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专题 3-9 利用导函数研究极值点偏移问题
目录
专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题.....................................................................................1
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题型一：对称化构造.........................................................................................................................1
题型二：比值代换法.......................................................................................................................13
题型三：对数均值不等式法...........................................................................................................22
.............................................................29
题型一：对称化构造
【典例分析】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ，其极小值为-4.
(1)求 的值；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根 ， ，求证：
.例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数
(1)求函数 单调区间；
(2)设函数 ，若 是函数 的两个零点，
①求 的取值范围；
②求证： ．
【提分秘籍】
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的
极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或
；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得
不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小
关系．
(6)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
【变式演练】1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数
(1)若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 是两个不相等的实数，且 ．求证：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的极值.
(2)若 ， ，证明： .
3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数 ．
（1）当 有极值时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若在 定义域内存在两实数 满足 且 ，证
明： ．
4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 （ 且 ）.(1)若函数 的最小值为2，求 的值；
(2)在（1）的条件下，若关于 的方程 有两个不同的实数根 ，且 ，求
证： .
题型二：比值代换法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .
【提分秘籍】
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利
用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表
示两个极值点，即 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的
函数问题求解．
【变式演练】
1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数 有两个零点 ， .
（1）求a的取值范围；
（2）求证： .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 存在三个极值点 ， ， ，且 ，求k的取值范围，并证明：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 是函数
的导函数，
(1)求函数 的极值；
(2)当 时，若方程 有两个不等实根 ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）证明： ．
题型三：对数均值不等式法
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为的导函数）.
(1)讨论 单调性；
(2)设 是 的两个极值点，证明： .
例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数
．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
(2)若 是方程 的两个不相等的实数根，证明： ．
【提分秘籍】
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
一、单选题
1．（2022·吉林长春·模拟预测）已知a，b满足 ， ，其中e是自然
对数的底数，则ab的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，对于正实数a，若关于t的方程
恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·郑州外国语中学高三阶段练习（理））关于函数 ，下列说
法错误的是（ ）
A． 是 的极小值点
B．函数 有且只有 个零点
C．存在正实数 ，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则
4．（2021·江西·鹰潭一中高三阶段练习（文））关于函数 ，下列说法正确的
是（ ）
A． 是 的极大值点
B．函数 有2个零点
C．存在正整数k，使得 恒成立
D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则
二、多选题
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知函数 则下列结论正
确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 恒成立，则
B．当 时， 的零点只有 个
C．若函数 有两个不同的零点 ，则
D．当 时，若不等式 恒成立，则正数 的取值范围是
7．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．
B．若 有两个不相等的实根 、 ，则
C．
D．若 ，x，y均为正数，则
三、解答题
8．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间
(2)若 的极值点为 ，且 ，证明： .
10．（2022·江苏常州·高三期中）已知函数 ， ， ．
(1)若 在x＝0处的切线与 在x＝1处的切线相同，求实数a的值；
(2)令 ，直线y＝m与函数 的图象有两个不同的交点，交点横坐标
分别为 ， ，证明： ．
11．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．12．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个不相同的零点 ，设 的导函数为 .证明：
.
四、双空题
13．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数 的极大值点为0，则
实数m的值为_________；设 ，且 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为_____________．
