3.9 圆锥曲线中的轨迹问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：轨迹与轨迹方程............................................................. 2
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程.........................................2
考点三：定义法求曲线轨迹方程.................................................... 2
考点四：直接法求曲线轨迹方程.................................................... 3
考点五：相关点法（代入法）....................................................... 3
考点六：参数法.........................................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：定义法求动点轨迹.......................................................... 4
题型二：直接法求动点轨迹........................................................ 13
题型三：相关点法求动点轨迹......................................................18
题型四：参数法求动点轨迹........................................................ 26
题型五：交轨法求动点轨迹........................................................ 33
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹.............................................41
题型七：空间中的动点轨迹........................................................ 46
模块三：综合巩固....................................................................... 48
3.9 圆锥曲线中的轨迹问题
模块一：基础知识
考点一：轨迹与轨迹方程
1.轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示
出来，轨迹方程就产生了.
（1）求轨迹方程的实质是将形"转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；
（2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形
状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方
程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后
再根据条件建立关于a,b 的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把
椭圆方程设为mx
2＋ny
2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．思路：直接解不等式,确定函数单调区间
求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定
双2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.
“焦点跟着正项走”,若x
2项的系数为正,则焦点在x 轴上;若y
2项的系数为正,那么焦点在y 轴上.确定方
程的形式后,然后再根据a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出a,b 的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为
了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax
2＋By
2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程
0,
0
b
y
x a
b
a
,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x
2
a
2－y
2
b
2
＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x
2
a
2－y
2
b
2＝
λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p 的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
考点三：定义法求曲线轨迹方程
1.若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确
定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法.
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的
焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c 为常数：
(1)若a>c,则集合P 为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P 为线段；
(3)若a<c,则集合P 为空集．
4. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P 点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P 点不存在．
5. 平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物
线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
注意：(1)定直线l 不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
考点四：直接法求曲线轨迹方程
1.定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接
将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程.
2.方法步骤：
①建系，建立适当的坐标系；
②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式，列出动点P 所满足的关系式；
④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y 的方程式，并化简；
⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
考点五：相关点法（代入法）
1.定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可
用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法.
20 方法步骤：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标
0x 、
0y ，然后代入点P 的坐标
0
0
,
x
y
所满足的曲
线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
考点六：参数法
1.定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的
轨迹.这种方法称为交轨法.
2.方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
模块二：题型分类
题型一：定义法求动点轨迹
1．(1)若动圆M 与圆
2
2
1 : (
1)
9
F
x
y
内切，与圆
2
2
2 : (
1)
1
F
x
y
外切.求动圆圆心M 的轨迹
1
C 的方程；
(2)若动圆M 与圆
2
2
3 : (
3)
9
F
x
y
､圆
2
2
4 : (
3)
1
F
x
y
都外切.求动圆圆心M 的轨迹
2
C 的方程.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2)
2
2
1
1
8
y
x
x
【分析】（1）结合图形，找到
1
2
MF
MF
，
的关系，利用椭圆的定义即可求解；
（2）结合图形，找到
3
4
，
MF
MF 的关系，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，
动圆M 与圆
1F 内切，与圆
2
F 外切，
1
2
3
,
1
.
MF
r
MF
r
且
于是
1
2
1
2
4
2
MF
MF
F F
，
所以动圆圆心M 的轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点，长轴长为4 的椭圆.
从而
2,
1
a
c
，且焦点在x 轴上，
所以
2
3
b
.
故动圆圆心M 的轨迹
1
C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）圆
3
F 的圆心为
3
3,0
F
，半径为3
3
r
，圆
4
F 的圆心为
4 3,0
F
，半径为
4
1
r ，
因为
3
4
3
4
6
F F
r
r
，则圆
3
F 与圆
4
F 外离，
设圆M 的半径为R ，由题意可得
3
2
3
1
MF
R
MF
R
，所以，
3
4
3
4
2
MF
MF
F F
，
所以，圆心
2
C 的轨迹是以点
3
4
F F
､
分别为左右焦点的双曲线的右支，
设圆心
2
C 的轨迹方程为
2
2
2
2
1(
,
0,
0)
x
y
x
a a
b
a
b
，
由题意可得2
2
a
，则
2
2
2
1,
3
8
a
b
a
，
因此，圆心M 的轨迹方程为
2
2
1
1
8
y
x
x
.
2.若点
,
P x y 满足方程
2
2
3
4
12
(
1)
(
2)
5
x
y
x
y
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【解析】等式左侧表示点
,
P x y 与点
1,2 间的距离，
等式右侧表示
,
P x y 到直线3
4
12
0
x
y
的距离，
整个等式表示点
,
P x y 到点
1,2 的距离和到直线3
4
12
0
x
y
的距离相等，
且点
1,2 不在直线3
4
12
0
x
y
上，
所以点P 轨迹为抛物线.故选：D.
3．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合点在线上，得过点与直线垂直的直线.
【详解】因为
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，得
2
2
3
4
7
1
(
1)
5
x
y
x
y
（
）
，
即动点
( , )
P x y 到定点(1,1) 的距离等于与到定直线3
4
7
0
x
y
的距离，
直线3
4
7
0
x
y
过点(1,1) ，则轨迹为过点(1,1) 与直线3
4
7
0
x
y
垂直的直线.
故选：A
4.如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且
2
AB
，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平
分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（
）
A．圆
B．射线
C．长轴为4 的椭圆
D．长轴为2 的椭圆
【答案】C
【解析】连接BQ ，
因为线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q，所以BQ
PQ
，
因为
4
2
AQ
PQ
AP
AB
，所以
4
2
AQ
BQ
AP
AB
，
所以点Q 的轨迹是以
,
A B 为焦点，4 为长轴长，焦距为2 的椭圆.故选：C
5.与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【答案】B
【解析】圆
2
2
4
x
y
的圆心为
0,0
O
，半径为2 ；
圆
2
2
8
15
0
x
y
x
的标准方程为
2
2
4
1
x
y
，圆心为
4,0
B
，半径为1，
设所求动圆圆心为P ，圆P 的半径为r ，
由于动圆P 与圆O、圆B 均外切，则
2
1
PO
r
PB
r
，
所以，
1
4
PO
PB
OB
，因此动圆的圆心P 的轨迹为双曲线的一支.故选：B.
6．已知圆
2
2
4 3
0
x
y
y
的圆心为S，过点
0, 2 3
T
的直线m 交圆S于C 、D 两点，过点T 作SC 的
平行线，交直线SD 于点M ，则点M 的轨迹为（
）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】D
【分析】数形结合，由圆的方程
2
2
4 3
0
x
y
y
求出圆心和半径，再结合图形，利用双曲线的定义即可
求解.
【详解】
2
2
4 3
0
x
y
y
，即圆
2
2
2 3
12
x
y
，故
0,2 3
S
，
2 3
r
，
因为SC 平行与TM ，SD
SC
，所以MT
MD
，故
2 3
MT
MS
SD
，
故点M 的轨迹为双曲线.
故选：D
7．已知圆
2
2
2
16
x
y
的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点
2,0
N
，线段PN 的垂直平分线交
PM 于G 点，则点G 的轨迹C 的方程为
．
【答案】
2
2
1
4
2
x
y
【分析】由垂直平分线的性质，结合椭圆的定义得出点G 的轨迹方程.
【详解】依题意，点
(
2,0)
M
，半径
4
r
，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点，则|
|
GN
GP
，
于是
4
2 2
GM
GN
GM
GP
MP
MN
，
因此点G 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4 的椭圆，
由2
4
a
，2
2 2
c
，得
2
2
2
2
b
a
c
，
所以点G 的轨迹C 的方程为：
2
2
1
4
2
x
y
.
故答案为：
2
2
1
4
2
x
y
.
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过B
作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
【答案】
2
2
1
0
4
3
x
y
y
.
【分析】利用平行线分线段成比例定理推导得|
| |
|
EB
ED
，再利用椭圆定义求出轨迹的方程.
【详解】圆A 的圆心
1,0
A
，半径为4，
如图，因为
/ /
BE
AC ，于是
EB
ED
AC
AD
，而|
| |
| 4
AC
AD
，则|
| |
|
EB
ED
，
于是
4
2
EB
EA
ED
EA
AD
AB
，因此E 的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4 的椭圆的一部
分，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，则2
4
a
，2
2
c
，
2
2
2
3
b
a
c
，
从而椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
，又因为点E 不在x 轴上，则
0
y
，
所以点E 的轨迹的方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
y
.
9.在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过
1,0
A
，且与圆C ：
2
2
1
9
x
y
相切，则圆心P 的轨
迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．拋物线
【答案】B
【解析】因为
2
2
1 1
0
4
9
，所以点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，
由两圆内切的关系可知，
3
C
P
PC
r
r
AP
，
从而
3
2
AP
PC
AC
，
所以点P 轨迹是以
,
A C 为焦点的椭圆.故选：B.
10.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP
上,且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l
的斜率k 的取值范围.
【分析】（1）依题意
4
2
GA
GB
AP
AB
,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到
相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,将点Q 坐标代入抛物线方程得到
2
16
4
3
9
k
k
t
,将此式代入
2
4k
2
3
0
t
得到
2
4
2
3
9
0
4
32
k
k
,解不等式即可.
【解析】（1）
易知
1,0
A
，点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,
1,0
B
,
依题意
4
2
GA
GB
AP
AB
,
所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为
,
A B ,长轴长为4,
设该椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
,
则2
4,2
2,
2,
1
a
c
a
c
,
2
2
2
3
b
a
c
,
故点G 的轨迹E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）易知直线1 的斜率存在,
设直线1：
1
1
2
2
0
0
0 ,
,
,
,
,
,
y
kx
t t
M x y
N x
y
Q x
y
,
由
2
2
3
4
12
y
kx
t
x
y
得：
2
2
2
4
3
8
4
12
0
k
x
ktx
t
,
2
2
2
Δ
(8 )
4 3
4
4
12
0
kt
k
t
,
即
2
4k
2
3
0
t
①又
1
2
2
8
4
3
kt
x
x
k
,
2
1
2
2
4
12
4
3
t
x x
k
故
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,将
2
2
4
3
,
4
3 4
3
kt
t
Q
k
k
,代
2
4
y
x
,
得
2
16
4
3
,
0
9
k
k
t
k
②
,
将②代入①,得：
2
2
2
2
4
2
2
16
4
3
81,4 16
3 16
81
0
k
k
k
k
,
即
2
4
2
3
9
0
4
32
k
k
,
即
2
2
3
27
0
32
32
k
k
,即
2
3
0
32
k
,
6
6
8
8
k
且
0
k
,
即k 的取值范围为
6
:
0
8
k
或
6
0
8
k
.
【点评】利用椭圆定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之和为定值.
11.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：
2
2
2
8
x
y
,
2,0
B
,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆
的圆点P 的轨迹为C .
（1）求C的方程；
（2）试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E , F 两点时,恒有
EAM
FAM
？若
存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
【分析】（1）根据点与圆和圆与圆的位置关系得到
2 2
PB
PA
,再利用双曲线的定义求解；
（2）假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为
0
m, ,直线l 的方程为
y
k x
m
,与双曲线方程联立,
根据
EAM
FAM
,由
0
AE
AF
k
k
,结合韦达定理求解.
【解析】（1）设动圆P 的半径长为r ,则PB
r
,
2 2
PA
r
,
2 2
PB
PA
.因此,圆心P 的轨迹为以
2,0
A
、
2,0
B
为焦点,实轴长为2 2 的双曲线的右支,
设C的方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
x
）,
则根据双曲线定义
2
a
,
2
c
,
2
2
2
2
b
c
a
,
因此C的方程为
2
2
1
2
2
x
y
（
0
x
）.
（说明：没写x 的范围扣1 分）
（2）不存在满足条件的点M ,理由如下：
假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为
0
m, ,直线l 的斜率为k ,
则直线l 的方程为
y
k x
m
,
由
2
2
,
1,
2
2
y
k x
m
x
y
消去y 并整理,得
2
2
2
2
2
1
2
2
0
k
x
mk x
k m
,
设
1
1
,
E x y
、
2
2
,
F x
y
,则
2
1
2
2
2
1
mk
x
x
k
,
2
2
1 2
2
2
1
k m
x x
k
,（*）
由
EAM
FAM
,得
0
AE
AF
k
k
,即
1
2
1
1
0
2
2
y
y
x
x
,
将
1
1
y
k x
m
,
2
2
y
k x
m
代入上式并化简,
得
1 2
1
2
2
2
4
0
x x
m
x
x
m
.
将（*）式代入上式,有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
0
1
1
k m
mk
m
m
k
k
,
解得
1
m .
而当直线l 交C于E , F 两点时,必须有
1
2
0
x
x
且
1
2
0
x x
.
当
1
m 时,
2
1
2
2
2
1
k
x
x
k
,
2
1 2
2
2
1
k
x x
k
,
由
2
2
2
2
2
2
2
0,
1,
1
1,
2
0,
1
k
k
k
k
k
k
k 无解,
则当
1
m 时,不符合条件.
因此,不存在满足条件的点M .
