4.6数列的通项公式（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_数列（包含一个合集）

4.6 数列的通项公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：累加法.........................................................................2
考点二：累乘法.........................................................................2
考点三：构造法.........................................................................3
考点四：倒数法.........................................................................3
考点五：隔项等差数列................................................................ 4
考点六：隔项等比数列................................................................ 4
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）........................................... 4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：累加法.........................................................................5
题型二：累乘法.........................................................................6
题型三：构造法.........................................................................7
题型四：倒数法.........................................................................7
题型五：an=Sn-Sn-1法.................................................................8
题型六：将an替换成Sn-Sn-1 ........................................................ 9
题型七：新数列前n 项和型........................................................11
题型八：对数变换法................................................................. 13
题型九：换元法....................................................................... 13
题型十：不动点法.................................................................... 13
模块三：综合巩固....................................................................... 14
4.6 数列的通项公式
模块一：基础知识
考点一：累加法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n




，则称数列
n
a
为“变差数列”，求变差数列
n
a
的通项时，利
用恒等式
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
3
1
2
1



















n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
a
f


3
2
(2)
a
a
f


4
3
(3)
a
a
f




1
(
1)
n
n
a
a
f n




将上述
1
n 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
2
1
3
2
4
3
1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a










=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n






整理得：
1
na
a

=
(1)
(2)
(3)
(
1)
f
f
f
f n






考点二：累乘法
若数列
n
a
满足
)
(
)
(
*
1
N
n
n
f
a
a
n
n



，则称数列
n
a
为“变比数列”，求变比数列
n
a
的通项时，利用
)
2
(
)1
(
)
3
(
)
2
(
)1(
1
1
3
4
2
3
1
2
1













n
n
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
2
1
(1)
a
f
a 
3
2
(2)
a
f
a 
4
3
(3)
a
f
a 


1
(
1)
n
n
a
f n
a 


将上述
1
n 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
2
3
4
1
2
3
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
n
a
a
a
a
f
f
f
f n
a
a
a
a 











整理得：
1
(1)
(2) (3)
(
1)
n
a
f
f
f
f n
a 





考点三：构造法
类型1：用“待定系数法”构造等比数列
形如
p
ka
a
n
n


1
（
p
k,
为常数，
0

kp
）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n




（其中：
1

k
p
m
），由此构造出新的等比数列

m
an 
，先求出

m
an 
的通项，从而
求出数列
na
的通项公式.
标准模型：
p
ka
a
n
n


1
（
p
k,
为常数，
0

kp
）或
1
n
n
a
ka
p



（
p
k,
为常数，
0

kp
）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如
)
(
*
1
1
N
n
q
p
qa
a
n
n
n






，可通过两边同除
1

n
q
，将它转化为
p
q
a
q
a
n
n
n
n




1
1
，从而构造数列






n
n
q
a
为等差数列，先求出






n
n
q
a
的通项，便可求得
na
的通项公式.
（2）形如
1
*
1
(
)
n
n
n
a
ka
q
n
N




，可通过两边同除
1

n
q
，将它转化为
1
1
1
n
n
n
n
a
a
k
q
q q


，换元令：
n
n
n
a
b
q

，
则原式化为：
1
1
n
n
k
b
b
q


，先利用构造法类型1 求出
nb ，再求出
na
的通项公式.
（3）形如
)
0
(
1
1





k
a
ka
a
a
n
n
n
n
的数列，可通过两边同除以
n
n a
a
1

，变形为
k
a
a
n
n




1
1
1
的形式，从而
构造出新的等差数列






n
a
1
，先求出






n
a
1
的通项，便可求得
na
的通项公式.
考点四：倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如
q
pa
qa
a
n
n
n


1
（
q
p, 为常数，
0

pq
）的数列，通过两边取“倒”，变形为
q
p
a
a
n
n



1
1
1
，
即：
q
p
a
a
n
n



1
1
1
，从而构造出新的等差数列






n
a
1
，先求出






n
a
1
的通项，即可求得
n
a .
类型2：形如
1
n
n
n
ka
a
pa
q


（
q
p, 为常数，
0
p 
，
0
q 
，
0
k 
）的数列，通过两边取“倒”，变形
为
1
1
1
n
n
q
p
a
k a
k



，可通过换元：
1
n
n
b
a

，化简为：
1
n
n
q
p
b
b
k
k


（此类型符构造法类型1：用“待
定系数法”构造等比数列：形如
p
ka
a
n
n


1
（
p
k,
为常数，
0

kp
）的数列，可用“待定系数法”将
原等式变形为
)
(
1
m
a
k
m
a
n
n




（其中：
1

k
p
m
），由此构造出新的等比数列

m
an 
，先求出

m
an 
的通项，从而求出数列
na
的通项公式.）
考点五：隔项等差数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n



