4.8 函数模型的应用
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：几种常见的函数模型........................................................................ 2
考点二：解答应用问题的基本思想和步骤..................................................... 2
考点三：指数函数模型问题的求解策略.........................................................3
考点四：对数函数应用题的基本类型和求解策略..........................................3
考点五：建立拟合函数与预测的基本步骤..................................................... 3
考点六：解答函数应用题应注意的问题.........................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：根据实际问题增长率选择合适的函数模型...................................... 4
题型二：一次函数与二次函数模型的应用................................................... 11
题型三：指数型函数模型..............................................................................15
题型四：对数型函数模型..............................................................................18
题型五：分段函数模型的应用...................................................................... 23
题型六：指数、对数、幂函数模型的增长差异............................................26
题型七：拟合函数模型的应用问题...............................................................31
模块三：综合巩固....................................................................... 38
4.8 函数模型的应用
模块一：基础知识
考点一：几种常见的函数模型
1、一次函数模型：y
kx
b
（k ，b 为常数，
0
k
）
2、二次函数模型：
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 为常数，
0
a
）
3、指数函数模型：
x
y
ba
c
（, ,
a b c 为常数，
0
b
，
0
a
且
1
a ）
4、对数函数模型：
loga
y
m
x
n
（
, ,
m a n 为常数，
0
m
，
0
a
且
1
a ）
5、幂函数模型：
n
y
ax
b
（,a b 为常数，
0
a
）
6、分段函数模型：
,
,
ax
b x
m
y
cx
d x
m
考点二：解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然
后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实
际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学
问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
考点三：指数函数模型问题的求解策略
(1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1
＋p)
x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)
n(其中a 为基础数，x 为增长率，
n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数y＝c·a
kx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象
学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确
定相关的系数.
考点四：对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代
入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
考点五：建立拟合函数与预测的基本步骤
考点六：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往
往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领
悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解
体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函
数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问
题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地
相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数
量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即
可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍
不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．
模块二：题型分类
题型一：根据实际问题增长率选择合适的函数模型
1.下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（
）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
1
16
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．对数函数模型
D．指数函数模型
【答案】D
【分析】利用各类型函数的特点，取点
0,1 , 1,4 , 2,16 ，设出函数解析式，代入其他对应值验证即可求
解.
【详解】由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；故C 错误；
取点
0,1 , 1,4 , 2,16 ，
设一次函数
0
y
kx
b k
，则
1
4
b
k
b
，解得
1,
3
b
k
，即
3
1
y
x
=
+ ，
而当
2
x
时，
7
y
，所以不是一次函数模型；故A 错误；
设二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
，则
1
4
4
2
16
c
a
b
c
a
b
c
解得
9
3
,
,
1
2
2
a
b
c
，即
2
9
3
1
2
2
y
x
x
.
当= 1
x 时，
7
y
，故不满足题意；故B 错误；
设指数函数
0,
1
x
y
a
a
a
，则
2
4
16
a
a
，解得
4
a
，即
4x
y
，
代入其他x 值，验证：
1
1
4
0.25
f
接近0.26；
0
0
4
1
f
接近1.11；
1
1
4
4
f
接近3.96；
3
3
4
64
f
接近63.98，故D 正确.
故选：D .
2.若三个变量
1y ，
2y ，
3y 随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：
loga
y
m
x
n
，
x
y
pa
q
，
a
y
t
kx
变化的变量依次是（
）
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
25
45
65
85
105
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
A．
1y ，
2y ，
3y
B．
3y ，
2y ，
1y
C．
1y ，
3y ，
2y
D．
3y ，
1y ，
2y
【答案】B
【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数型的性质即可得其变化特征，即可求解.
【详解】由题表可知，
2y 随着x 的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；
3y 随着x 的增大而增大，但是
变化缓慢，是对数型函数的变化；
1y 相对于
2y 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选: B .
3.在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:
x
2
1
1
2
3
y
0.24
0.51
2.02
3.98
8.02
在以下四个函数模型（a，b 为待定系数）中，最能反映x，y 函数关系的是（
）
A．y
a
bx
B．
2
y
a
bx
C．
logb
y
a
x
D．
x
y
a
b
【答案】D
【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察散点图符合指数型函数图象.
【详解】由题中表格数据画出散点图，如图所示，
观察图象，类似于指数函数图象，
对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A 错误，
对于B，是以y 轴为对称轴的二次函数，所以B 错误，
对于C，是对数型函数，由于表中的x 取到了负数，所以C 错误，
对于D，是指数型函数，所以D 正确，
故选：D
4.有一组实验数据如下:
t
1.99
3.00
4.00
5.10
6.12
V
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（
）
A．
2
log
V
t
B．
1
2
log
V
t
C．
2
1
2
t
V
D．
2
2
V
t
【答案】C
【分析】根据表格中数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判断即可求解.
【详解】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，
结合选项，函数
2
log
V
t
的增长速度越来越缓慢，不符合题意；
函数
1
2
log
V
t
随着t 的增大，V 不断减小，不符合题意；
函数
2
1
2
t
V
的增长速度越来越快，符合题意；
函数
2
2
V
t
增长速度不变，不符合题意；
所以最接近的一个函数是
2
1
2
t
V
，
故选：C
5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地
表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．
2x
y
B．
2
log
y
x
C．
2
1
1
2
y
x
D．
2.61
y
x
【答案】B
【分析】法一：利用散点图看增长趋势确定函数，法二：结合表中数据，根据函数的性质判断.
【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随x 变大增长率变小，只有B 符合；
法二：对于A，函数
2x
y
是指数函数，增长速度很快，且在
2
x
时
4
y
，
4
x
时
16
y
，代入值偏差较大，不符合要求；
对于B，函数
2
log
y
x
，是对数函数，增长速度缓慢，
且在
2
x
时
1
y ，
4
x
时
2
y
，基本符合要求；
对于C，函数
2
1
1
2
y
x
是二次函数，且当
2
x
时
1.5
y
，
4
x
时
7.5
y
，
代入值偏差较大，不符合要求；
对于D，函数
2.61
y
x
，当
3
x
时
7.83
y
，代入值偏差较大，不符合要求，
故选：B.
6.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2 万公顷0.4 万公顷和
0.76 万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年）的函数关系较为接近的是（
）
A．
0.2
y
x
B．
2
0.1
0.1
y
x
x
C．
4
0.2
log
y
x
D．
2
10
x
y
【答案】D
【分析】根据题意，将
1,0.2 ，
2,0.4 ，
3,0.76 分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.
【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2 万公顷、0.4 万公顷和0.76 万公顷，
即
1,0.2 ，
2,0.4 ，
3,0.76 ，
对于A 中，函数
0.2
y
x
，当
3
x
时，
0.6
y
和0.76 相差较大；
对于B 中，函数
2
0.1
0.1
y
x
x ，当
2
x
时，
0.6
y
和0.4 相差较大；
对于C 中，函数
4
0.2
log
y
x，当
2
x
时，
0.7
y
和0.4 相差较大；
对于D 中，函数
2
10
x
y＝
，当
1
x 时，
0.2
y
，当
2
x
时，
0.4
y
，
当
3
x
时，
0.8
y=
和0.76 相差0.04，
综合可得，选用函数关系
2
10
x
y
较为近似．
故选：D.
7.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
/
x 月份
2
3
4
5
6
…
/
y 元
1.40
2.56
5.31
11
21.30
…
请从模型
1
2
y
x
，模型
2
3
x
y
中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300 元的月份为
（
）（参考数据：lg3
0.477
，lg 2
0.301
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出
自变量的范围.
【详解】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数
1
2
y
x
及
2
3
x
y
的图象．
如图：
观察发现，这些点基本上是落在函数
2
3
x
y
图象上或附近，因此用
2
3
x
y
这一函数模型．
当2
300
3
x
时，2
900
x
，则有
2
lg900
2
2lg3
log 900
9.814
lg 2
lg 2
x
.
由1
12
x
且
N
x
，x 最小值为10.
故选：C.
8.某同学高三阶段12 次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有
三种函数模型：①
x
f
x
p q
，②
log p
f
x
x
q
，③
2
1
f
x
x
x
q
p
(其中
,p q 为正常数，且
2
q
).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选
作为模拟函数(填序号)；若
1
4,
3
6
f
f
，则所选函数
f
x 的解析式为
．
【答案】
③
2
(
)(
1
4
4
)
f x
x
x
【分析】根据该同学的成绩变化选定函数模型，然后根据已知条件求得解析式.
