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专题20 极值点偏移问题
1．极值点偏移的含义
若单峰函数f(x)的极值点为x，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
0
极值点x 函数值的大小关系 图示
0
极值点不偏移 x＝ f(x)＝f(2x－x)
0 1 0 2
峰口向上：f(x)< f(2x－x)
1 0 2
左
x<
0
移
峰口向下：f(x)> f(2x－x)
1 0 2
极值点偏移
峰口向上：f(x)> f(2x－x)
1 0 2
右
x>
0
移
峰口向下：f(x)< f(2x－x)
1 0 2
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
(1) 若函数f(x)在定义域上存在两个零点x，x(x≠x)，
1 2 1 2
求证：x＋x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 0 0
(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x，x(x≠x)满足f(x)＝f(x)，
1 2 1 2 1 2
求证：x＋x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 0 0
(3)若函数f(x)存在两个零点x，x(x≠x)，令x＝，求证：f′(x)>0；
1 2 1 2 0 0
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x，x(x≠x)满足f(x)＝f(x)，令x＝，
1 2 1 2 1 2 0
求证：f′(x)>0.
0
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ．
(2)构造函数，即对结论 型，构造函数 或；
(3)对结论 型，构造函数 ，通过研究 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进
而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 表示)表示两个极值点，即 ，
化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解．
3.4．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
3.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
专项突破练1．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，令 ，得x＝1，当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故函数 的减区间为 ，增区
间为 ；
（2）由（1）知，不妨设 ，构造函数 ， ，
故 ，故 在 上单调递减， ，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，即
，∵ ，∴ ， ，又∵ 在 上单调递增，∴ ，
即 ，得证．
2．已知函数 .
(1)若 是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
【解析】(1)函数的定义域为 ， ，
若 是增函数，即 对任意 恒成立，故 恒成立，设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，由 得 ，所以a的取值范围是 .
(2)不妨设 ，因为 ， 是 的两个极值点，
所以 ，即 ，同理 ，
故 ， 是函数 的两个零点，即 ，
由（1）知， ，故应有 ，且 ，
要证明 ，只需证 ，只需证
，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，因为 ，所以 ，
即 ， ，
又 ， ，及 在 上单调递增，所以 成立，即 成立.
3．已知函数 .
(1)求 的极大值；
(2)设 、 是两个不相等的正数，且 ，证明： .【解析】(1)因为 的定义域为 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以，函数 的极大值为 .
(2)证明：因为 ，则 ，即 ，
由（1）知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 、 是两个不相等的正数，且满足 ，不妨设 ，
构造函数 ，则 ，
令 ，则 .
当 时， ，则 ，此时函数 单调递减，
当 时， ，则 ，此时函数 单调递减，
又因为函数 在 上连续，故函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，故函数 在 上为增函数，
故 ，所以， ，
且 ，函数 在 上为减函数，故 ，则 .
4．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
【解析】（1） 当 时， ， ， 所以 单调递增；， ， 所以 单调递减；当 时， ， 所以 单调递减；
， 所以 单调递增；
（2）证明： ， ∴ ， 即当 时，
由（1）可知，此时 是 的极大值点，因此不妨令 要证 ，
即证： ①当 时， 成立；②当 时先证 此时 要证
，即证： ，即 ，即 即： ①令
，
∴ ∴ 在区间 上单调递增
∴ ，∴①式得证.∴ ∵ ， ∴
∴ ∴
5．已知函数 （ 且 ）．
(1) ，求函数 在 处的切线方程．
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： ．
【解析】(1)当 时， ，所以 .
，所以 .所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
(2) 的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以 在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在 上， ，所以 单调递减；在
上， ，所以 单调递增.
(3)当 ， .由(2)知， 在 上单调递减，在 上单调递增.
由题意可得： .由 及 得： .
欲证x+x>2e，只要x>2e- x ，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x)=0，只要证明f(2e- x )>0即可.
1 2 1 2 1 2
由 得 .所以
令 则 ，
则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x )>0.综上x+x>2e.
2 1 2
6．已知函数
(1)求证：当 时， ；
(2)当方程 有两个不等实数根 时，求证：
【解析】(1)令 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即当 时， .(2)证明：由 ，得 ，
易知 在 单调递减，在 单调递增，所以 .
因为方程 有两个不等实根，所以 .不妨设 .
由（1）知，当 时， ；当 时， .
方程 可化为 .
所以 ，整理得 .①
同理由 ，整理得 .②
由①②，得 .又因为 所以 .
法二：由 ，得 ，
易知 在 单调递减，在 单调递增，所以 .
因为方程 有两个不等实根，所以 .不妨设 .
要证 ，只要证 ，只要证： .
因为 在 上单调递增，只要证： .
令 ，只要证 ， 恒成立.
因为 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增， ，所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，故原结论得证.
