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专题 03 累加法累乘法求数列通项
【必备知识点】
◆累加法
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【经典例题1】已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【经典例题2】已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23【经典例题3】已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【练习1】已知数列{ }满足 ， ，则数列{ }第2022
项为（ ）
A． B．
C． D．
【练习2】已知数列 满足 则 （ ）
A． B． C． D．
【练习3】已知数列 满足 则求 ___________
【练习4】数列 中， ，则 __________.
【练习5】已知数列 满足 ，且 ，若 ，n为正整数，则数列 的前n
项和 __________．
【练习6】若数列 是等比数列，且 ， ， ，则 ________．◆累乘法
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【经典例题1】已知 ， ，则数列 的通项公式是 （ ）
A． B． C． D．n
【经典例题2】若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【经典例题3】设 是首项为 的正项数列，且 （ ），则它的通项
公式是 （ ）A． B． C． D．
【经典例题4】已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【练习1】若数列 满足 ， ，则满足不等式 的最大正整数n为
（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【练习2】已知数列 满足 ， ( ， )，则数列 的通项 （ ）
A． B．
C． D．
【练习3】数列 满足： ， ，则 的通项公式为
_____________.
【练习4】已知数列 ， 满足 ， ， ， 的前n项和为 ，前n项积
为 ．则 ______．
【练习5】在数列 中， ， ，则数列 的通项公式 ___________.
【练习6】已知数列 的前n项和为 ，且满足通项公式 ，则 ________．过关检测】
【
一、单选题
1．数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是等差数列 的前 项和，其中 ，数列 满足 ，且 ，则数列
的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 满足 ，则 （ ）
A．511 B．255 C．256 D．502
4．已知 ，则 （ ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
5．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 ， ， ，…， ，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列 中的
项的是（ ）
A．16 B．128 C．32 D．64
7．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
8．已知数列 满足 ， ，则 ______．
9．设数列 满足 ， ，则 ___________．
10．已知数列 满足 ，则数列 的前2022项的和为___________.
11．已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式
___________.
12．已知数列 满足： ， ，则 ______
三、解答题
14．已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
15．已知数列 满足： 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： .16．（1）已知数列 是正项数列， ，且 ．求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ， ， ．求数列 的通项公式．
17．已知数列 满足 ， ， ．证明：数列 是等比数列，并
求 的通项公式；
18．设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的前 项和等于 ，求数列 的前 项和 .
