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专题 03 导数与函数的极值、最值
目录
题型一： 根据函数图象判断极值..................................................................................................4
题型二： 求函数的极值...................................................................................................................7
题型三： 已知极值(点)求参数........................................................................................................8
题型四： 利用导数求函数最值问题............................................................................................13
知识点总结
知识点一、函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点
的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数
y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且
在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)
叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大
值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数 y＝f (x)在某一点的导数值
为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x 处取极大(小)值
0
的充分条件：
① f ′( x ) ＝ 0 ；
0
②在x＝x 附近的左侧f ′(x)>0(<0)，右侧f ′(x)<0(>0)．
0 0 0(3)导数求极值的方法：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x)＝0时，如果在x 附近的左侧f ′(x)>0，
0 0
右侧f ′(x)＜0，那么f (x)是极大值；如果在x 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f
0 0
(x)是极小值．
0
注意 对于可导函数f (x)，“f ′(x)＝0”是“函数f (x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条
0 0
件．
知识点二、函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最
大值和最小值．
②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数在[a，b]上的最小值，f (b)为函数在
[a，b]上的最大值；若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数在[a，b]上的最大
值，f (b)为函数在[a，b]上的最小值．
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f
(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
知识点三、三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2
－3ac)，并设x，x 是方程f ′(x)＝0的根，且x0
Δ>0 Δ≤0图象
在(－∞，x)，(x，＋∞)上单调
单调性 1 2 在R上是增函数
递增；在(x，x)上单调递减
1 2
极值点个数 2 0
(2)a<0
Δ>0 Δ≤0
图象
在(x，x)上单调递增；在(－∞，
单调性 1 2 在R上是减函数
x)，(x，＋∞)上单调递减
1 2
极值点个数 2 0
例题精讲
题型一：根据函数图象判断极值
【要点讲解】 由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结
合可得极值点.
【例1】（2023春•监利市期中）如图，可导函数 在点 ， 处的切线为
，设 ，则下列说法正确的是A． ， 是 的极大值点
B． ， 是 的极小值点
C． ， 不是 的极值点
D． ， 是 的极值点
【解答】解：可导函数 在点 ， 处的切线为 ，
则 ， ，
，
，
设 ，
， ，
由图象可得：导函数 单调递增，
时， ； 时， ．
是 的极小值点，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•霞山区校级期中）如图是函数 的导函数 的图象，下列结论正确的是
A． 是函数 的极大值点
B． 是函数 的极值点
C． 在 处取得极大值
D．函数 在区间 上单调递增
【解答】解：根据题中导函数 的图象可知，
在 上小于零，在 ， 上大于零，且 ，
故函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
对于选项 ， 是函数 的极小值点，故 错误；
对于选项 ， 不是函数 的极值点，故 错误；
对于选项 ，根据 的两侧均为单调递增函数，故 不是极值点，故 错误；
对于选项 ，根据 在区间 上的导数大于或等于零可知， 在区间
上单调递增，故 正确．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•南岸区校级期中）如图是函数 的导函数 的图象，
则下列说法正确的是A． 是函数 的极小值点
B．当 或 时，函数 的值为0
C．函数 在 上是增函数
D．函数 在 上是增函数
【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当 时， ，函数 单调
递减，
当 时， ，函数 单调递增，
故当 时，函数取得极小值．
结合选项可知， 正确．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•华龙区校级期中）已知函数 的导函数 的图象大致如图
所示，则关于函数 ，下列结论正确的是
A． 无极大值点 B． 有2个零点C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
【解答】解：在导函数 的图象上作出 的图象如下所示：
因为当 时， ， 在 上单调递减，
易知 ，使 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，排除选项 ；
所以 是函数 的极大值点， 的零点个数无法判断，排除选项 和选项 ．
故选： ．
题型二：求函数的极值
【要点讲解】 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程 f' ( x )=0 在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;
如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
【例2】（2023春•科左中旗校级期中）已知函数 ，则 的极小值为
A． B． C．0 D．1【解答】解： 函数 的定义域为 ．
导函数 ．
令 ，解得： ．
列表得：
1
0
单减 极小值 单增
的极小值为 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•武鸣区校级三模）函数 的极小值点为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 定义域为 ，
所以 ，令 得 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值．
故选： ．
【变式训练2】（2023•阿勒泰地区三模）函数 的极值点是
A．0 B．1 C． D．
【解答】解： ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，故当 时，函数取极大值，所以，函数 的极值点是1．
故选： ．
题型三：已知极值(点)求参数
【要点讲解】 已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求
解后必须验证根的合理性.