【点评】一定要注意：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做
双曲线．平面内与两个定点F1,F2的距离的差的等于常数(差的绝对值小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线双曲
线的一支．
12.已知一定点
(0,1)
F
,及一定直线l：
1
y ,以动点M 为圆心的圆M 过点F,且与直线l 相切．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设P 在直线l 上,直线PA,PB 分别与曲线C 相切于A,B,N 为线段AB 的中点．求证：|
|
2 |
|
AB
NP
,且
直线AB 恒过定点．
【分析】（1）根据题意可得到动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1 的距离相等,故可得动圆圆心的轨
迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1 为准线,进而得到方程；（2）依题意可设
2
2
1
2
0
1
2
, 1 ,
,
,
,
4
4
x
x
P x
A x
B x
,可求得
2
1
1
: 2
4
0
PA
x x
y
x
,切线
2
2
2
: 2
4
0
PB
x x
y
x
,代入点P 可得到
方程
2
0
2
4
0
x
x x
,进而得到PA
PB
,根据直角三角形的性质得到|
| 2 |
|
AB
NP
,由
2
1
0
1
2
4
0
x x
x
得到：
1
0
1
1
1
0
2 x x
y
,同理可得到
2
0
2
1
1
0
2 x x
y
,进而得到直线AB 方程为：
0
1
1
0
2 x x
y
,可得到定点.
【解析】（1）动点M 为圆心的圆M 过点F,且与直线l 相切,
动圆圆心到定点F（0,1）与定直线y=-1 的距离相等,
∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F（0,1）为焦点,y=-1 为准线,
1
2
2
p
p
,∴动圆圆心轨迹方程为x
2=4y．
（2）依题意可设
2
2
1
2
0
1
2
, 1 ,
,
,
,
4
4
x
x
P x
A x
B x
,
又
2
2
'
1
1
4 ,
4
2
x
y
y
x
y
x
故切线PA 的斜率为
1
1
1
2
k
x
,
故切线
2
2
1
1
1
1
1
1
1
:
2
4
0
4
2
PA y
x
x
x
x
x x
y
x
同理可得到切线
2
2
2
: 2
4
0
PB
x x
y
x
又
0, 1
P x
,∴
2
1
0
1
2
4
0
x x
x
且
2
2
0
2
2
4
0
x x
x
,
故方程
2
0
2
4
0
x
x x
有两根
1
2
,
x x
∴
1
2
4
x x ,
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
4
k k
x
x
x x
PA
PB
又N 为线段AB 的中点, |
|
2 |
|
AB
NP
又由
2
1
0
1
2
4
0
x x
x
得到：
2
1
1
0
1
1
0
2
4
x
x x
即
1
0
1
1
1
0
2 x x
y
同理可得到
2
0
2
1
1
0
2 x x
y
,
故直线AB 方程为：
0
1
1
0
2 x x
y
,故直线过定点
0,1
F
.
【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.
题型二：直接法求动点轨迹
1．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点
( 1,1)
A
关于原点O对称，点P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之
积为
1
3
，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
B．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
C．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
D．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
【答案】C
【分析】由题意可知B 点坐标，设
,
P x y 将
1
1
,
1
1
1
AP
BP
y
y
k
k
x
x
x
代入
1
3
AP
BP
k
k
中并化简即可
得到P 的轨迹方程.
【详解】点B 与点
( 1,1)
A
关于原点O对称
1, 1
B
设
,
P x y
1
1
,
1
1
1
AP
BP
y
y
k
k
x
x
x
，且
1
3
AP
BP
k
k
2
2
1
1
1
=
=
1
1
1
3
1
1
AP
BP
y
y
y
k
k
x
x
x
x
2
2
3
4(
1)
x
y
x
P
的轨迹方程为
2
2
3
4(
1)
x
y
x
故选：C
2.已知点
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
，直线PA 的斜率为
1k ，直线PB 的斜率为
2k ，若
2
1
1
k
k
，则点P 的轨迹为不
包含A ，B 两点的（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【解析】设
,
P x y ，其中
2,
0
x
y
，
则
1
2
2
y
y
x
x
，即
2
2
2
4
1
2
2
4
y x
y x
y
x
x
x
，
所以
2
1
1
2,
0
4
y
x
x
y
，
所以点P 的轨迹为不包含A ，B 两点的抛物线.故选：D
3．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
MB
，则点M
的轨迹方程是
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
【答案】B
【详解】试题分析：设
( , ),
( ,0),
(0, )
M x y
A a
B
b ，则
2
2
100
a
b
…①，∵
4
AM
MB
，∴
5
5 ,
4
a
x b
y
，代
入①式可得
2
2
25
25
100
16
x
y
，化简得
2
2
16
64
x
y
，即为所求点M 的轨迹方程.故选B．
考点：曲线与方程．
4．阿波罗尼斯（约前262—前190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
0,
1
k k
k
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
0,0
O
，
3,0
A
，动点P 满足
1
2
PO
PA
，
则点P 的轨迹方程是
．
【答案】
2
2
1
4
x
y
【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．
【详解】设
,
P x y ，
1
2
PO
PA
即
(
)
2
2
2
2
1
2
3
x
y
x
y
+
=
-
+
，整理得：
2
2
2
3
0
x
y
x
即
2
2
1
4
x
y
．
故答案为：
2
2
1
4
x
y
．
5.已知A，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N.若
2
1
2
MN
AN NB
，则
动点M 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
【答案】D
【解析】建立以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴的直角坐标系，
设
,0
A
a
，
,0
B a
，
0
a
，
设M 的坐标为
,x y ，由题意可得
,0
N x
，
则
0,
MN
y
，
,0
AN
x
a
，
,0
NB
a
x
，
所以
2
2
MN
y
，
2
2
AN NB
x
a
a
x
a
x
，
由
2
1
2
MN
AN NB
，可得
2
2
2
1
2
y
a
x
，
整理可得：
2
2
2
1
1
2
2
y
x
a
，所以
2
2
2
1
1
2
2
x
y
a
，
0
a
，
故动点M 的轨迹是双曲线.故选：D.
6．在平面直角坐标系xOy 中，A（6，0），点B 为圆C：
2
2
6
1
1
x
y
上的动点，点P 满足
2
PO
PA
，
则动点P 的运动轨迹方程为
.
2
PB
PA
的最小值为
.
【答案】
2
2
8
16
x
y
37
1
/ 1
37
【分析】答题空1：可利用直接设点列方程方法解得P 的轨迹方程；
答题空2：先利用
2
PO
PA
将问题转化为求PB
PO
的最小值，再利用点B 的轨迹解决PB 取最小的
位置，最后利用三点共线解决动点P 到两定点的距离和问题，综合得出
2
PB
PA
的最小值.
【详解】答题空1：设点P 的坐标为( , )
x y ，由
2
PO
PA
得
2
2
2
2
2 (
6)
x
y
x
y
，
化简得动点P 的轨迹方程为圆
:
M
2
2
8
16
x
y
上,
答题空2：
5
4
1
CM
，则圆C 内含于圆M ，
2
1
PB
PA
PB
PO
PC
PO
（当且仅当
,
,
P B C 三点共线，且B 在
,
P C 之间时等号成立）
又因为
37
PC
PO
CO
（当且仅当
,
,
P O C 三点共线，且P 在
,
O C 之间时等号成立）
综上：当
,
, ,
P O C B 四点共线，且从左到右的位置顺序依次为
, , ,
O P B C 时
2
PB
PA
取得最小值37
1
故答案为：
2
2
8
16
x
y
；37
1
.
7.设点M、N 分别是不等边ABC
的重心与外心，已知
(0,1)
A
、
(0,
1)
B
，且MN
AB
．则动点C 的轨迹
E
；
【答案】
2
2
1(
0)
3
x
y
xy
【解析】设点
( , )
C x y ，则ABC
的重心
(
,
)
3 3
x y
M
，
∵ABC
是不等边三角形，∴
0
xy
，
再设ABC
的外心
( ,0)
N n
，
∵已知MN
AB
，∴MN∥AB，∴
3
x
n
，
∵点N 是ABC
的外心，∴|
| |
|
NA
NC
，即
2
2
2
( )
1
(
)
3
3
x
x
x
y
，
化简整理得轨迹E 的方程是
2
2
1(
0)
3
x
y
xy
.
∴动点C 的轨迹E 是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）．
故答案为：
2
2
1(
0)
3
x
y
xy
.
8.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
【答案】（1）
2
2
1
10
6
x
y
（2）点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆
【分析】（1）设出点M 的坐标，根据题意列出满足的等量关系，整理化简即可求得轨迹方程；
（2）设
,
,
,
P x y
A m n ，根据题意结合
1
3
BP
BA
uur
uur
可得
,3
A x
y ，代入圆A 的方程即可求得轨迹方程.
【详解】（1）设点M 的坐标为
,x y ，
由题意可得
2
2
(
2)
(
0)
10
5
5
x
y
x
，两边平方得
2
2
2
4
4
2
10
25
5
x
x
y
x
x
，
整理得
2
2
1
10
6
x
y
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
10
6
x
y
.
（2）依题意，设
,
,
,
P x y
A m n ，则
,0
B x
，
因为
1
3
PB
AB
，则
1
3
BP
BA
uur
uur
，
则
1
0,
,
3
y
m
x n
，可得
1
0
(
)
3
1
3
m
x
y
n
，解得
3
m
x
n
y
，即
,3
A x
y .
因为点A 在圆
2
2
9
x
y
上，则
2
2
9
9
x
y
，即
2
2
1
9
x
y
，
所以点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆.
9．设平面上有一条长度为4 的线段AB ，试建立适当的平面直角坐标系，求：
(1)到线段AB 两端点的距离的平方差为16 的点的轨迹方程；
(2)到线段AB 两端点的距离的平方和为16 的点的轨迹方程．
【答案】(1)
2
x
(2)
2
2
4
x
y
【分析】（1）建立直角坐标系且
2,0
A
、
2,0
B
，根据距离的平方差及两点距离公式求轨迹方程；
（2）根据距离的平方和及两点距离公式求轨迹方程.
【详解】（1）如图取AB 中点O为原点，AB 所在直线为x 轴，过点O且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平
面直角坐标系，则有
2,0
A
、
2,0
B
．
设点
,
P x y 到A 、B 两点的距离的平方差为16，
则
2
2
2
2
2
2
16
x
y
x
y
，化简得8
16
x
．
因此，所求轨迹方程为
2
x ，其轨迹是两条垂直于x 轴的直线．
（2）设点
,
P x y 到A 、B 两点的距离的平方和为16，
则
2
2
2
2
2
2
16
x
y
x
y
，化简得
2
2
4
x
y
．
因此，所求轨迹方程
2
2
4
x
y
，其轨迹是以AB 为直径的圆．
10.设动点M 在直线
0
y
和
2
y 上的射影分别为点N 和R ,已知
2
MN MR
OM
,其中O为坐标原点.
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过直线
2
0
x
y
上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB ( A , B 为切点),求证：直线AB 经过定点.
【分析】（1）利用直接法求轨迹方程,设
( , )
M x y ,把
2
MN MR
OM
坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方
程；
（2）利用导数的几何意义,求得切线斜率,设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
,可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P
的坐标为
1
2
1
2
(
)
2
2
x
x
x x
，
,又点P 在直线
2
0
x
y
上,代入可得
1
2
1
2
4
x x
x
x
,再代入到直线AB 的方程
即可得解.
【解析】（1）设
( , )
M x y ,则
( ,0),
( , 2)
N x
R x
,
所以
( , ),
(0,
),
(0, 2
)
OM
x y MN
y MR
y
,
由条件可得
2
2
(
2)
y
y
x
y
,
整理可得点M 的轨方程为
2
2
x
y
；
（2）由（1）知,
2
1
2
y
x
,求导可得y
x
,
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
,
则切线PA 的方程为
2
1
1
1
(
)
2
x
y
x x
x
,
即
2
1
1
2
x
y
x x
①,
同理可得切线PB 的方程为
2
2
2
2
x
y
x x
②,
联立①②,解得点P 的坐标为
1
2
1
2
(
,
)
2
2
x
x
x x
,
因为点P 在直线
2
0
x
y
上,
所以
1
2
1
2
2
0
2
2
x
x
x x
,即
1
2
1
2
4
x x
x
x
,
又直线AB 的斜率
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
k
x
x
,
所以直线AB 的方程为：
2
1
1
2
1
(
)
2
2
x
x
x
y
x
x
,
即
1
2
1
2
(
)
2
x
x
x
x x
y
,又
1
2
1
2
4
x x
x
x
,
代入可得
1
2
(
)(
1)
2
2
x
x
x
y
,
所以直线AB 过定点(1,2).
【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨
迹方程.
