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专题 18.5 菱形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二、菱形的性质
1．菱形具有平行四边形的一切性质；
2．菱形的四条边都相等；
3．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
4．菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
三、菱形的判定
1．一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2．四条边都相等的四边形是菱形．
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
◆ 典例分析【典例1】菱形ABCD中，对角线BD=6cm，∠A=60°，点P从A出发，沿A→D→B以2cm/秒的速度
匀速运动，到点B停止，过P作边AB的垂线交AB于Q，以PQ为边向右作等边△PQE，设运动时间为t
秒．
（1）菱形ABCD的边长为______cm．
（2）当P在边AD上运动时，用含t的代数式表示PQ、BQ．
（3）连接BE，当△QEB是直角三角形时，求t的值．
（4）当菱形ABCD的对角线BD平分△PQE的边时，t的取值范围是____________．
【思路点拨】
（1）根据菱形的边长相等以及等边三角形的性质即可；
（2）设运动t秒，则AP=2t，根据30°所对直角边是斜边的一半求出AQ，进一步即可表示PQ和BQ；
❑√3
（3）分类讨论：点P在AD上时，①当∠QEB=90°时，表示出QE和QB，根据QE= QB列方程即可
2
❑√3
求得；②当∠EBQ=90°时，表示出QE和QB，根据QB= QE列方程即可求得；点P在BD上时，此时
2
△QEB为钝角三角形；
1 ❑√3
（4）分类讨论：当BD平分BE时，则EF= PE，表示出EH，QH，根据QH= QB列方程即可；当
2 2
BD平分QE时，此时点P在BD上，即可得出取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠A=60°，对角线BD=6，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=6(cm)．
故答案为：6．
（2）设运动t秒，∵点P从A出发，沿A→D→B以2cm/秒的速度匀速运动，到点B停止，过P作边AB的垂线交AB于Q，
∴AP=2t，∠PQA=90°，
∵∠A=60°，
∴∠APQ=90°−60°=30°，
∴ ， ，
AQ=t PQ=❑√AP2−AQ2=❑√(2t) 2−t2=❑√3t(cm)
∴BQ=BA−AQ=(6−t)(cm)．
∴PQ=❑√3t(cm)，BQ=(6−t)(cm)．
（3）点P在AD上，当△QEB是直角三角形，设运动时间为t秒，
①∠QEB=90°时，如图所示：
∵PQ⊥AB，△PQE是等边三角形，
∴∠PQE=60°，∠EQB=30°，QE=PQ=❑√3t，
∴QB=2BE，
∵BQ2=QE2+BE2，
∴ ，
(2BE) 2=(❑√3t) 2+BE2
∴BE=t或BE=−t（不符合题意，舍去）
∴QB=2t，
∴2t=6−t，
∴t=2（秒）；
②当∠EBQ=90°时，如图所示：
∵∠EQB=30°，QE=PQ=❑√3t，1 ❑√3
∴BE= QE= t ，
2 2
∴
BQ=❑√QE2−BE2=❑
√
(❑√3t) 2 −
(❑√3t) 2
=
3
t
，
2 2
3
∴ t=6−t，
2
12
∴t= （秒）．
5
③点P在BD上运动时，设QE交BD于点H，如图所示，
∵PQ⊥AB，△PQE是等边三角形，
∴∠PQE=∠QPE=60°，∠EQB=90°−60°=30°，PQ=PE，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC= (180°−∠A)=60°，
2 2
∴∠BPQ=90°−∠PBQ=90°−60°=30°，
∴∠BPE=∠QPE−∠BPQ=60°−30°=30°，
∴∠BPQ=∠BPE=30°，
在△BPQ和△BPE中，
{
PQ=PE
)
∠BPQ=∠BPE ，
PB=PB
∴△BPQ≌△BPE(SAS)，
∴∠PBE=∠PBQ=60°，
∴∠QBE=∠PBE+∠PBQ=60°+60°=120°，
∴△QEB是钝角三角形，不可能是直角三角形．
12
∴综上所述，当△QEB是直角三角形时，t的值为2秒或 秒．
5
（4）当菱形ABCD的对角线BD平分△PQE的边时，如图所示，当BD平分PE时，此时点P在AD上，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
1 1
∴∠ADB= ∠ADC= (180°−∠A)=60°，
2 2
∵PQ⊥AB，△PQE是等边三角形，
∴∠PQA=90°，∠QPE=∠PEQ=60°，QE=PQ=❑√3t
∴∠APQ=90°−∠A=90°−60°=30°，
∴∠DPE=180°−∠APQ−∠QPE=180°−30°−60°=90°，
∴∠EFH=∠DFP=90°−∠PDF=90°−60°=30°，
∴∠EHF=180°−∠EFH−∠FEH=180°−30°−60°=90°，
1 1 1 ❑√3
∴HE= EF= PE= PQ= t，
2 4 4 4
❑√3 3❑√3
∴QH=QE−HE=❑√3t− t= t，
4 4
∵∠EQB=30°，∠BHQ=∠EHF=90°，
∴BQ=2BH，
∵BQ2=QH2+BH2，
∴ (2BH) 2= (3❑√3 t ) 2 +BH2 ，
4
3 3
