文档内容
第 03 讲 利用二阶导函数解决函数问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（9 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单
调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的
单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运
算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一
般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、
最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问
题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
1. 二阶导的定义
定义 1 : 若函数 的导函数 在点 处可导, 则称 在点 的导数为 在点
的二阶导数, 记作 , 同时称 在点 为二阶可导.
定义 2: 若 在区间 上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在 上的二阶可导函数, 记作
2. 函数极值的第二判定定理
若 在 附近有连续的导函数 , 且
（1）若 , 则 在点 处取极大值;
（2）若 , 则 在点 处取极小值
3. 曲线的凹凸性
设函数 y=f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象上
来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间
上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。4. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点
不一定都是拐点。
5. 解决这类题的常规解题步骤为:
(1) 求函数的定义域;
(2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
(3) 构造求 , 求 ;
(4) 列出 的变化关系表;
(5) 根据列表解答问题。
考点一、 二阶导与函数单调性
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 是 的极小值点，求实数a的取值范围．
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 满足 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围．2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）（1）证明：函数 在 上单调递减.
（2）已知函数 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求证： 在 上单调递减；
(2)若 有两个不相等的实数根 ， ，求实数a的取值范围.
考点二、 二阶导与函数极值、最值
1．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)证明： ．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ， .（注： 是自然对数的底
数）
(1)若 无极值点，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，请判断 的极值点的个数并说明理由；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求 在区间 内极值点的个数；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)求证： ， ， .考点三、 二阶导与不等式证明
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 ，证明： ．
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数 ， 且 恒成
立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明： ．
1．（2024·广东佛山·一模）已知 ，其中 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，证明：当 时， .
2．（2023·吉林长春·模拟预测）函数 ．
(1)求证 ： ；
(2)若方程 恰有两个根，求证： ．
考点 四 、 二阶导与恒成立问题
1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的最大值．2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
考点 五 、 二阶导与函数零点或方程的根
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， 为 的导函数.求证: 有且仅
有两个不同的零点.
2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，试判断函数 与 的图象的交点个数，并说明理由．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 的零点个数.
1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数 ．(1)当 时，证明： 只有一个零点．
(2)若 ，求 的取值范围．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，其中a为整数且 .记
为 的极值点，若 存在两个不同的零点 ， ，
(1)求a的最小值；
(2)求证： ；
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线；
(2)若对任意 ，当 时，证明函数 存在两个零点．
考点 六 、 二阶导与参数综合问题
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 满足 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数 ， 的导函数为
．
(1)若 存在极值点，求 的取值范围；
(2)设 的最小值为 ， 的最小值为 ，证明： ．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 为自然对数的底数， 为常数，函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若在 轴的右侧函数 的图象总在函数 的图象上方，求实数 的取值范围.
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数 .(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若 有三个零点 ，其中 .
(i)求实数 的取值范围；
(ii)求证： .
考点 七 、 二阶导与选填小题综合
1．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A．当 时，则 在 上单调递增
B．当 时，函数 有唯一极值点
C．若函数 只有两个不等于1的零点 ，则必有
D．若函数 有三个零点，则
3．（2024·全国·一模）已知函数 ，点 在曲线 上，则 的取值范围是
．
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）设 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知函数 ，导函数 的极值点是函
数 的零点，则（ ）
A． 有且只有一个极值点
B． 有且只有一个零点C．若 ，则
D．过坐标原点仅有一条直线与曲线 相切
3．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数 ，使得 ，则实数
的取值范围为 .
考点 八 、 二阶导与拐点、对称中心结合
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于三次函数 （ ），给出定义：设 是
函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对
称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
2．（2022·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的
导函数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”，经研究发现所有的三
次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，
若函数 ，则 .
1．（21-22高二下·河北沧州·阶段练习）对于三次函数 ，现给出定义：设
是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函
数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个
三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三
次函数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
考点 九 、 二阶导与函数凹凸性结合
1．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别
是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数 在 上的导函数为 在
上的导函数记为 ，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”，已
知 在 上为“凸函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高二下·陕西渭南·期末）给出定义:若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在
上也可导，则称 在 上存在二阶导函数.记 ，若 在 上恒成立，则称 在
上为凸函数.以下四个函数在 上是凸函数的有（ ）
① ，② ，③ ，④ .
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1．（21-22高三下·河南·阶段练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对 和 ，都有
，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断
方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶导数为 （即对函数 再
求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（ ， 均可导）.试根据以
上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为
.
2．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在
上也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 ．若在区间
上 ，则称函数 在区间 上为“凹函数”．已知 在区间
上为“凹函数”，则实数 的取值范围为 ．
3．（22-23高二下·黑龙江鹤岗·阶段练习）丹麦数学家琴生是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特
别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ，
在 上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 是 上的“严格凸
函数”，称区间 为函数 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 在 上为“严格凸函数”；
②函数 的“严格凸区间”为 ；
③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
一、单选题
1．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 存在极大值点和极小
值点，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·江苏常州·期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
3．（2021高二·江苏·专题练习）若函数 在 单调递增，则实数m的取值范围为
.
4．（22-23高二下·重庆南岸·期中）设函数 ，若 为 上的单调函数，则
实数 的取值范围为 .
5．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）对 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为
.
6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数t的取值范围是 ．
7．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 恰有两个零点，则
.
8．（2024·全国·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的最
小整数为 ．
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，在 处取到极小值，则实数
．
10．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ， 时， ，则实数 的范围
是 .
三、解答题
11．（2024·陕西西安·二模）已知函数 ．
(1)当 时， ， ，求 的取值范围；
(2)证明：当 时， 在 上单调递增．
12．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求整数a的最大值．
4．13．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若0是函数 的极小值点，求实数 的取值范围．
14．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)求证：对任意的正实数 ， ，有 .
15．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在定义域上存在极值，求 的取值范围；
(3)若 恒成立，求 .