【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，
因此满足先上升后下降再上升的是
2
1
f
x
x
x
q
p
，
∵
1
4,
3
6
f
f
，且
2
q
，
∴
2
4
2
3
6
p
q
p
，解得
4
p
q
，
∴
2
(
)(
1
4
4
)
f x
x
x
.
故答案为：③；
2
(
)(
1
4
4
)
f x
x
x
9.某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用
( )
f x （单位：万元）与增加
的销售量x （单位：千件）(0
16)
x
满足下列数据：
增加的销售量x
0
1
2
4
5
广告投入费用
( )
f x
0.000
0.452
0.816
1.328
1.500
为了描述广告投入费用
( )
f x 与增加的销售量x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
，
( )
0.5 x
f x
a
，
( )
log
(
a
f x
k
x
b a
，b ，c ，
R)
k
(1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由；
(2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量x 为多少时，每千件的广告投入
费用最少？
【答案】(1)选择
3
2
f x
ax
bx
cx
是最合适的模型，理由见解析
(2)
3
2
0.002
0.05
0.5
0
16
f x
x
x
x
x
；12.5 千件
【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型；
（2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数
( )
f x ，则每件的广告费用为
f x
W x
x
,继而求
其最值即可.
【详解】（1）
0.5x
f x
a
，在区间
0,16 上单调递减，
与表中数据矛盾，该模型不合适,
loga
f x
k
x
b
，则函数在
0
x
处无意义,
与表中数据矛盾，该模型不合适,
故选择
3
2
f x
ax
bx
cx
是最合适的模型.
（2）将表中的数据
1,0.452 , 2,0.816 , 4,1.328 代入
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
可得，
0.452
8
4
2
0.816
64
16
4
1.328
a
b
c
a
b
c
a
b
c
解得
0.002
0.05,
0.5
a
b
c
所以
3
2
0.002
0.05
0.5
0
16
f x
x
x
x
x
；
设每千件的广告费用为
W x ，
则
3
2
2
0.002
0.5
0.002
0.05
0.5
0.05
x
x
x
x
x
W x
x
2
0.002
12.5
0.1875
x
，
所以当
12.5
x
时，
W x 最小值为0.1875，
故销售量增加达到12.5 千件时，才能使每千件的广告投入费用最少.
题型二：一次函数与二次函数模型的应用
1.沈阳市地铁4 号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利．已知该条线路通车后，地铁的发车时间间
隔t（单位：分钟）满足2
20
t
．经测算，地铁载客量p 与发车时间间隔t 相关，当10
20
t
时地铁为
满载状态，载客量为1300 人，当2
10
t
时，载客量会减少，减少的人数与
10
t
的平方成正比，且发
车时间间隔为2 分钟时的载客量为660 人．
(1)写出p 关于t 的函数表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为
6
3960
350
p
Q
t
（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净
收益最大，每分钟的最大净收益为多少?
【解析】（1）依题意，当10
20
t
时，
1300
p
，
当2
10
t
时，设
2
1300
10
)
(
p
k
t
，k 为常数，
由
2
t
时，
660
p
，得1300
64
660
k
，解得
10
k
，则
2
1300 10 0
)
(1
p
t
，
所以p 关于t 的函数表达式是
2
1300,10
20
1300 10(10
) ,2
10
t
p
t
t
.
（2）当10
20
t
时，
6
3960
6 1300
3960
3840
350
350
350
p
Q
t
t
t
，
则当
10
t
时，
max
3840
350
34
Q
t
，
当2
10,
t
t
N
时，
2
2
6
3960
60
1200
2160
350
350
[1300 10(10
) ]
t
t
Q
t
t
t
2160
60
850
t
t
36
36
60(
)
850
60 2
850
720
850
130
t
t
t
t
，
当且仅当
36
t
t
时，即
6
t
时取等号，而34
130
，
所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为130元.
2.学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min 的一节课中，学生
的注意力指数y 与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当
(0,12]
x
时，图象是二次
函数图象的一部分，其中顶点
(10,80)
A
，点
(12,78)
B
，当
[12,40]
x
时，图象是线段BC，其中点
(40,50)
C
．
(1)当
(0,12]
x
时，求注意力指数y 与听课时间x 的函数关系式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心
内容的时间段（结果用区间表示）．
【解析】（1）当
(0,12]
x
时，设
2
10
80
y
a x
，而点(12,78) 在该二次函数图象上，
则78
4
80
a
，解得
1
2
a
，
所以所求函数关系为
2
1 (
10)
80,
(0,12]
2
y
x
x
.
（2）当
[12,40]
x
时，设y
kx
b
，由线段BC 过点
(12,78)
B
、
(40,50)
C
，
得
12
78
40
50
k
b
k
b
，解得
1,
90
k
b
，则
90
y
x
，
依题意，
62
y
，则由（1）得，当
(0,12]
x
时，
2
1
10
80
62
2 x
或当
(12,40]
x
时，
90
62
x
，
解得4
12
x
或12
28
x
，因此4
28
x
，
所以老师就在
(4,28)
x
时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
3.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000 元；若购物总金额超过1000
元，则享受一定的折扣优惠
可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000 元的部分）
折扣率
不超过500 元的部分
10%
超过500 元的部分
20%
例如，某人购物1300 元，则其享受折扣优惠的金额为
1300 1000
元，实际付款1270 元．
(1)某顾客购买1800 元的商品，他实际应付款多少元？
(2)设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式．
【解析】（1）顾客购买1800 元的商品时，实际付款为
1000
500
1 10%
1800 1500
1
20%
1690
元；
（2）某人购物总金额为x 元，
当
1000
x
时，应付款为y
x
，
当1000
1500
x
时，应付款为
1000
1000
1 10%
0.9
100
y
x
x
，
当
1500
x
时，
应付款为
1000
500
1 10%
1500
1
20%
0.8
250
y
x
x
，
∴y 关于x 的函数解析式为
,0
1000
100
0.9 ,1000
1500
250
0.8 ,
1500
x
x
y
x
x
x x
.
4.某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25 万元，此外每生产100 件这样的产品，还需增加投入50
万元，经市场调查知这种产品年需求量为500 件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为
2
1
5
200
t
t
万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为
f
x ，
求
f
x ；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
【解析】（1）根据题意可知，
当0
500
x
时，
2
2
1
1
9
5
50
25
25
200
100
200
2
x
x
f x
x
x
x
，
当
500
x
时，
2
1
1
5 500
500
50
25
1225
200
100
2
x
f x
x
；
故
2
1
9
25,0
500
200
2
1
1225,
500
2
x
x
x
f x
x
x
；
（2）当0
500
x
时，
2
1
1975
450
200
2
f x
x
故当
450
x
时，
max
1975
2
f x
；
当
500
x
时，
1
500 1225
975
2
f x
<
；
显然1975
975
2
>
，
故当该公司的年产量为450 件时，当年获得的利润最大．
5.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，
并提高定价到x 元.公司拟投入
2
1 (
600)
6 x
万元.作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，投入5
x 万
元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入
不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【解析】（1）依题意，设每件定价为
25
t t
元，得
8
25
0.2
25 8
t
t
，
整理得
2
65
1000
0
t
t
，解得25
40
t
.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元.
（2）依题意知当
25
x
时，不等式
2
1
1
25 8
50
(
600)
5
6
ax
x
x
有解，
等价于
25
x
时，
150
1
1
6
5
a
x
x
有解，
由于150
1
150 1
2
10
6
6
x
x
x
x
，当且仅当150
1
6 x
x
，即
30
x
时等号成立，
所以
10.2
a
，
当该商品改革后销售量a 至少达到10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30 元.
6.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处
理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70 吨，最多为100
吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为
2
1
40
3
3200
2
y
x
x
，且每加工处理1 吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100 元．
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1 吨厨余
垃圾处于亏损还是盈利状态？
(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300 元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．
如果你是企业的决策者，为了使每日获利最大，你会选择哪种补贴方案？为什么？
【解析】（1）由题意知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为
3200
70
1
0
00
4 ,
2
y
x
x
x
x
，
又由
3200
2
3200
40
2
40
2
40
40
120
2
x
x
x
x
，
当且仅当
3200
2
x
x
，即
80
x
时，等号成立，
所以该企业日加工处理量为80 吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低，
因为100
120
，所以此时该企业处理1 吨厨余垃圾处于亏损状态．
（2）若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获得为
1y 元，
由题可得
2
2
1
1
1
100
40
3200
2300
60
900
2
2
y
x
x
x
x
x
2
1
60
900
2 x
，
因为70
100
x
，所以当
70
x
时，企业每日获利最大为850 元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为
2y 元，
由题可得
2
2
2
2
1
1
1
130
40
3 200
90
3 200
(
90)
850
2
2
2
y
x
x
x
x
x
x
．
因为70
100
x
，所以当
90
x
时，企业每日获利最大为850 元．
因为两种方案所获最大利润相同，所以选择两种方案均可．
题型三：指数型函数模型
1.杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑
珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其
依次分为4 个等级，其等级
1,2,3,4
x x
与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数
关系式
eax b
y
．若花同样的钱买到的2 级杨梅比4 级杨梅多1 倍，且1 级杨梅的市场销售单价为4 元/千
克，则4 级杨梅的市场销售单价最接近（
）( 2
1.414
）
A．5.66 元/千克
B．8.48 元/千克
C．11.31 元/千克
D．16 元/千克
【答案】C
【分析】根据题意，得到
4
2
2
e
e
2
e
a b
a
a b
且e
4
a b
，结合指数幂的运算性质，即可求解.