，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n






；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n





2
(2)
(1) :
n
n
a
a
d




（其中d 为常数）；或
1
1
(1)
(3) :
(
2)
n
n
a
a
d n






则称数列{
}
na
为隔项等差数
列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等差数列，公差为d ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等差数列，公差为d ；
考点六：隔项等比数列
已知数列{
}
na
，满足
1
( )
(1)
n
n
a
a
f n



，
则
2
1
(
1)
(2)
n
n
a
a
f n






；
1
(
1)
(3)
n
n
a
a
f n





2
(2) :
(1)
n
n
a
q
a

（其中q 为常数）；或
1
1
(1) :
(
2)
(3)
n
n
a
q n
a




则称数列{
}
na
为隔项等比数列，其中：
①
1
3
5
7
,
,
,
a a a a 构成以
1a 为首项的等比数列，公比为q ；
②
2
4
6
8
,
,
,
a a a a 构成以
2a 为首项的等比数列，公比为q ；
考点七：数列求通项（Sn 法、Tn 法）
1 对于数列{
}
na
，前n 项和记为
n
S ；
①
1
2
3
1
n
n
n
S
a
a
a
a
a







；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
S
a
a
a
a
n








1 -②：
1
(
2)
n
n
n
S
S
a
n




n
S 法归类
角度1：已知
n
S 与
na
的关
系；或
n
S 与n 的关系
用
1
n
n
S
S 

，得到
na
例子：已知


2
4
1
n
n
S
a


，求
na
角度2：已知
na
与
1
n
n
S
S

的
关
系
；
或
na
与
1
n
n
S
S 

的关系
1
n
n
S
S 

替换题目中
的
na
例子：已知
1
2
(
2)
n
n
n
a
S S
n



；
已知
1
1
n
n
n
S
a
S




角度3：已知等式中左侧含
有：
1
n
i
i
i
a b

作差法（类似
1
n
n
S
S 

）
例子：已知
1
2
3
2
3
2n
n
a
a
a
na




求
na
2 对于数列{
}
na
，前n 项积记为
nT ；
①
1
2
3
1
n
n
n
T
a a a
a
a



；②
1
1
2
3
1 (
2)
n
n
T
a a a
a
n





①②：
1
(
2)
n
n
n
T
a
n
T 


nT 法归类
角度1：已知
nT 和n
的关系
角度1：用
1
n
n
T
T 
，得到
na
例子：
nb
的前n 项之积


(
1)
*
2
2
N
n n
nT
n



.
角度2：已知
nT 和
na 的关系
角度1：用
1
n
n
T
T 
替换题目中
na
例子：已知数列
na
的前n 项积为
nT ，且
1
2
1
n
n
a
T

