5.7 函数的曲线切线与导数
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线......................................2
考点二：切线条数问题................................................................ 2
考点三：公切线问题................................................................... 2
考点四：已知切线求参数问题....................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求“在”型的切线方程.................................................... 3
题型二：求“过”型切线方程....................................................... 5
题型三：切线的平行与垂直问题.................................................... 7
题型四：切线的条数问题............................................................. 9
题型五：两曲线的公切线问题......................................................13
题型六：三角函数的切线........................................................... 16
题型七：切线与倾斜角.............................................................. 18
题型八：直线上点到曲线距离......................................................19
题型九：两曲线上点距离最值......................................................21
题型十：恒成立与存在求参........................................................ 24
题型十一：零点或交点交点求参数................................................26
题型十二：等式（不等式）整数解求参..........................................29
题型十三：恒等式、不等式........................................................ 32
模块三：综合巩固....................................................................... 34
5.7 函数的曲线切线与导数
模块一：基础知识
考点一：求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
考点二：切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点
,t f t
，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数
问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
考点三：公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示
同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点四：已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条
件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函
数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
模块二：题型分类
题型一：求“在”型的切线方程
1.曲线
3
1
f x
x
在点
1,
1
f
处的切线方程为（
）
A．
3
1
y
x
B．
3
1
y
x
=
+
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
【答案】C
【解析】
1
1 1
0
f
，
2
3
f
x
x
，故
1
3
f
，
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
所以
3
1
f x
x
在点
1,
1
f
处的切线方程为
3
1
y
x
，即
3
3
y
x
.故选：C
2.（多选）若曲线
2
y
x
ax
b
在点
0,b 处的切线方程是
1
0
x
y
，则（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．
1
b = -
D．
1
b
【答案】AD
【解析】因为点
0,b 在直线
1
0
x
y
上，所以
1
b .
由
2
y
x
ax
b
，则求导可得
2
y
x
a
，
所以在点
0,b 处的切线的斜率为
0
|
1
x
y
a
.故选：AD.
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
3.已知曲线
ln
y
x
x
在点
1,1 处的切线与曲线
2
(
2)
1
y
ax
a
x
相切，求a 的值.
【答案】
8
a
【解析】∵
1
1
y
x
，
1
|
2
x
y
，
∴曲线
ln
y
x
x
在点
1,1 处的切线方程为
1
2
1
y
x
，即
2
1
y
x
，
又∵直线
2
1
y
x
与曲线
2
2
1
y
ax
a
x
相切，
当
0
a
时，曲线变为直线
2
1
y
x
，与已知直线平行，
∴
0
a
，可得
2
2
1
2
1
y
x
y
ax
a
x
，消去y 得
2
2
0
ax
ax
，
由
2
8
0
a
a
得
8
a
.
4.（多选）下列函数的图象可能与直线2
0
x
y
m
(
R)
m
相切的是（
）
A．
2
( )
f x
x
x
B．
( )
2
ex
f x
x
C．
2
1
( )
ln
2
f x
x
x
D．
( )
2
f x
x
x
【答案】AC
【解析】因为直线2
0
x
y
m
的斜率为2 ，
所以
2
f
x
有解，则直线2
0
x
y
m
就可以为该函数图象的切线．
对于A，令
2
1
2
f
x
x
，解得
1
2
x
，满足条件；
对于B，因为
2
2
ex
f
x
恒成立，不满足条件；
对于C，令
1
2
f
x
x
x
，解得
1
x ，满足条件；
对于D，
1
2
2
2
f
x
x
恒成立，不满足条件．故选：AC.