【详解】由市场销售单价y （单位：元/千克）近似满足函数关系式
eax b
y
，
因为2 级杨梅比4 级杨梅多1 倍，可得
4
2
2
e
e
2
e
a b
a
a b
，解得e
2
a
，
又因为1 级杨梅的市场销售单价为4 元/千克，可得e
4
a b
，可得e
2 2
b
，
所以
4e
8 2
11.31
a b
．
故选：C．
2.某地投资a 亿元进行基础建设，t 年后产生的社会经济效益为
( )
e t
f t
a
亿元，若该地投资基础建设4 年
后产生的社会经济效益是投资额的2 倍，且再过1t 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16 倍，则
1t （
）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】C
【分析】由
2
4
f
a
求出的值，再令
( )
16
f t
a
求出t ，从而求出1t .
【详解】依题意
4
4
2
e
a
f
a
，显然
0
a
，即
4e
2
，所以4
ln 2
，则
ln 2
4
，
所以
ln2
4
( )
e
t
f t
a
，令
( )
16
f t
a
，即
ln 2
4
e
16
t
a
a
，所以ln 2
ln16
4 t
，
即ln 2
4ln 2
4 t
，所以
16
t
，所以该地投资基础建设16 年后产生的社会经济效益是投资额的16 倍，
所以1
16
4
12
t
.
故选：C
3.（多选）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE 拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能
把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具
如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气
泵每次可以抽出压缩袋内气体的40% ，则（
）（参考数据：取lg2
0.301,lg3
0.477
）
A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10% ，至少要抽5 次
B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10% ，至少要抽9 次
C．抽气泵第4 次抽出了最初压缩袋内气体的8.64%
D．抽3 次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的25%
【答案】ACD
【分析】根据题意建立函数模型，利用指对函数的性质一一计算即可判定选项.
【详解】设抽气泵抽了x 次，若要使压缩袋内的气体少于原来的10% ，则(1
40%)
10%
x
，
即0.6
0.1
x
，则
0.6
log
0.1
x
．因为
0.6
lg0.1
1
log
0.1
4.505
lg0.6
lg2
lg3 1
，
所以至少要抽5 次，A 正确，B 错误．
抽气泵第4 次抽出了最初压缩袋内气体的
3
(1 40%)
40%
8.64%
，
C 正确．
3
(1 40%)
21.6%
25%
，D 正确．
故选：ACD
4.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400 年之久，给环境带来了很大的危害，
国家发改委、生态环境部等9 部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023 年1
月1 日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量y
与时间t 年之间的关系为
0 ekt
y
y
，其中
0y 为初始量，k 为光解系数.已知该品牌塑料袋2 年后残留量为初
始量的75% .该品牌塑料袋大约需要经过（
）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：lg 2
0.301
，
lg3
0.477
）
A．20
B．16
C．12
D．7
【答案】B
【分析】由
2
75%
e k
，解方程e
10%
kt
即可.
【详解】依题意有
2
t
时，
2
0
0
75%
e k
y
y
，则e
0.75
k
，
当
0
0
e
10%
kt
y
y
时，有
0.75
0.1
t
，
lg
0.75
lg0.1
t
，
lg 0.1
1
2
2
16
1
3
lg3
2lg 2
0.125
lg
0.75
lg
2
4
t
.
故选：B
5.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药
在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型
0e kt
c
c
t
描述，
假定某药物的消除速率常数
0.1
k
（单位：
1
h），刚注射这种新药后的初始血药含量
0
2000mg / L
c
，且
这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种
新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（
）（参考数据：ln 2
0.693 ln3
1.099
，
）
A．5.32h
B．6.23h
C．6.93h
D．7.52h
【答案】C
【分析】根据所给模型解不等式
0.1
2000e
1000
t
即得．
【详解】由题意
0.1
2000e
1000
t
，
0.1
1
e
2
t
，
1
0.1
ln
ln 2
0.693
2
t
，
6.93
t
，
故选：C．
6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生
物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，
刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%
y
，且y 随时间t （单
位：分钟）的变化规律可以用函数
10
0.05
e
R
t
y
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准
需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得t 的取值范围，进而求得t 的最小整数值.
【详解】当=0
t
时，
0
10
0.05
e
.05
0.25,
0
=0
.2
y
，
所以
10
0.05+0.2e
t
y
，由
10
0.05
0.2e
0.15
t
y
得
10
e
1
2
t
，
10
ln e
ln2,
10 ln2
10 0.693
6.93
10
1
ln
,
2
t
t
t
，
所以t 的最小整数值为7 .
故选：A
题型四：对数型函数模型
7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：m/s ）可
以表示为
3
1 log
2
100
M
v
，其中M 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止
时耗氧量的单位数的3 3倍时，它的游速是
m/s .
【答案】3
4 /0.75
【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为
0
M ，计算出
0
M 的值，再将
0
3 3
M
M
代入
3
1 log
2
100
M
v
，即可
得解.
【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为
0
M ，则
0
3
1 log
0
2
100
M
，可得
0
100
M
，
将
0
3 3
300 3
M
M
代入
3
1 log
2
100
M
v
可得，
3
2
3
1
3
log 3
(m/s)
2
4
v
.
故答案为：3
4 .
8.（多选）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg
4.8 1.5
E
M
，
则（
）
A．震级为2 级的地震释放能量为
6.8
10
焦耳
B．释放能量为
9.3
10
焦耳的地震震级为3 级
C．9 级地震释放能量是8 级地震释放能量的10 倍
D．释放能量之比为1000:1的两场地震的震级相差2 级
【答案】BD
【分析】利用给定的关系式，逐项计算判断即可得解.
【详解】对于A，当
2
M
时，lg
4.8 1.5 2
7.8
E
，解得
7.8
10
E
，A 错误；
对于B，当
9.3
10
E
时，9.3
4.8 1.5M
，解得
3
M
，B 正确；
对于C，令9 级地震释放能量为
1
E ，8 级地震释放能量为
2
E ，
则
1
1
2
2
lg
=lg
lg
(4.8 1.5 9)
(4.8 1.5 8)
1.5
E
E
E
E
，于是
1.5
1
2
=10
10
E
E
，C 错误；
对于D，释放的能量为
0
E ，对应的震级为
0
M ，释放的能量为
0
1000E ，对应的震级为M ，
则
0
0
lg
4.8 1.5
E
M
，且
0
lg1000
4.8 1.5
E
M
，两式相减得
0
1.5(
)
3
M
M
，解得
0
2
M
M
，D 正确.
故选：BD
9.北京时间2023 年2 月10 日0 时16 分，经过约7 小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载
火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
0
20 lg
p
p
L
p
，其中大
于0 的常数
0p 是听觉下限阈值，p 是实际声压.声压级的单位为分贝
dB ，声压的单位为帕
Pa .若人正常
说话的声压约为0.02Pa ，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大100dB，则火箭发射时的声
压约为（
）
A．2Pa
B．20Pa
C．200Pa
D．2000Pa
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
【详解】令人正常说话时的声压级为
1p
L ，火箭发射时的声压级为
2
p
L ，则
2
1
100
p
p
L
L
，
而人正常说话的声压
1
0.02Pa
p
，火箭发射时的声压为
2p ，
于是
1
0
20 l
.02
g 0
p
L
p
，
2
0
2
20 lg
p
L
p
p
，两式相减得
2
20(lg
lg 0.02)
100
p
，解得
2
2000Pa
p
，
所以火箭发射时的声压约为2000Pa .
故选：D
10.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：
2
log
1
S
C
W
N
，其中C 为最大数据传输速率，单
位为bit / s；W 为信道带宽，单位为Hz ；S
N 为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当
99
S
N
，
2000Hz
W
时，最大数据传输速率记为
1
C ；当
9999
S
N
，
3000Hz
W
时，最大数据传输速率记为
2
C ，则
2
1
C
C
为（
）
A．1
3
B．5
2
C．15
4
D．3
【答案】D
【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出
1
C ，
2
C ，即可求得
2
1
3
C
C .
