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专题 03 累加法累乘法求数列通项
【必备知识点】
◆累加法
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【经典例题1】已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由 得： ，
， ， ，…， ，各式作和得： ，
， .
故选：C.
【经典例题2】已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】
因为数列 满足 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
【经典例题3】已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵ ， ，
∴ .
故选：C.【练习1】已知数列{ }满足 ， ，则数列{ }第2022
项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：由 .得 ，
又 ，可得
所以 ， ， ，……，
，将上式相加得
，
故选：A.
【练习2】已知数列 满足 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 所以
累加得： ，所以 .
故选：D
【练习3】已知数列 满足 则求 ___________
【答案】
【解析】
∵
∴
∴ ,
,
,
…
，
将以上99个式子都加起来可得 ，
.
故答案为： .
【练习4】数列 中， ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
因为 ，所以 ，则当 时， ，将 个式子相加可得
，因为 ，则 ，
当 时， 符合题意，所以 .
所以
故答案为： .
【练习5】已知数列 满足 ，且 ，若 ，n为正整数，则数列 的前n
项和 __________．
【答案】
【解析】
由题意 ，
所以 ，
．
故答案为： ．
【练习6】若数列 是等比数列，且 ， ， ，则 ________．
【答案】【解析】
解： 数列 是等比数列，且 ， ， ，
数列 的公比 ，
，
所以
．
故答案为： ．
◆累乘法
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：
【经典例题1】已知 ， ，则数列 的通项公式是 （ ）
A． B． C． D．n
【答案】D
【解析】
由 ，得 ，
即 ，
则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
【经典例题2】若数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【解析】
由 得 ，
，
.
故选：D【经典例题3】设 是首项为 的正项数列，且 （ ），则它的通项
公式是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，
,
又 ， ，即 ，
，
即 ，
又 ， ，
，
故选：B．
【经典例题4】已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
数列 满足 ，且 ，∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
累乘可得： ，
可得： ．
故选：D﹒
【练习1】若数列 满足 ， ，则满足不等式 的最大正整数n为
（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】A
【解析】
解：由 ，得 ，
所以
因为 ，所以 ，解得 ，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
【练习2】已知数列 满足 ， ( ， )，则数列 的通项 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：数列 满足 ， ，整理得 ， ， ， ，
所有的项相乘得： ，
整理得： ，
故选： ．
【练习3】数列 满足： ， ，则 的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】
由 得， ，
则 ，
即 ，又 ，所以 .
故答案为： .
【练习4】已知数列 ， 满足 ， ， ， 的前n项和为 ，前n项积
为 ．则 ______．
【答案】
【解析】
因为 ， ，故 ，依次有根据 可得 ，
故
.
由 可得 ，
从而 ，
故 ，
故答案为： .
【练习5】在数列 中， ， ，则数列 的通项公式 ___________.
【答案】
【解析】
因为 ， ，
所以 ，所以当 时， ，
所以
（ ）
当 ， 满足上式，
所以 .故答案为：
【练习6】已知数列 的前n项和为 ，且满足通项公式 ，则 ________．
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 时， ，即 ，
化简得 ，又 ，
所以 ，
检验 时也成立，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
过关检测】
【
一、单选题
1．数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
已知 ，令 可得 ，则 时， ，
， ，将以上式子累加可得 ，则
， 时也符合，
则 ， ，则
.
故选：A.
2．已知 是等差数列 的前 项和，其中 ，数列 满足 ，且 ，则数列
的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ，……， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
3．已知数列 满足 ，则 （ ）
A．511 B．255 C．256 D．502
【答案】D
【解析】
由题设， ， ， ，…， 且 ，
所以 ，又 ，则 ，故 ，
显然 也满足 .
所以 .
故选：D
4．已知 ，则 （ ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
【解析】
由 可得： ，
故 ，
故选：D.5．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由 ，得 ，
即 ，则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：A．
6．已知数列 ， ， ，…， ，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列 中的
项的是（ ）
A．16 B．128 C．32 D．64
【答案】D
【解析】
，
当 时， ．
故选：D．
7．已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由 ，得 ，
即 ，则 ， ， ，…， ，
由累乘法可得 ，所以 ，
又 ，符合上式，所以 .
故选：D．
二、填空题
8．已知数列 满足 ， ，则 ______．
【答案】63
【解析】
由题设， ，
所以 ，又 ，所以 .
故答案为： .
9．设数列 满足 ， ，则 ___________．
【答案】
【解析】
由 可得，
，
以上各式相加可得 ，
所以 时也满足
故答案为：10．已知数列 满足 ，则数列 的前2022项的和为___________.
【答案】
【解析】
由题意可知，满足 ，
当 时， ，
，以上各式累加得，
.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .
11．已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且 ，则数列 的通项公式
___________.
【答案】n
【解析】
解：∵ ，∴
当 时， ，当 时， 成立，
∴ ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
∴ .
故答案为：n
12．已知数列 满足： ， ，则 ______
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
两式相减可得 ，整理得 ，
所以 ，
整理得 ，又 ，解得 .
故答案为：
13．已知数列 中， ，则数列 的通项公式 ________.【答案】
【解析】
由 得
，
以上式子相乘得 ，又
，又 符合
故答案为： .
三、解答题
14．已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)当 时，
，
即 ，则 ，
当 时， ，满足 ，
综上所述，当 时， .
(2)因为 ，所以 ，
则 .
15．已知数列 满足： 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】
(1)由 ，故 的公差为 ，
，，
当 时， 满足 ，
故对 ；
(2)证明： ，
故 ，
故
.
16．（1）已知数列 是正项数列， ，且 ．求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ， ， ．求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1）由 ，得 ，
对任意的 ， ，则 ，则 ，
所以，数列 是公比为 的等比数列， ， ；
（2）由 ，得： ，
又 ，所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
得 ，当 时， ， ， ， ，
累加得 ， ，则 ，
也满足 ，故对任意的 ， .
17．已知数列 满足 ， ， ．证明：数列 是等比数列，并
求 的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】
解：因为 ，
所以 ，又 ，
所以 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以 ，
当 时，
，
而 也满足 ，所以 ；
18．设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的前 项和等于 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)(2)当n为奇数时， ；当n为偶数时， .
【解析】
(1)因为 …①
所以当 时， …②
①-②可得： ，整理可得
则
所以 ，所以当 时
易知 时上式也成立，所以数列 的通项公式为
(2)记等差数列 的公差为d，
由题可得 ，即
所以 ，解得 ，所以
所以
所以
当n为奇数时，
；
当n为偶数时，
.
