5.9导数压轴大题：极值点偏移问题（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_导数知识点+题型分类_单独的原卷版+解析版

5.9 导数压轴大题：极值点偏移问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：极值点偏移的含义.......................................................... 2
考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式......................................2
考点三：极值点偏移解决策略....................................................... 3
题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明......................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：极值点偏移加法型(x1 + x2) ............................................... 4
题型二：极值点偏移减法型(x1 −x2) ............................................... 6
题型三：极值点偏移乘积型(x1x2) .................................................. 8
题型四：极值点偏移平方型(x1
2 + x2
2) ............................................. 10
题型五：极值点偏移倒数和
1
x1 +
1
x2与其他变形.................................. 11
模块三：综合巩固....................................................................... 12
5.9 导数压轴大题：极值点偏移问题
在导数这一模块的学习中，极值点偏移问题是导数的应用中非常重要的一种问题，也是在压轴题中容
易出现的一种题型。但是常常它的出现的特征非常明显，其中涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，
不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转
化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．
极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方和型及倒数和型5 个类型，考查学生化归
与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，
模块一：基础知识
考点一：极值点偏移的含义
一、极值点偏移的含义
我们知道，如果对于函数y=f(x)在定义域D 内任何一个x 都满足f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于直线直线
x=a 对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x=a 必为f(x)
的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x₀,若f(x)=c的两根的中点为
�1+�2
2
,则刚好有
�1+�2
2
= �0即极值点在
两根的正中间，也就是极值点没有偏移.如下1 图。
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内x=a 左侧的任
意自变量x 都有f(x)>f(2a-x)或f(x)<f(2a-x),则函数f(x)极值点m 左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内
任意不同的实数x1,x2 满f(x₁)=f(x₂),则
�1+�2
2
与极值点m 必有确定的大小关系：
若a<
�1+�2
2
，称为极值点左偏；若a>
�1+�2
2 ,则称为极值点右偏.
就比如说：函数g(x)=
�
��的极值点x₀=1 刚好在方程g(x)=c 的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.如上2
图
考点二：极值点偏移加法型的一般题设形式
1．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x

，求证：
1
2
0
2
x
x
x


（
0x 为函数
( )
f x 的极值点）；
2．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x

满足
1
2
( )
(
)
f x
f x

，求证：
1
2
0
2
x
x
x


（
0x 为函数
( )
f x 的极
值点）；
3．若函数
( )
f x 存在两个零点
1x ，
2x 且
1
2
x
x

，令
1
2
0
2
x
x
x


，求证：
0
(
)
0
f
x


；
4．若函数
( )
f x 中存在
1x ，
2x 且
1
2
x
x

满足
1
2
( )
(
)
f x
f x

，令
1
2
0
2
x
x
x


，求证：
0
(
)
0
f
x


．
考点三：极值点偏移解决策略
（1）证明
1
2
2
x
x
a


（或
1
2
2
x
x
a


）：
①首先构造函数



2
g x
f x
f
a
x



，求导，确定函数

y
f x

和函数

y
g x

的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x


，且



1
2
f x
f x

，由函数值

1
g x
与

g a 的大小关系，得










1
1
1
2
1
2
2
g x
f
x
f
a
x
f
x
f
a
x






与零进行大小比较；
③再由函数

y
f x

在区间

,a 上的单调性得到
2
x 与
1
2a
x

的大小，从而证明相应问题；
（2）证明
2
1
2
x x
a

（或
2
1
2
x x
a

）（
1
x 、
2
x 都为正数）：
①首先构造函数

2
a
g x
f x
f
x








，求导，确定函数

y
f x

和函数

y
g x

的单调性；
②确定两个零点
1
2
x
a
x


，且



1
2
f x
f x

，由函数值

1
g x
与

g a 的大小关系，得




2
2
1
1
2
1
1
a
a
g x
f x
f
f x
f
x
x
















与零进行大小比较；
③再由函数

y
f x

在区间

,a 上的单调性得到
2
x 与
2
1
a
x 的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
x
x
x
x
x x
x
x