【详解】根据题意，将
99
S
N
，
2000Hz
W
代入可得
1
2
2
2
2
2000log
1
99
2000log 100
2000
2log 10
4000log 10
C
；
将
9999
S
N
，代入可得
3000Hz
W
2
2
2
2
2
3000log
1
9999
3000log 10000
3000
4log 10
12000log 10
C
；
所以可知
2
2
2
1
12000log 1
3
0
4000log 10
C
C
.
故选：D
11.人们用分贝
dB 来划分声音的等级，声音的等级
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）满
足
13
9lg1 10
x
d x
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB，在有50 人的课堂上讲课时，老师声音
的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（
）
A．1 倍
B．10 倍
C．100 倍
D．1000 倍
【答案】C
【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.
【详解】∵声音的等级式
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）满足
13
9lg1 10
x
d x
，
又∵老师的声音的等级约为63dB，
13
63
9lg 10
x
，解得
6
10
x
，即老师的声音强度约为
6
10
2
W / m ，
∵两人交谈时的声音等级大约为45dB，
13
45
9lg10
x
，解得
8
10
x
，即两人交谈时的声音强度约为
8
10
2
W / m ，
老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的
6
8
10
100
10
倍.
故选：C
12.习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场
用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为
我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km/s ）
和燃料的质量M（单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg ）的函数关系式是
2000ln 1
M
v
m
.
若火箭的最大速度为11.2km/s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：
（参考数据：0.0056
e
1.0056
）
（
）
A．1.0056
B．0.5028
C．0.0056
D．0.0028
【答案】C
【分析】利用指对数转化可求燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值.
【详解】令11.2
2000ln 1
M
m
，则
0.0056
1
e
1.0056
M
m
，
故
0.0056
M
m
，
故选：C.
13.在如今这个5G 时代，6G 研究已方兴未艾，2023 年8 月30 日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北
京举办。会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有
望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100 倍，时延达到亚毫秒级水平。
香农公式
2
log
1
S
C
W
N
是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，
最大信息传递率C 取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其
中S
N 叫做信噪比。若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从9 提升至53，则最大信息传递率C 会提升到原来的
（
）
参考数据：
2
2
log 3
1.58,log 5
2.32
．
A．2.4 倍
B．2.3 倍
C．2.2 倍
D．1.7 倍
【答案】D
【分析】设提升前最大信息传递率为
1
C ，提升后最大信息传递率为
2
C ，根据题意计算
2
1
C
C ，利用指数、对
数的运算性质化简即可求解.
【详解】设提升前最大信息传递率为
1
C ，提升后最大信息传递率为
2
C ，
则
1
2
2
log
1 9
log 10
C
W
W
，
2
2
2
log
1 53
log 54
C
W
W
，
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
log
6 9
log 54
log 54
log 6
log 9
log 10
log 10
log
2 5
1 log 5
C
W
C
W
2
2
2
2
2
2
log
2 3
log 3
1 3log 3
1 3 1.58
5.74
1.7
1 log 5
1 log 5
1
2.32
3.32
.
最大信息传递率C 会提升到原来的1.7 倍.
故选：D.
14.（多选）从4G 到5G 通信，网络速度提升了40 倍.其中，香农公式
2
log
1
S
C
W
N
是被广泛公认的通
信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道带宽W ､信道内
信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S
N 叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确
的是（
）（参考数据：lg5
0.6990
）
A．若不改变信噪比S
N ，而将信道带宽W 增加一倍，则C 增加一倍
B．若不改变信道带宽W 和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N 降低为原来的一半，则C 增
加一倍
C．若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从255 提升至1023,C 增加了25%
D．若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从999 提升至4999,C 大约增加了23.3%
【答案】ACD
【分析】计算
2
2 log
1
2
S
W
C
N
可判断A；计算
2
2
2
2
log
1
log
1
2 log
1
2
S
S
S
W
W
W
N
N
N
可判断B；
计算
2
2
log
1 1023
1
log
1
255
W
W
的值可判断C；计算
2
2
log
1
4999
1
log
1
999
W
W
可判断D.
【详解】对于A ，若不改变信噪比S
N ，而将信道带宽W 增加一倍，
即
2
2 log
1
2
S
W
C
N
，则C 增加一倍，所以A 正确；
对于B ，若不改变信道带宽W 和信道内信号的平均功率S，
而将高斯噪声功率N 降低为原来的一半，
即
2
2
2
2
2
2
2
log
1
log
1
log
1
2 log
1
2
S
S
S
S
S
W
W
W
W
N
N
N
N
N
，所以B 错误；
对于C，若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从255 提升至1023，
则
10
2
2
8
2
2
log
1 1023
log 2
10
1
1
1
1
log
1
255
log 2
8
4
W
W
，
所以C 增加了25% ，所以C 正确；
对于D，若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从999 提升至4999，
则
2
2
2
2
log
1
4999
log 5000
lg5000
lg5
lg1000
lg5
1
1
1
1
0.233
log
1
999
log 1000
lg1000
3
3
W
W
，
所以D 正确.
故选：ACD.
题型五：分段函数模型的应用
1.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本
为300 万元，最大产能为100 台，每生产x 台，需另投入成本
G x 万元，且
2
2
80 ,0
40
3600
201
2100,40
100
x
x
x
G x
x
x
x
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的
该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润
W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当0
40
x
时，
可得
2
200
2
80
300
W x
x
x
x
2
2
120
300
x
x
；
当40
100
x
时，
可得
3600
3600
200
201
2100
300
1800
W x
x
x
x
x
x
；
所以
2
2
120
300,0
40
3600
1800,40
100
x
x
x
W x
x
x
x
.
（2）若0
40
x
，则
2
2
2
120
300
2
30
1500
W x
x
x
x
，
所以当
30
x
时，
max
1500
W x
万元；
若40
100
x
，则
3600
3600
1800
2
1800
1680
W x
x
x
x
x
，
当且仅当
3600
x
x
，即
60
x
台时，等号成立，
max
1680
W x
万元；
因为1500
1680
，
所以该产品的年产量为60 台时，公司所获利润最大，最大利润是1680 万元.
2.2021 年3 月1 日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进
一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定
成本为50 万元，每生产1 万部还需另投入20 万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品x 万部并能全
部销售完，平均每万部的销售收入为
R x 万元，且
2
100
2 ,0
20
2100
18000 ,
20
x
x
R x
x
x
x
(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式
W x ；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【解析】（1）依题意
2
2
80
50,0
20
50
20
900
2050
20
,
20
x
x
x
W x
x R x
x
x
x
x
.
（2）当0
20
x
时
2
2
80
50
W x
x
x
，开口向下，对称轴
80
20
4
x
，
2
20
2 20
80 20
50
750
W
万元.
当
20
x
时，
900
900
2050
20
2050
20 2
850
W x
x
x
x
x
万元，
当且仅当900
,
30
x x
x
时等号成立.
所以当产量为30万部时，利润最大，最大利润为850万元.
3.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024 年新增300 万元资金购买一项新技术，并利用该技术生产
某款新手机，通过市场调研发现，每生产x （千部）手机，需另外投入成本
H x 万元，其中
2
10
200 ,0
40
2500
601
4700,
40
x
x
x
H x
x
x
x
，已知每部手机的售价预定为6000 元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2024 年该款手机的利润y 关于年产量x 的函数关系式；
(2)当年产量x 为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当0
40
x
时，
2
2
600
10
200
300
10
400
300
y
x
x
x
x
x
，
当
40
x
时，
2500
2500
600
601
4700
300
4400
y
x
x
x
x
x
，
所以
2
10
400
300,0
40
2500
4400,
40
x
x
x
y
x
x
x
.
（2）当0
40
x
时，
2
2
10
400
300
10
20
3700
y
x
x
x
，
∴当
20
x =
时，
max
3700
y
，
当
40
x
时，
2500
4400
2 2500
4400
4300
y
x
x
，
当且仅当
2500
x
x
，即
50
x
时，
max
4300
y
，
因此当年产量为50（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是4300 万元.
4.新学期开学季，成都某学校附近又新开了一家奶茶店，其中有一种名为“奶茶三兄弟”的饮品很受学生欢
迎，老板费尽心思想在这种饮品上赚得第一桶金，其销售的价格在一学期不同周次有所变化.设开始时每杯
定价10 元，从第一次周开始每周涨价2 元，5 周后开始保持20 元的价格平稳销售，10 周后，学生的新鲜
感已过，平均每周削价2 元，直到16 周周末，老板为了让学生安心准备期末考试复习而不挂念“三兄弟”，
该饮品暂停销售.