【例3】（2023春•涪城区校级月考）已知函数 在 处
有极值，则 的最小值为
A．2 B． C． D．4
【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，即 ，
由题意，得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•临沂期中）函数 在 时有极大值0，
则
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解： ，
，在 时有极大值0，
， ，
解得 ， ．
则 ，
故选： ．
【变式训练2】（2023春•朝阳区校级月考）已知实数 ， ， ， 成等比数列，且曲线
的极大值点为 ，极大值为 ，则 等于
A．2 B． C． D．1
【解答】解： 实数 ， ， ， 成等比数列，
，
由 ，
，
令 ，解得 ，
函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；函数 在 上
单调递减．
时，函数 取得极小值， 时，函数 取得极大值．
曲线 的极大值点为 ，极大值为 ，
， （1） ，即 ．
，
．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•河南月考）函数 的一个极值点是1，则 的值
A．恒大于0 B．恒小于0 C．恒等于0 D．不确定
【解答】解： ，
是 的极值点，
（1） ，
即 ，令 （a） ， ，
则 ，
令 （a） ，解得： ，令 （a） ，解得： ，
故 （a）在 递增，在 递减，故 ，
故 ，即 恒小于0．
故选： ．
【例4】（2023春•北京期中）若函数 恰好有两个极值，则实数 的
取值范围是
A． B． ， C． ， ， D． ，
，
【解答】解： ，则 ，函数定义域为 ，
函数 恰好有两个极值，
有两个不相等的零点，
故方程 有两个不相等的实根，则 ，解得 或 ，
实数 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023春•东光县月考）若函数 在 上存在极值，则
正整数 的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解： ，
，
函数 在 上存在极值，
函数 在 上不是单调函数，
可得 有两个不等的根，
即△ ，
解得 ，或 ，
正整数 的最小值为5．
故选： ．
【变式训练2】（2023春•峨眉山市校级期中）已知函数 有两个极值点，求
的范围
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，函数定义域为 ，可得 ，
若 有两个极值点，
此时 有两个根，
即 有两解，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
易知当 时， ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023春•东城区校级期中）设 ，若函数 ， 有大于
零的极值点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ，即 ，解得 ，
函数 ， 有大于零的极值点，
则 ，即 ，解得 ．
故选： ．题型四：利用导数求函数最值问题
【要点讲解】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数
等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最
小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到
函数f(x)的最值.
【例5】（2023春•江城区校级月考）函数 在 ， 上的最大值与最
小值分别是
A．23，5 B．5，4 C． ， D．5，
【解答】解： ， ， ，
，
， ， ，
函数 在 ， 上单调递增，
（3） ， ，
故选： ．
【变式训练1】（2023春•朝阳区校级月考）函数 的最小值为
A．1 B． C．0 D．
【解答】解： ，
，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
故 在 ， 递减，在 递增，在 ， 递减，
而 （3） ，
故 在 ， 上的最小值是0，
故选： ．
【变式训练2】（2023•阿勒泰地区三模）函数 在 ， 上的最小值是
A． B． C．0 D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
当 ， 时， ，函数单调递增；
当 ， 时， ，函数单调递减；
所以当 时，函数值为0，当 时，函数值为 ，所以其最小值为0．
故选： ．
【例6】（2023春•泸县校级期末）已知函数 ．求：
（1）曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）函数 在区间 ， 上的最值．
【解答】解：（1） ，则 （1） ，
， 切点是 ，故切线方程是 ，即 ；
（2）令 ，解得： 或 ，
， ， 在 ， 的变化如下：
0 2 3
0 0
单调递增 极大值1 单调递减 单调递增 1
极小值
在 ， 和 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
最大值是 （3） ，又 ， ，
在 ， 的最大值是 （3） ，
在 ， 在最小值是 ．
【变式训练1】（2023春•凉山州期末）已知函数 在 时取得极值．
（1）求 在 ， 处的切线方程；
（2）求 在区间 ， 上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，