证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
1
2
1
2
ln
ln
x
x
x
x


；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
题型四：极值点偏移加法型判定方法与证明
对于可导函数
( )
y
f x

，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，方程
( )
0
f x 
的解分别为
1x ，
2x ，
且
1
2
a
x
x
b



，
（1）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，则
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数
( )
y
f x

在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏；
（2）若
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，则
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数
( )
y
f x

在区间
1
2
( ,
)
x x
上极（小）大值点
0x 右
（左）偏．
证明：（1）因为对于可导函数
( )
y
f x

，在区间( , )
a b 上只有一个极大（小）值点
0x ，则函数
( )
f x 的单
调递增（减）区间为
0
( ,
)
a x
，单调递减（增）区间为
0
(
, )
x b ，由于
1
2
a
x
x
b



，有
1
0
x
x

，且
0
2
0
2x
x
x


，
又
1
0
2
( )
(2
)
f x
f
x
x


，故
1
0
2
( )2
x
x
x


，所以
1
2
0
( )
2
x
x
x


，即函数极（小）大值点
0x 右（左）
偏；
（2）证明略．
左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m



）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m



）
左快右慢（极值点左偏
1
2
2
x
x
m



）
左慢右快（极值点右偏
1
2
2
x
x
m



）
模块二：题型分类
题型一：极值点偏移加法型(��+ ��)
1．已知函数
3
1
( )
2
8ln
6
f x
x
ax
x



．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
（1）若函数
( )
f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
4
x
x


．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
2．已知a 为常数，函数

2
x
f x
e
ax



.
（1）讨论函数

f
x 的单调性；
（2）若函数

f
x 有两个不同的零点


1
2
1
2
,
x x
x
x

.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
1
2
2
x
x


.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
3．已知函数

2
3
2
ln x
f x
x
a








，a 为实数．
(1)当
2
3
a 
时，求函数在
1
x 处的切线方程；
(2)求函数

f
x 的单调区间；
(3)若函数

f
x 在
e
x处取得极值，

f
x

是函数

f
x 的导函数，且



1
2
f
x
f
x



，
1
2
x
x

，证明：
1
2
2
e
x
x


．
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
4．已知函数



2
(
1)
)
1
(
x
f
x
x
e
a x
a
R





.
（1）讨论函数

f
x 的单调性；
（2）当函数

f
x 仅有两个零点
1
x ，
2
x 时.
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
1
2
0
x
x


.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
题型二：极值点偏移减法型(��−��)13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
1．已知函数

ln
f x
x
ax


（1）讨论

f
x 的单调性；
（2）若
1
x ，
2
x ，

1
2
x
x

是

f
x 的两个零点.证明：
（i）
1
2
2
x
x
a


；
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
（ii）
2
1
2 1
ea
x
x
a



.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137233
2．



2
ln e
1
2
4
x a
x
x
f x
b






有两个零点


1
2
1
2
,
x x
x
x

．
(1)
0
a 
时，求b 的范围；
(2)
1
b = - 且
5
4
a 
时，求证：
2
1
2 5
4
x
x
a



．
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
3．已知函数



e
2
1
x
f x
x
a




，




2
1
2
g x
x
a
x
a





（其中e
2.71828

是自然对数的底数）
(1)试讨论函数

f
x 的零点个数；
(2)当
1
a 时，设函数


h x
f x
g x


的两个极值点为
1
x 、
2
x 且
1
2
x
x

，求证：
2
1
e
e
4
2
x
x
a


.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
4．已知函数
2
( )
(
1)
(
1)ln ,
2
2
x
f x
a x
a
x a