(1)试求该饮品每杯价格p （元）与周次
,
1,16 ,
N
t t
t
之间的函数关系式；
(2)若此饮品每杯成本价q（元）与周次t 之间的关系是
2
1
8
12
8
q
t
，
1,16
t
，
N
t
，试问该饮品
第几周每杯的销售利润最大，并求出最大值.
【解析】（1）由题意得当0
5
t
且
N
t
时，
10
2
p
t
；
当5
10
t
且
N
t
时，
20
p
；
当10
16
t
且
N
t
时，
20
2
10
40
2
p
t
t
，
综上所述，
10
2 ,0
5,
N
20,5
10,
N
40
2 ,10
16,
N
t
t
t
p
t
t
t
t
t
；
（2）由（1）得
10
2 ,0
5,
N
20,5
10,
N
40
2 ,10
16,
N
t
t
t
p
t
t
t
t
t
，
2
1
8
12
8
q
t
，
1,16
t
，
N
t
，
设利润为W ，则W
p
q
，
∴当0
5
t
且
N
t
时，
2
2
1
1
10
2
8
12
6
8
8
W
t
t
t
，
此时
2
1
6
8
W
t
在
0,5
t
且
N
t
上单调递增，
∴当
5
t
时，
max
9.125
W
；
当5
10
t
且
N
t
时，
2
2
1
1
20
8
12
8
8
8
8
W
t
t
，
∴当
6
t
或
10
t
时，
2
max
1 6
8
8
8
8.5
W
；
当10
16
t
且
N
t
时，
2
2
1
1
40
2
8
12
4
16
8
8
W
t
t
t
，
此时
2
4
1
16
8
W
t
在
10,16
t
且
N
t
上单调递减，
∴当
11
t
时，
max
7.125
W
，
∵9.125
8.5
7.125
，
∴该饮品第5 周每杯的销售利润最大，且最大值9.125 元.
5.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医
疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术
生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200 万元，最大产能为100 台.每生产x 台，需另投入成本
G x
万元，且
2
120 ,0
50
4900
201
2100,50
100
x
x
x
G x
x
x
x
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年
内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润
W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意可得：当0
50
x
时，
2
2
200
120
200
80
200
W x
x
x
x
x
x
，
当50
100
x
时，
4900
4900
200
201
2100
200
1900
W x
x
x
x
x
x
＝
＝
，
故
2
80
200,0
50
4900
1900,50
100
x
x
x
W x
x
x
x
．
（2）当0
50
x
时，
2
2
80
200
40
1400
W x
x
x
x
，
得
40
x
时
max
1400
W x
万元；
当50
100
x
时，
4900
4900
1900
2
1900
1760
W x
x
x
x
x
，当且仅当
4900
x
x
，即
70
x
时
等号成立，
此时
max
1760
W x
万元.
综上可知，该产品的年产量为70 台时，公司所获利润最大，最大利润是1760 万元.
题型六：指数、对数、幂函数模型的增长差异
1.当
(1,e)
x
时，试探究三个函数
3
3 ,
ln ,
e
x
y
y
x y
x
的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来
为
．
【答案】
3
3
ln
e
x
x
x
【分析】利用函数的单调性，根据条件求出范围，进而可求出结果.
【详解】令
1
2
3
3
3 ,
,
ln
e
x
y
y
x y
x
，易知三个函数在区间
1,e 上均单调递增，
所以，当
1,e
x
时，
e
3
3
3
x
，
3
3
1
3
e
e x
，0
ln
1
x
，故
3
3
3
1
ln
e
x
x
x
，
故答案为：
3
3
ln
e
x
x
x
.
2.下列函数中，增长速度最快的是（
）
A．
2018x
y
B．
2018
y
x
C．
2018
log
y
x
D．
2018
y
x
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快，即可得到结果.
【详解】指数函数
1
x
y
a
a
,
时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，在一次函数，指数函
数，对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数.
故选：A
3.下面对函数
1
2
( )
log
f x
x
，
1
( )
2
x
g x
与
1
2
( )
h x
x
在区间
0,
上的衰减情况的叙述正确的是（
）
A．
f
x 的衰减速度逐渐变慢，
g x 的衰减速度逐渐变快，
h x 的衰减速度逐渐变慢
B．
f
x 的衰减速度逐渐变快，
g x 的衰减速度逐渐变慢，
h x 的衰减速度逐渐变快
C．
f
x 的衰减速度逐渐变慢，
g x 的衰减速度逐渐变慢，
h x 的衰减速度逐渐变慢
D．
f
x 的衰减速度逐渐变快，
g x 的衰减速度逐渐变快，
h x 的衰减速度逐渐变快
【答案】C
【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解.
【详解】由函数
1
2
( )
log
f x
x
，
1
( )
2
x
g x
与
1
2
( )
h x
x
在区间
0,
上的图象以及性质知函数
f
x ，
g x ，
h x 的衰减速度均逐渐变慢，
故选:C．
4.（多选）函数
1
2
x
f
x
，
1
2
log
g x
x
，
1
2
h x
x
，在区间
0,上（
）
A．
f
x 递减速度越来越慢
B．
g x 递减速度越来越慢
C．
h x 递减速度越来越慢
D．
g x 的递减速度慢于
h x 递减速度
【答案】ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间
0,上，
1
2
x
f
x
递减速度越来越慢，故A 正确；
1
2
log
g x
x
递减速度越来越慢，故B 正确；
1
2
h x
x
递减速度越来越慢，故C 正确；
h x 的递减速度慢于
g x 递减速度，故D 错误.
故选：ABC.
5.三个变量
1
2
3
,
,
y y
y 随自变量x 的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
135
625
1715
3645
6655
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为
，
，
.
【答案】
3y
2y
1y
【分析】根据三种函数模型增长速度的差异可直接判断出结果.
【详解】对数函数的增长速度越来越慢，指数函数的增长速度越来越快且呈现出爆炸式增长模式，幂函数
的增长速度介于指数函数与对数函数之间，
由此可知：变量
3y 为对数函数，变量
2y 为指数函数；变量
1y 为幂函数．
故答案为：
3y ，
2y ，
1y .
6.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分
y 与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间
为0 分钟时，当天得分为0 分；（3）每天运动时间为30 分钟时，当天得分为3 分；（4）每天最多得分不
超过6 分.现有以下三个函数模型供选择：①
0
y
kx
b k
；②
1.2
0
x
y
k
b k
；
③
2
log
2
0
15
x
y
k
n k
.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5 分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)选
2
log
2
15
x
y
k
n ，理由见解析
(2)答案见解析
(3)55 分钟
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将
0,0 ，
30,3 代入求解系数即可.
（3）将
4.5
x
代入解析式即可.
【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当
0
k
时，匀速增长；
对于模型二，当
0
k
时，先慢后快增长；
对于模型三，当
0
k
时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选
2
log
2
15
x
y
k
n .
（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将
0,0 ，
30,3 代入解析式得到
2
+ =0
log 4+ =3
k n
k
n
，即
+ =0
2 + =3
k n
k n
，
解得=3
k
，
3
n ，即
2
3log
2
3
15
x
y
.
第四步：完善模型是否合适
当
90
x
时，
2
3log
6
2
3
6
y
，
满足每天得分最高不超过6 分的条件.
所以函数的解析式为
2
3log
+2
3,0
90
=
15
6, >90
x
x
y
x
.
（3）由
2
3log
2
3
4.5
15
x
y
，
5
2
2
2
log
2
2.5
log 2
15
x
，
得
5
2
2
2
4 2
5.656
15
x
，得
54.84
x
，
所以每天得分不少于4.5 分，至少需要运动55 分钟.
7.若
0,
x
，则使
2
2
log
2x
x
x
成立的x 的取值范围是
，使
2
2
log
2x
x
x
成立的x 的取值范
围是
．
【答案】
2,4
0,2
4,
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x 的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出
2x
y
，
2
y
x
=
，
2
log
y
x
在
0,上的图象如下．
由图得，若
2
2
log
2x
x
x
，则2
4
x
，
若
2
2
log
2x
x
x
，则0
2
x
或>4
x
．
故答案为：
2,4 ，
0,2
4,
题型七：拟合函数模型的应用问题
1.2022 年11 月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个
月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格
P x（元）满足
*
( )
60 |
20 | (1
30,
N )
P x
x
x
x
，
第x 天的日交易量
Q x （万股）的部分数据如下表：
第x（天）
1
2
4
10
Q x （万股）
14
12
11
10.4
(1)给出以下两种函数模型：①
( )
Q x
ax
b
；②
( )
b
Q x
a
x
.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合
适的一种函数模型来描述该股票日交易量
Q x （万股）与时间第x 天的函数关系（简要说明理由），并求
出该函数的关系式；
(2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x 天的日交易额
f x 的函数关系式，并求其最小值.
