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专题 3-9 利用导函数研究极值点偏移问题
目录
专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题.....................................................................................1
..................................................................................1
题型一：对称化构造.........................................................................................................................1
题型二：比值代换法.......................................................................................................................13
题型三：对数均值不等式法...........................................................................................................22
.............................................................29
题型一：对称化构造
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ，其极小值为-4.
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 ， ，求证：
.
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 .
当 时， ，所以 单调递增，没有极值，舍去.
当 时，在区间 上， ， 单调递增，
在区间 上， ， 单调递减，
在区间 上， ， 单调递增，
所以当 时， 的极小值为 ，舍去
当 时，在区间 上， ， 单调递增，
在区间 上， ， 单调递减，
在区间 上， ， 单调递增，
所以当 时， 的极小值为 .
所以 .
（2）由（1）知，在区间 上， ， 单调递增，
在区间 上， ， 单调递减，
在区间 上， ， 单调递增，
所以不妨设 .
下面先证 .
即证 ，因为 ，所以 ，
又因为区间 上， 单调递减，
只要证 ，又因为 ，只要证 ，只要证 .
设 ，
则 ，
所以 单调递增，
所以 ，所以 .
下面证 .
设 ，因为 ，
在区间 上， ；在区间 上， .
设 ， ，因为 ，
所以 ，所以 .
设 ， ，因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为 ），证明 或 的方法：
①构造 ，
②确定 的单调性，
③结合特殊值得到 或 ，再利用
，得到 与 的大小关系，
④利用 的单调性即可得到 或 .例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)① ；②证明见解析
【详解】（1） 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）①若 是 的两个不同零点，则 与 在 上有两个不同
交点；
由（1）知： ，又 ，
在 的图象如下图所示，由图象可知： ， ，即 的取值范围为 .
②不妨设 ，由①知： ，
， ，
在 上单调递增，在 上单调递减；
设 ，则
，
在 上单调递减， ， ，
又 ， ，又 ， ；
， ， 在 上单调递增，
，则 .
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于 （ ）的问题的基
本步骤如下：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结
论.【提分秘籍】
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的
极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得
不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小
关系．
(6)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
【变式演练】
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
当 时， ，因为 ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
所以 ．
由 恒成立可知 ，所以 ．
又因为 ，所以 的取值范围为 ．
(2)
因为 ，所以 ，即 ．
令 ，由题意可知，存在不相等的两个实数 ， ，使得 ．
由（1）可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
不妨设 ，则 ．
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在区间 上恒成立．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，且 在区间 上单调递增，所以 ，即 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的极值.
(2)若 ， ，证明： .
【答案】(1)极大值为 ， 的极小值为
(2)证明见解析
(1)
（1）由题意可得 .
当 或 时， ；当 时， .
所以 在 与 上单调递增，在 上单调递减.
故 的极大值为 ， 的极小值为 .
(2)
证明：由（1）可知 .
设 ， ，
则
.
设 ，则 .
因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，因为 ，所以 在 上恒成立.
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
由（1）可知 在 上单调递增，且 ， ，
则 ，即 .
3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数 ．
（1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若在 定义域内存在两实数 满足 且 ，证
明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，不合题意， ；
令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
存在 ，使得 成立，则 ，即 ，
又 ， ，即 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ， ，
即实数 的取值范围为 .
（2）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
由 且 知： ；
令 ， ，
则 ，
在 上单调递增， ，即 ；
，又 ， ；
， ，又 且 在 上单调递减，
，即 .
4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 （ 且 ）.
(1)若函数 的最小值为2，求 的值；
(2)在（1）的条件下，若关于 的方程 有两个不同的实数根 ，且 ，求
证： .
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ， .
当 时，有 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数 不存在最小
值；
所以 不合题意，故 .
当 时，令 ，得 .
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以 ，解得 .
所以， 的值为
（2）解：方法一：
由（1）知， ， .
因为 为方程 的两个不同的实数根，
所以 ①； ②.
①－②得： ，即 ，
所以 ，
令 ，有 ，所以 ，从而得 .
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，即 ，
即 ，又 ，
所以 ， 恒成立，即 ，得证.
方法二：
由（1）知， ， .
因为 为方程 的两个不同的实数根，
所以 ，即方程 有两个不同的实数根 .
令 ， ，则 ， .
