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专题20 极值点偏移问题
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f(x)的极值点为x，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
0
极值点x 函数值的大小关系 图示
0
极值点不偏移 x＝ f(x)＝f(2x－x)
0 1 0 2
峰口向上：f(x)< f(2x－x)
1 0 2
左
x<
0
移
峰口向下：f(x)> f(2x－x)
1 0 2
极值点偏移
峰口向上：f(x)> f(2x－x)
1 0 2
右
x>
0
移
峰口向下：f(x)< f(2x－x)
1 0 2
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1) 若函数f(x)在定义域上存在两个零点x，x(x≠x)，
1 2 1 2
求证：x＋x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 0 0
(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x，x(x≠x)满足f(x)＝f(x)，
1 2 1 2 1 2
求证：x＋x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 0 0
(3)若函数f(x)存在两个零点x，x(x≠x)，令x＝，求证：f′(x)>0；
1 2 1 2 0 0
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x，x(x≠x)满足f(x)＝f(x)，令x＝，
1 2 1 2 1 2 0
求证：f′(x)>0.
0
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进
而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
专项突破练1．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： ．
2．已知函数 .
(1)若 是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
3．已知函数 .
(1)求 的极大值；
(2)设 、 是两个不相等的正数，且 ，证明： .
4．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
5．已知函数 （ 且 ）．(1) ，求函数 在 处的切线方程．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： ．
6．已知函数
(1)求证：当 时， ；
(2)当方程 有两个不等实数根 时，求证：
7．已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求a的取值范围，并证明： ．
8．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 （ 为 的导函数），方程 有两个不等实根 、 ，求证： ．9．已知函数 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 恰有三个零点 ，证明： ．
10．已知函数 ．
(1)若函数 为增函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 、 ．求证： ．
11．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的图象与 的图象交于 ， 两点，证明： .
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .13．已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
14．设函数 ，已知直线 是曲线 的一条切线.
(1)求 的值，并讨论函数 的单调性；
(2)若 ，其中 ，证明： .
15．已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
16．已知 是实数，函数 ．
(1)讨论 的单调性；(2)若 有两个相异的零点 且 ，求证： ．
17．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
18．已知函数 的导函数为 .
(1)判断 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个实数根 ， ，求证： .
19．已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .20．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
21．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
22．已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的极值：
(2)令函数 ，若存在 ， 使得 ，证明： ．
23．已知函数 .
(1)求 的单调区间
(2)若 的极值点为 ，且 ，证明： .24．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
25．已知函数 ， .
(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
26．已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，且当 时， ，证明： ．