解得：BH= t或BH=− t（不符合题意，舍去）
4 4
3
∴BQ=2BH= t，
2
3
∴ t=6−t，
2
12
∴t= （秒）；
5
②当BD平分QE时，此时点P在BD上，如图所示：∵∠PQB=90°，∠PBQ=60°，
∴∠QPB=30°，
∵△PEQ是等边三角形，∠BPQ=∠BPE=30°，
∴PH是QE边上的中线，
∴点H是QE的中点，
当P在D点时，2t=6，
∴t=3，
当P在点B时，2t=12，
∴t=6，
∴P在BD上运动时，t的取值范围是3≤t≤6，
12
综上所述，当菱形ABCD的对角线BD平分△PQE的边时，t= 或3≤t<6．
5
12
故答案为：t= 或3≤t<6．
5
◆ 学霸必刷
1．（22-23八年级下·福建厦门·期中）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，点E在BC上，CE=4❑√3，
若点P是菱形ABCD四条边上异于点E的一点，CE=CP，则以下长度中，不可能是DP的长度的是
（ ）
A．8−4❑√3 B．4 C．4❑√7−8 D．4❑√72．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，E，F分别是AB，
AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；
③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
△BDF≌△CGB S =❑√3
△ABD
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24九年级上·湖北·周测）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且
BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM,AH，则以下四个结论：①
❑√3
△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S = AM2．其中正确结
四边形ABMD 4
论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在一张菱形纸片ABCD中，AB=2，∠ABC=30°，
点E在BC边上（不与点B，C重合），将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF，EF，DF．有以
下四个结论：①AE=BE；②△ABE沿直线AE折叠过程中，∠BFD是一个定值；③当AE⊥BC时，四
边形ACFD的面积为❑√3；④当FE平分∠AFB时，FD=2❑√3．其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中
点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点
H，，则S :S = ．
△ABF 四边AFCD
6．（23-24九年级上·广东深圳·期中）菱形ABCD中，∠DAB=60°，E，F分别在AB，CD边上，将菱
DF
形沿EF折叠，点A，D的对应点分别是A′，D′，且A′D′经过B点，若A′E⊥AB，则 = ．
CF
7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在等边△ABC中，点F为CB延长线上一点，点D是AC的中
点，连接DF交AB于点M，以DF为边向下作等边△DFE，连接CE、ME，若ME⊥DF，BM+BF=6
，则CE的长为 ．8．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，
点P在菱形的边上，若DE=DP，则CP的长为 ．
9．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是 AB，BC边上的中点，
G为 DE上一点，若 AB=4，∠B=∠EGF=60°，则DG的长为
10．（2023·江西抚州·三模）在菱形ABCD中，AB=4，∠B=2∠A，点E，F分别是AD，AB的中
点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 ．11．（22-23八年级下·浙江台州·期中）菱形ABCD中，∠ABC=60°，△BEF为等边三角形，将△BEF
绕点B顺时针旋转，G为线段DF的中点，连接AG、EG．
（1）如图1，E为边AB上一点（点A、E不重合），则EG、AG的关系是___，请说明理由．
（2）将△BEF旋转至如图2所示位置，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明
理由．
12．（2023·江苏·模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是线段BO上一点（不含
端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．（1）当∠BAE＝15°时，求EF的长；
（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；
（3）若EF＝k⋅BE，求k的取值范围．
13．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形ABCD中，BC=CD，对角线AC平分∠BCD，点
H为CD边上一点，连接BH交AC于点F，∠AFH=∠BAC+∠BHC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点E在BC上，BE=CF，AE交BH于点N，AL⊥BH于点L，若∠ABC=60°，求证：