【解析】（1）对于函数
( )
,
Q x
ax
b ，
根据题意，把点(1,14),(2,12) 代入可得
14
2
12
a
b
a
b
，解得
2
16
a
b
，
，
2
16.
Q x
x
而点(4,11),(10,10.4) 均不在函数
2
16
Q x
x
的图象上；
对于函数
b
Q x
a
x
，
根据题意，把点(1,14),(2,12) 代入可得
14
12
2
a
b
b
a
，解得
10,
4
a
b
，
此时
4
10
Q x
x
.
而(4,11),(10,10.4) 均在函数
4
10
Q x
x
的图象上.
所以
*
4
10
1
30,
N
Q x
x
x
x
.
（2）由（1）知
*
*
401
20
N
20
60
80 20
30
N
x
x
x
P x
x
x
x
x
，
，
，
，
.
所以
*
4
(10
)(
40),1
20,
N*
( )
( )
( )
4
(10
)(
80),20
30,
N
x
x
x
x
f x
P x
Q x
x
x
x
x
，
即
*
*
160
10
404,1
20,
N
( )
,
320
10
796,20
30,
N
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
当
*
1
20,
N
x
x
时，
160
160
10
404
2 10
404
484
f x
x
x
x
x
当且仅当
160
10x
x
时，即
4
x
时等号成立，
当
*
20
30
N
x
x
，
时，
320
10
796
f
x
x
x
为减函数.
所以函数的最小值为
min
32
30
496
484
3
f x
f
，
综上可得，当
4
x
时，函数
( )
f x 取得最小值484.
2.2022 年8 月9 日，美国总统拜登签署《2022 年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可
能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动
力．某企业原有400 名技术人员，年人均投入a 万元
0
a
，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有
技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x
N
且100
275
x
），调整后研发人员的年人
均投入增加
4
%
x
，技术人员的年人均投入调整为
2
25
x
a m
万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入
f
x 和对全部研发人员的年总投入
g x 的表达式.
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整
前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理
由．
【解析】（1）由题意得，
2
25
x
f x
ax m
，
N
x
且
100
275
x
，
2
4
1
400
15
400
100
25
x
a
g x
a
x
x
ax
a
，
N
x
且
100
275
x
.
（2）由条件①得：
2
2
15
400
25
25
a
x
x
ax
a
ax m
，整理得
400
15
25
x
m
x
，则
min
400
15
25
x
m
x
，
因为400
400
15
2
15
23
25
25
x
x
x
x
，当且仅当400
25
x
x
，即
100
x
时等号成立，所以
23
m
；
由条件②得：
2
25
x
a m
a
，解得
2
1
25
x
m
，
因为100
275
x
，当
275
x
时，2
1
25
x 取得最大值23，所以
23
m
；
综上所述，存在这样的m 满足以上两个条件，m 的范围为
23 .
3.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新
利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70 吨，最多为120 吨，日加工处理总成本y（元）
与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为
2
1
40
3200
2
y
x
x
，且每加工处理1 吨厨余垃圾得到的
化工产品的售价为100 元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1 吨厨余
垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本= y
x ）
(2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300 元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x 元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.
【解析】（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
3200
40,
70,100 ,
2
y
x
x
x
x
3200
2
3200
40
2
40
2
40
40
120
2
x
x
x
x
当且仅当
3200
2
x
x
，即
80
x
时，
每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为120
100
，
所以此时该企业处理1 吨厨余垃圾处于亏损状态.
（2）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为
1y ，
2
1
1
100
40
3200
2300
2
y
x
x
x
2
1
60
900
2 x
x
2
0
1 (
6
+ 0
0)
2
9
x
因为
70,100
x
，
所以当
70
x
吨时，企业获得最大利润，为850 元.
若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为
2y ，
2
2
1
100 +40
40
3200
2
y
x
x
x
x
2
1
=
100
3200
2 x
x
2
0
1 (
10
8
0)
2
+1 0
x
因为
70,100
x
，
所以当
100
x
吨时，企业获得最大利润，为1800 元.
结论：选择方案一，当日加工处理量为70 吨时，可以获得最大利润850 元；
选择方案二，当日加工处理量为100 吨时，获得最大利润1800 元；
所以选择方案二进行补贴..
4.某运输公司今年初用49 万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1 年到第n 年（
N
n
）
花在该台运输车上的维护费用总计为
2
5
n
n
万元，该车每年运输收入为25 万元．
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）；
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以15 万元的价格卖出；②当
盈利总额达到最大值时，以6 万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．
【解析】（1）由题意可得：
2
25
49
(
5 )
0
n
n
n
，即
2
20
49
0
n
n
（
N
n
），
解得10
51
10
51
n
，因为7
51
8
，
3
n
，
该车运输3 年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以15 万元的价格卖出，
2
25
49
(
5 )
49
49
20
(
)
20
2
6
n
n
n
n
n
n
n
n
，
当且仅当
7
n
时，取等号，
方案①最后的利润为：25 7
49
(49
35) 15
57
（万)；
②当盈利总额达到最大值时，以8 万元的价格卖出，
2
2
2
25
49
(
5 )
20
49
(
10)
51
y
n
n
n
n
n
n
，
10
n
时，利润最大，
方案②的利润为51 6
57
（万)，
两种方案收入均为57 万，但是方案二可使用10 年，方案一只能使用7 年，
所以方案一更合算.
5.科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y 是这种新材料的含量x （单位：
克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：
x （单位：克）
0
2
6
10
…
y
－4
8
8
1
9
…
已知当
7
x
时，
1
3
x m
y
，其中m 为常数．当0
7
x
时，y 和x 的关系为以下三种函数模型中的一个：
①
2
y
ax
bx
c
；②
x
y
k a
0
a
且
1
a
；③
loga
y
k
x
0
a
且
1
a
；其中, , ,
k a b c 均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述,x y 之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量x 为多少克时，产品的性能达到最大．
【解析】（1）由表格知当
0
x
时，
4
y ，
若选①
2
y
ax
bx
c
，则
4
c ，
若选②
x
y
k a
0
a
且
1
a
，则
4
k ，
此时
4
x
y
a
0
a
且
1
a
不满足
2
x
时，
8
y
，
故不选，
若选③
loga
y
k
x
0
a
且
1
a
，
0
x
时无意义，故不选，
所以选①的函数模型来描述,x y 之间的关系，
由题意有当0
7
x
时，由
2
y
ax
bx
c
，
且
0,
4
x
y
时得：
4
c ；
当
2,
8
x
y
时得：4
2
12
a
b
；
当
6,
8
x
y
时得：36
6
12
a
b
；
联立
4
2
12
36
6
12
a
b
a
b
，解得：
1,
8
a
b
，
所以当0
7
x
时，
2
8
4
y
x
x
.
（2）由（1）当0
7
x
时，
2
8
4
y
x
x
，
又当
7
x
时，
1
3
x m
y
，
将
1
10,
9
x
y
代入上式有：
10
2
10
1
1
3
3
9
3
m
m
，
解得：
8
m
，
即当
7
x
时，
8
1
3
x
y
综上有
8
2
1
,
7
3
8
4,0
7
x
x
y
x
x
x
，
当0
7
x
时，
2
2
8
4
4
12
y
x
x
x
，
所以当
4
x
时，取到最大值
max
12
y
，
当
7
x
时，
8
1
3
x
y
单调递减，
所以当
7
x
时，
7 8
max
1
3
3
y
，
故当新材料的含量
4
x
克时，产品的性能达到最大.