解得 ，
当 时， ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
此时函数 在 时取得极值，
所以 ，
此时 ，
又 ，
所以 在 ， 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）由（1）知 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 在区间 ， 上的最大值为1，最小值为 ．
【变式训练2】（2023春•莱芜区期中）已知函数 ．
（1）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围；（2）令 ，当 时，求 在区间 ， 上的最大值．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为 ，
因为函数 在区间 上不单调，
所以 ，即 ，
解得
则 的取值范围为 ；
（2）已知 ，
所以 ，函数定义域 ，
可得 ，
若 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 ， 上单调递减，
则 （1） ；
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 （a） ；
若 时， 恒成立， 单调递增，
所以 （2） ；
若 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 ， 上单调递增，
则 （1） ．
综上，当 ， 在区间 ， 上的最大值为 ；
当 时， 在区间 ， 上的最大值为 ；
当 时， 在区间 ， 上的最大值为 ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•临沂期中）已知函数 ，若对任意正数 ， ，都有 恒成立，则实数 的取值范围
A． ， B． C． ， D． ，
【解答】解：因为对任意两个不等的正数 ， ，都有 恒成立，
设 ，则 ，
即 恒成立，
问题等价于函数 ，
即 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
所以 ，
即实数 的取值范围是 ， ，
故选： ．
2．（2023•池州模拟）已知函数 ，记 ，则下列结论正确的是
A． 的值域为 B． 的值域为 ，
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【解答】解： ， ，则 ，则 ， 错误；
， 错误；设 ，
则 ，
则 为奇函数， 正确；
设 ，则 ，
则 不为偶函数．
故选： ．
3．（2023春•伊州区校级期中）已知 是函数 的极小值点，那么函数
的极大值为
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
又因为 是函数的极小值点，
所以 （1） ，
解得 ，
所以 ， ，
令 ，得 ， ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；所以 在 处取极大值，在 处取极小值，
所以 的取极大值为 ．
故选： ．
4．（2023春•崇明区期末）将函数 ， ， 的图像绕点 顺时针旋转 角
得到曲线 ，若曲线 仍是一个函数的图像，则 的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ， ，
当 时， ，函数在 上递增，
当 时， ，函数在 上递减，
（1） ，可得在 处切线的倾斜角为 ，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转 后的切线倾斜角最多为 ，
也就是说，最大旋转角为 ，
即 的最大值为 ．
故选： ．
5．（2023•内江三模）已知函数 和 有相同的极大值，则
A．2 B．0 C． D．
【解答】解： ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，
又 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，
依据题意， 和 有相同的极大值，
故 （1） （e），所以 ，所以 ．
故选： ．
6．（2023•湖北二模）设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范
围是
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：函数 ， ，
，
函数 恰有两个极值点， 方程 恰有两个正根，
显然 是方程 的一个正根，
方程 有唯一正根，即方程 有唯一正根，等价于函数 与函数 在 上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
， 函数 在 上单调递增，
又 ， （1） ，
函数 的图象如图所示：，
且 ，
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．（2023•红河州一模）已知函数 ，则下列说法正确的是
A．函数 有两个极值点
B．若关于 的方程 恰有1个解，则
C．函数 的图象与直线 有且仅有一个交点
D．若 ，且 ，则 无最值【解答】解： ，
作出 的图象可得：
对于 ：由图象可知 和 是函数 的两个极值点，故 正确；
对于 ：若函数 恰有一个零点，则 或 ，故 不正确；
对于 ：因为函数 在点 处的切线为 ，
函数 在 处的切线为 ，
由图可知，当 ，即 时， 的图象与直线 恰有一个交点，
当 ，即 时，令 ，得 ，
令 ，
则 （1） ， ，
由二次函数的图象及零点存在定理可知，方程 有且只有一个实数根，