.
模块二：题型分类
题型一：累加法
1. 已知数列{
}
na
满足
1
1
2
1
1
n
n
a
a
n
a




，
，求数列{
}
na
的通项公式。
2.已知数列
na
满足
1
1
1,
3
2(
2)
n
n
a
a
a
n
n






，则
na
的通项公式为（
）
A．
2
3
na
n

B．
2
3
n
a
n
n


C．
2
3
2
n
n
n
a


D．
2
3
4
n
n
n
a


3.满足
1
2
n
n
a
a
n


，
1
13
a 
，则
na
n 取最小值时，n （
）
A．3
B．4
C．5
D．6
4.已知数列
na
满足


1
*
1
3n
n
n
a
a
n



N
，
1
3
a 
，则
na 
．
5.若数列
na
满足：
1
1
a ，
1
2n
n
n
a
a


，则数列
na
的通项公式为
na 
．
6.已知数列{
n
a }中，
1
2
a 
，且


1
(
1)
1
n
n
n n
a
a



.其中
*
N
n
，
(1)求数列{
na }的通项公式；
7.在数列
na
中，
1
2
a 
，且
1
1
ln 1
n
n
a
a
n









，求数列
na
的通项公式．
题型二：累乘法
1.已知数列
na
满足


1
1
1
1,
,
2
n
n
a
n
a
n
a
n





，则
na （
）
A．n
1

B．
1
1
n 
C．n
D．1
n
2.在数列
na
中，若
1
2
a 
，
1
1
2 1
n
n
a
a
n









，则
na
的通项公式为
．
3.在数列
na
中，
1
2
n
n
n
a
a
n


（n∈N*），且
1
4
a 
，则数列
na
的通项公式
na 
.
4.若数列
na
的首项
1
1
a ，且
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
n





，则数列
na
的通项公式为
.
5.已知：
1
1
3
a 
，
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
n




（
2
n 
）求数列
na
的通项.
6.已知数列
na
满足：
1
1
2
a 
，
1
1
2
n
n
n
a
a
n



，求数列
na
的通项公式.
7.已知数列{
}
na
满足
1
1
2(
1)5
3
n
n
n
a
n
a
a




，
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型三：构造法
1.数列
na
中，
1
1
a ，
1
3
2(
2)
n
n
a
a
n




，则此数列的通项公式
na 
.
2.已知数列
na
满足
1
1
2
1,
1
n
n
a
a
a


，则
na
的通项公式（
）
A．
1
2n
na


B．
1
2
1
n
na



C．
2n
na 
D．
2
1
n
na 

3.已知数列
na
中，
1
1
4,
4
6
n
n
a
a
a




，则
na 等于（
）
A．
2
1
2
2
n
B．
2
1
2
2
n
C．
2
1
2
2
n
D．
2
1
2
2
n
4.已知数列
na
满足
1
3
2
n
n
a
a

，
3
2
22
a
a


，则满足
160
na 
的最小正整数n 
．
5.已知数列
na
满足
1
1
a ，且


1
1
1
2
3
3
n
n
n
a
a
n










，则数列
na
的通项公式
na 
．
6.已知在数列
na
中，
1
5
6
a 
，
1
1
1
1
3
2
n
n
n
a
a









，则
na 
．
题型四：倒数法
1.已知数列
na
满足
1
1
2
a 
，且
+1= 3
+1
n
n
n
a
a
a
，则数列
na
的通项公式为
=
na
．
2．（多选）已知数列
na
满足
1
1
 
1,
2
3
n
n
n
a
a
a
a




，则下列结论正确的有（
）
A．
1
3
na







为等比数列
B．
na
的通项公式为
1
1
2
3
n
n
a



C．
na
为递增数列
D．
1
na






的前n 项和
2
2
3
4
n
nT
n




3.已知函数

2
2
x
f
x
x


.
(1)若在数列
na
中，
1
1
a ，



*
1
n
n
a
f a
n

N
，计算
2a 、
3
a 、
4a ，并由此猜想通项公式
na ；
(2)证明（1）中的猜想．
4.已知数列的递推公式
1
3
4
1
n
n
n
a
a
a




，且首项
1
5
a 
，求数列
na
的通项公式．
5.已知数列
na
的通项公式为
1
3
5
a 
，
1
3
2
1
n
n
n
a
a
a


(1)求数列
na
的通项公式.
(2)若
1
2
3
1
1
1
1
100
n
a
a
a
a




，求满足条件的最大整数值.
题型五：an=Sn-Sn-1法
1.已知数列
na
的前n项和
3
2
n
n
S 

，
na
的通项公式为
.
2．（多选）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
3
a 
，
m

，
N
n


，
m n
m
n
S
S S

，则（
）
A．
na
是等比数列
B．
4
54
a 
C．
8
5
6
7
8
9
3
a
a
a
a
a





D．
3n
n
S 
3.已知数列
na
的前n项和


2
2
n
S
a
n
n
a




，
*
nN ．若
na
是等差数列，则
na
的通项公式
为
．
4.已知各项均为正数的数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
2
n
n
n
a
a
S


.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足，


*
1
1
1
1
0,
2,
N
n
n
n
b
b
n
n
a
a







，求数列
nb
的前n 项和
nT .
5.已知各项为正的数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足


