g(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0, 即函数g(x)在(0,+x)上单调递增.
∵函数f(x) 是定义在R上的偶函数，
:f(-x)=f(x),∴g(-x)=(-x)}f(-x)=x}f(x)=g(x),即函数g(x)为偶函数，
∴g(-2)=g(2), 而g(2)f(x)- 1,f(1)=2018,则不等式
f(x)>2017ex-1+1的解集是________. .
一般解法：(构造法)构造F（x）=
特例法：令f(x)=2018ex-1
答案：（1，+∞）
目录：01 ：抽象函数—比较大小问题
02 ：抽象函数—利用导数解不等式
03 ：抽象函数—求参数范围
04 ：恒成立、存在性、有解问题
构造法解决导数问题
05 ：最值问题
06 ：零点、方程的根问题
07 ：其他问题
08：分段函数
01 ：抽象函数—比较大小问题
1．已知定义在 上的函数 的导数为 ，若 ，且 ，则下列式子中一定成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，得到 ，得到 在 上单调递增，再由 ，得到 ，
结合选项，逐项判定，即可求解.
【解析】因为当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，可得 ，
对于A中，由 ，即 ，所以 ，所以A不正确；对于B中，由 ，即 ，所以 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，即 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，即 ，所以 ，所以D不正确.
故选：C.
2．已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足： ，
，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意令 ，利用导数及题干所给条件求得 的单调性，利用函数的对称性，可
得 ，对其进行比较即可判断各选项.
【解析】令 ，则 ，
函数 满足 ，
当 时 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减，
又由 ，
即函数 的图象关于 对称，从而 ，
对于A， ， ， ，A错误；对于B， ， ， ，B错误；
对于C， ， ， ，C正确；
对于D， ， ， ，D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数 ，利用导数法研究函数的单调性，结合函
数的对称性即可.
02 ：抽象函数—利用导数解不等式
3．已知函数 的定义域为 ，且 ，对任意 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由 恒成立， 在 上单调递减，由
可得 ，由单调性解不等式即可.
【解析】设 ，则 ，
对任意 ， ， 恒成立，即 在 上单调递减，
由 可得 ， ，解得 ，即解集为 .
故选：A
4．若函数 的定义域为 ，满足 ， ，都有 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题为构造函数类型题，根据已知条件 结构特征可知 该部分是某
个函数的导函数变形所得，由问题中的不等式 提示可得到该函数为 ，再结
合函数的单调性情况即可进一步求解出答案.
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以构造函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
所以不等式 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，所以不等式的解集为 ，
故选：D.
5．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时 ，则不等式
在 上的解集为 ．
【答案】
【分析】先得出 的周期以及对称轴，再利用导数证明 在 上恒成立，通过对称性画出
函数 和 在 上的简图，由图象得出解集.
【解析】因为 为定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
所以 ，
则 ，所以函数 为周期为4的函数，且图像关于 对称.
令 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 .
设 ， ，
则 ，
所以函数 在 上单调递减，
则当 时， ，即 ，
所以 在 上恒成立，
结合对称性可画出函数 和 在 上的简图，如下图所示：
由图象可知，不等式 在 上的解集为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用导数证明 在 上恒成立，进而结合图象进行求解.
6．设函数 在 上的导函数为 ，已知 ， ，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用求导法则构造新函数，解出 代入不等式，运算即可得解.
【解析】解：由题意得 ，
∴ ，令 ，
则 ，
∵ ，∴
∴ ，
∴ ，
则有 ，解得 ，
所以，所求解集为 .
【点睛】本题考查函数的导数的应用和一元二次不等式的解法，关键在于恰当构造函数.构造函数的主要思
路有：
（1）条件中出现 和 时，适当转换后考虑根据商的求导法则令 ；
（2）条件中出现 和 时，适当转换后考虑根据积的求导法则令 .
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等
式 的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数 ，由已知得出 为偶函数，且在 上是增函数，在 上为减函数，将 转化为 求解即可．
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
即 在 上是增函数，由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，又 ，
所以 是偶函数，所以 在 上递减，
所以 ，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
8．已知 为定义域 上函数 的导函数，且 ， ，
且 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据导数的对称性求得原函数的对称性，构造函数，通过不等式可得新函数导数与零的大小，可
得其单调性，解得答案.