题型三：相关点法求动点轨迹
1.设定点
6,2 ,
A
P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．
【答案】
2
2
(
3)
(
1)
1
25
9
4
x
y
【解析】设
1
1
,
,
,
M x y
P x y
．
因为M 为线段AP 的中点，所以
1
1
2
6,
2
2
x
x
y
y
，
因为
2
2
1
1
1
25
9
x
y
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
(
3)
(
1)
1
25
9
4
x
y
．
2．如图所示，从双曲线x
2－y
2＝1 上一点Q 引直线x＋y＝2 的垂线，垂足为N．求线段QN 的中点P 的轨迹
方程．
【答案】2x
2－2y
2－2x＋2y－1＝0
【详解】试题分析：求动点轨迹方程的一般步骤：设所求点坐标为
,x y ，找到所求点满足的关系式并将
其转化为点的坐标表示，将得到的关系式化简可得到动点的轨迹方程，最后注意验证是否有不满足要求的
点，本题中首先设出P 的坐标为（x，y），利用中点坐标公式将其转化到双曲线和直线方程上来寻找满足
的关系式
试题解析：设动点P 的坐标为（x，y），点Q 的坐标为（x1，y1），则N 点的坐标为（2x－x1，2y－y1）．
∵点N 在直线x＋y＝2 上，∴2x－x1＋2y－y1＝2，①
又∵PQ 垂直于直线x＋y＝2．
∴
1
1
y
y
x
x
＝1，即x－y＋y1－x1＝0，②
由①、②联立，解得
1
1
3
1
1
2
2
{
1
3
1
2
2
x
x
y
y
x
y
又Q 在双曲线x
2－y
2＝1 上，
∴
2
2
1
1
1
x
y
，
即
2
2
3
1
1
3
1
1
1
2
2
2
2
x
y
x
y
整理得2x
2－2y
2－2x＋2y－1＝0，这就是所求动点P 的轨迹方程．
考点：动点的轨迹方程
3.如图,P 是圆x
2＋y
2＝4 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点D,点M 满足DM
→＝1
2
DP
→.
(1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A,B,求以OA,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的
顶点E 的轨迹方程．
【分析】(1) 设M(x,y),
1
1
,
P x y
,由DM
→＝1
2
DP
→知,得
1
1
,
2
x
x y
y
,代入x
2＋y
2＝4,即得动点M 的轨迹C 的
方程；设E(x,y),l：y＝k(x－3),代入x
2
4
＋y
2＝1,得(1＋4k
2)x
2－24k
2x＋36k
2－4＝0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),由OE
→＝OA
→＋OB
→＝(x1＋x2,y1＋y2)
＝
24k
2
1＋4k
2，－6k
1＋4k
2 ,得
x＝24k
2
1＋4k
2，
y＝－6k
1＋4k
2，
消去k 得x
2＋4y
2－6x＝0,由(*)中Δ>0,得k
2<1
5
,0<x<8
3
.
古顶点E 的轨迹方程为x
2＋4y
2－6x＝0
0<x<8
3 .
【解析】(1)设M(x,y),则D(x,0),
1
1
,
P x y
,
由DM
→＝1
2
DP
→知,得
1
1
,
2
x
x y
y
∵点P 在圆x
2＋y
2＝4 上,∴x
2＋4y
2＝4,
故动点M 的轨迹C 的方程为x
2
4
＋y
2＝1,且轨迹C 为椭圆．
(2)设E(x,y),由题意知l 的斜率存在,
设l：y＝k(x－3),代入x
2
4
＋y
2＝1,
得(1＋4k
2)x
2－24k
2x＋36k
2－4＝0,(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝24k
2
1＋4k
2,
∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)
＝k(x1＋x2)－6k
＝24k
3
1＋4k
2－6k＝－6k
1＋4k
2.
∵四边形OAEB 为平行四边形,
∴OE
→＝OA
→＋OB
→＝(x1＋x2,y1＋y2)
＝
24k
2
1＋4k
2，－6k
1＋4k
2 ,
又OE
→＝(x,y),∴
x＝24k
2
1＋4k
2，
y＝－6k
1＋4k
2，
消去k,得x
2＋4y
2－6x＝0,
由(*)中Δ＝(－24k
2)
2－4(1＋4k
2)(36k
2－4)>0,
得k
2<1
5
,∴0<x<8
3
.
∴顶点E 的轨迹方程为x
2＋4y
2－6x＝0
0<x<8
3 .
【点评】本题第(1)问是通过相关点法求轨迹方程,第(2)问是通过参数法求轨迹方程.
4．已知面积为16 的正方形ABCD的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，
3
1
4
2
OP
OA
OB
，
则动点P 的轨迹方程是
．
【答案】
2
2
1
9
4
x
y
【解析】设
,0
A a
，
0,
B
b ，
( , )
P x y ，由正方形的性质有
2
2
16
a
b
，根据
3
1
4
2
OP
OA
OB
，利用向
量的坐标表示得x、y 与a、b 的关系，代入
2
2
16
a
b
即可得P 的轨迹方程.
【详解】设
,0
A a
，
0,
B
b ，
( , )
P x y
∵|
|
16
4
AB
，
∴
2
2
4
a
b
，化为
2
2
16
a
b
．
∵
3
1
4
2
OP
OA
OB
，
∴
3
1
3
( , )
( ,0)
(0, )
,
4
2
4
2
a b
x y
a
b
，即
3
4
4
3
2
2
a
x
x
a
b
b
y
y
，
∴
2
2
16
4
16
9
x
y
，化为
2
2
1
9
4
x
y
．
∴动点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
4
x
y
．
故答案为：
2
2
1
9
4
x
y
.
【点睛】思路点睛：
1、设点：
( , )
P x y ，
,0
A a
，
0,
B
b .
2、确定参数a、b 关系：正方形边长的平方等于面积，而边长为
2
2
a
b
.
3、由向量线性关系确定x、y 与a、b 的关系：
3
1
3
( , )
( ,0)
(0, )
,
4
2
4
2
a b
x y
a
b
.
4、x、y 替换a、b 代入2 中的等式求轨迹方程.
5.直线y
x
和y
x
上各有一点,
P Q（其中点
,
P Q 的纵坐标分别为
,
P
Q
y
y 且满足
0
P
Q
y y
），
OPQ
△
的面
积为4，则PQ的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
4
x
y
B．
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
y
x
D．
2
2
8
x
y
【答案】B
【解析】因为直线y
x
和y
x
互相垂直，所以OP
OQ
，
又
0
P
Q
y y
，所以点
,
P Q 在一，四象限或者二，三象限，
设
,
,
,
,
,
P a a
Q b
b
M x y
，
因为M 为PQ的中点，所以
,
2
2
a
b
a
b
x
y
，所以
,
a
x
y b
x
y
因为
90
POQ
，所以
2 ,
2
OP
a OQ
b
，
所以
1
1
2
2
4
2
2
OPQ
S
OP
OQ
a
b
，所以
4
ab
，
所以
4
x
y
x
y
，即
2
2
4
x
y
，故选：B
6．一条线段的长等于10，两端点
,
A B 分别在x 轴和P 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
AB
，则点M 的
轨迹方程是（
）
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
【答案】B
【分析】设
( , ),
( ,0),
(0, )
M x y
A a
B
b ，根据
4
AM
MB
得,x y 的方程，最后根据
2
2
100
a
b
得出,x y 的关系
即M 的轨迹方程.
【详解】设
( , ),
( ,0),
(0, )
M x y
A a
B
b ，则
2
2
100
a
b
.
∵
4
AM
MB
，
,
4
,
x
a y
x b
y
，
∴
5
4
5
a
x
b
y
即
5
5
4
a
x
b
b
，代入
2
2
100
a
b
，
得
2
2
25
25
100
16
x
y
，即
2
2
16
64
x
y
.
故选：B.
7.已知点P 为圆
2
2
18
x
y
上一动点，PQ
x
轴于点Q ，若动点M 满足
1
2
3
3
OM
OP
OQ
,求动点M 的轨
迹C 的方程；
【答案】
2
2
1
18
2
x
y
【分析】
设
0
0
,
,
,
M x y
P x
y
，则
0,0
Q x
，根据
1
2
3
3
OM
OP
OQ
，求得
0
0
,
3
x
x y
y
，代入圆的方程，即可
求解.
【详解】
解：设
0
0
,
,
,
M x y
P x
y
，则
0,0
Q x
，可得
0
0
0
,
,
,
,
,0
OM
x y
OP
x
y
OQ
x
，
由
1
2
3
3
OM
OP
OQ
，所以
0
0
1
( , )
(
,
)
3
x y
x
y
，化简得
0
0
,
3
x
x y
y
，
因为
2
2
0
0
18
x
y
，代入可得
2
2
9
18
x
y
，即
2
2
1
18
2
x
y
，
即为M 的轨迹C 的方程为
2
2
1
18
2
x
y
.
8.已知
2,1 ,
2, 1 ,
A
B
O
为坐标原点，动点
,
P x y 满足OP
mOA
nOB
，其中
,
R
m n
，且
2
2
1
2
m
n
，
则动点P 的轨迹方程是
.
【答案】
2
2
1
4
x
y
【解析】设动点
,
P x y ，
因为动点P 满足OP
mOA
nOB
，其中
,
R
m n
，
所以
,
2,1
2, 1
2
2 ,
x y
m
n
m
n m
n
，
所以
2
2 ,
x
m
n
y
m
n
解得
2
4
x
y
m
，
2
4
x
y
n
，
因为
2
2
1
2
m
n
，
所以
2
2
2
2
1
4
4
2
x
y
x
y
，整理得
2
2
1
4
x
y
.
故答案为:
2
2
1
4
x
y
.
9.如图，在圆
2
2
4
x
y
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线
段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？
【答案】点M 的轨迹是椭圆，理由见解析
【解析】设点M 的坐标为( , )
x y ，点P 的坐标为
0
0
,
x
y
，则点D 的坐标为
0,0
x
，
由点M 是线段PD 的中点，得
0
x
x
，
0
2
y
y
．
因为点
0
0
,
P
x
y
在圆
2
2
4
x
y
上，所以
2
2
0
0
4
x
y
①
把
0x
x
，
0
2
y
y
代入方程①，得
2
2
4
4
x
y
，即
2
2
1
4
x
y
．
所以点M 的轨迹是椭圆．
10．已知抛物线
2
1
y
x
，定点
3 ,1 ,
A
B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有
:
1: 2
BP PA
，
当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．
【答案】
2
3
1
2
2
x
y
y
【分析】设B
,
X Y 、P
,
x y ，利用定比分点公式求点B 坐标与点P 坐标间数量关系，根据点B 在抛物
线上求P 的轨迹方程．
【详解】设B
,
X Y 、P
,
x y ，则
1
1
3
1
2
3
2
1
2
2
,
1
1
3
3
1
1
2
2
X
Y
X
Y
x
y
，
3
1
2
X
x
①，
1 3
1
2
Y
y
②
B
在抛物线
2
1
y
x
上，
2
1
Y
X
，把①②代入得
2
3
1
3
1
1
2
2
y
x
，化简得
2
3
2
2
1
0
y
y
x
，
即
2
3
1
2
2
x
y
y
，轨迹为抛物线.
11．如图所示，已知
(4,0)
P
是圆
2
2
36
x
y
内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足
90
APB
，求矩形
APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
【答案】
2
2
56
x
y
【解析】设AB 的中点为R ，坐标为
1
1
,
x
y
，根据题意，先求出点R 的轨迹方程；再设
( , )
Q x y ，根据题意，
找出等量关系，进而可求出轨迹方程.
【详解】设AB 的中点为R ，坐标为
1
1
,
x
y
，则在Rt ABP
中，|
| |
|
AR
PR
.
又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理，在Rt ABP
中，
2
2
2
2
2
1
1
|
|
|
|
|
|
36
AR
AO
OR
x
y
.
又
2
2
1
1
|
| |
|
4
AR
PR
x
y
，所以有
2
2
2
2
1
1
1
1
4
36
x
y
x
y
，即
2
2
1
1
1
4
10
0
x
y
x
.
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点在所求的轨迹上运动.
设
( , )
Q x y ，因为R 是PQ的中点，所以
1
4
2
x
x
，
1
0
2
y
y
.
代入方程
2
2
1
1
1
4
10
0
x
y
x
，得
2
2
4
4
4
10
0
2
2
2
x
y
x
.
整理，得
2
2
56
x
y
，这就是所求的轨迹方程.
【点睛】本题主要考查求点的轨迹方程，熟记求轨迹方程的方法即可，属于常考题型.
题型四：参数法求动点轨迹
1．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线1
2
,l l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，若点M 是线段AB 上的
点，且满足
2
BM
AM
，则点M 的轨迹方程是
．
【答案】3
12
20
0
x
y
【分析】设出直线1
2
,l l ，求出A 点，B 点，设出点M，利用
2
BM
MA
uuur
uuur，列方程组，消元可得点M 的轨迹
方程.
【详解】解：设1 :
(
4)
2
k
l
x
y
，当
0
y
，得
4
2
x
k
，
2 :
(
2)
4
l
y
k x
，当
0
x
，得
2
4
y
k
，
则
( 4
2,0),
(0,2
4)
A
k
B
k
，设
( , )
M x y ，
由已知
2
BM
MA
uuur
uuur，
( ,
2
4)
2( 4
2
,
)
x y
k
k
x
y
，
得
8
4
2
2
4
2
y
k
x
y
k
y
，消去k 得3
12
20
0
x
y
，
故答案为：3
12
20
0
x
y
.
【点睛】本题考查参数法求轨迹方程，是基础题.
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，F 到双曲线
2
2
1
3
y
x
的渐近线的距离为2 .
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过动点
,0
A a
作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程.
【答案】(1)
2
16
x
y
；(2)
2
18
0
x
y x
【解析】（1）双曲线
2
2
1
3
y
x
的一条渐近线为3
0
x
y
，
又抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点F 的坐标为0, 2
p
，
由题可得：2
2
2
p
，解得
8
p
，故抛物线方程为：
2
16
x
y
.