6.在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减
慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的
3 组数据如下表所示.
x
2
3
5
y
3.5
4.5
5.5
(1)当
2
x
时，根据表中数据分别用模型
loga
y
x
c
b
和y
m x
n
k
建立y 关于x 的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得
出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5 时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9 小时
时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2 百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说
明理由.（参考数据：
57
7.6
）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17 小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
【解析】（1）当
2
x
时，
loga
y
x
c
b
，
由图表数据可得
log
2
3.5
a
c
b
，
log
3
4.5
a
c
b
，
log
5
5.5
a
c
b
，
联立上式，解方程可得
2,
3.5
a
b
，
1
c ，
则
2
log
1
3.5
y
x
；
当
2
x
时，y
m x
n
k
，
由图表数据可得
2
3.5
m
n
k
，
3
4.5,
5
5.5
m
n
k
m
n
k
联立上式，解方程可得
15
2,
8
m
n
，
3
k
则
15
2
3
8
y
x
；
（2）考虑①
2
log
1
3.5
y
x
，由
9
x
，
可得
2
log 8
3.5
6.5
y
，而
6.5
6.2
0.3
0.5
，
可得模型①
2
log
1
3.5
y
x
是“理想函数模型”；
考虑②
15
2
3
8
y
x
，由
9
x
，可得
15
57
2
9
3
3
8
2
y
3.8
3
6.8
而6.8
6.2
0.6
0.5
，
所以模型②不是“理想函数模型”；
（3）由（2）可得
17
x
时，
2
log
17 1
3.5
4
3.5
y
7.5
（百万个)
模块三：综合巩固
1.已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式
2
100
10
y
a
x
x
，
其中10
55,
x
a
为常数.当该商品的销售单价为15 元时，日销量为110 件.若该商品的进价为每件10 元，
则超市该商品的日利润最大为（
）
A．1500 元
B．1200 元
C．1000 元
D．800 元
【答案】C
【解析】根据条件，将
15,
110
x
y
，代入
2
100
10
y
a
x
x
，得
200
a
，
所以，超市内该商品的日利润为：
( )
(
10)
g x
x
2
2
200
2
100
2
120
800
2(
30)
1000
10
x
x
x
x
x
，其中10
55
x
，
所以，当
30
x
时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为1000 元，
故选：C
2.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是
1℃，空气的温度是
0
℃，经过t 分钟后物体的温度θ℃
可由公式
0
1
0 e kt
求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0 的常数，现有
100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5 分钟后物体的温度是40℃，则k 约等于（
）
（参考数据
ln3
1.099
A．0.22
B．0.27
C．0.36
D．0.55
【答案】A
【解析】根据题意
5
40
10
100 10 e
k
，即
1
5
ln
ln 3
3
k
，
解得
1
1.099
ln 3
0.22
5
5
k
，
故选：A
3.百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在接见安徽参加国庆
的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天
向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：
每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为3% ，那
么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
120
(1 3%)
34.711
，如果每天的“迟步率”为3%，同样经
过一个学期的学习情况为
120
(1 3%)
0.026
.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍
还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100 倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数据：
lg103
2.013,lg97
1.987
）（
）
A．56
B．77
C．120
D．200
【答案】B
【解析】依题意，设要经过n 天，“进步"的值是“迟步”的值的100 倍，
则(1 3%)
100
(1 3%)
n
n
，即103
100
97
n
，
则
103
97
lg100
log
100
lg103
lg97
n
2
2
77
2.013 1.987
0.026
.
故选：B.
4.若三个变量
1y ，
2y ，
3y 随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：
loga
y
m
x
n
，
x
y
pa
q
，
a
y
t
kx
变化的变量依次是（
）
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
25
45
65
85
105
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
A．
1y ，
2y ，
3y
B．
3y ，
2y ，
1y
C．
1y ，
3y ，
2y
D．
3y ，
1y ，
2y
【答案】B
【解析】由题表可知，
2y 随着x 的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；
3y 随着x 的增大而增大，但是
变化缓慢，是对数型函数的变化；
1y 相对于
2y 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.
故选: B .
5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例( )
I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：
1
48
4
( )
1 e
t
I t
K
，其中K 为最大确诊病例数．当
0
0.05
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln19
3)
（
）
A．35
B．36
C．40
D．60
【答案】B
【解析】
0
1
48
4
0
( )
1 e
0.05
t
K
I t
K
，故
0
48
4
19
e
t
，
两边取对数，
0
9
4
n1
8
4
l
t
，解得0
6
4ln19
48
48 12
3
t
，
故0t 约为36.
故选：B
6.某地2019 年人均GDP(国内生产总值)为8000 元，预计以后年增长率为10%，使该地区人均GDP 超过
16000 元，至少要经过（
）
A．4 年
B．5 年
C．8 年
D．10 年
【答案】C
【解析】设第x 年的人均GDP 超过16000 元，
根据题意，可得8000(1 10%)
16000
x
，即1.1
2
x
，
所以
1.1
lg2
log
2
7.3
lg1.1
x
，即第8 年的人均GDP 超过16000 元.
故选：C.
7.某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（
）
A．
0.58
0.16
y
x
B．
2
3.02
x
y
C．
2
5.5
8
y
x
x
D．
2
log
y
x
【答案】D
【解析】A 项
0.58
0.16
y
x
增长速度不变，不符合题意；
B 项
2
3.02
x
y
增长越来越快，不符合题意；
C 项
2
5.5
8
y
x
x
，当
3
x
时，增长越来越快，不符合题意；
D 项
2
log
y
x
，当
1
x 时，增长越来越慢，符合题意；
故选：D.
8.（多选）“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以
给与优惠：
（1）如果购物总额不超过100 元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过100 元但不超过200 元，可以使用一张10 元优惠券；
（3）如果购物总额超过200 元但不超过500 元，其中200 元内的按第（2）条给予优惠，超过200 元的部
分给予9 折优惠．
（4）如果购物总额超过500 元，其中500 元内的按第（2）（3）条给予优惠，超过500 元的部分给予8 折
优惠．
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（
）
A．如果购物总额为168 元，则应付款为158 元
B．如果购物总额为368 元，则应付款为351.2 元
C．如果购物总额为768 元，则应付款为674.4 元
D．如果购物时一次性全部付款1084 元，则购物总额为1280 元
【答案】ACD
【解析】设购买总额为x 元，应付款为y 元，
根据题意：当0
100
x
时，y
x
且0
100
y
.
当100
200
x
时，
10
y
x
且100
190
y
.
当200
500
x
时，
190
200
0.9
0.9
10
y
x
x
且190
460
y
当
500
x
时，
460
500
0.8
0.8
60
y
x
x
且
460
y
选项A. 购物总额为168 元，故
168 10
158
y
元，故正确.
选项B. 购物总额为368 元，故
0.9 368 10
341.2
y
元，故不正确.
选项C. 购物总额为768 元，故
0.8 768
60
674.4
y
元，故正确.
选项D. 若购物时一次性全部付款1084 元，则
500
x
，
即1084
0.8
60
x
，则
1280
x
元，故正确.
故选：ACD
9.（多选）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg
4.8 1.5
E
M
，
则（
）
A．震级为2 级的地震释放能量为
6.8
10
焦耳
B．释放能量为
9.3
10
焦耳的地震震级为3 级
C．9 级地震释放能量是8 级地震释放能量的10 倍
D．释放能量之比为1000:1的两场地震的震级相差2 级
【答案】BD
【解析】对于A，当
2
M
时，lg
4.8 1.5 2
7.8
E
，解得
7.8
10
E
，A 错误；
对于B，当
9.3
10
E
时，9.3
4.8 1.5M
，解得
3
M
，B 正确；
对于C，令9 级地震释放能量为
1
E ，8 级地震释放能量为
2
E ，
则
1
1
2
2
lg
=lg
lg
(4.8 1.5 9)
(4.8 1.5 8)
1.5
E
E
E
E
，于是
1.5
1
2
=10
10
E
E
，C 错误；
对于D，释放的能量为
0
E ，对应的震级为
0
M ，释放的能量为
0
1000E ，对应的震级为M ，
则
0
0
lg
4.8 1.5
E
M
，且
0
lg1000
4.8 1.5
E
M
，两式相减得
0
1.5(
)
3
M
M
，解得
0
2
M
M
，D 正确.
故选：BD
10.（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系
ekx b
y
（e
2.718
，
k 、b 为常数）．若该食品在0 C
的保鲜时间是120小时，在20 C
的保鲜时间是30 小时，则关于该食品保鲜
的描述正确的结论是（
）
A．
0
k
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在10℃的保鲜时间是60 小时
D．在30℃的保鲜时间是20 小时
【答案】AC
【解析】因为在0 C
的保鲜时间是120小时，在20 C
的保鲜时间是30小时，
所以易知
ekx b
y
是减函数，结合复合函数的单调性可知
0
k
，A 正确，
则储存温度越高保鲜时间越短，B 错误；
由题可知120
eb
，
20
20
30
e
e
e
k b
k
b
，
则
20
1
e
4
k
，故
10
1
e
2
k
，
故
1
10
0
1
e
e
e
120
60 C
2
b
k b
k
，C 正确，
3
30
3
0
1
e
e
e
120
15 C
2
k
k b
b
，D 错误，
故选：AC.