【解析】由 ，整理可得 ，则函数 关于成中心对称，
所以 关于直线 成轴对称，当 时， ，由 ，则 ，
由函数 的导数为 ，
则函数 在 上单调递增，易知在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【点睛】本题的接解题关键在于根据已知等式得到函数的对称性，利用构造函数的思想解题.
03 ：抽象函数—求参数范围
9．设定义域为 的偶函数 的导函数为 ，若 也为偶函数，且
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先令 ，判断 的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求
解不等式．
【解析】因为 为偶函数，
所以 ，所以 ，
令 ，
因为 为偶函数，则 ，即 ，
即 ，
所以 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令 ，从而推导出 ，即可得到函数的
单调性.
10．已知函数 在 上连续且存在导函数 ，对任意实数 满足 ，当
时， .若 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先变形等式，并构造函数 ，并判断函数的对称性和单调性，将不等式变形为
，利用函数的性质，即可求解不等式.
【解析】由 ，可得 .
令 ，则 ， ，所以 的图象关于直线 对称.
当 时， ，所以 ，
又 在 上连续，所以 在 上单调递增，且在 上单调递减，由 ，可得 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数 ,利用函数 的性质，求解不等式.
04 ：恒成立、存在性、有解问题
11．已知定义在 上的单调递增函数 满足 恒成立，其中 是函数 的导函数.若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，构造函数 ，讨论函数 的单调性，将
转化为 ，结合单调性解不等式即可求解.
【解析】由题意知， 在 上单调递增，则 ，
不等式 恒成立转化为 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即实数m的取值范围为 .
故选：D12．设函数 ，则函数 的最小值为 ；若对任意 ，存在 不等式
恒成立，则正数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令 ， ，问题转
化为 ，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.
【解析】 的导数为 ，
则 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
可得 在 处取得极小值，且为最小值 ；
令 ， ，
又对任意 ，存在 ，
有 恒成立，即 恒成立，即 ；
时， ，当且仅当 时取得最小值2，
， ，
则 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
可得 在 处取得极小值，且为最小值 ；所以 ，由 ，可得 ．
所以 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运
用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
13．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【解析】由题意 ，不等式即 ，进而转化为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增.
则不等式等价于 恒成立.
因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，即 恒成立.
设 ，可得 ，
当 单调递增,当 单调递减．
所以 有最大值 ，于是 ，解得 ．
故选：B
【点睛】方法点睛：将已知条件转化为 ，通过构造函数 ，进而利用导数得到，进而计算求得结果.
14．若关于 的不等式 在 内有解，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将由不等式转化为 ，令 ，得到 ，令函数
，问题转化为存在 ，使得 ，利用导数求得函数 的单调性，
结合 ，得到 且 ，即可求解.
【解析】由不等式 ，即 ，
令 ，即有 ，
又由 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，问题转化为存在 ，使得 ，
因为 ，令 ，可得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，若存在 ，使得 成立，只需 且 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
15．已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为 在 上有解，得到 在 上有解，令
，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【解析】因为函数 ，可得 ，因为函数 在 上存在单调递减区间，
可得 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ，且 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，所以 .
故选：D．
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：
恒成立问题 有解问题
① 恒成立 ； 恒成立
① 有解 ；
．
有解 ．
② 恒成立 ；
② 有解 ；
恒成立 ．
有解 ．
③ 恒成立
③ 有解
；
；
恒成立
有解
． ．
④ ，使得
④
．
．16．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 恒成立， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.
【解析】由 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令 ，由导数证明单调递增，不等式
变形为 ，利用单调性解即可.
17．已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，不等式 恒成
立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，则由题意可知 ，设 ， ，则有
，不等式等价于 ，利用单调性求解即可.【解析】设 ， ，不等式 恒成立，可知
，
设 ， ，则 ， ，
且 ，
于是 在 上单调递增，注意到 ，
不等式 ，等价于 ，
即 ，得 ，解出 .
故选：A．
【点睛】方法点睛：证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多
问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
05 ：最值问题
18．已知函数 ， ，若 ，则 的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】先求得 的表达式，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得 的最大值
【解析】设 ，则有 ，解之得 ，
，解之得 ，则有
令 ，则
令 ，则 恒成立，
则 时， 单调递减，又 ，
则 时， ， ， 单调递增，
时， ， ， 单调递减，则 ，则 的最大值为0.