（2）设过点
,0
A a
与抛物线C 相切的直线方程为
,
0
y
k x
a
k
，
联立抛物线方程
2
16
x
y
可得
2
16
16
0
x
kx
ka
，则
2
2
16
64
0
k
ka
，
又
0
k
，则
4
a
k
，所以
8
B
x
k
，
2
4
B
y
k
，
设点D 的坐标为
,x y ，则
2
0
6 ,
2
2
2
B
B
a
x
y
x
k y
k
，即
6
x
k
，
代入
2
2
y
k
，可得
2
18
x
y
，
又
0
k
，故
0
x
；
则点D 的轨迹方程为：
2
18
0
x
y x
.
3.已知双曲线
2
2
1
4
y
x
与直线
:
2
l y
kx
m k
有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交
x 轴、y 轴于
,0 ,
0,
A x
B
y 两点．当点M 运动时，点
,
P x y 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
0
4
x
y
y
B．
2
2
1
0
4
x
y
y
C．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
D．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
【答案】D
【解析】因为双曲线
2
2
1
4
y
x
与直线
:
2
l y
kx
m k
有唯一的公共点M ，
所以直线l 与双曲线相切，联立
2
2
1
4
y
kx
m
y
x
，消去y 并整理得
2
2
2
(4
)
2
4
0
k
x
kmx
m
，
所以
2
2
2
2
4
4(4
)(
4)
0
k m
k
m
，即
2
2
4
m
k
，
将
2
2
4
m
k
代入
2
2
2
(4
)
2
4
0
k
x
kmx
m
，得
2
2
2
2
0
m x
kmx
k
，
得
2
(
)
0
mx
k
，因为
2
k ，
2
2
4
m
k
，所以
0
m
，
所以
k
x
m
，
2
2
4
k
m
k
y
k
m
m
m
m
，即
4
(
,
)
k
M
m
m
，
由
2
2
4
m
k
可知
0
k
，
所以过点M 且与l 垂直的直线为
4
1 (
)
k
y
x
m
k
m
，
令
0
y
，得
5k
x
m
，令
0
x
，得
5
y
m
，
则
5
(
,0)
k
A
m
，
5
(0,
)
B
m
，
由
5
5
k
x
m
y
m
，得
5
m
y
，
x
k
y
，
代入
2
2
4
m
k
，得
2
2
2
25
4
x
y
y
，即
2
2
4
1(
0)
25
25
x
y
y
，故选：D
4．已知椭圆C:
2
2
1
9
4
x
y
，若动点
0
0
P x
y
，
为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点
P 的轨迹方程
.
【答案】
2
2
13
x
y
【分析】当切线斜率存在且不为0 时,设直线方程
0
0
(
)
y
y
k x
x
【详解】设从点P 所引的直线的方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
,即
0
0
y
kx
y
kx
,
当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为
1k 、
2k ,则
1 2
1
k k ,
将直线
0
0
y
kx
y
kx
的方程代入椭圆C 的方程
2
2
0
0
1
9
4
x
y
y
kx
y
kx
，
化简得
2
2
2
0
0
0
0
9
4
18
9
36
0
k
x
k y
kx
x
y
kx
,
2
2
2
0
0
0
0
18
4 9
4
9
36
0
k y
kx
k
y
kx
,
化简得
2
2
0
0
9
4
0
y
kx
k
,即
2
2
2
0
0
0
0
9
2
4
0
x
k
kx y
y
,
则
1k 、
2k 是关于k 的一元二次方程
2
2
2
0
0
0
0
9
2
4
0
x
k
kx y
y
的两根,
则
2
0
1
2
2
0
4
1
9
y
k k
x
,化简得
2
2
0
0
13
x
y
；
当两条切线分别平行与,x y 轴时,
0
0
,
P x
y
分别为
3, 2
P
四点,满足
2
2
0
0
13
x
y
.
故答案为：
2
2
13
x
y
【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为0 再进行化简求解方法,属于
难题.
5.已知斜率为2
5 的动直线与椭圆
2
2
1
5
4
x
y
交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为M ，则M 的轨迹长度
为
．
【答案】5 6
3
/ 5
6
3
【解析】设斜率为2
5 直线方程为：
2
5
y
x
b
，
代入椭圆
2
2
1
5
4
x
y
中，消元整理得：
2
2
24
20
25
100
0
x
bx
b
，
线段AB 的中点为M ，设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
M x
y
，
则
2
1
2
1
2
5
25
100
,
6
24
b
x
x
b x x
，
所以
1
2
1
2
2
2
5
5
y
y
x
b
x
b
，
1
2
2
2
5 x
x
b
2
5
5
2
5
6
3
b
b
b
，
所以
1
2
0
1
2
0
5
2
12
5
2
6
x
x
x
b
y
y
y
b
，消去b 得：
0
0
2
y
x
，
所以线段AB 的中点为M 的轨迹方程为：
2
y
x
，
如图所示：M 的轨迹即为线段PQ ，
由
2
2
30
2
6
1
2 30
5
4
6
y
x
x
x
y
y
或
30
6
2 30
6
x
y
，
所以
30 2 30
30
2 30
,
,
,
6
6
6
6
P
Q
，
所以M 的轨迹长度为：
2
2
30
30
2 30
2 30
5 6
6
6
6
6
3
PQ
，
故答案为：5 6
3
.
6.平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
【答案】
2
4
3
0
3
2
y
x
x
【解析】
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.不妨设AP
PQ
QB
，则
1
2
1
2
2
2
,
3
3
x
x
y
y
P
.
易知
1,0
F
.由于点P 位于线段OF 上，故
1
2
2
0,1
3
x
x
，
1
2
2
0
3
y
y
.
可设
1y
t
，
2
2
y
t
，则
2
1
4
t
x
，
2
2x
t
.此时有
2
1
2
2
0,1
3
2
x
x
t
，
且由A ，B 不重合知
0
t
，所以
2
0,2
t
.
设
,
Q
Q
Q x
y
，则
2
1
2
2
3
3
4
Q
x
x
x
t
，
1
2
2
3
Q
y
y
y
t
，有
2
4
3
Q
Q
y
x
.
注意到
2
3
3
0,
4
2
Q
x
t
，故点Q 的轨迹方程为
2
4
3
0
3
2
y
x
x
.
7．如图，设点A 和B 为抛物线
2
4
y
px
0
p
上原点以外的两个动点，已知OA
OB
，OM
AB
．求
点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【答案】
2
2
4
0
0
x
y
px
x
，M 的轨迹是以
2 ,0
p
为圆心，以2 p 为半径的圆，去掉坐标原点．
【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，消去参数得到轨迹方程，并
去掉不符合的点．
【详解】设
2
2
,
,
,
4
4
A
B
A
B
y
y
A
y
B
y
p
p
，
,
OA OB 的斜率分别为
,
OA
OB
k
k
．
所以
2
4
4
,
.
4
A
OA
OB
A
A
B
y
p
p
k
k
y
y
y
p
由OA
OB
，得
2
16
1
OA
OB
A
B
p
k
k
y y
①
由点A 在AB 上，得直线AB 方程
2
4
4
A
A
B
A
y
y
y
y
y
p x
p
②
由OM
AB
，得直线OM
方程
4
A
B
y
y
y
x
p
③
设点
,
M x y ，
则
,x y 满足②、③两式，将②式两边同时乘
4
x
p
，并利用③式整理得
2
2
2
0
4
A
A
x y
yy
x
y
p
④
由③、④两式得
2
2
0.
4
A
B
x y y
x
y
p
由①式知，
2
16
,
A
B
y y
p
∴
2
2
4
0.
x
y
px
因为
,
A B 是原点以外的两点，所以
0
x
．
所以点M 的轨迹方程为
2
2
4
0
0
x
y
px
x
，M
的轨迹是以
2 ,0
p
为圆心，以2 p 为半径的圆，
去掉坐标原点．
8．过抛物线
2
2
y
px
（
0
p
）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
【答案】
2
(
2 )
y
p x
p
【分析】根据题意求M 的坐标，再利用消参法求点的轨迹方程.
【详解】设直线OA的斜率为(
0)
k k
，则直线OB 的斜率为
1
k
．
∵直线OA 的方程为y
kx
，
联立方程
2
2
y
kx
y
px
，解得
2
2
2
p
x
k
p
y
k
，即
2
2
2
(
,
)
p
p
A k
k
，
同理可得
2
)
,
(2
2
B
pk
pk
．
由中点坐标公式得
2
2
,
p
p
M
pk
pk
k
k
，即
2
2
p
x
pk
k
p
y
pk
k
，消去k 得
2
(
2 )
y
p x
p
∴点M 的轨迹方程为
2
(
2 )
y
p x
p
9．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点
C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.
【答案】答案见解析
【解析】记B(-1，b)(b∈R)，易知直线OA 和OB 的方程分别为y=0 和y=-bx，设点C(x，y)，（0≤x<a），
根据OC 平分∠AOB，利用点C 到OA､OB 距离相等得到
2
1
y
bx
y
b
，再根据点C 在直线AB 上，由
1
b
y
x
a
a
，求出b，代入上式化简求解.
【详解】依题意，记B(-1，b)(b∈R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y=0 和y=-bx.
设点C(x，y)，则有0≤x<a，由OC 平分∠AOB，知点C 到OA､OB 距离相等.
由点到直线的距离公式得
2
1
y
bx
y
b
又因为点C 在直线AB 上，
所以
1
b
y
x
a
a
，
因为
0
x
a
，
所以
1
ay
b
x
a
，
代入上式得
2
2
2
2
2
1
1
1
a
y
a y
y
y
x
a
x
a
，
整理得y
2[(1-a)x
2-2ax+(1+a)y
2]=0，
若y≠0，则(1-a)x
2-2ax+(1+a)y
2=0(0<x<a)；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C 的坐标为(0，0)，满足上式.
综上得点C 的轨迹方程为(1-a)x
2-2ax+(1+a)y
2=0(0≤x<a).
（i）当a=1 时，轨迹方程化为y
2=x(0≤x<1).表示抛物线弧段；
（ii）当a≠1 时，轨迹方程为
2
2
2
2
2
1
1 0
1
1
a
x
y
a
x
a
a
a
a
a
当0<a<1 时，方程表示椭圆弧段；
当a>1 时，方程表示双曲线一支的弧段.
题型五：交轨法求动点轨迹
1.设
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
与x 轴的两个交点，1
2
,
P P 是椭圆上垂直于
1
2
A A 的弦的端点，则直线
1 1
A P 与
2
2
A P
交点的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
B．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
C．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
【答案】C
【解析】
如图，设直线
1 1
A P 与
2
2
A P 的交点为
( , )
P x y ，则
1
2
( 3,0),
(3,0),
A
A
1
0
0
2
0
0
(
,
),
(
,
),
P x
y
P x
y
∵
1
1,
,
A P P 共线，故
0
0
3
3
y
y
x
x
①，
又∵
2
2
,
,
A P P 共线，故
0
0
3
3
y
y
x
x
②.
由①，②两式相乘得
2
2
0
2
2
0
9
9
y
y
x
x
（*）,
因
1
0
0
(
)
,
P x
y
在椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上，则
2
2
0
0
1
9
4
x
y
，可得：
2
2
0
0
4(1
),
9
x
y
将其代入（*）式，即得：
2
0
2
2
2
0
4(1
)
4
9
9
9
9
x
y
x
x
，
化简得：
2
2
1
9
4
x
y
，即P 的轨迹方程为
2
2
1
3
9
4
x
y
x
.故选：C.
2．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，则直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程为
．
【答案】
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
）．
【分析】设
1
1
1
1
( ,
),
( ,
)
M x y
N x
y
，直线AM 和NB 的交点为
( , )
P x y ，根据
,
,
A M P 三点共线及
, ,
N B P 三点共线，
可得两个式子，两式相乘，再结合M 在椭圆上即可得出答案.
【详解】设
1
1
1
1
( ,
),
( ,
)
M x y
N x
y
，
因为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴端点为
(
,0),
( ,0)
A
a
B a
，
设直线AM 和NB 的交点为
( , )
P x y ，
因为
,
,
A M P 三点共线，所以
1
1
y
y
x
a
x
a
，x
a
¹- ，
因为
, ,
N B P 三点共线，所以
1
1
y
y
x
a
x
a
，x
a
两式相乘得
2
2
1
2
2
2
2
1
y
y
x
a
x
a
，（x
a
）,
因为
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
，所以
2
2
2
2
1
1
2
(
)
b a
x
y
a
，即
2
2
1
2
2
2
1
y
b
x
a
a
，
所以
2
2
2
2
2
y
b
x
a
a
，整理得
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
），
所以直线AM 和NB 的交点P 的轨迹方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
）.
故答案为：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
）.
3.如图，椭圆
2
2
0
2
2
:
1
x
y
C
a
b
（
0
a
b
，,a b为常数），动圆
1
1
2
2
2
:
C
x
y
t
，
1
b
t
a
，点
1
2
,
A A 分别为
0
C 的左，右顶点，
1
C 与
0
C 相交于
, , ,
A B C D 四点，求直线
1
AA 与直线
2
A B 交点M 的轨迹方程.
【答案】
2
2
2
2
1
,
0
x
y
x
a y
a
b
【解析】设
1
1
,
A x y
，
1
1
,
B x
y
，又
1
,0
A
a
，
2
,0
A a
，
则直线
1A A 的方程为
1
1
y
y
x
a
x
a
…①；直线
2
A B 的方程为
1
1
y
y
x
a
x
a
…②；
由①②得：
2
2
2
2
1
2
2
1
y
y
x
a
x
a
…③；
由点
1
1
,
A x y
在椭圆
0
C 上可得：
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
，
2
2
2
1
1
2
1
x
y
b
a
，代入③得：
2
2
2
2
1
,
0
x
y
x
a y
a
b
.