令 ，得 .
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以 .
令 ， ，则 .
所以 在 上单调递减，所以 ，即 .
所以 ，所以 .
又 在 上单调递增，
所以 .即 ，得证.
题型二：比值代换法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
解：函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
证明：因为 为 的两个零点，所以 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此， ， .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 得证.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .
【答案】(1)(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
解：由 可得 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，所以， ；
(2)
解：要证 ，即证 ，
由（1）可知， ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
因为 和 取等的条件不同，故 ，即 ；
(3)
解：由题知 ①， ②，① ②得 ③，
② ①得 ④.
③ ④得 ，
不妨设 ，记 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
因为
，
所以 ，即 .
令 ， ，则 在 上单调递增.
又 ，
所以 ，即 ，所以 .
【提分秘籍】比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利
用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表
示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的
函数问题求解．
【变式演练】
1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数 有两个零点 ， .
（1）求a的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】(1) 有两个零点 有两个相异实根．
令 ，则
由 得： ，由 得： ，
在 单调递增，在 单调递减，
，
又 ， 当 时， ，当 时，
当 时， ，
有两个零点时，实数a的取值范围为 ．
（2）不妨设 ,由题意得 ,， , ，
要证： ，只需证 .
，
令 ， ，只需证
， 只需证： .
令 , ，
在 递增，
成立.
综上所述， 成立．
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 存在三个极值点 ， ， ，且 ，求k的取值范围，并证明：
.
【答案】（1）单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） ，证明见解析.
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，令 ，则 ，
∴由 得 ， 得 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
∴ 即 ，
∴ 得 ，解 得 ，
∴ 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；
（2） ，
∵ 有三个极值点，
∴方程 有两个不等根，且都不是1，
令 ，
当 时， 单调递增， 至多有一根，
当 时， 得 ， 得 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
∴ ， ，
此时， ， ， ， 时， ，
∴ 时， 有三个根 ， ， ，且 ，
由 得 ，由 得 ，
∴ ，
下面证明： ，可变形为 ，令 ， ，
，∴ 在 上递增，
∴ ，∴ ，
∴ .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 是函数
的导函数，
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，若方程 有两个不等实根 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： ．
【答案】(1)极小值为 ，没有极大值．
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析
（1）
由题意可知函数 的定义域为 ．
由 ，
所以 ．
令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 有极小值为 ，函数 没有极大值．
（2）
（ⅰ）由题意， ，
因为 ．
设 ，则 , ，
构造函数 ，则 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
故 ，所以 ．
（ⅱ）因为当 时，方程 有两个不等实根 ，
所以
即
两式相减得 ，
所以 ．
由（ⅰ）得 ．
由重要不等式得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
故由（Ⅰ）得
题型三：对数均值不等式法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为
的导函数）.
(1)讨论 单调性；
(2)设 是 的两个极值点，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
的定义域为 .
，设 ，则当 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 时，由 ，得 ；由 ，则 ；
即 在 上单调递增，在 上单调递减
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）
证明： ，因为 ， 是函数 的两个极值点，
所以 ，
两式相减得，
欲证 ，只需证 .
①
不妨设 ，故①变形为 ②
令 ， ，
则 在 上单调递增，则
故②式成立，即要证不等式得证
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数
．(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
(2)若 是方程 的两个不相等的实数根，证明： ．
【答案】(1) ；
(2)详见解析
【详解】（1） ，
， 在 上单调递减，
在 上恒成立，即 ，
即 在 ，
设 ， ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
所以函数 的最大值是 ，所以 ；
（2）若 是方程 的两个不相等的实数根，
即 又2个不同实数根 ，且 ， ，
得 ，即 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，
要证明 ，只需证明 ，
即证明 ，即证明 ，
令 ， ，
令函数 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，即得
【提分秘籍】
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平
均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．
【详解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得： ，
∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，
∴ ，即a＝1；
（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，
∴ ，
当0＜x＜1时， ，f(x)单调递增，
当x＞1时， ，f(x)单调递减．
令 ，
则 ．
又∵h（1）＝0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即 ；
②当m＝1时，h（m）＝0，即 ；
③当m＞1时，h（m）＜0即 ；
（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x、x，
1 2
∴lnx﹣ax＝0，lnx﹣ax＝0，
1 1 2 2
∴lnx+lnx＝a（x+x），lnx﹣lnx＝a（x﹣x），
1 2 1 2 1 2 1 2∴ ，
欲证明 ，即证lnx+lnx＞2，
1 2
∵lnx+lnx＝a（x+x），
1 2 1 2
∴即证 ，
∴原命题等价于证明 ，
即证： （x＞x），
1 2
令 ，则t＞1，设 （t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴ ，即 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】（1） ，
①当 时， ，则 在 上单调递增， 至多有一个零点，不合题意；
②当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，注意此时 ，
（i）当 时， ，此时 ，
则 在 和 上分别存在一个零点；
（ii）当 时， ，
设 ， ，所以 ， ，
所以 在 单调递增，则 ，
所以 在 单调递减，则 ，即 ，
此时 ，则 在 和 分别存在一个零点；
综上，若 有两个零点，则 的取值范围为 ；
（2）不妨设 ，由 得：
，
两式相减得： ，
两式相加得： ，
要证 ，只需证 ，只需证 ，
因为 ，所以只需证 ，
即证 ，
令 ， ， ，
则 ，
所以 在 单调递增，
则 ，所以原不等式得证.