故 的最大值是0.
故选：B
19．若对任意的 ，且 ，都有 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 变形为 ，构造函数 ，可判断 在
上单调递减，进而利用导数求出 的递减区间，列出不等式，即可得答案.
【解析】由题意知 ，且 ，
故 ，即 ，
故 ，令 ，则 在 上单调递减，
又 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 ，则 ，
即 的最小值是 ，
故选：B
06 ：零点、方程的根问题20．若函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 在 上没有零点，即 上 ，则 ，构造函数
，利用导数研究 的值域即可得出结果.
【解析】 ,
因为 在 上没有零点，所以在 上 ，
时， ，
时， 即可，令 ， 且 ，
，
所以 时， 或 ，
所以 时， ， 单调递增， 且 ，时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增，
， ， 时， .所以 的值域为 ，
因为 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：D
21．若方程 在 上有实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，化简得到 ，设 ，得到 ，求得
，得到 为增函数，转化为方程 在 上有实根，设 ，
利用导数求得函数 的单调性，结合 ，进而求得 的范围.
【解析】由 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，其中 ，
设 ，则 ，
又因为 ，所以 在 上为增函数，所以 ，即 ，
所以问题转化为方程 在 上有实根，
设 （ ），则 ，所以 在 上是减函数，
所以 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】关键点睛：解本题的关键是通过函数 的单调性，把 在 上有实根转化
为 在 上有实根，对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导
式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问
题．
07 ：其他问题
22．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】不等式等价于 ，构造函数 ，求导，确定
单调性，利用单调性解不等式即可.
【解析】由 ，
即 ，得 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，
故由 得 ，所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：同构法解不等式
将不等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将不等式整理为
，从而构造函数 ，不等式化为
，由 的单调性解不等式.
23．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，求导可得 在 上单调递增，即可得 ，从
而得出 大小，构造函数 ，求导可得 在 上单调递增，即可得
，从而得出 大小，即可得结论.
【解析】解：设 ， ，所以 ，
，所以 单调递增，
则 ，
所以 ，则 ；
， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，故 ，故 .
故选：C.
08：分段函数
24．已知函数 ，若方程 有且仅有两不等实根，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【分析】由题意，构造函数 ，方程 有且仅有两不等实根，即直线
与函数 的图象有两个交点，作出函数的图象，根据交点的情况得到答案．
【解析】当 时，方程 可化为 ，即 ，
当 时，方程 可化为 ，即 ，
令 ，方程 有且仅有两不等实根，即直线 与函数 的图象
有两个交点，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时， 取
极小值－2．
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当 时， 取极小
值－2．根据以上信息，作出 的图象如图，
由图可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个交点，即方程 有
且仅有两不等实根．
故答案为： ．
25．已知函数 ，则 的零点为 ，若 ，且 ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数以及零点的定义，令 即可解得函数的零点；由 可知 在1
的左右两侧，分别代入计算得出 的关系式，将 消元之后构造函数即可求得其取值范围.
【解析】令 ，
即 ，解得 不合题意，舍去；
或 ，解得 ，符合题意；
所以，函数 的零点为 .
由 ，且 可知，当 时， ,不合题意；
当 时， ，不合题意；
所以， 分别属于两个区间，不妨取 ，
则 ，即 ；
所以，
则 ，
令 ，所以
令 ，得 ，
当 时， ，即函数 在 上为单调递减；
当 时， ，即函数 在 上为单调递增；
所以函数 在 时取最小值，
即 ，即
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
【点睛】方法点睛：本题在求解 的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双
变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.
26．已知函数 ，点 是函数 图象上不同的两个点，设 为坐标原点，则
的取值范围是 ．
【答案】【分析】设切点坐标为 ，求得切线方程为 ，将原点代入该
切线方程求得 ，构造函数 ，利用导数求得函数 的单调性，得到切线方程为
，再设过原点的切线为 ，联立方程组，结合 ，求得切线为 ，设直线 与
的夹角为 ，结合 ，即可求解.