4.已知矩形ABCD中，
2 6,
2 2, , , ,
AB
BC
E F G H
分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF
所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线
,
HF BC 上的动点
,
R S 满足
,
OR
OF CS
CF
R
.求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程.
【答案】
2
2
1(
6
2
x
y
不含点(0,
2))
【解析】依题意，
0,
2 ,
0,
2 ,
6,0 ,
6,
2
E
G
F
C
，
设点
)
( , ),
(
,0), ( 6,
R
S
P x y R x
S
y
，由OR
OF
，得
6
R
x
，即
( 6 ,0)
R
，
由CS
CF
，得
2(1
)
Sy
，即( 6,
2(1
))
S
，
当
0
时，直线
2
:
2
6
ER y
x
，直线
2
:
2
6
GS y
x
，
联立消去参数得
2
1
(
2)(
2)
3
y
y
x
，即
2
2
1(
0)
6
2
x
y
x
，
当
0
时，得交点
(0,
2)
P
，满足上述方程，
所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:
2
2
1(
6
2
x
y
不含点(0,
2))
.
5．已知反比例函数
1
y
x
的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设
1A 、
2
A 为双曲线C 的两个顶点，点
0
0
,
M x
y
、
0
0
,
N y x
是双曲线C 上不同的两个动点.求直线
1A M
与
2
A N 交点的轨迹E 的方程；
【答案】(1)顶点坐标
1,1 ，
1, 1
，焦点坐标
2,
2 、
2,
2
(2)
2
2
2
1
x
y
x
【分析】（1）分析可知双曲线C 的顶点和焦点均在=
y x 上，联立直线=
y x 与双曲线
1
y
x
的方程，可求得双
曲线C 的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标；
（2）设点
,
P x y ，利用向量共线的坐标表示结合
0
0
1
y
x
化简可得出轨迹E 的方程.
【详解】（1）解：因为反比例函数
1
y
x
的图象在第一象限和第三象限，
第一、三象限的角平分线所在直线的方程为=
y x ，
所以，双曲线C 的顶点和焦点均在直线=
y x 上，
联立
1
=
=
y
x
y x
可得
=1
=1
x
y
或
=
1
=
1
x
y
，故双曲线C 的顶点坐标
1,1 、
1, 1
.
所以该等轴双曲线的焦距为
2
2
2 2 1
1
4
，
设双曲线C 的焦点坐标为
,
m m ，则
2
2
2
2
m
m
m
，解得
2
m
，
因此，双曲线C 的焦点坐标为
2,
2 、
2,
2
.
（2）解：因为点
0
0
,
M x
y
、
0
0
,
N y x
是双曲线C 上不同的两个动点，则
0
1
x 且
0
1
y ，
设交点
,
P x y ，
1
1
//
A M
A P
，且
1
0
0
=
1,
1
A M
x
y
，
1 =
1,
1
A P
x
y
，
所以，
0
0
1
1 =
1
1
x
y
y
x
，①
2
2
//
A N
A P
，且
2
0
0
1,
1
A N
y
x
，
2
1,
1
A P
x
y
，
所以，
0
0
1
1
1
1
y
y
x
x
，②
因为点
0
0
,
M x
y
在双曲线C 上，则
0
0
1
y
x
，且
0
1
x ，
将
0
0
1
y
x
代入①式化简可得
0
1
1=
1
y
x
x
，③
将
0
0
1
y
x
代入②式化简可得
0
1
1
y
x
x
，④
③式与④式相乘可得
2
2
1=1
y
x
，可得
2
2
2
x
y
，
因此，轨迹E 的方程为
2
2
+
=2
1
x
y
x
.
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过
2
2
:
25
O x
y
上的点P 作切线l ，l 分别与直线
5
x
，
5
x 交于
点
,
C
D ，圆O与x 轴交于点,
A B．
(1)若P 点坐标是(3,4) ，求直线
,
AC
BD 的方程；
(2)若
( , )
P s t 是圆O上的动点，证明：两条动直线
,
AC
BD 的交点M 总在同一个椭圆T 上，并求出椭圆T 的
方程．
【答案】(1)直线AC 的方程为
4
5
0
x
y
，直线BD 的方程为
5
0
x
y
；(2)证明见解析，
2
2
4
1
25
25
x
y
【解析】（1）连接OD ，若P 点坐标是(3,4) ，得直线OP 的斜率
4
3
OP
k
，
且OP
CD
，则直线CD 的斜率
3
4
CD
k
，
又因为直线CD 经过点
(3,4)
P
，
则直线CD 的方程为
3
4
(
3)
4
y
x
，即3
4
25
0
x
y
．
当
5
x
时，
5
2
y
，得
5
5, 2
C
；当
5
x 时，
10
y
，得
( 5,10)
D
．
由点
5
( 5,0),
5, 2
A
C
，可得直线AC 的方程为
0
5
5
5
5
0
2
y
x
，即
4
5
0
x
y
，
由点
(5,0),
( 5,10)
B
D
，可得直线BD 的方程为
0
5
10
0
5
5
y
x
，即
5
0
x
y
．
（2）因为
( , )
P s t 是圆
2
2
:
25
O x
y
上的一动点，则
2
2
25
s
t
，
设
( , )
Q x y 是圆O以P 为切点的切线l 上任意一点，得
(
,
)
PQ
x
s y
t
，
( , )
OP
s t
，
由OP
PQ
，则
(
)
(
)
0
OP PQ
x
s s
y
t t
，可得
2
2
25
sx
ty
s
t
，
所以切线l 的方程为
25
0
sx
ty
．
将
5
x
，代入
25
0
sx
ty
中，解得
25
5s
y
t
，得
25
5
5,
s
C
t
；
将
5
x ，代入
25
0
sx
ty
中，解得
25
5s
y
t
，得
25
5
5,
s
D
t
．
由
( 5,0),
A
25
5
5,
s
C
t
，得
5
2
AC
s
k
t
，得直线AC 方程为
5
(
5)
2
s
y
x
t
；
由
(5,0),
B
25
5
5,
s
D
t
，得
5
2
BD
s
k
t
，得直线BD方程为
5
(
5)
2
s
y
x
t
．
设直线
,
AC
BD 的交点
( , )
M x y ，联立方程组
5
5
2
5
5
2
s
y
x
t
s
y
x
t
，
两式相乘得
2
2
2
2
25
(
25)
4
s
y
x
t
．
且
2
2
25
s
t
，代入上式化简得方程
2
2
4
25
x
y
，即
2
2
4
1
25
25
x
y
，
是一个焦点在x 轴上的椭圆的方程，
所以两条动直线
,
AC
BD 的交点M 总在同一个椭圆T 上，且椭圆T 的方程为
2
2
4
1
25
25
x
y
．
7.已知抛物线
2
:
C y
x
,过点
1,2
M
的直线交抛物线C于
,
A B 两点,以
,
A B 为切点分别作抛物线C的两条
切线交于点P .
（1）若线段AB 的中点N 的纵坐标为3
2 ,求直线AB 的方程；
（2）求动点P 的轨迹.
【分析】（1）联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；
（2）写出圆的切线方程,根据P 是交点可得
1
2
x
x
，是方程
2
0
0
2
0
x
x x
y
的两根,由（1）中
1
2
1
2
2
x
x
k
x x
k
，
代入化简即可求出.
【解析】（1）依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为
2
(
1).
y
k x
由
2
2
(
1)
y
k x
y
x
，
，
可得：
2
2
0
x
kx
k
.
设
1
1
2
2
(
)
(
)
A x y
B x y
，，
，
,则有
1
2
1
2
2.
x
x
k
x x
k
，
于是：
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 2
(
)
2
2
4
3
y
y
x
x
x
x
x x
k
k
,解得
1
k ,
故直线AB 的方程为
1
0.
x
y
（2）设
0
0
(
)
P x y
，
,对于抛物线
2
y
x
=
,
2
y
x
，
于是：A 点处切线方程为
1
1
1
2 (
)
y
y
x x
x
,
点P 在该切线上,故
2
0
1
1
0
1
2 (
)
y
x
x x
x
,即
2
1
0 1
0
2
0
x
x x
y
.
同理：P 点坐标也满足
2
2
0
2
0
2
0
x
x x
y
，
于是：
1
2
x
x
，是方程
2
0
0
2
0
x
x x
y
的两根,
所以
1
2
0
1
2
0
2
.
x
x
x
x x
y
，
又由（1）可知：
1
2
1
2
2
x
x
k
x x
k
，
,
于是
0
0
2
2
k
x
y
k
，
,消k 得
0
0
2
2
y
x
,于是P 的轨迹方程为2
2
0
x
y
,点P 的轨迹是一条直线.
【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法
8．已知双曲线
2
2
1
2
x
y
的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ,点
1
1
,
P x y
,
1
1
,
Q x
y
是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线
1A P 与
2
A Q 交点的轨迹E 的方程
（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个公共点，且1
2
l
l
，求h 的值.
【答案】（1）
2
2
1
2
x
y
．（x
2
，x≠0）（2）
1
17
2
3
2
，，
．
【分析】（1）先确定直线A1P 与A2Q 的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x1，y1）在
双曲线上，消去参数x1、y1（整体消元）求出轨迹E 的方程；
（2）先由l1⊥l2设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即＝0）得出k、h 的
两个方程；最后解出h 的值．
【详解】（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，
1
2
2 0
2 0
A
A
，，
，，
则
1
1
1
2
2
y
A P
y
x
x
：
，
1
2
1
2
2
y
A Q
y
x
x
：
，
两式相乘得
2
2
2
1
2
1
2
2
y
y
x
x
，
因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以
2
2
1
1
1
2
x
y
，即
2
1
2
1
1
2
2
y
x
，
所以
2
2
1
2
2
y
x
，即
2
2
1
2
x
y
，
故直线A1P 与A2Q 交点的轨迹E 的方程为
2
2
1
2
x
y
，（x
2
，x≠0）.
（2）设l1：y＝kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，2
1
l
y
x
h
k
：
．
将l1：y＝kx+h 代入
2
2
1
2
x
y
得
2
2
(
)
1
2
x
kx
h
，
即（1+2k
2）x
2+4khx+2h
2﹣2＝0，
若l1与椭圆相切，则＝16k
2h
2﹣4（1+2k
2）（2h
2﹣2）＝0，即1+2k
2＝h
2；
同理若l2与椭圆相切，则
2
2
1
1
2
h
k
．
由l1、l2与轨迹E 都只有一个交点包含以下四种情况：
①直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k
2＝h
2，且
2
2
1
1
2
h
k
，消去h
2得
2
2
1
k
k
，即k
2＝1，从而h
2＝1+2k
2
＝3，即
3
h
；
②直线l1过点
1
2 0
A
，
，而l2与椭圆相切，此时
2
0
k
h
，
2
2
1
1
2
h
k
，解得
1
17
2
h
；
③直线l2过点
2
2 0
A
，，而l1与椭圆相切，此时
1
2
0
h
k
，1+2k
2＝h
2，解得
1
17
2
h
；
④直线l1过点
1
2 0
A
，
，而直线l2过点
2
2 0
A
，，此时
2
0
k
h
，
1
2
0
h
k
，∴
2
h
．
综上所述，h 的值为
1
17
2
3
2
，，
．
9．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，求直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程．
【答案】
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
）．
【分析】由题设
1
1
1
1
( ,
),
( ,
)
M x y
N x
y
，
( , )
P x y ，再根据
(
,0),
( ,0)
A
a
B a
和
,
,
A M P 三点共线、
, ,
N B P 三点共线
得
2
2
1
2
2
2
2
1
y
y
x
a
x
a
，再根据
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
化简即可得答案；
【详解】解：方法一：（利用点的坐标作参数）由题设
1
1
1
1
( ,
),
( ,
)
M x y
N x
y
，
因为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴端点为
(
,0),
( ,0)
A
a
B a
，
设直线AM 和NB 的交点为
( , )
P x y ，
因为
,
,
A M P 三点共线，所以，
1
1
y
y
x
a
x
a
，x
a
¹-
因为
, ,
N B P 三点共线，所以，
1
1
y
y
x
a
x
a
，x
a
所以，两式相乘得
2
2
1
2
2
2
2
1
y
y
x
a
x
a
，（x
a
）
因为
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
，所以
2
2
2
2
1
1
2
(
)
b a
x
y
a
，即
2
2
1
2
2
2
1
y
b
x
a
a
，
所以，
2
2
2
2
2
y
b
x
a
a
，整理得
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
），
所以，直线AM 和NB 的交点P 的轨迹方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
）
方法二：（利用角作参数）
因为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的参数方程为
cos
sin
x
a
y
b
（为参数）
所以，设
( cos , sin )
M a
b
，则
( cos ,
sin
)
N a
b
，
因为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴端点为
(
,0),
( ,0)
A
a
B a
，
设直线AM 和NB 的交点为
( , )
P x y ，
因为
,
,
A M P 三点共线，所以
sin
cos
y
b
x
a
a
a
，x
a
¹-
，
因为
, ,
N B P 三点共线，所以
sin
cos
y
b
x
a
a
a
，x
a
，
所以，两式相乘得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
cos
cos
in
1
s
a
y
b
b
b
x
a
a
a
a
所以，整理得
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（x
a
），即P 点的轨迹方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，（x
a
）.
