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重难点突破12 导数中的“距离”问题
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导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的
距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题
转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导
数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数 ，其中 ，若存在 ，使得
成立，则实数 的值为_________.
【答案】10
【解析】设 ，则 可看做 图象上任意一点 与 图象上点 的距离的平方，
设函数 过点 的切线 平行于直线 ．
则 ，令 ，解得 ，∴切点 ．
点P到直线 的距离 ，此时 ，
∴存在 ，使 ，
过点P且与直线 垂直的直线方程为： .
联立 ，解得 ．
即 ， 时，存在 使得 为 成立，此时 .
故答案为：10
例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数 满足 ，则
的最小值______.
【答案】
【解析】由题意可得 可以表示两点 与 之间距离的平方
故 ，
可以看成是函数 ，
即函数 在 的切线与函数 平行时求出最小值
则 ，解得
此时
故 的最小值为
例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数 满足 ，则
的最小值为_____．
【答案】8【解析】 实数 、 、 、 满足：
，
，设 ， ，则有： ，且 ，设 ， ，则有： ，
就是曲线 与直线 之间的最小距离的平方值，
对曲线 求导： ，
与 平行的切线斜率 ，解得： 或 （舍 ，
把 代入 ，得： ，即切点为 ，
切点到直线 的距离： ，
的最小值就是8．
故答案为： 8.
变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为___．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以 表示直线 上点 到曲线 上点 距离的平方，
由 ，令 ，解得 或 （舍），
得 ，所以所求最小值为 ，
故答案为： .
变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数 满足：
，则 的最小值为________
【答案】 /4.5
【解析】由题设可得 ， ，
故 ，
设 ， ，则 ，
即函数 的图象的点 与直线 上的点 的连线段的平方，
而 ，令 ，则 ，此时 对应的函数值为1，故函数 的图象在 处的切线为 ，
的最小值即为平行线 ， 之间的距离，
此距离为 ，故 的最小值为 ，
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小值是 ，则 的值是
_______
【答案】 /
【解析】函数
，
可得 表示两点 ， 的距离的平方，
即有函数 ， 图象上的两点距离的最小值的平方为 ，
设直线 与函数 的图象相切，
，
设切点为 ，可得 ，解得 ，则 ，
即有切点为 ，
则 ，
解得 ，
则 的值为 ．
故答案为： ．
变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，其
中 ，存在 ，使得 成立，则实数 =_______.
【答案】 /
【解析】设 ，设 ，则 ，
而点P在曲线 ，点Q在直线 上，当过曲线 上的一点 的切线与直线 平行时，
点 到直线 的距离取得最小值
由 ，可得 ，所以 ，
到直线 的距离 ，则 ，即 恒成立，
由题意可知存在 ，使得 ，则
过点 垂直于 的直线为
由 ，可得 ，则 ，则
故答案为：
变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设 ，当 ，
变化时，则 的最小值______．
【答案】
【解析】由 可知，此式表示点 与点 间的距离，
而点 在曲线 上，点 在直线 上，
所以问题转化为求直线 与曲线 间的最小距离，
将直线 向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，
设直线 向下平移与曲线相切时的直线方程为 ，
设切点为 ， ，则 ，得 ，
所以 ，切点为 ，
所以切线方程为 ，
此时直线 与 间的距离为 ，
故答案为：
题型二：曲线与点的距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）若点 与曲线 上点 的距离的最小值为 ，则实数 的值为A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数 的值.因为 ,所以 由题意得
以A为圆心， 为半径的圆与曲线 相切于点B,设 ,则在B点处切线的斜率为 ，所以
，选D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若点 与曲线 上点 距离最小值为 ，则实数 为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 的坐标为 ，根据直线 与曲线 在点 处的切线垂直，得到 关于 的表达
式，再利用两点间的距离公式结合 的最小值为 ，求出 的值，即可得出实数 的值.设点 的坐标
为 ，对函数 求导得 ，
由题意可知，直线 与曲线 在点 处的切线垂直，则 ，
得 ，
由两点间的距离公式得 ，
由于 的最小值为 ，即 ， ，解得 ，因此， .
故选：C.
