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专题 3.2 函数的单调性、极值与最值【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】.....................................................................................................2
【题型2 由函数的单调性求参数】..........................................................................................................................3
【题型3 利用导数求函数的极值（点）】..............................................................................................................3
【题型4 根据极值（点）求参数】..........................................................................................................................4
【题型5 利用导数求函数的最值】..........................................................................................................................4
【题型6 已知函数最值求参数】..............................................................................................................................5
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】.................................................................................................5
1、函数的单调性、极值与最值
导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉
及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合
考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，
而在解答题中进行考查时试题难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点2 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】
【例1】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数y=−x2+lnx的单调递增区间为（ ）
A．(1 ) B． C．( 1) D．( √2)
,e (0,e) 0, 0,
2 2 2
【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函
数是（ ）
A． B．
f (x)=xlnx f (x)=ln(−x+√x2+1)
C．f (x)=ex+e−x D．f (x)=ex−e−x
【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数y=xlnx（ ）
A．严格增函数
( 1) (1 )
B．在 0, 上是严格增函数，在 ,+∞ 上是严格减函数
e e
C．严格减函数
( 1) (1 )
D．在 0, 上是严格减函数，在 ,+∞ 上是严格增函数
e e【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ln(x−2)+ln(4−x)，则f (x)的单调递增区间为
（ ）
A．(2,3) B．(3,4) C．(−∞,3) D．(3,+∞)
【题型2 由函数的单调性求参数】
【例2】（2023·广西玉林·统考二模）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是
f(x)=(ax+1)ex [1,2]
（ ）
[ 1 ) [ 1 )
A． − ,+∞ B． − ,+∞
2 3
[ 1 )
C． − ,+∞ D．[0,+∞)
4
x2 1
【变式2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数f(x)= −lnx在区间(m,m+ )上不单调，则
2 3
实数m的取值范围为（ ）
2 2
A．01
3
【变式2-2】（2023下·重庆·高二校联考期中）若函数f (x)=x2−alnx−x−2023(a∈R)在区间[1,+∞)
上单调递增，则a的取值范围是（ ）
( 1) ( 1]
A．(−∞,1) B．(−∞,1] C． −∞,− D． −∞,−
8 8
a(x−1)
【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数g(x)= −ln(2x−1)在[1,+∞)上单调递减，则实数
2x+1
a的取值范围是（ ）
( 16] ( 16]
A．(−∞,4] B． −∞, C． 4, D．(−∞,6]
3 3
【题型3 利用导数求函数的极值（点）】
( π π)
【例3】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间 − , 的极大值、极小值分别为
2 2
（ ）
π π π 3π
A． +1，− +1 B．− +1，− +1
2 2 2 23π π π 3π
C． −1，− +1 D．− −1，− +1
2 2 2 2
【变式3-1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且
f′(x)−f (x)=x2e2x,f (0)=0，则f (x)（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
x(π−x)
【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）若函数f (x)=sinx− ，则f (x)极值点的个数为（ ）
π
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-3】（2023·河南·统考三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
f(x)=x2lnx
1 1 e
A．f(x)在x= 处得到极大值− B．f(x)在x=√e处得到极大值
√e 2e 2
1 1 e
C．f(x)在x= 处得到极小值− D．f(x)在x=√e处得到极小值
√e 2e 2
【题型4 根据极值（点）求参数】
lnx
【例4】（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数f (x)=ax+ +1在x=1处取得极值0，则a+b=（ ）
b
A．-1 B．0 C．1 D．2
【变式4-1】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数 无极值，则 的取值范围为
f(x)=x3+ax2+(a+6)x a
（ ）
A．[−3,6] B．(−3,6)
C．(−∞,−3]∪[6,+∞) D．(−∞,−3)∪(6,+∞)
π π
【变式4-2】（2023·四川绵阳·统考一模）若函数y=cos ( ωx+ ) （ω>0）在区间 ( − ,0 ) 上恰有唯一
6 2
极值点，则ω的取值范围为（ ）
[1 7] (1 7] (1 7] (2 7)
A． , B． , C． , D． ,
3 6 3 6 3 3 3 3
【变式4-3】（2023·高二课时练习）已知函数 有极大值和极小值，则a的取值
f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1
范围是（ ）
A．−16 C．−32【题型5 利用导数求函数的最值】
【例5】（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）当x=2时，函数f (x)=x3+bx2−12x取得极值，则
f (x)在区间[−4,4]上的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
lnx+1
【变式5-1】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y满足yex=lnx−ln y，则 +ln y
x
的最大值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式5-2】（2023·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知函数
， ，则函数 的最小值为（ ）
f (x)=e2x−2tex+1+(e2+1)t2−2tlnx+(lnx) 2 t∈R f (x)
A．1 B． 1 C．e2 D． 2e2
e e2+1 e2+1 e2+1
【变式5-3】（2023·陕西汉中·统考一模）设定义在R上的函数f (x)满足f′(x)+f (x)=3x2e−x，且f (0)=0，
则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)在R上单调递减 B．f (x)在R上单调递增
C．f (x)在R上有最大值 D．f (x)在R上有最小值
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2023·广西·统考模拟预测）已知函数f (x)=lnx+ax存在最大值0，则a的值为（ ）
1
A．−2 B．− C．1 D．e
e
【变式6-1】（2023·四川宜宾·统考三模）若函数f (x)=¿的最小值是−2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<0 B．m≤0 C．m>0 D．m≥0
1
【变式6-2】（2023·上海松江·统考二模）已知函数y= x3−x2−3x+a，a∈R，在区间(t−3,t+5)上
3
有最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A．−60，f (x)的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.
1
【变式7-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数f (x)=xlnx− ax2，其中a∈R.
2
(1)若a=1，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)恰有2个不同的极值点，求a的取值范围；
(3)若f (x)恰有2个不同的零点，求a的取值范围.1．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,−3) C．(−4,−1) D．(−3,0)
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=aex−lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为
（ ）．
A．e2 B．e C．e−1 D．e−2
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)= y2f (x)+x2f (y)，则（ ）．
A．f (0)=0 B．f (1)=0
C．f (x)是偶函数 D．x=0为f (x)的极小值点
b c
4．（2023·全国·统考高考真题）若函数f (x)=alnx+ + (a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ）．
x x2
A．bc>0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 D．ac<0
5．（2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取
a∈(0,1) f (x)=ax+(1+a) x (0,+∞)
值范围是 .
(1 )
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)= +a ln(1+x)．
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
a=−1 y=f (x) (1,f (x))
(2)若函数f (x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
7．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
f(x)=x−x3eax+b y=f(x) (1,f(1))
y=−x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
g(x)=f′ (x) g(x)(3)求f(x)的极值点个数．
sinx π
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=ax− ,x∈ ( 0, ) ．
cos2x 2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sinx<0，求a的取值范围．
(1 )
9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)= +a ln(1+x).
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=−1 y=f (x) (1,f (1))
(1)
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f 关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
x
(3)若f (x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围.
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
f (x)=a(ex+a)−x
(1)讨论f (x)的单调性；
3
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ ．
2