5.（多选）若( )
ln
f
x
x
=
的图象在
1
2
1
2
,
x
x x
x
x
x
处的切线分别为1
2
,l l ，且1
2
l
l
，则（
）
A．
1
2
1
x x
B．
1
2
x
x
的最小值为2
C．1
2
,l l 在y 轴上的截距之差为2
D．1
2
,l l 在y 轴上的截距之积可能为1
【答案】AC
【解析】对于A，B：由题意可得
1
2
0
1,
1
x
x
，当0
1
x
时，
1
f
x
x
，
当
1
x 时，
1
f
x
x
，所以1
2
,l l 的斜率分别为
2
1
1
2
1
1
,
k
k
x
x
，
因为1
2
l
l
，所以
1
2
1
2
1
1
k k
x x
，得
1
2
1
x x
，
因为
1
2
0
x
x
，所以
1
2
1
2
2
2
x
x
x x
，故A 正确，B 错误．
对于C，D：1l 的方程为
1
1
1
1
ln
y
x
x
x
x
，即
1
1
1
1 ln
y
x
x
x
，
令
0
x
，得
1
1 ln
y
x
，所以1l 在y 轴上的截距为
1
1 lnx
，
2l 的方程为
2
2
1
1
ln
y
x
x
x
，可得2l 在y 轴上的截距为
2
1 lnx
，
所以1
2
,l l 在y 轴上的截距之差为
1
2
1
2
1
ln
1
ln
2
ln
2
x
x
x x
，
1
2
,l l 在y 轴上的截距之积为
2
1
2
1
1
1
1 ln
1 ln
1 ln
1 ln
ln
1
1
x
x
x
x
x
，
故C 正确，D 错误．故选：AC
6.已知函数
1
( )
(
3)e
ln
x
f x
ax
x
x
（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,
(1))
f
处的切线的斜率为8，
则实数a 的值为（
）
A．1
B．2
C．e
D．3
【答案】B
【分析】求出f(x)的导数，将点的横坐标代入得斜率8，解出实数a 即可.
【详解】
1
( )
(
3
)e
ln
1
x
f
x
ax
a
x
，
(1)
(2
3) 1
8
f
a
，解得
2
a
．
故选:B．
7.已知函数
2
1
2
f x
x
f
x
，则
f
x 的图象在点
2
2
f,
处的切线的斜率为（
）
A．3
B．3
C．5
D．5
【答案】B
【分析】利用导函数可求出
1
f
，然后利导数的几何意义即得.
【详解】由题可得
2
1
f
x
x
f
，令
1
x ，得
1
2
1
f
f
，
所以
1
1
f
，即
2
2,
2
1
f x
x
x
f
x
x
，
所以
f
x 的图象在点
2
2
f,
处的切线的斜率为
2
3
f
.
故选：B.
题型二：求“过”型切线方程
1.过坐标原点且与曲线
ln x
y
x
相切的直线斜率为（
）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．1
2
【答案】B
【解析】因为
ln x
y
x
，所以
2
1
ln x
y
x
，设切点为
0
0
0
ln
,
x
x
x
，所以
0
0
2
0
1 ln
x x
x
y
x
，
所以切线方程为
0
0
0
2
0
0
ln
1
ln
x
x
y
x
x
x
x
，
又切线过坐标原点，所以
0
0
0
2
0
0
ln
1 ln
x
x
x
x
x
，解得
0
e
x
，
所以切线方程的斜率为
0
2
2
0
1
1
1
ln
1
2
2e
( e)
x
k
x
.故选：B
2.已知曲线
3
:
2
S y
x
x
．
（1）求曲线S 在点
(1,1)
A
处的切线方程；
（2）求过点
(2,0)
B
并与曲线S 相切的直线方程．
【解答】解：（1）
3
2
2
3
2
y
x
x
y
x
当
1
x 时，
1
y
点
(1,1)
A
处的切线方程为：
1
( 1)(
1)
y
x
即：
2
0
x
y
（2）设切点坐标为
3
( ,2
)
m
m
m
则直线斜率
3
2
2
m
m
k
m
，
而
2
2
3
y
m
，
整理得到：
3
2
3
2
0
m
m
3
2
2
2(
1)
0
m
m
m
2(
1)
2(
1)(
1)
0
m m
m
m
2
(
1)(
2
2)
0
m
m
m
解得
1
1
m ，
2
1
3
m
，
3
1
3
m
当
1
m 时：
2
2
3
1
k
m
，直线方程为
(
2)
2
y
x
x
；
当
1
3
m
时，
2
2
3
10
6 3
k
m
，直线方程为
( 10
6 3)(
2)
y
x
当
1
3
m
时，
2
2
3
10
6 3
k
m
，直线方程为
( 10
6 3)(
2)
y
x
3.过点
2, 6
作曲线
3
3
y
x
x
的切线，所得切线斜率为（
）
A．－3
B．0 或3
C．－3 或24
D．0
【答案】C
【解析】由已知可得，点
2, 6
不在曲线
3
3
y
x
x
上，设切点为
0
0
,
x
y
因为
2
3
3
y
x
，根据导数的几何意义可得，切线斜率
2
0
3
3
k
x
，
又切线过点
2, 6
，所以
0
0
0
0
6
6
2
2
y
y
k
x
x
，
所以
2
0
0
0
6
3
3
2
y
x
x
，整理可得
3
2
0
0
0
0
3
6
3
y
x
x
x
.