2
1
1
4
n
n
S
a


.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列满足
nb
，
1
1
b
a

，
2
2
3
b
a
a


，
3
4
5
6
b
a
a
a



，
4
7
8
9
10
b
a
a
a
a




，…，依此类推，求
nb
的
通项公式.
6.已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且


2
*
4
2
3
n
n
n
S
a
a
n



N
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)将数列
na
和数列
2n 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
nb
，求
nb
的前100 项
和.
题型六：将an替换成Sn-Sn-1
1.设数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a 
，
1
1
n
n
n
S
S
a




，则
na 
．
2.已知正项数列
na
的前n 项和为
1
,
1
n
S a ，且


1
2
n
n
n
a
S
S
n




.
(1)求
na ；
(2)设
1
n
n
b
S

，数列
nb
的前n 项和为
nT ，证明：
7
4
nT 
.
3．（多选）已知数列
na
的前n 项和为


0
n
n
S
S 
，且满足


1
4
0
2
n
n
n
a
S
S
n




，
1
1
4
a 
，则下列说法正
确的是（
）
A．数列
na
的前n 项和为
4
n
S
n

B．数列
na
的通项公式为


1
4
1
na
n n


C．数列
na
不是递增数列
D．数列
1
n
S






为递增数列
4.已知数列
na
，
1
1
3
a 
，其前n 项的和为
n
S ，且满足




2
3
1 3
0
2
n
n
n
S
S
a
n





．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)证明：
1
2
3
1
1
1
2
2
3
3
n
S
S
S
S
n





L
．
5.设正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a ，当
2
n 
时，
1
n
n
n
S
S




．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
满足
1
1
b ，且
1
1
2n
n
n
n
b
b
a




，求数列
nb
的通项公式．
6.已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
1
2
n
n
n
S S
S

.
(1)若
1
n
S ，证明：数列
1
1
n
S







为等差数列.
(2)若
1
2
a 
，
1
1000
na 
，求n 的最小值.
题型七：新数列前n 项和型
1．（多选）已知数列
na
满足
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n








，则（
）
A．
2
2
na
n


B．
na
的前n 项和为(
3)
n n 
C．

( 1)n
n
a

的前100 项和为100

D．

10
na 
的前20 项和为284
2.已知数列
na
满足
1
2
3
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
a
a
a
a
n







，
*
N
n
，记数列

2
na
n

的前n 项和为
n
S ，则
n
S （
）
A．
2
2
1
2
2
n
n
n



B．
2
1
2
2
2
2
n
n
n



C．
2
2
2
2
n
n
n


D．
2
2
3
2
2
n
n
n



3.数列
na
满足
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
n
n
a
a
a
a
a
n







L
，
*
nN ，且
1
1
a .
(1)求数列
na
的通项公式；
4.已知数列
na
的前n项之积为
nb ，且


2
*
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
n
n n
b
b
b





N

．
(1)求数列
n
n
a
b






和
nb
的通项公式；
5.已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
1
2
1
2
3
n
a
a
a
a
n
n






，
*
nN ．
(1)求数列{
}
na
的通项公式；
6.已知数列
na
满足





1
2
3
1
1 4
1
2
3
1
6
n
n
n n
n
a
a
a
n
a
na











．求
na 的值；
题型八：对数变换法
1.已知数列{
}
na
满足
5
1
2 3n
n
n
a
a



，
1
7
a 
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型九：换元法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
1 (1
4
1
24
)
1
16
n
n
n
a
a
a
a





，
，求数列{
}
na
的通项公式。
题型十：不动点法
1.已知数列{
}
na
满足
1
1
21
24
4
4
1
n
n
n
a
a
a
a





，
，求数列{
}
na
的通项公式。
模块三：综合巩固
1．数列5,2, 3, 10,


的通项公式可能是（
）
A．
2
6
na
n


B．
3
6
na
n


C．
6
na
n


D．
8
3
na
n


2．已知数列
na
的前n项和
3
n
S
n

，则


1
5
1
5
2


a
a
的值为（
）
A．125
B．135
C．145
D．155
3．已知数列
na
满足
1
1
a ，且
1
1
n
n
n
a
a
na

，则
10
a
（
）
A．1
45
B．1
46
C．1
55
D．1
56
4．在数列
na
中，
0
na 
，
1
1
a ，
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
n
a
a