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹
1．求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
【答案】
2
2
4
0
x
y
y
（
4
y 或
1
y ）.
【分析】可设直线的方程为
1
y
kx
，且设该直线被双曲线截得的弦AB 对应的中点为
,
P x y ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得
2
2
,
4
4
4
k
x
k
y
k
，再消元求解即可.
【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为
1
y
kx
，且设该直线被双曲
线截得的弦AB 对应的中点为
,
P x y ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.
由
2
2
1,
1,
4
y
kx
y
x
得
2
2
4
2
5
0
k
x
kx
.
则
2
4
0
k
，即
2
k ，且
2
2
4
20 4
0
k
k
，所以
2
16
80
k
，即
5
k
，
2
k ，且
1
2
2
2
4
k
x
x
k
，
1
2
2
5
4
x x
k
，
所以
1
2
2
1
2
4
k
x
x
x
k
，
1
2
1
2
2
1
4
1
2
2
4
k
y
y
y
x
x
k
.
由
2
2
,
4
4
4
k
x
k
y
k
，即
4
x
k
y
，
4x
k
y
，代入
2
4
k
x
k
消去k 得
2
2
4
0
x
y
y
.
又
2
5
k
，且
2
4
0
k
，
2
4
4
y
k
，故
4
y 或
1
y .
故弦AB 的中点的轨迹方程为
2
2
4
0
x
y
y
（
4
y 或
1
y ）.
2．直线l 与椭圆
2
2
1
4
x
y
交于A，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB 中点的轨迹方程是
．
【答案】
4 5
4 5
4
0
5
5
x
y
x
【分析】利用点
,
A B 的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M 在椭圆内即可得出取值范围.
【详解】设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，线段AB 的中点为
,
M x y ，连接OM （O为坐标原点）．
由题意知
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
4
x
x
y
y
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
AB
OM
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
，
∴点M 的轨迹方程为
0
4
y
x
．
又点M 在椭圆内，
∴
2
2
1
4
4
x
x
，
解得：
4 5
4 5
5
5
x
，
故答案为：
4 5
4 5
4
0
5
5
x
y
x
.
3．椭圆
2
2
1
4
x
y
，则该椭圆所有斜率为1
2 的弦的中点的轨迹方程为
．
【答案】
2
x
y
2
2
x
【分析】设斜率为1
2 的直线方程为
1
2
y
x
b
，与椭圆的交点为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，利用点差法可得答案.
【详解】设斜率为1
2 的直线方程为
1
2
y
x
b
，与椭圆的交点为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，
设中点坐标为
,x y ，则
2
1
1
2
2
1
1
2
1 ,
,
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
y
x
x
，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
，两式相减可得
1
2
2
2
1
2
1
4
x
x
x
x
y
y
y
y
，
2
2
1
2
1
1
2
4
x
x
y
y
y
y
x
x
，即
2
x
y
，
由于在椭圆内部，由
2
2
1
4
1
2
x
y
y
x
b
得
2
2
1
0
2
x
bx
b
，
所以
2
2
2
1
0
b
b
时，即
2
b
直线与椭圆相切，
此时由
2
2
1
0
2
x
x
解得
2
x
或
2
x
，
所以
2
2
x
，
所求得轨迹方程为
2
x
y
2
2
x
．
故答案为：
2
x
y
2
2
x
．
4．斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
【答案】
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
).
【分析】设直线为
2
y
x
m
联立双曲线，根据交点情况有
0
求m 范围，再应用韦达定理求出弦的中点
坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围.
【详解】设直线为
2
y
x
m
，与双曲线交点为
1
1
2
2
( ,
),(
,
)
x y
x
y
，
联立双曲线可得：
2
2
3
4
1
0
x
mx
m
，则
2
2
2
16
12(
1)
4
12
0
m
m
m
，即
3
m
或
3
m
，
所以
1
2
4
3
m
x
x
，故
1
2
1
2
2
2(
)
2
3
m
y
y
x
x
m
，则弦中点为
2
(
,
)
3
3
m
m
，
所以弦的中点的轨迹方程为
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
).
故答案为：
2
0
x
y
(
2 3
3
x
或
2 3
3
x
)
5．已知曲线上一动点P 到两定点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
的距离之和为4 2 ，过点
1,0
Q
的直线L 与曲线
相交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦AB 满足：AM
MB
，求点M 的轨迹方程；
【答案】(1)
2
2
1
8
4
y
x
(2)
2
2
2 +1
+2
=1
x
y
；
【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P 的轨迹方程；
(2)由条件可知M 是线段AB 的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.
【详解】（1）因为动点P 到两定点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
的距离之和为4 2>4，
所以曲线是以
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
为焦点的椭圆，=2
c
，2 =4 2
a
，
所以
2 2
a
，
2
2
2
=
=4
b
a
c
，所以曲线的方程为
2
2
1
8
4
y
x
；
（2）因为AM
MB
，所以M 为AB 中点，设
,
M x y ，
当AB 的斜率存在且不为0 时，将
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
代入椭圆方程中得：
2
2
2
2
1
1
2
2
+
=1
+
=1
8
4
8
4
y
x
y
x
，
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
+
=0
8
4
y
y
x
x
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
+
×
=
2
+
y
y
y
y
x
x
x
x
，所以
8
=
=
2
4
AB
OM
k
k
，
即
=
2
QM
OM
k
k
，
=
2
+1
y
y
x
x
，整理得
2
2
2 +1
+2
=1
x
y
；
当AB 的斜率不存在或为0 时，有
1,0
M
或
0,0
M
，也满足
2
2
2 +1
+2
=1
x
y
；
所以点M 的轨迹方程是
2
2
2 +1
+2
=1
x
y
；
综上，曲线的方程为
2
2
1
8
4
y
x
，点M 的轨迹方程是
2
2
2 +1
+2
=1
x
y
.
6．已知抛物线
2
2
y
x
，过点
2,1
Q
作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程.
【答案】
2
1
7
2
4
y
x
.
【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其
与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同
时要考虑斜率不存在的情况.
【详解】方法1：设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，弦AB 的中点为
,
M x y ，则
1
2
2
y
y
y
，
当直线AB 的斜率存在时，
1
2
1
2
1
2
AB
y
y
y
k
x
x
x
.
因为
2
1
1
2
2
2
2 ,
2
,
y
x
y
x
两式相减，得
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
x
x
.
所以
1
2
1
2
2
2
y
y
y x
x
，即
1
2
2
2
y
y x
，
即
2
1
7
2
4
y
x
.
当直线AB 斜率不存在，即AB
x
轴时，AB 的中点为
2,0 ，适合上式，
故所求轨迹方程为
2
1
7
2
4
y
x
.
方法2：当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为
1
2
y
k x
（
0
k
），由
2
1
2 ,
2 ,
y
k x
y
x
得
2
1
2
0
2
k y
y
k
.
所以
2
0,
1
4
1
2
0.
2
k
k
k
所以
,0
0,
k
.
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，AB 的中点为
,
P x y ，
则
1
2
2
y
y
k
，
1
2
2 1
2k
y y
k
.
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
x
x
y
y
y
y
y y
2
2
2
4 1
2
1
4
2
2
4
2
k
k
k
k
k
k
.
所以
2
1
2
2
1
2
2
1 ,
2
1 ,
2
x
x
k
k
x
k
y
y
y
k
消去参数k ，得
2
1
7
2
4
y
x
.
当直线AB 的斜率不存在时，即AB
x
轴时，AB 的中点为
2,0 ，适合上式，
故所求轨迹方程为
2
1
7
2
4
y
x
.
7．已知点
1,1
A
，
,
P Q 为抛物线
2y
x
上异于A 点的两动点，且
0
AP AQ
.
(1)求证：直线PQ 必过一定点；
(2)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.
【答案】(1)(
)
2, 1
-
(2)答案见解析
【分析】（1）设直线方程为x
my
n
，联立
2
x
my
n
y
x
，整理得
2
0
y
my
n
，设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
结合韦达定理，则
1
2
1
2
,
y
y
m y y
n
，利用向量的数量积，转化求解即可；
（2）由点差法得弦中点公式为
PQ
M
p
k
y
，则
1
1
2
2
y
x
y
，整理可得轨迹方程．
【详解】（1）设直线方程为x
my
n
2
x
my
n
y
x
，整理得
2
0
y
my
n
设
1
1
2
2
1
2
,
,
,
1,
1,
P x y
Q x
y
y
y
，
，则
1
2
1
2
,
y
y
m y y
n
1
1
2
2
1,
1 ,
1,
1
AP
x
y
AQ
x
y
，
1
1
2
2
1,
1
1,
1
AP AQ
x
y
x
y
，
1
2
1
2
1
1
1
1
0,
x
x
y
y
即
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
0
y
y
y
y
，，故可化简为：
∴
1
2
1
1
1
0
y
y
，即
1
2
1
2
2
0
y y
y
y
，
2
0
n
m
，
2
n
m
∴直线方程为
2
1
2
x
my
n
my
m
m y
，直线PQ 过定点(
)
2, 1
-
（2）设线段PQ 的中点M 为(
,
)
M
M
x
y
∵
,
P Q 为抛物线
2y
x
上两动点，
2
1
1
2
2
2
y
x
y
x
，两式作差得
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
y
y
y
y
x
x
∴得PQ 的斜率为
1
2
PQ
M
k
y
，又由(1)可知，直线PQ过定点(
)
2, 1
-
，则
1
1
2
2
y
x
y
，整理得中点M 的轨迹
方程为
2
2
2
2
x
y
y
(在已知抛物线内部）.
【点睛】（1）含参数m 的直线求定点的方法就是按参数m 整理直线方程，系数和常数分别为0，求得即定
点坐标；（2）当遇到直线与抛物线的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的
数量关系，从而可以求出直线的斜率.
题型七：空间中的动点轨迹
1.如图，点A 是平面外一定点，过A 作平面的斜线l，斜线l 与平面所成角为50．若点P 在平面内
运动，并使直线AP 与l 所成角为35，则动点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线的一支
【答案】B
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；
当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．
故可知动点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．
2.已知空间直线a 、b 和平面满足：a
b
，a
，/ /
b
.若点P
，且点P 到直线a 、b 的距离相等，
则点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】C
【解析】如图：
不妨设b 在平面内射影为n ，则a 与n 相交，a 与n 垂直，
设直线b 与平面的距离为d ，则在平面内，以a 为x 轴，n 为y 轴建立平面直角坐标系，
则P 到a 的距离为y ，P 到n 的距离为x ，从而P 到直线b 的距离为
2
2
x
d
，
所以
2
2
y
x
d
，即
2
2
2
y
x
d
，故轨迹为双曲线，故选：C.
3.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 为棱
1
1
A B 中点，点Q 在侧面
1
1
DCC D 内运动，若
PBQ
PBD
，则动点Q 的轨迹所在曲线为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】C
【解析】BP 是固定的，PBQ
PBD
，则直线BQ 是以BP 为轴，轴截面圆心角是2 PBQ
的圆锥的母线，
由于平面
1
1
CDD C 与轴线BP 平行（面面平行得线面平行），
因此平面
1
1
CDD C 截圆锥的侧面得双曲线，实际上轨迹是双曲线在侧面
1
1
CDD C 的一部分．故选：C
4.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长均相等，P 是侧面
1
1
AAC C 内一点，若点P 到平面
1
1
BB C C 的距离
1
3
2
PE
PA
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【答案】D
【解析】如图，作
1
ED
C C
，做
1
1
1
A F
B C
，连接PD .
因几何体为直三棱柱，则
1
CC 平面
1
1
1
A B C ，
又
1A F 平面
1
1
1
A B C ，则
1
1
CC
A F
，
又
1
CC 平面
1
1
C CBB ，
1
1
B C 平面
1
1
C CBB ，
1
1
1
1
∩
B C
CC
C
，则
1A F 平面
1
1
C CBB .
又由题可得PE 平面
1
1
C CBB ，则
1
PE
A F
.
因
1
ED
C C
，
1
1
1
C B
C C
，则
1
1
ED
C B
.
又ED 平面EPD，EP 平面EPD，
∩
EP
ED
E
，
1A F 平面
1
1
1
A B C ，
1
FC 平面
1
1
1
A B C ，
1
1
∩
A F
FC
F
，则平面EPD 平面
1
1
1
A B C .
因平面
1
1
∩
AC CA 平面EPD
PD
，平面
1
1
∩
AC CA 平面
1
1
1
A B C
1
1
AC
，则
1
1
PD
AC
.
故
1
1
1
3
π
PDE
AC B
，结合PE 平面
1
1
C CBB ，ED 平面
1
1
C CBB ，可得
PE
ED
，则
3
3
2
π
sin
PE
PD
PD
.又
1
3
2
PE
PA
，则
1
PD
PA
.