【解析】当 时， ，可得 ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，作出函数 的大致图象，如图所示，
设过原点的直线与函数 的图象相切的直线方程为 ，
其中切点坐标为 ，则切线方程为 ，
将原点代入该切线方程可得 ，即 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，且 ，
可得 ，所以 ，切线方程为 ，
又由函数 ，设过原点的切线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
令 ，解得 或 （舍去），即切线方程为
设直线 与 的夹角为 ，直线 的倾斜角为 ，则 ，可得 ，
结合图象可知，当 均在 的图象上时，
，可得 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
【答案】B【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，结合 可得答案.
【解析】由 得 ，设 ，则 ，
又 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
因为 ，所以 ．
结合选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离参数 ，整理为 ，构造函数 ，单调递增，得
到 ，再构造 ，进而得到 ，从而 .
【解析】 ， ，且 ，
两边加上 得 ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
，即 ，
令 则 ，
的定义域是 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得极大值即为最大值， ，
， .
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将
整理为 ，从而构造函数 求解.
3．（2024·河南·模拟预测）已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为 恒成立，令 ，利用导数求得 为单调递增函数，
得到 恒成立，进而转化为 恒成立，构造函数 ，利用导数求得 单调
性和最小值，即可求解.
【解析】因为 ，所以整理不等式 ，
可得 ，转化为 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，所以 恒成立，
又因为 ，所以 ，所以 对任意的 恒成立，即 恒成立，
构造函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以，当 时， ，所以 ，即 ．
故选：B．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，然后由已知可得 的单调性，最后将不等式转化为
，即可得到答案.
【解析】 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增.由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
从而原不等式 可化为 ，即 ，此即为 .
由于 在 上单调递增，故这等价于 ，所以不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列命题正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据零点可将问题转化为 ，构造 ，求导即可根据函数的单调性得函数的大
致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数 ，结合函数的单调性即
可求解B，根据 可得 ，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.
【解析】由 可得 ，令 ，其中 ，
则直线 与函数 的图象有两个交点， ，
由 可得 ，即函数 的单调递增区间为 ，
由 可得 ，即函数 的单调递减区间为 ，
且当 时， ，当 时， ， ，
如下图所示：由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，故A错误；
由图可知， ，
因为 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，则必有 ，
所以， ，则 ，
令 ，其中 ，
则 ，则函数 在 上单调递减，
所以， ，即 ，即 ，
又 ，可得 ，
因为函数 的单调递减区间为 ，则 ，即 ，故B错误；
由 ，两式相加整理可得 ，
所以， ，可得 ，故C错误；
由图可知 ，则 ，又因为 ，所以， ，故D正确.故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数 在 上恰有两个极值点， 在 上有两个变号零点，分离常数得 ，
转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数 的单调性，求图
象在 上与 轴有两个交点的条件.
【解析】解法一： 由题意可得 ，因为函数 在 上恰有两个极值点，所以
在 上有两个变号零点．
令 ，可得 ，令 ，
则直线 与函数 ， 的图象有两个不同的交点，
，
当 时， ，所以 在 上单调递增，当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ，当x趋近于0时， 趋近于+∞，当x趋近于π时， 趋近于+∞，
所以可作出 的图象如图所示，数形结合可知 ，
即实数a的取值范围是 ，
故选：D．
解法二 由题意可得 ．因为函数 在 上恰有两个极值点，所以 在 上
有两个变号零点．
当 时， 在 上恒成立，不符合题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因为 ， ，所以 ，则 ，即实数a的取值范围是
，
故选：D．【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
7．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数求得 在 上单调递减，把不等式转化为 ，即可求
解.
【解析】设函数 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：D.
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，当 时，都
有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，求导，分离参数求最值即可.【解析】不等式 等价于 ，
令 ，根据题意对任意的 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， 单调递减.所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1） 恒成立 ；
（2） 恒成立 .