11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
0(1
) (
1)
n
nP
P
k
k
，其中
nP 为
预测期人口数，
0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（
）
A．当
1,0
k
，则这期间人口数呈下降趋势
B．当
1,0
k
，则这期间人口数呈摆动变化
C．当
0
1,
2
3
n
k
P
P
时，n 的最小值为3
D．当
0
1
1
,
3
2
n
k
P
P
时，n 的最小值为3
【答案】AC
【解析】
0
0,0
1
1
P
k
，由指数函数的性质可知：
0(1
) (
1)
n
nP
P
k
k
是关于n 的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A 正确，B 不正确；
0
0
1
4
,
2
3
3
n
n
k
P
P
P
，所以4
2
3
n
，所以
4
3
log 2
N
n
n
，
4
3
log 2
2,3
，所以n 的最小值为3，故C 正确；
0
0
1
2
1
,
3
3
2
n
n
k
P
P
P
，所以
2
2
3
1
n
，所以
2
3
1
log
N
2
n
n
，
2
3
3
2
1
log
log 2
1,2
2
，所以n 的最小值为2，故D 不正确；
故选：AC.
12.现有两种理财产品，已知投资这两种理财产品所获得的年利润分别是S和T 万元，它们与投入资金x（万
元）的关系如下：
,
10
5
x
x
S
T
，某人有5 万元准备投入这两种理财，则他可以获得的最大利润是
万元.
【答案】3
5 /0.6
【解析】设这两种理财产品投入分别为x ，5
x
，总利润为
f
x ，
故
5
0
5
10
5
x
x
f
x
x
，
令
5
0
5
x
t
t
，则
2
5
x
t
，
故总利润即为
2
5
0
5
10
5
t
t
y
t
，
即
2
2
1
6
5
2
10
10
t
t
t
y
，
所当
1
t 时，
max
3
5
y
.
故答案为：3
5 .
13.某地区2022 年1 月，2 月，3 月新冠肺炎治愈的人数分别为52、54、58，为了预测以后各月的治愈人
数，我们可以选择模型
x
y
a b
c
，其中y 为治愈人数，x 为月份数，a ，b ，c，都是常数，那么至少要
经过
个月该病治愈的人数将会超过2000 人？
【答案】11
【解析】由题意可得
1
2
3
52
54
58
a b
c
a b
c
a b
c
，解之得
2,
1,
50
b
a
c
，即
2
50
x
y
，
则要治愈数超过2000 人，需2000
2
50
2
1950
x
x
，
易知
10
11
2
1024,2
2048
，所以
11
x
，满足题意.
故答案为：11
14.某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2 小时到达B 地，在B 地停留2 小时，则汽车离开A 地
的距离y （单位：千米）是时间t （单位：小时）的函数，该函数的解析式是
．
【答案】
80 ,0
2
160,2
4
t
t
y
t
【解析】∵从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度
经2 小时到达B 地，
∴当0
2
t
时，
80
y
t
；
∵在B 地停留2 小时，
∴当2
4
t
时，
80 2
160
y
；
综上知，函数解析式是
80 ,0
2
160,2
4
t
t
y
t
.
故答案为：
80 ,0
2
160,2
4
t
t
y
t
.
15.音量大小的单位是分贝(dB) ，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小可由公式
0
10 lg I
I
(其中
0I 是
人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设
1
70
dB 的声音的声波强度为
1I ，
2
60
dB 的声音的
声波强度为
2I ，则
1I 是
2I 的
倍.
【答案】10
【解析】由题意得
1
1
0
10 lg I
I
，
2
2
0
10 lg I
I
，所以
1
2
1
2
0
0
10lg
10lg
10
I
I
I
I
，
则
1
2
1
lg I
I
，所以
1
2
10
I
I
.
故答案为：10
16.销售甲、乙两种所获利润为P 和
(
Q 单位：万元) ，它们与投入的资金(t 单位：万元) 的关系分别为
1
5
P
t
，
3
5
Q
t
，今投入3万元的资金经营甲、乙两种商品，为了获取最大利润，对甲乙两种商品的投入分别应
为多少万元？此时最大利润为多少？
【解析】设对甲种商品投资x 万元，0
3
x
，
则对乙商品投资3
x
万元，
由已知有总利润
1
3
3
5
5
y
x
x
，
0 3
x
，，
令
3
0
3
m
x
，
，则
2
3
x
m
，
则
2
2
1
3
3
1
3
21
5
5
5
5
2
20
y
m
m
m
，
所以当
3
2
m
时，
max
21
20
y
，
即
3
4
x
时，总利润最大，此时
9
3
4
x
，
所以对甲投资3
4 万元，对乙商品投资9
4 万元时，总利润最大，最大值为21
20 万元．
17.某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期（8:00 至10:00）的车流量问题，经过长期的观
察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型.模型如下，设车流量为y （千辆/时），平均
车速为v（千米/时），则
2
25
(
0)
5
16
v
y
v
v
v
.
(1)若要求在高峰期内，车流量不低于5 千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？
(2)在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？
【解析】（1）由
2
2
5
39
5
16
0
2
4
v
v
v
，
由题意可知，
2
25
5
5
16
v
y
v
v
，则
2
10
16
0
v
v
，
化简得(
2)(
8)
0
v
v
，所以2
8
v
；
（2）因为
2
25
5
16
v
y
v
v
，
则
2
25
25
25
25
16
5
16
8
5
3
5
v
y
v
v
v
v
，
当且仅当
16
v
v
时，y 取最大值，
即
4
v
，
max
25
3
y
.
18.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH
构成的面积为
2
40m 的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为840 元
2
/m ；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为42 元
2
/m ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为16 元
2
/m ．受地域影响，AD 的长度最多能达到4m ，其余边长没有限制．
(1)设总价为S（单位：元），AD 长为x（单位：m），试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值．
【解析】（1）设DQ
y
，则
2
4
40
x
xy
，可得
10
0
4
x
y
x
，
总造价为
2
2
2
2
10
10
840
42 4
16 2
840
168
32
4
4
x
x
S
x
xy
y
x
x
x
x
2
2
3200
800
1520
x
x
，且
(0,4]
x
．
（2）由S
2
2
2
2
3200
4
800
1520
800 2
1520
4720
x
x
x
x
．
当且仅当
2
2
4
x
x
时，即
2
x
时，等号成立．
所以
2
x
时，S 最小值为4720 .
19.北京、张家港2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关
代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2 万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品
每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
2
1
600
6 x
万作为技改费用，投入
50
2x
万元作为宣传
费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收
入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【解析】（1）设每件定价为t 元，依题意得
25
8
0.2
25
8
1
t
t
，
整理得
2
65
1000
0
t
t
，解得25
40
t
．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元．
（2）依题意知，当
25
x
时，不等式
2
1
25 8
50
600
2
6
ax
x
x
有解，
等价于当
25
x
时，
150
1
2
6
a
x
x
有解，
由于150
1
150
1
2
10
6
6
x
x
x
x
，当且仅当150
6
x
x
，即
30
x
时等号成立，
所以
12
a
．
答：当该商品改革后的销售量a 至少达到12万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之
和，此时该商品的每件定价为30元．
20.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对
其建筑物建造可使用40 年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8 万元．该建筑物每年的能源消
耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
3
R,0
8
4
5
m
P
x
x
x
．若不建隔热
层，每年能源消耗费用为9 万元．设S 为隔热层建造费用与40 年的能源消耗费用之和．
(1)求m 的值及用x 表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．
【解析】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：
3
4
5
m
P
x
，而当
0
x
时，
9
P
，
则3
9
5
m
，解得
15
m
，
显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40 年的能源消耗费用之和为：
45
1800
40
8
40
8
8
4
5
4
5
S
P
x
x
x
x
x
（0
8
x
）.
（2）由（1）知
1800
1800
8
2 4
5
10
4
5
4
5
S
x
x
x
x
1800
2
2 4
5
10
2 60 10
110
4
5
x
x
，
当且仅当
1800
2 4
5
4
5
x
x
，即
6.25
x
时取等号，
所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S取得最小值110 万元．
21.如图，ABC
是一个等腰直角三角形，
1
AB
AC
，点E，F 分别在边AB 和AC 上，且
/ /
EF
BC ．点
E 从点A 开始沿线段AB 向点B 运动，写出点A 到线段EF 的距离d 与线段EF 的长度l 之间的函数解析式，
并画出函数图象．
【解析】由题意，ABC
是一个等腰直角三角形，其中
1
AB
AC
，点
,
E F 分别在边AB 和AC 上，且
/ /
EF
BC ，所以
AEF
△
是等腰三角形，
取EF 的中点D ，连接AD ，则AD
EF
，
可得点A 到线段EF 的距离d 与线段EF 的长度l 之间的函数解析式为
1
2
d
l
，其中
2
[0,
]
2
l
，
函数图象如图所示：