由题又有
1
1
1
CC
AC
，结合
1
1
PD
AC
，则
1
CC
PD
，
即PD 为点P 到直线
1
CC 距离.故点P 到定点
1A 距离等于点P 到直线
1
BB 距离，
则点P 轨迹为抛物线的一部分.故选：D
模块三：综合巩固
1.已知ABC
的周长为12，且
4
BC
，则ABC
的顶点A 的轨迹为（
）
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
【答案】A
【解析】由题意可得
12
4
8
4
BA
AC
BC
,
故A 的轨迹满足椭圆的定义，
A 在以,
B C 为焦点，以2
8
a
，去掉与,
B C 共线的两个点的椭圆上，故选：A
2．已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.线段AB 的端点B 在圆C 上运动，则线段AB 的中点M 的轨
迹方程为（
）
A．
2
2
3
1
4
x
y
B．
2
2
3
1
4
x
y
C．
2
2
3
1
4
x
y
D．
2
2
4
1
3
x
y
【答案】B
【分析】建立点M 和点A 之间的关系式，再利用点A 的坐标满足的关系式得到点M 的坐标满足的条件，
即可求出.
【详解】设
,
M x y ，
0
0
,
B x y
，
由点M 是AB 的中点，得
0
0
2
2
0
2
x
x
y
y
，可得
0
0
2
2
2
x
x
y
y
，
又点B 在圆C 上运动，所以
2
2
0
0
3
x
y
，
将上式代入可得，
2
2
2
2
2
3
x
y
，
化简整理得点M 的轨迹方程为：
2
2
3
1
4
x
y
.
故选：B
3.平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
【答案】A
【解析】因为
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，表示点
( , )
P x y 到两点
1
2
(1,0),
( 1,0)
F
F
的距离之和为2，
又
1
2
|
| 2
F F =
，则点P 的轨迹就是线段
1
2
F F .故选：A
4．动点
,
M x y 到定点
4,0
F
的距离与M 到定直线l ：
25
4
x
的距离的比等于4
5 ，则动点M 的轨迹方
程是（
）
A．
2
2
1
25
9
x
y
B．
2
2
1
25
16
x
y
C．
2
2
1
25
9
y
x
D．
2
2
1
25
16
y
x
【答案】A
【分析】根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得
2
2
4
4
25
5
4
x
y
x
，平方化简可得
2
2
9
9
25
25
x
y
，
进而得
2
2
1
25
9
x
y
，
故选:A
5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定
义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0
1
e
时，轨迹为椭圆；当
1
e 时，轨迹为抛物线；当
1
e 时，轨迹为双曲线.现有方程
2
2
3
4
12
x
y
x
y
表
示的圆锥曲线为（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
【答案】B
【解析】方程
2
2
3
4
12
x
y
x
y
即为方程
2
2
5
1
3
4
12
5
x
y
x
y
表示：
动点
,
P x y 到定点
0,0
O
的即可与到定直线3
4
12
0
x
y
的距离的比为5 且大于1，
所以其轨迹为双曲线，故选：B
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
【答案】D
【分析】设出中点
,
M x y ，利用几何关系建立与点P 坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：
不妨设
0
0
,
,
,
M x y
P x
y
，则满足
2
2
0
0
4
x
y
；
易知
0
0,
H
y
，
又线段PH 的中点为M ，可得
0
0
,
2
x
x
y
y ；
即
0
0
2 ,
x
x y
y ，代入方程
2
2
0
0
4
x
y
可得
2
2
4
4
x
y
，
整理得
2
2
1
4
y
x
.
故选：D
7.半径不等的两定圆
1
O 、
2
O 无公共点，动圆O 与
1
O 、
2
O 都内切，则圆心O 的轨迹是（
）
A．双曲线的一支
B．椭圆
C．双曲线的一支或椭圆
D．抛物线或椭圆
【答案】C
【解析】因为两定圆
1
O 、
2
O 无公共点，所以两圆外离或内含，
设两定圆
1
O 、
2
O 的半径分别为
1
2
1
2
,
r r
r
r
，圆O 的半径为R ，
当两定圆外离时，由圆O 与
1
O 、
2
O 都内切，则两定圆
1
O 、
2
O 在动圆O 里面，
得
1
1
2
2
,
OO
R
r OO
R
r
，所以
2
1
1
2
OO
OO
r
r
，
所以圆心O 的轨迹是双曲线的一支；
当两定圆内含时，则动圆O 在圆
1
O 里面，圆
2
O 动圆O 里面，得
1
1
2
2
,
OO
r
R OO
R
r
，
所以
1
2
1
2
1
2
OO
OO
r
r
OO
，所以圆心O 的轨迹是椭圆，
综上所述，圆心O 的轨迹是双曲线的一支或椭圆.故选：C.
8.动圆M 经过定点
4, 1
P
，且与y 轴相切，则圆心M 的轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【解析】由于动圆M 经过定点
4, 1
P
，且与y 轴相切，
所以M 到定点
4, 1
P
的距离，等于M 到y 轴的距离，
根据抛物线的定义可知，M 的轨迹为抛物线.故选：D
9.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，Q 为上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
所在平面内的动点，当直线DQ 与
1
DA 的所成角为45°
时，点Q 的轨迹为（
）
A．圆
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
【答案】C
【解析】以点D 为原点，DA
，DC
，
1
DD
为x，y，z 的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则
1
0,0,0 ,
1,0,1
D
A
，设
, ,1
Q x y
，
可得
, ,1
DQ
x y
，
1
1,0,1
DA
，
因为直线DQ 与
1
DA 的所成角为45，
则
1
2
2
1
1
2
cos 45
2
1
2
DQ DA
DQ
DA
x
x
y
，化简可得
2
2
y
x
，
所以点Q 的轨迹为抛物线.故选：C.
10．已知
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q 与
点P 关于x 轴对称，则直线
1
PA 与直线
2
QA 的交点M 所形成的轨迹为（
）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．两条互相垂直的直线
【答案】A
【分析】由题意设出点P ，Q 坐标，然后求出直线
1
PA 与直线
2
QA 的方程，根据直线方程的特点，两方程
相乘，从而得到点M 的轨迹方程，进而得解.
【详解】
由于
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的长轴上的两个顶点，所以
1
2
2,0 ,
2,0
A
A
，
设
0
0
,
P
x
y
，则
0
0
,
Q x
y
，
所以直线
1
PA 的方程为
0
0
2
2
y
y
x
x
①，直线
2
QA 的方程为
0
0
2
2
y
y
x
x
②，
①②得
2
2
2
0
2
0
4
4
y
y
x
x
，
又因为
0
0
,
P
x
y
在椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
上，所以
2
2
0
0
:
1
4
3
x
y
C
，即
2
0
2
0
3
4
4
y
x
，
所以
2
2
3
4
4
y
x
，即
2
2
1
4
3
x
y
，
即直线
1
PA 与直线
2
QA 的交点M 在双曲线
2
2
1
4
3
x
y
上.
故选：A.
11.（多选）已知
1 0
A ，，
10
B ，，直线AP ，BP 相交于P ，直线AP ，BP 的斜率分别为
1k ，2k ，则（
）
A．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的椭圆
B．当
1
2
1
k
k
×
= - 时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的圆
C．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的双曲线
D．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的抛物线
【答案】ABC
【解析】根据题意知：
1 0
A ，，
10
B ，，设
P x
y
，
，
对A 选项
1
2
2
1
1
y
y
k k
x
x
，
1
x
，化简可得
2
2
1
2
y
x
1
x
，
P
点的轨迹为除去A , B 点的椭圆，故A 正确；
对B 选项,
1
2
1
1
1
y
y
k k
x
x
，
1
x
，化简可得
2
2
1
x
y
，
1
x
，
P
点的轨迹为除去A ，B 两点的圆，故B 正确；
对C 选项，
1
2
2
1
1
y
y
k k
x
x
，
1
x
,
化简可得
2
2
1
2
y
x
，
1
x
,
P
点的轨迹为除去A ，B 两点的双曲线，故C 正确；
对D 选项，
1
2
2
1
1
y
y
k
k
x
x
1
x
,
化简可得
1
y
x
x
，
1
x
,
P
点的轨迹不是除去A ，B 两点的抛物线，故D 错误．故选：ABC
12.（多选）若A 是圆C 所在平面内的一定点，P 是圆C 上的一动点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相
交于点Q ，则点Q 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
【答案】ABC
【解析】设圆C 的半径为r ，
①若点A 在圆C 内不同于点C 处，如图所示，
则有QA
QC
QP
QC
CP
r
CA
，
故点Q 的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，所以B 正确；
②若点A 与C 重合，则有
2
r
QP
QA
，
故点Q 的轨迹是以C 为圆心，2
r 为半径的圆，所以A 正确；
③若点A 在圆C 上，如图所示，
则由垂径定理，可知线段AP 的垂直平分线必过点C ，
故点Q 与点C 重合，故点Q 的轨迹是一个点；
④若点A 在圆C 外，如图所示，
当线段AP 的垂直平分线交PC 的延长线于点Q 时，
则QA
QP
PC
QC
r
QC
，所以QA
QC
r
AC
，
故点Q 的轨迹是以
,
A C 为焦点的双曲线的一支，所以C 正确；
综上所述，点Q 的轨迹可能是圆，椭圆，双曲线的一支，不可能是抛物线.故选：ABC.
13.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点
1
0, 2
的距离，记动点P 的轨迹为W ．则W 的方
程为
；
【答案】
2
1
4
y
x
【解析】点
,
P x y ，根据已知列方程得
2
2
1
2
y
x
y
，两边平方并整理得：
2
1
4
y
x
.
故答案为：
2
1
4
y
x
14.已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的轨
迹方程
．
【答案】
2
1
6
20
2
y
x
x
【分析】设出动点
( , )
Q x y 和相关点
1
1
,
P x y
，再根据条件
1
6
2
x
x
，
1
2
y
y
，再代入即可得出结果.
【详解】设动点Q 的坐标
,x y ，点P 坐标
1
1
,
x
y
，
1
1
2,
2
,
，
AQ
x
y
PA
x y
，
因为
2
AQ
PA
，所以
1
2
2 2
x
x
，
1
0
2 0
y
y
，
可得
1
6
2
x
x
，
1
2
y
y
，
代入
2
1
1
1
y
x
，得
2
6
1
2
2
y
x
，整理得
2
1
6
20
2
y
x
x
，
所以动点Q 的轨迹方程为
2
1
6
20
2
y
x
x
．
故答案为：
2
1
6
20
2
y
x
x
15.在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆
2
2
1
45
:
2
0
4
C
x
y
x
内切，且与圆
2
C ：
2
2
3
2
0
4
x
y
x
外
切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .则轨迹E 的方程为
；
【答案】
2
2
1
4
3
x
y
【解析】设动圆的半径为R ，由已知得：
圆
1
C 可化为标准方程：
2
2
2
7
1
2
x
y
，即圆心
1
1,0
C
，半径1
7
2
r
，
圆
2
C 可化为标准方程：
2
2
2
1
1
2
x
y
，即圆心
2 1,0
C
，半径2
1
2
r
，
1
2
2
C C
，
经分析可得，
1
R
r
，则
1
7
2
R
r
R
.
由题意可知：
1
1
2
2
7
2
1
2
PC
r
R
R
PC
r
R
R
，两式相加得，
1
2
1
2
4
2
PC
PC
C C
，
所以点P 的轨迹为以
1
2
,
C C 为焦点的椭圆，
可设方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
则2
4
a
，
2
a
，2
2
c
，
1
c ，
2
2
2
3
b
a
c
，
所以轨迹E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
故答案为：
2
2
1
4
3
x
y
16．已知等腰三角形ABC 的顶点为
(4 2)
，
A
，底边的一个端点为
(5 3)
，
B
，则底边的另一个端点C 的轨迹方程
为
．
【答案】
2
2
8
4
18
0(
2
0
x
y
x
y
x
y
或除去点(3 1) (5 3) )
，，，
【分析】根据题意，设另一个端点C 的坐标为
,x y ，由AB
AC
，列出方程，化简即可得到结果.
【详解】设底边的另一个端点C 的坐标为
,x y ，则
2
2
2
2
4
2
4
5
2
3
x
y
，
化简可得
2
2
8
4
18
0
x
y
x
y
，
因为
,
,
A B C 三点构成三角形，所以三点不共线且
,
B C 不重合，
当
,
,
A B C 三点共线时，
3
2
1
5
4
AB
k
，
由直线的点斜式可得
2
1
4
y
x
，化简可得
2
0
x
y
，
所以点C 的轨迹方程为
2
2
8
4
18
0(
2
0
x
y
x
y
x
y
或除去点(3 1) (5 3) )
，，，
.
故答案为：
2
2
8
4
18
0(
2
0
x
y
x
y
x
y
或除去点(3 1) (5 3) )
，，，
.
17．已知圆M 与圆
2
2
:
1
O x
y
内切，且圆M 与直线
2
x
相切，则圆M 的圆心的轨迹方程为
．
【答案】
2
1 2
y
x
【分析】根据题意可得：点M 到直线
2
x
的距离
2
d
x
，根据两圆的位置关系列式求解即可.
【详解】设
( , )
M x y ，点M 到直线
2
x
的距离为d，
如图，M 只能在直线
2
x
的左侧，则
2
d
x
，
因为圆
2
2
:
1
O x
y
的圆心为
0,0
O
，半径为1，
依题意可得|
| 1
MO
d
，即
2
2
(2
) 1
x
y
x
，化简可得
2
1 2
y
x
，
故圆M 的圆心的轨迹方程为
2
1 2
y
x
．
故答案为：
2
1 2
y
x
.