例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 ，P为曲线 上动点，若点A，P间距
离的最小值为 ，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，记 ，
，易知 是增函数，且 的值域是 ，
∴ 的唯一解 ，且 时， ， 时， ，即 ，由题意 ，而 ， ，
∴ ，解得 ， ．
∴ ．
故选：C．
题型三：曲线与圆的距离
例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知 为函数 图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为___．
【答案】
【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0， ）到 图象上一点的距离最小值
设 图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得 处点（e,1）到 的距离最小，为
则线段 长度的最小值为
例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称 的最小
值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线 和曲线 ，则曲线S与曲线T的距离为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【解析】由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令 ，则
故
故
故选：A
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，则 ，
设 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，故 ，
所以 时， 且 ，
所以 时， ，函数 单调递减，
当 时，令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 时， 单调递增，即 单调递增，
所以 ，故当 时，函数 单调递增，
所以 ，
故 的最小值为 ，
则线段 的长度的最小值为 ．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 图像上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，又圆 的圆心为 ，
令 ，
，．
令 ，
，
令 ，
， 时， ，
在 上单调递增， ，即
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，而 ．
，解得 ； ，解得 ，
在 递减，在 递增，
，
，
则线段 的长度的最小值为 ，
故选：A．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由圆的对称性可得只需考虑圆心 到函数 图象上一点的距离的最小值．
设 图象上一点 ，令 图象上一点 的切线为
由 的导数为 ，即切线 的斜率为 ，
当 时，圆心 到函数 图象上一点的距离最小，
此时 ，即有 ，
由 ，可得 ， 递增，又 ，
所以 ， ，
所以点 到点 的距离最小，且为 ，
则线段 的长度的最小值为 ，
故选：A．
题型四：曲线与抛物线的距离
例10．（2023·全国·高三专题练习）设 ，当a，b变化时，
的最小值为_______.
【答案】 .
【解析】 ，
函数表示点 和 的距离加上 的纵坐标，
画出 和 的图像，如图所示：
故 ，当 共线时等号成立.
设 ，则 ， ，当 时， ，故 ，函数单调递增；
当 时， ，故 ，函数单调递减.
，故 .
综上所述： 的最小值是 .
故答案为： .
例11．（2023·全国·高三专题练习）设 ,其中 ，则 的最小值
为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由 表示两点 与点 的距离，而点 在抛物线
上，抛物线的焦点 ，准线为 ，则 表示 与 的距离和 与准线的距离的和加上1，由抛物线
的定义可得 表示 与 的距离和加上1，画出图象，当 三点共线时，可求得最小值.
由题意 ， ，
由 表示两点 与点 的距离，
而点 在抛物线 上，抛物线的焦点 ，准线为 ，
则 表示 与 的距离和 与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和加上1，
由图象可知 三点共线时，且 为曲线 的垂线，此时 取得最小值，
即 为切点，设 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 递增，且 ，可得切点 ，
即有 ，则 的最小值为 ，故选C.例12．（2023·全国·高三专题练习）设 . ，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题可得：设 ，所以 为 上任意一点到 上任一点及抛物线焦点的
距离之和，所以距离表达式为 ,令 ， ，显然在
递减， 递增所以 ，故 最小值为
题型五：曲线与曲线的距离
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】由于曲线 是由 向右平移1个单位得到的， 是由 现右平移1个单位
得到的，所以 的最小值可以看成曲线 上的点与 上的点间的最小值，
因为 与 互为反函数，其图象关于直线 对称，
所以所求的最小值为曲线 上的点 到直线 的最小距离的2倍，
设与直线 平行的直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，由 ，得 ，
所以切点 ，
所以点 到直线 的最小距离为 ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，
则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称.
函数 上的点 到直线 的距离为 .
设函数 ，则
因为当 时， ，当 时，
所以当 时，
所以
所以 最小值为 .
故答案为：
例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 在曲线 上，点 曲线 上，则
的最小值为________．
【答案】
【解析】因为曲线 与曲线 互为反函数，所以其图象关于 对称，
所以可先求点 到直线 的距离的最小值，
设曲线 上斜率为1的切线方程为 ，
由 ，可得 ，令 ，解得 ，所以切线的坐标为 ，
所以切线 到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线 上，点Q在曲线 上，则|PQ|
的最小值为_____.
【答案】
【解析】令 、 分别向上平移一个单位可得 、 ，而与 关于 对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与 平行时，P、Q关于 对称，|PQ|有最小，对应曲线平移
到 、 后，P、Q关于 对称即可，
∴令 ，则 ，
∴ 有 ，则 ，即 ，
∴ 到 的距离 ，
∴ .
故答案为： .
变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】由 ,得： , .所以, 与 互为反函数．
它们的图像关于 对称．
P在曲线 上,点Q在曲线 上，
设 ，
要使|PQ|的距离最小,则P应在 上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到 的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线 的最短距离
所以当 ,即 时,d取得最小值 ，
则|PQ|的最小值等于 .