7．已知函数 ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 有两个不同的零点 ，求a的取值范围，并证明： ．
【解析】(1)当 时， ，定义域为
令 ，则
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，得 ；
(2)因为 有两个不同的零点 ，则 在定义域内不单调；
由
当 时， 在 恒成立，则 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，在 上有 ，在 上有 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．不妨设
令
则
当 时， ，则 在 上单调递增所以
故 ，因为
所以 ，又 ，
则 ，又 在 上单调递减，
所以 ，则 ．
8．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 （ 为 的导函数），方程 有两个不等实根 、 ，求证： ．
【解析】(1)因为 ，则 ，所以， ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(2)证明：因为 ， ，所以 ．
因为 为增函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由方程 有两个不等实根 、 ，则可设 ，
欲证 ，即证 ，
即证 ，而 ，即 ，
即 ，
设 ，其中 ，
则 ，设 ，则 ，所以，函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，故 得证．
9．已知函数 ．
(1)若 ，证明： 时， ；
(2)若函数 恰有三个零点 ，证明： ．
【解析】(1) 时，函数 ，则 ，
在 上单调递增，所以 ．
(2) ，显然 为函数的一个零点，设为 ；
设函数 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
由已知， 必有两个零点 ，且 ，下证： ．
设函数 ，则 ，
，由于 ，则 ，
由（1）有 ，故 ，即函数 在 上单调递减，所以 ，即有 ，
由于 ，且在 上单调递增，所以 ，所以 ．
10．已知函数 ．
(1)若函数 为增函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 、 ．求证： ．
【解析】(1)因为 ，该函数的定义域为 ，
，若函数 为增函数，则 恒成立．
令 ， ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，故 ，
所以， ，因此 ．
(2)因为函数 有两个极值点 、 ，即方程 有两个不等的实根 、 ，
因为 在 上递减，在 上递增，所以， ，
即 、 是 的两个根，
所以 ，则 ，
所以， ，
即证 ，即证 ．由 两式作差得 ，
令 ，则 ， ，
即只需证 ，即证 ．
令 ，其中 ，则 ，
故 在区间 上单调递减，当 时， ，命题得证．
11．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的图象与 的图象交于 ， 两点，证明： .
【解析】(1) 的定义域为
令 ，解得
令 ，解得
所以 的单调增区间为 ，减区间为
(2)由（1）不妨设
由题知 ，
两式相减整理可得：
所以要证明 成立，只需证明因为 ，所以只需证明
令 ，则只需证明 ，
即证
令
记
则
易知，当 时， ，当 时，
所以当 时，
所以当 时， ，函数 单调递增
故 ，即
所以，原不等式 成立.
12．已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明： .
【解析】(1)函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，则 在 上单调递减；
令 ，得 ，则 在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)证明：因为 为 的两个零点，所以 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此， ， .令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 得证.
13．已知函数 ．
(1)若 时， ，求 的取值范围；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【解析】（1）∵ ， ，∴ ，设 ， ，
当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单
调递增，∴ ，与已知矛盾．当 时， ，∴ 在 上单调递增，∴
，满足条件；综上， 取值范围是 ．
（2）证明：当 时， ，当 ， ，当 ， ，则 在区间 上
单调递增，在区间 上单调递减，不妨设 ，则 ，要证 ，只需证 ，∵在区间 上单调递增，∴只需证 ，∵ ，∴只需证 ．设
，则 ，∴ 在区间 上单调递增，∴
，∴ ，即 成立，∴ ．
14．设函数 ，已知直线 是曲线 的一条切线.
(1)求 的值，并讨论函数 的单调性；
(2)若 ，其中 ，证明： .
【答案】(1) ； 在 上单调递减，在 上单调递增
【解析】(1)设直线 与曲线 相切于点 ，
， ；
又 ， ，即 ；
设 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， 有唯一零点 ， ， ，解得： ；
， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)由（1）知： ；
当 时， ；当 时， ， ；
要证 ，只需证 ；在 上单调递减， 只需证 ，
又 ，则只需证 对任意 恒成立；
设 ，
；
设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
又当 时， ， ，
在 上单调递增， ，
即 在 时恒成立，又 ，
，原不等式得证.
15．已知函数 有两个不同的零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【解析】(1)定义域为 ，
，所以 在 上单调递减.
，所以 在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，所以先保证必要条件 成立，即 满足题意.
当 时，易知， ；
由以上可知，当 时， 有两个不同的零点.
(2)由题意，假设 ，要证明 ，只需证明 .只需证 ，又 .
即只需证 ，构造函数 .
，所以 在 单调递减.
，即 成立，即
所以原命题成立.