18．已知椭圆
2
2
1
4
9
x
y
，一组平行直线的斜率是3
2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段
的中点轨迹方程是
．
【答案】
3 (
2
2)
2
y
x
x
【分析】设这组平行直线的方程为
3
2
y
x
m
，联立方程组结合韦达定理求得中点坐标为
1
1
(
,
)
3
2
m
m
，进
而求得中点的轨迹方程.
【详解】设这组平行直线的方程为
3
2
y
x
m
，
联立方程组
2
2
3
2
1
4
9
y
x
m
x
y
，整理得
2
2
18
12
4
36
0
x
mx
m
，
由
2
144 18
0
m
可得3 2
3 2
m
，
则
1
2
2
3
x
x
m
，所以它们与椭圆交点的中点坐标为
1
1
(
,
)
3
2
m
m
，
即这些点均在轨迹
3 (
2
2)
2
y
x
x
上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是
3 (
2
2)
2
y
x
x
.
故答案为：
3 (
2
2)
2
y
x
x
．
19.已知点M 为圆
2
2
:
1
O x
y
上的动点，点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，延长
1F M 至N ，使得
1
MN
F M
，线段
1F N 的垂直平分线交直线
2
F N 于点P ，记P 的轨迹为Γ .则Γ 的方程为
.
【答案】
2
2
1
3
y
x
【解析】连接
2
,
OM PF ，如下图所示：
因为
,
O M 为
1
2
1
,
F F F N 的中点，所以
2
2
2
F N
OM
，
由垂直平分线的性质可知：
1F P
PN
，
所以
1
2
2
1
2
2
4
PF
PF
F N
F F
，
所以P 的轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点且实轴长为2 的双曲线，
所以2
2,2
4
a
c
，所以
2
2
2
2
1,
3
a
b
c
a
，
所以轨迹方程为
2
2
1
3
y
x
，
故答案为：
2
2
1
3
y
x
.
20.已知点M 到点
( 2,0)
F
的距离比点M 到直线
3
x
的距离小1.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)求线段MF 中点Q 的轨迹方程.
【答案】(1)
2
8
y
x
；(2)
2
4(
1)
y
x
【解析】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知
2
2
2
1
3
x
y
x
当
3
x
时，可化为
2
2
2
4
x
y
x
，整理得，
2
12(
1)
y
x
（舍去）
当x< 3 时，可化为
2
2
2
2
x
y
x
整理得，
2
8 (
0)
y
x x
故点M 的轨迹方程为
2
8
y
x
解法2：由题可知，点M 到点F（－2，0）的距离与到直线
2
x
的距离相等，
所以动点M 的轨迹是以F（－2，0）为焦点，
2
x
为准线的抛物线，
点M 的轨迹方程为；
2
8
y
x
（2）设Q（x，y），
0
0
(
,
)
M x y
则
0
0
2
2
2
x
x
y
y
，
∴
0
0
2
2
2
x
x
y
y
又
2
0
0
8
y
x
，故
2
2
8 2
2
y
x
，即
2
4(
1)
y
x
为所求.
21.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
【答案】（1）
2
2
1
10
6
x
y
（2）点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆
【解析】（1）设点M 的坐标为
,x y ，
由题意可得
2
2
(
2)
(
0)
10
5
5
x
y
x
，两边平方得
2
2
2
4
4
2
10
25
5
x
x
y
x
x
，
整理得
2
2
1
10
6
x
y
，所以点M 的轨迹方程为
2
2
1
10
6
x
y
.
（2）依题意，设
,
,
,
P x y
A m n ，则
,0
B x
，
因为
1
3
PB
AB
，则
1
3
BP
BA
uur
uur
，
则
1
0,
,
3
y
m
x n
，可得
1
0
(
)
3
1
3
m
x
y
n
，解得
3
m
x
n
y
，即
,3
A x
y .
因为点A 在圆
2
2
9
x
y
上，则
2
2
9
9
x
y
，即
2
2
1
9
x
y
，
所以点P 的轨迹方程是
2
2
1
9
x
y
，点P 的轨迹是椭圆.
22．设椭圆方程为
2
2
1
4
y
x
，过点
0,1
M
的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
1
2
OP
OA
OB
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
【答案】
2
2
4
0.
x
y
y
【分析】
设出直线l 的方程，A，B 的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出
1
2
x
x
，利用直线方程表
示出
1
2
y
y
，然后利用
1
2
OP
OA
OB
，求得OP
的坐标，设出P 的坐标
,x y ，然后联立方程消去参数
k，求得x 和y 的关系式，即为P 点轨迹方程．
【详解】
直线l 过点
0,1
M
，设其斜率为k，则l 的方程为
1.
y
kx
记
1
1
,
A x y
、
2
2
,
,
B x y
2
2
1
1
4
y
kx
y
x
，化简得，
2
2
4
2
3
0
k
x
kx
，
所以
1
2
2
1
2
2
2
4
3
4
k
x
x
k
x x
k
，
1
2
1
2
2
8
1
1
4
y
y
kx
kx
k
，
于是
1
2
1
2
2
2
1
4
,
,
.
2
2
2
4
4
x
x
y
y
k
OP
OA
OB
k
k
设点P 的坐标为
,
,
x y
则
2
2
4
4
4
k
x
k
y
k
，消去参数k 得
2
2
4
0
x
y
y
③
当k 不存在时，A、B 中点为坐标原点
0,0 ，也满足方程③，
所以点P 的轨迹方程为
2
2
4
0.
x
y
y
23．已知拋物线
2
:
4
C y
x
，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点
,
A B
和点
,
.
,
C D AB CD 的中点分别为
,
M N .
(1)若直线AB 的斜率为2，求直线MN 的方程；
(2)求线段MN 的中点E 的轨迹方程.
【答案】(1) 2
3
6
0
x
y
(2)
2
3
y
x
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点
,
M N 坐标，即可求解直线MN 的方程；
（2）首先设直线AB 的方程为
1
y
k x
，与抛物线方程联立，求得点M 的坐标，并利用直线AB 与直线
MN 的关系，求得点N 的坐标，即可求解点E ，再通过消参求得点E 的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点
1,0
F
，
2
AB
k
，
直线AB 的方程为
2
1
y
x
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
联立
2
4
2
1
y
x
y
x
，得
2
3
1
0
x
x
，
1
2
3
x
x
，
所以AB 中点的横坐标为3
2 ，中点的纵坐标为
3
2
1
1
2
，即
3 ,1
2
M
，
直线CD 的方程为
1
1
2
y
x
，设
3
3
,
C x y
，
4
4
,
D x
y
联立
2
4
1
1
2
y
x
y
x
，得
2
18
1
0
x
x
，
3
4
18
x
x
，
所以CD 中点的横坐标为9，中点的纵坐标为
1
9 1
4
2
，即
9, 4
N
，
所以
2
3
MN
k
，直线MN 的方程为
2
4
9
3
y
x
，
化简为直线MN 的方程为2
3
6
0
x
y
；
（2）设直线AB 的方程为
1
y
k x
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
2
4
1
y
x
y
k x
，得
2
2
2
2
2
4
0
k x
k
x
k
，
得
2
1
2
2
2
2
4
4
2
k
x
x
k
k
，
所以AB 中点的横坐标为
2
2
1
k
，纵坐标为
2
2
2
1
1
y
k
k
k
，
即
2
2
2
1
,
M
k
k
，将k 换成
1
k
得
2
1
2
, 2
N
k
k
，
得MN 的中点E 的坐标为
2
2
1
1
1
,
k
k
k
k
，
即
2
2
1
1
1
x
k
k
y
k
k
，得
2
3
y
x
，
24．已知Rt ABC
的斜边为AB，且
1,0 ,
3,0
A
B
.求:
(1)
ABC
外接圆的一般方程;
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
【答案】(1)
2
2
2
3
0
x
y
x
(2)
2
2
(
2)
1(
0)
x
y
y
【分析】（1）根据直角三角形外接圆性质求解圆心和半径，从而计算出外接圆的一般方程;
（2）设
0
0
,
,
M x y
C x
y
，
，根据M 是线段BC 的中点，得到
0
0
,
,
2
3
2
x
x
y
y
然后根据
0,
AC BC
即可
求得动点
,
M x y 的轨迹方程.
【详解】（1）由题意知，设圆心为
,
O a b ，则
1
3
1,
0
2
a
b
，
4
2
2
2
AB
r
，
故圆的方程为：
2
2
(
1)
4
x
y
即ABC
外接圆的一般方程为：
2
2
2
3
0
x
y
x
.
（2）
设
0
0
,
,
M x y
C x
y
，
，由此解得：
0
0
,
,
2
3
2
x
x
y
y
因为C 为直角，所以
0,
AC BC
0
0
1,
2
2,2
,
AC
x
y
x
y
0
0
3,
2
6,2
,
BC
x
y
x
y
代入解得：
2
1
3
0
x
x
y
即
2
2
4
3
0,
x
x
y
配方得：
2
2
(
2)
1
x
y
，
又因为、、
A
B
C 三点不共线，
所以
0
0,
y
0,
y
综上：
2
2
(
2
0
)
1
x
y
y
.
25.己知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
的焦点为F , P 为C上的动点,Q 为P 在动直线
0
y
t t
上的投影．当
PQF
△
为等边三角形时,其面积为4 3 ．
（1）求C的方程；
（2）设O为原点,过点P 的直线l 与C 相切,且与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
交于A , B 两点,直线OQ 与线段AB 交于点
M ．试问：是否存在t ,使得
QMA
△
和△QMB 的面积相等恒成立？若存在,求t 的值；若不存在,请说明理
由．
【解析】（1）设
0
0
,
P x
y
,
0, 2
p
F
,
∵
PQF
△
为等边三角形时,其面积为4 3 ,
∴
2
1
si π
n
4 3
2
3
PQ
,解得
4
PQ
,
∵Q 为P 在动直线
0
y
t t
上的投影,∴
0,
Q x t ；
当
PQF
△
为等边三角形时, PQ
PF
FQ
,
由抛物线的定义知,
2
p
t
,
∴
0
2
2
0
2
0
0
4,
2
16
2
p
y
x
p
x
py
,解得
2
p
,
∴C 的方程为
2
4
x
y
；
（2）设
0
0
,
P x
y
,
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
,则
2
0
0
4
x
y
,
0,
Q x t
∵
2
1
4
y
x
,∴
1
2
y
x
,
∴切线l：
0
0
0
1
2
y
y
x x
x
,即l：
0
0
1
2
y
x x
y
,
0
0
2
2
2
0
0
0
0
2
2
1
1
2
1
2
2
4
0
2
1
4
2
y
x x
y
x
x
x y x
y
x
y
,
∴
0
0
1
2
2
0
2
1
1
2
x y
x
x
x
,
∴
0
0
0
1
2
0 1
0
0
2
0
0
0
2
2
0
0
1
1
1
2
4
2
1
2
2
2
2
1
2
x y
y
y
y
x x
y
x x
y
x
y
x
x
；
∵
0,
Q x t ,∴
0
:
OQ
t
l
y
x
x
,
0
0
2
0
0
0
2
2
1
2
M
t
y
x
y t
x
y
x
t
y
x x
y
,
∵
QMA
△
和△QMB 的面积相等,且A,M,B 在同一条直线上,
则点M 为AB 的中点,
∴
1
2
2 M
y
y
y
,即
0
0
2
2
0
0
4
4
2
2
y t
y
x
t
x
,则
1
t ．
综上,存在t,使得
QMA
△
和三角形△QMB 面积相等恒成立,
1
t ．
26.在平面直角坐标系xOy 中,点D , E 的坐标分别为
2,0
,
2,0 , P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积
等于
1
4
.
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知直线y
kx
m
与椭圆：
2
2
1
4
x
y
相交于A , B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m使得
3
4
OA
OB
OM
+
=
,求m的取值范围.
【解析】（1）设
,
P x y ,则
1
=
2
2
+2
4
EP
DP
y
y
k
k
x
x
x
,
所以可得动点P 的轨迹C 的方程为
2
2
1
2
4
x
y
x
.
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
又
0,
M
m ,由
3
4
OA
OB
OM
+
=
得
(
)
(
)
1
2
1
2
3
,
3
0,4
x
x
y
y
m
+
+
=
,
1
2
3
x
x
联立
2
2
1
4
y
kx
m
x
y
可得
2
2
2
4
1
8
4
4
0
k
x
kmx
m
2
2
2
(8
)
4 (4
1) (4m
4)
0
km
k
,
即
2
2
64
16
16
0
k
m
2
2
4
1
0
k
m
,且
1
2
2
2
1
2
2
8
4
1
4
4
4
1
km
x
x
k
m
x x
k
,
又
1
2
3
x
x
2
2
4
4
1
km
x
k
\
=
+ ,则
2
2
2
1
2
2
2
2
4
4
4
3
(
)
4
1
4
1
km
m
x
x
x
k
k
-
×
=-
=
=
+
+
,
2
2
2
2
16
4
1
0
k m
k
m
\
-
+
- =
,
2
2
2
1
4
16
m
k
m
-
\
=
-
代入
2
2
4
1
0
k
m
得
2
2
2
1
1
0
1 4
m
m
m
,
2
1
1
4
m
,解得
1
1
( 1,
)
( ,1)
2
2
m
.
m
的取值范围是
1
1
( 1,
)
( ,1)
2
2