二、多选题
9．（2024·江西·二模）若 恒成立，则实数 的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】分类讨论 的取值范围，构造函数，结合导函数与函数单调性、最值的关系即可求解．
【解析】由题知， ，
①当 时， 在 恒成立，
②当 时，由 ，则 ，即 恒成立，设 ，则 ，令 得 ，
所以当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 ，则 ，
所以 ，即 满足题意；
③当 时，设 ，则 ，令 ， ，
当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 在 单调递增，且 ， ，
所以 ，使得 ；
当 时， ，即 ，设 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ；
当 时， 即 ，设 ，
则 ，设 ，
，设 ，
则 ，
可知 在 内单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，
又因为当 时， ，
所以当 时， ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上， ，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：当 时， ，使得 ，当 时，设 ，
求得最小值 ；当 时，设 ，求得最小值 ，令
即可．
10．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数 的导函数为 ，若 ，均有 ，
则（ ）
A． B． （ 为 的二阶导数）
C． D． 是函数 的极大值点
【答案】AB
【分析】由 ，令 ，即可判断A；由已知得 ，即得函数 ，确定 ，从而可得 ，求导数，即可判断B；令 ，判断其单调性，即
可判断C；根据极值点与导数的关系可判断D.
【解析】由 ， ，令 ，则 ，A正确；
当 时，由 得 ，故 ，
即 ，则 （c为常数），则 ，
满足该式，故 ，则 ，
将 代入 中，得 ，
即 ，而 ，故 ，
则 ， ， ，
故 ，B正确；
令 ， ，故 在 上单调递增，
故 ，即 ，C错误；
由于 ，令 ，即得 ，
令 ，即得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是函数 的极小值点，D错误，
故选：AB
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A．若 为减函数，则 B．若 存在极值，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】对 求导可得 ，当 时， 也为减函数，可得A错误；若
存在极值可知 存在“变号”零点，可得B正确；由 可得 ，构造
并判断单调性可得 ，C正确；由 可得 ，易知 ，可得
，构造函数 并判断单调性即可求得 ，D正确.
【解析】因为 ，所以 ，
所以当 时， 为减函数，A错误．
若 存在极值，则 存在“变号”零点．
因为 可得 ，所以 ，即 ，B正确．
若 ，则 ，即 ．
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上是增函数，
所以 ，所以 ，C正确．若 ，即 ．由 ，得 ，即 ，
所以 ，易知 ，所以 ．
设 ， ．
设 ，所以 在 上单调递增，
结合 ，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增．
所以 ，所以 ，即 ，D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：在求解参数取值范围时，往往根据已知条件得出变量之间的基本关系，通过构造函数
得出函数单调性即可求得参数取值范围.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知实数 满足 ，则
【答案】2
【分析】由题意变形可得 ，构造函数 ，结合函数单调性可得 ，即可得
解.
【解析】由 ，则 ，即 ，由 ，则 ，
即有 ，即 ，
令 ，有 ，
则 ，故 在 上单调递增，故 ，
则 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到 ，从而构造函数 ，结合单调性得到
.
13．（2024·四川凉山·三模）已知函数 的零点为 ，则 ．
【答案】
【分析】先零点代入函数解析式得 ，构造函数 ，利用导数研究其单调性得 ，
再根据 的单调性计算即可.
【解析】 为函数零点 ，
．
令 ，
显然 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
令 ， ，
显然 时， ，即 在 上单调递增，
则 ，所以 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：先将零点代入函数解析式通过同型构造得 ，之后判定函数 的单调性得出 ，再根据 的单调性计算即可.
14．（2024·吉林·二模）若实数 满足 ，则称 为函数 与 的“关联数”.
若 与 在实数集 上有且只有3个“关联数”，则实数 的取值范围为
.
【答案】 或 ，
【分析】由题意可得 仅有3个解，即 仅有3个解，由此构造函数 ，利
用导数判断其单调性，结合函数奇偶性，可作出函数图象，进而将方程的解转化为函数图象的交点问题，
数形结合，列出不等式，即可求得答案.
【解析】由题意可知 与 在实数集 上有且只有3个“关联数”，
即 仅有3个解，即 仅有3个解，
显然不是该方程的解，则 ，即 仅有3个解，
设 ，定义域关于原点对称，且满足 。
即 为奇函数，
考虑 时的情况， ， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
则函数极大值为 ，且当 时， ；当 时， ；
结合函数 为奇函数，即可作出函数 的图象如图示：由于 仅有3个解，故 与函数 的图象仅有3个交点，
结合图象可得 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或
【点睛】方法点睛：根据题意将“关联数”转化为方程的解，进而将方程的解的问题转化为函数图象的交
点问题，结合方程的特征构造函数，利用导数判断其单调性，作出图象，数形结合，即可求解.