一、单选题
1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足 ， ，其中e是自然
对数的底数，则ab的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，故 ， ，即 ；
，故 ，即 .
设 ， ， ，函数单调递增，，故 ，即 ，
整理得到 ，即 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，对于正实数a，若关于t的方程
恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ，令 得： ；令
得： ，所以 在区间 单调递增，在 单调递减，且
时， 恒成立， 的图像如下：
令 ，则 ，且
①当 时， ，成立，所以 是方程的一个实数根
②当 时，由 得： ，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：所以： ，由对数均值不等式得：
所以： ，且 ，所以 ， ，即：
所以
故选：D
3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数 ，下列说
法错误的是（ ）
A． 是 的极小值点
B．函数 有且只有 个零点
C．存在正实数 ，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则
【答案】C
【详解】对于A选项： 定义域为 ， ，
时, 时 ，
是 的极小值点，A正确；
对于B选项：令 ，
在 上递减， ，
有唯一零点，B正确；
对于C选项：令 ，
令 ， 时, 时, ，在 上递减，在 上递增，则 ，
， 在 上递减， 图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得 恒成立，C错误；
对于D选项：由A选项知， 在 上递减，在 上递增，
因正实数 ， ，且 ， ，则 ，
时，令 ，
，
即 在 上递减，
于是有 ，从而有 ，
又 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选：C.
4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数 ，下列说法正确的
是（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有2个零点
C．存在正整数k，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
【答案】D
【详解】对A， ，函数在 单减，在 单增，
是 的极小值点，A错误；对B， ，函数在 单减，至多
一个零点，B错误；
对C， ，令 ，则 ，
设 ，则 ，函数在 单增，在 单减，
所以 ，∴ ，
则函数 在 单减，无最小值，且当 时， ，C错误；
对D，不妨设 ，易知 ，
，且 ，
因为函数 在 单增，则 ，
即证： ，记 ，
所以 ，所以 在 单减，所以 ，
即 ，所以 ，D正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数 则下列结论正
确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故A正确；
对于B，令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递
减；
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，整理得 ，即 恒成立，故B正
确；
对于C，令 ，则 ，令 ，解得 ，故 只有1个零点，
故C错误；
对于D，因为 是关于 的方程 的2个不等实数根，
所以 ，即 ，
所以问题等价于 有两个零点 ，证明 ，不妨设 ，则由 得到 ，
要证 ，只需要证明 ，
即只需证明： ，
只需证明： ，即 ，
令 ，
只需证明： ，
令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 恒成立，
综上所述，原不等式成立，即 成立，故D正确.
故选：ABD.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 恒成立，则
B．当 时， 的零点只有 个
C．若函数 有两个不同的零点 ，则D．当 时，若不等式 恒成立，则正数 的取值范围是
【答案】BC
【详解】对于A， 定义域为 ， 由 得： ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，则 ，A错误；
对于B， 定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ， ，
，使得 ， 当 时， 有且仅有一个零点，B正确；
对于C， ， ，
；
要证 ，只需证 ，即证 ，
不妨令 ，则只需证 ，令 ，则 ，
令 ，
则 ，
在 上单调递增， ， ，
即 恒成立， ，C正确；
对于D，当 时，由 得： ，
即 ， ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，
由 得： ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，D错误.