，则
113
a
（
）
A．4 14
B．15
C．
223
D．10
5．已知数列{an} 满足a1=1，且
1
1
1
( ) (
2
3
3
n
n
n
a
a
n




，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
A．
3
2
n
na
n


B．
2
3
n
n
n
a


C．an=n+2
D．an=（n+2）·3 n
6．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列
na
：1，1，2，3，5，8…，其中从第3
项起，每一项都等于它前面两项之和，即
1
2
1
a
a

，
2
1
n
n
n
a
a
a




，这样的数列称为“斐波那契数列”.若


3
6
9
174
2
1
m
a
a
a
a
a







，则m （
）
A．175
B．176
C．177
D．178
7．已知数列
na
满足


*
1
2
2
1
2
2
1
1,
1,
N
,
n
n
n
n
a
a
n
a
a
a
n








则集合{
|
20}
m
m a 
中元素的个数为（
）
A．14
B．20
C．24
D．25
8．定义


,
max
,
,
a a
b
a b
b a
b





．若数列
na
的前n 项和为



2
20
R,
N
n
S
n
n
n









，数列
nb
满足


1
1
1
1
2,2n
n
n
n n
b
b
b
b b






，令


max
,
n
n
n
c
a b

，且
3
nc
c

恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．

4, 3


B．

3, 2


C．

2
1
,
0
3
2









D．

2
3,
0
3









9．(多选)若数列{
}
na
满足
4
9
a 
，且
1
1
(
1)(
3
)
0(
*)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
N







，则首项
1a 可能是（
）
A．6
B．5
3
C．2
D．1
3
10．(多选)已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
n
n
a
a
a


，则（
）
A．
na
是递减数列
B．


,
3
na
n n


C．
2021
2022
2
a

D．
1
2
1
1
1
1
1
1
1
n
a
a
a






11．(多选)已知正项数列
na
满足：
2
1
1
1
1,
1
n
n
n
na
a
a
na




，则（
）
A．
2
5
1
2
a


B．
na
是递增数列
C．
1
1
1
n
n
a
a
n



D．
1
1
1
1
n
n
k
a
k



12．(多选)已知数列
na
满足
1
1
3,2
3
2
n
n
a
a
a




，则（
）
A．
3
17
4
a 
B．

2
na 
是等差数列
C．


3
2
log
2
na







是等差数列
D．数列




3
1
3
2
2
2
1
log
2
log
2
n
n
a
a















的前100 项和为100
101
13．设
n
S 是数列
na
的前n 项和，且
2
cos
π
3


n
n
S
n
，则
6a 
.
14．若
na
满足：


*
1
0
1
n
n
a
a
n




N
，则满足上述条件数列
na
的一个通项公式为
．
15．已知数列
na
满足
1
1
a ，
2
1
n
a
n

，
2
1
2
2
1
n
n
n
a
a
a




，
*
N
n
.则集合

20
m
m a 
中元素的个数
为
.
16．


1
2
3
,
,
,
,
n
A
a a a
a


，



1,0,1
1,2,3,
,
ia
i
n



为一个有序实数组，

f
A 表示把A 中每个-1 都变为
1
，0，每个0 都变为1
，1，每个1 都变为0，1 所得到的新的有序实数组，例如：


1,0,1
A 
，则



1,0, 1,1,0,1
f
A 

．定义


1
k
k
A
f
A

，
1,2,3,
k 
，若


1
1,1
A 
，
n
A 中有
nb 项为1，则
nb
的前2n
项和为
．
17．在数列
na
中，
1
2
a 
，
17
66
a

，通项公式
na
pn
q


，其中p，q 为常数，
0
p 
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)88 是否是数列
na
中的项？
18．已知数列
na
满足
1
1
a ，且


1
1
1
n
n
na
n
a



．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
n
n
a
b






的前n项和为
n
S ，且
3
1
2
n
n
S


，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
19．数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足


*
1
1
1,2
N
n
n
a
S
na
n




．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列

2n
na 
的前n 项和
nT ．
20．记数列
na
的前n 项和为
n
S ，对任意正整数n，有2
n
n
S
na

，且
2
3
a 
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
2
n
n
n
a
b


，数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
4
n
T 
.