.
（1）求函数

f
x 的单调区间；
（2）若


1
f m
f

且
1
m ，证明：
(1,
)
x
m

，(
1)ln
1
a
x
x


；
（3）记方程
2
4
3ln
4
2
x
x
x


的三个实根为
1
x ，
2
x ，
3x ，若
1
2
3
x
x
x


，证明：
3
2
2 3
x
x


.
B0-A4-60-28-3B-3D；B0-A4-60-28-3B-
题型三：极值点偏移乘积型(����)
1．已知函数
2
1
( )
(2
1)
2ln (
R)
2
f x
ax
a
x
x a





.
(1)若
( )
f x 有唯一极值，求a 的取值范围；
(2)当
0
a 
时，若
1
2
( )
(
)
f x
f x

，
1
2
x
x

，求证：
1
2
4
x x 
.
2．已知函数



2
1
ln
0
2
f x
x
x
ax
a



.
(1)若函数

f
x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;
(2)若函数

f
x 有两个极值点


1
2
1
2
,
x x
x
x

,证明：
1
2
1
x x
a

.
3．已知( )
2
sin
ln
f x
x
x
a
x



．
(1)当
1
a 时，讨论函数
( )
f x 的极值点个数；
(2)若存在
1
x ，
2
1
2
(0
)
x
x
x


，使
1
2
( )
(
)
f x
f x

，求证：
1
2 
x x
a ．
4．已知函数

ln
f
x
a
x

，
ex
g x
b

（e 为自然对数的底数）
(1)当
e
a 时，恰好存在一条过原点的直线与

f
x ，
g x 都相切，求b 的值；
(2)若
1
b ，方程


0
xg x
f
x
ax



有两个根
1
2
x
x
，
，（
1
2
0
x
x


），求证：


1
2
2
1
2
e
x
x
x
x




．
题型四：极值点偏移平方型(��
�+ ��
�)
1．已知函数

1 lnx
f x
ax


，
0
a 
．
(1)若

1
f x ≤，求a 的取值范围；
(2)证明：若存在
1
x ，
2
x ，使得



1
2
f x
f x

，则
2
2
1
2
2
x
x


．
2．在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB

的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数

lnx
f
x
x

图象上
(1)当顶点B 在x 轴上方时，求Rt OAB

以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何
体的体积的最大值；
(2)已知函数
2
2
e
e
1
ax
x
ax
g x
x