故选：BC.
7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ，则（ ）A．
B．若 有两个不相等的实根 、 ，则
C．
D．若 ，x，y均为正数，则
【答案】AD
【详解】解：对于A： ，又 ，
， ，所以 ，则有 ，A正确；
对于B：若 有两个不相等的实根 、 ，则 ，故B不正确；
证明如下：函数 ，定义域为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 且 时，有
，所以 若 有两个不相等的实根 、 ，有 ，
不妨设 ，有 ，要证 ，只需证 ，且 ，又
，所以只需证 ，令
则有
当 时， ， ，所以有 ，即 在 上单调递增，
且 ，所以 恒成立，即 ，即 ，即 .对于C：由B可知， 在 上单调递增，则有 ，即 ，则有
，故C不正确；
对于D：令 ，则 ， ， ，
，
，故D正确；
故选：AD.
三、解答题
8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）令 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，则 ，
∴ 恒成立，即 .
（2）∵ ， ，∴ ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；∴ 在 递增，在 递减.
又∵ ， ， ， ，且 ， .
要证 ，即证 .
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴只证 即可.
令 ， ，
恒成立，
∴ 在 单调递增.
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间
(2)若 的极值点为 ，且 ，证明： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)证明见解析
(1)解： 的定义域为 ， ，
由 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
证明：由（1）可知，由 的极值点为 ，得 ，
所以 ， .
当 时， ；当 时， ，
则函数 的大致图象，如图所示；
不妨设 ，若 ，
由图象知： ， 又 ，
所以要证 ，即证 ，当 时， ， .
当 时， ，
，
= ， .
设 ， ，
则 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， 在 上单调递增，
则 ，
所以 ，即 ，
又因为n， ，且 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
则 .
综上， .
10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数 ， ， ．(1)若 在x＝0处的切线与 在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令 ，直线y＝m与函数 的图象有两个不同的交点，交点横坐标
分别为 ， ，证明： ．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【详解】（1） ， ． ， ，1－a＝a－1，a
＝1．
检验a＝1时两个函数切线方程都是y＝1．
（2） ，x＞0，令 ，则 ，
∴ 在 递增， ， ，
因为函数 连续不间断，所以存在唯一实数 ，
， ，从而 在 递减， 递增．
不妨设 ，则 ，
当 时， ．
当 ，则 ， ， 在 递增，，
，
令 ， ，
令 ， ，
令 ， ，， ， 在 递减，
因为 ， ， ， 在 递增，
，所以 在 递减，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ， ， 在 递增，
所以 ，所以 ．综上可得， ．
11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
设 ， ，
当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递增，
∴ ，与已知矛盾．
当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴ ，满足条件；
综上， 取值范围是 ．
（2）证明：当 时， ，当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，
∵ 在区间 上单调递增，∴只需证 ，
∵ ，∴只需证 ．
设 ，则 ，
∴ 在区间 上单调递增，∴ ，∴ ，即
成立，
∴ ．
12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个不相同的零点 ，设 的导函数为 .证明：
.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1） 的定义域为 ，
且 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由（1）知：当 时， 在 上单调递增，故 至多有一个零点，不合
要求，故 ，
要想 有两个不相同的零点 ，则 ，
解得： ，
，故
要证 ，即证
，
即证： ，
因为 在 上单调递增，
所以只需证 ，不妨设 ，
两式相减得： ，
变形为 ，
下面证明 在 上成立，
只需证 ，即 ，令 ，即证 ，
构造 ， ，
则 恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，所以 ， ，
故 ，即 ，所以 ， ，证毕.
四、双空题
13．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数 的极大值点为0，则
实数m的值为_________；设 ，且 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为_____________．
【答案】 1
【详解】解： ，则 ，则 ，解得 ，
此时 ， ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上的单调递增，在 上单调递减，则 在 处取极大值，
符合题意；
令 ，则
构造函数 ，则 ．
因为 ，所以当 时 ，当 时 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
易知 的图象如图所示：
不妨令 ，
令
∵
∴ 在 上单调递增，即
∵ ，∴ ，即
∵ ，∴
∵ 在 上单调递减，∴
故答案为：1；