当 ，即 时，令 ，设 ， ，
则 （当且仅当 时取等号），即函数 在 上单调递增，
由于 ，
所以函数 有且仅有一个实数根，故 正确；
对于 ：由于 ， ， ，
则 ， ， ，则 ，
设 ，
，
设 ，
所以 在 上单调递增，且 ， （1） ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 ， 时， ， 单调递增，
所以 存在最小值 ，故 不正确，
故选： ．
8．（2023春•香洲区校级月考）对于函数 ，下列说法正确的有
A． 在 处取得极大值 B． 在 处取得最大值
C． 有两个不同零点 D． （2） （3）【解答】解：函数的导数 ，
令 得 ，则当 时， ，函数为增函数，
当 时， ，函数 为减函数，
则当 时，函数取得极大值，极大值为 ，故 正确，
由 知当 时，函数取得最大值，最大值为 ，故 正确；
由 ，得 ，得 ，即函数 只有一个零点，故 错误，
，由 时，函数 为减函数，知 （3）
（4），
故 （2） （3）成立，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•怀仁市期末）函数 在区间 上有最大值，则 的取值范围
是 ， ．
【解答】解： ， ，
令 解得 ；令 ，解得 或 ，
由此可得 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
故函数在 处有极大值，在 处有极小值，
，即 ，解得 ，
即 的取值范围是 ， ．故答案为： ， ．
10．（2023•兴庆区校级二模）在等比数列 中， ， 是函数
的极值点，则 2 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
又因为 ， 是 的极值点，
所以 ， 是方程 的两根，
所以有 ，
由等比数列的性质可知： ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为：2．
11．（2023春•青羊区校级期中）已知函数 ， ，有以下四个命题：
①对 ，不等式 恒成立；
② 是函数 的极值点；
③函数 的图象与 轴及 围成的区域面积为 ；
④ ．
其中正确的命题有 ①③④ ．
【解答】解：对①： ，即 ，设 ，则
恒成立，函数单调递增，故 ，正确；对②： 恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；
对③： ，面积为 ，正确；
对④：根据①知： 在 上恒成立，则 ，故 ，
则 ，正确．
故答案为：①③④．
12．（2023•宜章县二模）已知函数 ，若有且仅有两个整数
，满足 ，则实数 的取值范围为 ， ．
【解答】解：若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 在 上单调递增，且 ， （1） ，
所以存在 ，当 ，则 ， ， 单调递减，
当 ， 时， ， ， 单调递增，
因为 （1），
所以只需 且 且 （2），所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春•永昌县校级期中）当 时，函数 取得极小值2．
（1）求实数 ， 的值；
（2）求函数 的最小值．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
因为函数 在 处取得极小值2，
所以满足 （1） ， （1） ，
解得 ， ，
此时 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，满足题意，
所以 ， ；（2）由（1）可知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
故 ．
14．（2023春•泉州期末）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（2）证明： ．
【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ，
可得 ，
所以 （1） ，
又 ，
所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）证明：不妨设 ，函数定义域为 ，
要证 ，即证 ，
易得 恒成立，所以函数 在定义域上单调递增，
又 ，
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ，
当 时， ．
故 ．
15．（2023春•曹县校级月考）若函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在 ， 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
令 ，得 ，
所以在 上 ， 单调递增；
在 上 ， 单调递减，
所以 ，无极小值．
（2） ，
因为 在 ， 上恒成立，所以 在 ， 上恒成立，
①当 时， ，所以 在 ， 上单调递减，则 ，不符合题意，
②当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，则 ，符合题意，
③当 时，令 得 或 ，
若 ，即 时，
在 上 ， 单调递增，
所以 （1） ，
又 ，矛盾，不符合题意，
若 ，即 时，
在 上 ， 单调递减，
在 ， 上 ， 单调递增，
所以当 ， 时， 的最大值为 与 （1）中的较大者，
要满足 在 ， 上恒成立，只需 ，解得 ，
又因为 ，
所以 ，
若 ，即 时，
在 上 ， 单调递增，
所以 （1） ，即 ，又 ，
所以 ，
若 ，即 时，
在 上 ， 单调递减，
所以 ，符合题意，
综上所述， 的取值范围为 ， ．