，关于x 的方程

f x
g x

有两个不等实根
1
2
x
x
，


1
2
x
x

.
（i）求实数a 的取值范围;
（ii）证明：
2
2
1
2
2
e
x
x


.
3．已知函数

ln x
f
x
ax
x


.
(1)若

1
f
x ，求实数a 的取值范围；
(2)若

f
x 有2 个不同的零点
1
2
,
x x （
1
2
x
x

），求证：
2
2
1
2
12
2
3
5
x
x
a


.
4．已知函数
ln
1
( )
x
f x
x


，
e
( ) 
x
g x
x ．
(1)若对任意的
,
(0,
)
m n
都有
( )
( )
f m
t
g n

，求实数t 的取值范围；
(2)若
1
2
,
(0,
)
x x 
且
1
2
x
x

，
1
2
1
2
2
1
e
x
x
x
x
x
x


，证明：
3
3
1
2
2
x
x


．
题型五：极值点偏移倒数和
�
��+
�
��与其他变形
1．已知函数


( )
2
ln
f x
e
x
x


，其中
2.71828
e 
为自然对数的底数.
（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若


1
2
,
0,1
x x 
，且


2
1
1
2
1
2
1
2
ln
ln
2
ln
ln
x
x
x
x
ex x
x
x



，证明：
1
2
1
1
2
2
1
e
e
x
x



.
2．已知
1
( )
,
( )
(
1)
1
x
x
f x
e
g x
a x
x





．
（1）求
( )
y
f x

的单调区间；
（2）当
0
a 
时，若关于x的方程
( )
( )
0
f x
g x


存在两个正实数根


1
2
1
2
,
x x
x
x

，证明：
2
a
e

且
1
2
1
2
x x
x
x


．
3．已知
ln
h x
x
ax


(1)若
h x 有两个零点，求a 的取值范围；
(2)若方程
e
ln
x
ax
x
x



有两个实根
1
x 、
2
x ，且
2
1
x
x

，证明：
1
2
1
2
e
e
0
2
x
x
x
x
h







.
4．已知函数

ln x
f x
a
x
a


，
ex
g x
ax
a


．（e
2.71828

为自然对数的底数）
(1)当
1
a 时，求函数

y
f x

的极大值；
(2)已知
1
x ，


2
0,
x 
，且满足




1
2
f
x
g x

，求证：
2
1
e
2
x
x
a
a


．
模块三：综合巩固
1．已知函数
( )
ln |
1|


a
f x
x
x ，
R
a 
是常数．
(1)求曲线
( )
y
f x

在点



2
2
f,
处的切线方程，并证明对任意
R
a 
，切线经过定点；
(2)证明：a<0 时，设
1
x 、
2
x 是
( )
f x 的两个零点，且
1
2
2
x
x


．
2．已知函数
2
( )
2ln
x
f x
x
a


( a
R

且
0
a 
)．
（1）讨论函数
( )
f x 的单调性；
（2）若函数
( )
f x 有两个零点
1
x 、
2
x (
1
2
x
x

)，且
2
a
e

，证明：
1
2
2
x
x
e


．
3．已知函数
2
( )
e (1
)(
0)
x
f x
ax
a



（e为自然对数的底数）.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)当
1
a 时，
( )
y
f x

在点(1,0) 处的切线方程为
( )
y
g x

，设方程
( )
(
0)
f x
t t


有两个实数根
1
2
1
2
,
(
)
x x
x
x

，求证：
（i）
( )
( )
f x
g x

；
（ii）
2
1
1
2
(1
)
2e
x
x
t




.
4．已知函数



2
2
1
e 1 e
e
e
2
x
f x
x
x
x




．
(1)求函数

f
x 的单调区间与极值．
(2)若





1
2
3
1
2
3
f
x
f
x
f
x
x
x
x




，求证：
3
1
e 1
2
x
x

．
5．已知函数

2
e
2
2
x
a
f
x
x
ax



，aR ，其中e为自然对数的底数．
(1)若

f
x 有两个极值点，求a 的取值范围；
(2)记

f
x 有两个极值点为
1
x 、
2
x ，试证明：


1
2
1
2
2
3
x x
x
x


．
6．已知函数

e
ln
x
f x
x
x
a
x




.若
( )
f x 有两个零点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
1
x x .
7．已知aR ，
( )
ax
f x
x e


，（其中e 为自然对数的底数）.
（1）求函数
( )
y
f x

的单调区间；
（2）若
0
a 
，函数
( )
y
f x
a


有两个零点x ，
2
x ，求证：
2
2
1
2
2
x
x
e


.
8．已知函数

ln
1
x
f
x
ax


.
(1)讨论

f
x 的单调性；
(2)若



2
1
1
2
e
e
x
x
x
x

（e 是自然对数的底数），且
1 > 0
x
，
2
0
x 
，
1
2
x
x

，证明：
2
2
1
2
2
x
x


.
9．已知函数

2
f x
ax

，


1
ln
g x
x
x


.
(1)若对于任意


0,
x
，都有

f x
g x

，求实数a 的取值范围；
(2)若函数

y
g x
m


有两个零点
1
2
,
x x ，求证：
1
2
1
1
2
x
x


.
10．已知函数



1
ln
f x
x
a
x


，a
R

.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若
1
0, 2
x





时，都有1
f x ，求实数a 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数
1
x ，
2
x 满足
2
2
1
1
1 ln
1 ln
x
x
x
x



，证明：
1
2
1
2
x
x
ex x


.