变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，若 ，则 的取值范围是___________.【答案】
【解析】由函数 和 互为反函数，其图像关于直线 对称，
可先求得点点 到直线 的距离为 ，
设曲线 上斜率为1的切线方程为 ，
因为 ，令 ，可得 ，即 ，
即切线的坐标为
又由切点到直线 距离为 ，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
所以 在区间 上为单调递增函数，
因为 ，所以不等式 等价于 ，
则 ，即 ，所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测） 分别是函数 和 图象上的点，若 与x轴
平行，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 与x轴平行，设 方程为 ，
由 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，
故选：B
变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ， 这两个函数互为反函数，图象关于 对称.
所以 与 的图象可以看成是由 ， 这两个函数图象向右平移一个单位得
到的.
所以 的最小值即为曲线 与 上两点的最小值.
曲线 上的点 到直线 的距离为
设 ，则 .
由 可得 ，由 可得所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时，函数 ，所以
由图象关于 对称得： 的最小值为 .
故选：B
题型六：横向距离
例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数 ， 的图
象分别与直线 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图像与直线 分别交于 两点，
所以 ， ，其中 ，且 ，
所以 ，
令 ，
则 ，令 得： ；
所以易得： 时， ； 时， ；
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，即 的最小值为 .
故答案为：B.
例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线 分别与直线 ，曲线
交于A，B两点，则 的最小值为
A． B．1 C． D．4
【答案】A【解析】设 ，则 ，∴ ，∴
，令 ，则 ，∴函数在 上单调递减，在
上单调递增，∴ 时，函数的最小值为 ，故选A．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 在点 处的切线与曲线 ：
相切，若动直线 分别与曲线 、 相交于 、 两点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 恒成立，故 单调递增，又 故
故 ，令
，选D
变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数 ，函数
，直线 分别与两函数交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】设 ， ，则 ， ，消去 得 ．
所以 ，其中 .
令 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ．
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，所以 的最小值为 ．
故选：A．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 的图像分别与直线 交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ， ，其中 ，且 ，
所以 ，令 ， ，
则 时，解得 ，
所以 时， ； 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
故选：C．
变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数 ， 的图象与直线 分别交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由 可得 ，
由 可得 ，
所以
设 ， ，则 ，
记 ，则 恒成立，
所以 即 在 上单调递增，
且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线 与函数 ， 的图像分别交于A，B两点，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 直线 与函数 ， 的图象分别交于 ， 两点，
， ， ，其中 ，且 ，
，设函数 ，
， ，
令 ，解得 ，当 ，即 时，函数在 ， 单调递增，
当 ，即 时，函数在 单调递减，
故 时，函数有最小值，最小值为 ，
故线段 的长度的最小值为 ．
故选：D．
题型七：纵向距离
例19．（2023·全国·高三专题练习）直线 分别与曲线 和曲线 交于 ，
两点，则 的最小值为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可设 ， ，即可表示出 ，构造函数 并求得
，令 求得极值点并判断函数的单调性，即可求得 的最小值.直线 分别与曲线
和曲线 交于 ， 两点，
设 ， ，
且 ， ，
， ．
， ， ，
令 解得 ， （舍），
当 时 ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增．
所以 ，
综上可知 的最小值为 ．故选：D.
例20．（2023·高二课时练习）动直线 （ ）与函数 ， 的图象分别交于点
A，B，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
故选：A
例21．（2023·高一课时练习）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到
函数 的图象，若动直线 与函数 和 的图象分别交于 ， 两点，则 的最大
值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】f（x）＝sin（2x ），g（x）＝sin[2（x ） ]＝sin（2x ），
所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|
＝|sin（2x ）﹣sin（2x ）|，
|cos2x|，
则cos2x＝±1时，
|MN|的最大值为： ．
故选B．
变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线 与函数 ， 的图像分别交于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D.
变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线 与两曲线 、
分别交于 、 两点，且曲线 在 点处的切线为 ，曲线 在 点处的切线为 ，则下列结论
正确的有（ ）
A．存在 ，使 B．当 时， 取得最小值
C． 没有最小值 D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由直线 与两曲线 、 分别交于 、 两点可知 ．
曲线 上 点坐标 ，可求导数 ，则切线 斜率 ，
曲线 上 点坐标 ，可求得导数 ，则切线 斜率 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
由零点存在定理， 使 ，即 ，使 ，即 ，故A正确；对于BC选项， ，令 ，其中 ，则 ，
由A选项可知，函数 在 上为增函数，
且 ， ，
所以，存在 使得 ，即 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
故当 时， 取最小值，即当 时， 取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由 可得 ，则 ，
令 ，则函数 在 上为减函数，
因为 ， ， ，且 ，
又因为函数 在 上为增函数，所以， ，
所以， ，D对.
故选：ABD.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线 分别与直线 ，曲线 交于 、
两点，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】由已知得 ， ，
则
设 ， ，
则 ，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
所以
所以 ，当 时， 取最小值为 ，
故答案为： .