AN=2NL．
（3）如图3，在（2）的条件下，H为CD的中点，点G在BH上，点M在AE上，连接AG，CM，
AG=5，CM=2❑√5，若∠AGB=2∠EMC，求线段BH的长
14．（2024·贵州·一模）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E，F分别是BC，AD的中点，点G，H分
别在AB，CD上，且BG=DH，分别沿EG，FH折叠菱形ABCD，点B，D的对应点分别为点M，N，连接AM，CN，EN，FM．
（1）问题解决：如图①，请判断线段AM，CN的数量关系和位置关系： ；
（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在AB，CD上时，请判断四边形ENFM的形状，并说明理
由；
AG
（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值．
BG
15．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形ABCD是菱形，连接AC，∠ACB=60°．
（1）如图，求证：AC=BC．
（2）如图，点P在△ACD的内部，连接AP、BP，BP与AC相交于点G，且∠APB=60°，点E在线段
AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若AF2+EF2=AC2，求∠AFE的度数．
（3）如图，在（2）问条件下，若点E为AP中点，AP=❑√7．求AB的值．16．（2024·广东汕头·一模）综合探究
综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP，AQ分别交边BC，CD于点P，Q．
（1）【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你
直接写出这个关系为________．
（2）【探究】如图2，当点P为BC上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由．
（3）【应用】若菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，在BC边上取一点P，连接AP，在菱形内
部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=7时，请直接写出线段DQ的长．17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以
AP为边向右侧作等边△APE，（A、P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系
是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，
请予以证明；若不成立，请说明理由；
②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长 ；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=2❑√3，BE=2❑√19，请直接写出△APE的
面积 ．18．（2023·广东广州·二模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是平面内一动点，以AP为边作等边
△APE，其中A，P，E按逆时针方向排列．
（1）如图①，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD内部时，连接CE，则线段BP与CE的数量关系是
；BP与CE的夹角度数是 ；
（2）如图②，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD外部时，连接CE，求证：❑√3AD=PD+CE；
（3）如图③，当点P在线段BD的延长线上时，连接CE，请直接用等式表示线段AD，PD，CE之间的数
量关系： ．19．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形ABCD中，∠D=60°，AB=6cm点P在边BC上由
C向B运动，点Q在边CD上由D向C运动，速度均为1cm/s，连接AP、AQ，以AP、AQ为邻边构造
▱APMQ，连接AM过点B作BG⊥AM，交折线A−D−C于点G，分别交AP、AQ于点E、F．
（1）求证： ▱APMQ为菱形．
（2）连结CE，CF，求△ECF周长的最小值，并说明理由．
（3）当点G在线段AD上时，若某时刻满足DG=DQ，
①证明：E为AP中点．
②请直接写出此时P点的运动时间．20．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形ABCD和菱形BEFG中，
∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．
（1）如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度
为_________；
（2）如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关
系，并给出证明；
（3）如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探
究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．