16．已知 是实数，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个相异的零点 且 ，求证： ．
【解析】(1) 的定义域为 ， ，当 时， 恒成立，
故 在 上单调递减；
当 时，令 得： ，令 得： ，故 在 上单调递增，在
上单调递减；综上：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减；
(2)由（1）可知，要想 有两个相异的零点 ，则 ，不妨设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，要证 ，即证 ，等价
于 ，而 ，所以等价于证明 ，即 ，
令 ，则 ，于是等价于证明 成立，
设 ，
，所以 在 上单调递增，
故 ，即 成立，
所以 ，结论得证.
17．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 上有两个不相等的零点 ，求证： .
【解析】(1) ， .
①当 时， 恒成立， 单调递增；
②当 时，由 得， ， 单调递增，
由 得， ， 单调递减.综上：当 时， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
(2)∵ 在 上有两个不相等的零点 ， ，不妨设 ，
∴ 在 上有两个不相等的实根，
令 ， ，∴ ，
由 得， ， 单调递减，由 得， ， 单调递增，
， ， ， ，∴
要证 ，即证 ，又∵ ，
只要证 ，即证 ，∵ ，即证
即证 ，即证 ，即证
令 ， ，∴ ，
令 ， ，则 ，当 时， 恒成立，所以
在 上单调递增，又 ，∴ ，∴ ，∴
∴ 在 上递增，∴ ，∴ ，∴ .
18．已知函数 的导函数为 .
(1)判断 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个实数根 ， ，求证： .
【解析】(1) ，
令 ，由 ，可得 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增；
(2)依题意， ，相减得 ，
令 ，则有 ， ，
欲证 成立，只需证 成立，即证 成立，
即证 成立，令 ，只需证 成立，
令 ，即证 时， 成立
，令 ，
则 ，可得 在 内递减，在 内递增，
所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 成立，故原不等式成立.
19．已知函数 .
(1)设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)设函数 的两个零点 、 ，求证： .
【解析】(1)由 可得 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，所以， ；
(2)要证 ，即证 ，
由（1）可知， ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
因为 和 取等的条件不同，故 ，即 ；
(3)由题知 ①， ②，
① ②得 ③，
② ①得 ④.
③ ④得 ，
不妨设 ，记 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，即 .
令 ， ，则 在 上单调递增.
又 ，
所以 ，即 ，所以 .
20．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】（1） 的定义域为 ， .
当 时， ；当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
故 在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值.
（2）证明：易知 ， ，即 ， .不妨设 ， ， .
（1）可知 ， ，
当 时， ， ，当 时， ，
设 ， ，
则 ，因为 ， ，
所以 ， 在区间 上单调递增，
，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即 ，故 .
21．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【解析】（1） ， 是减函数， 是增函数，
所以 在 单调递减，∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.（2）由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；
（ii）当 时，令 ， ，则
，记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而，
在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，
所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
22．已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的极值：
(2)令函数 ，若存在 ， 使得 ，证明： ．
【解析】(1)当 时 ， ，
所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
(2)证明： ，
令 ，则上述函数变形为 ，
对于 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
所以若存在 ， 使得 ，则存在对应的 、 ，
使得 ，
对于 ，则 ，因为 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为函数 的唯一极小值点，所以 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
又 的单调性可知 ，即有 成立，所以 .
23．已知函数 .
(1)求 的单调区间
(2)若 的极值点为 ，且 ，证明： .
【解析】(1) 的定义域为 ， ，
由 ，得 .
当 时， ；当 时， .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)证明：由（1）可知，由 的极值点为 ，得 ，
所以 ， .
当 时， ；当 时， ，
则函数 的大致图象，如图所示；不妨设 ，若 ，
由图象知： ， 又 ，
所以要证 ，即证 ，
当 时， ， .
当 时， ，
，
= ， .
设 ， ，
则 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， 在 上单调递增，
则 ，
所以 ，即 ，
又因为n， ，且 在 上单调递增，所以 ，即 ，则 .
综上， .
24．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【解析】(1)函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：
增 减
极大值
所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
(2)证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
25．已知函数 ， .
(1)求证： ， ；(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
【解析】(1)证明：构造函数 ，其中 ，
则
，
因为 ，则 ， ，
即当 时， ，所以，函数 在 上单调递减，
故当 时， ，即 .
(2)证明：先证明对数平均不等式 ，其中 ，
即证 ，令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
本题中，若 ，则 ，
此时函数 在 上单调递减，不合乎题意，所以， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，不妨设 ，则 ，则 ，即 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，
由对数平均不等式可得 ，可得 ，所以， .
26．已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，且当 时， ，证明： ．
【解析】(1) ， 且 定义域为 ；
当 时， ， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间和极值；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；
的极小值为 ，无极大值；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间和极值；当 时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；极小值为 ，无极大值.
(2)不妨设 ，由 得： ；
设 ，则 ，
在 上单调递增， ，
即 ， ，
；设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
， ， ，
， ，
即 ， .