又
3
0
0
0
3
y
x
x
，所以有
3
2
0
0
0
3
0
0
3
6
3
3
x
x
x
x
x
，即
3
2
0
0
3
0
x
x
，解得
0
0
x
或
0
3
x .
当
0
0
x
时，
3
k ；当
0
3
x 时，
24
k
.
所以切线斜率为－3 或24.故选：C.
4.已知过点
1,0
的直线与曲线
ex
y
的相切于点A ，则切点A 坐标为（
）
A．
0,1
B．
1,e
C．
2
2,e
D．
3
3,e
【答案】A
【解析】设切点坐标为( ,e )
t
t
，由
ex
y
，得
ex
y
，则过切点的切线方程为
e
e (
)
t
t
y
x
t
，
把点
1,0
代入切线方程得，
(
)
0
e
1
e
t
t
t
，即
0
et
t
，
又e
0
t
，所以
0
t
，则e
1
t ，
则切点坐标为
0,1 .故选：A
5.已知函数
3
2
2
( )
( 1)
3
f x
x
x
f
x
，其中
f
x
是
f
x 的导函数.
（1）求
1
f
；
（2）求过原点与曲线
y
f x
相切的切线方程.
【答案】（1）
( 1)
3
f
；（2）
2
y
x
或
9
4
y
x
【解析】（1）因为
3
2
2
( )
( 1)
3
f x
x
x
f
x
，
所以
2
2
3
2
1
3
f
x
x
x
f
，
令= 1
x ，得
2
1
3
2
1
3
f
f
，解得
( 1)
3
f
；
（2）由（1）可知
3
2
( )
2
f x
x
x
x
，所以
2
( )
3
2
2
f
x
x
x
，
设切点
3
2
,
2
t t
t
t
，则
2
3
2
2
f
t
t
t
，
所以切线方程为
3
2
2
2
3
2
2 (
)
y
t
t
t
t
t
x
t
，
由题
3
2
2
2
3
2
2 (
)
t
t
t
t
t
t
，整理得
2(2
1)
0
t
t
，解得
0
t
或
1
2
t
.
当
0
t
时，切线方程为
2
y
x
；
当
1
2
t
时，切线方程为
9
4
y
x
.
综上，曲线
y
f x
过原点的切线方程为
2
y
x
或
9
4
y
x
.
5.设
0
1
x ，曲线
ln
3
2
f
x
a x
x
a
在点
0,0
P x
处的切线经过点
0,2e ，则
0
a
x
（
）
A．e
B．
2e
C．
3e
D．2e
【答案】D
【分析】根据已知得到
0
0
0
3
2e ln
3
4e
x
x
x
0，令
3
2e ln
3
4e
g x
x
x
x
，再利用导数求出函数的
单调性和零点得解.
【详解】解：由题得
0
0
f x
，即
0
0
ln
3
2
0
a x
x
a
①，
又
3
a
f
x
x
，所以
0
0
0
2e
3
a
f
x
x
x
，即
0
3
2e
x
a
②，联立①②得
0
0
0
3
2e ln
3
4e
x
x
x
0，
令
3
2e ln
3
4e
g x
x
x
x
，所以
2e
3ln
6
g
x
x
x
，则
g
x
在区间
0,
内单调递增，
又
2
1
3
2e
0,
1
6
2e
0
e
g
g
，由零点存在性定理可知存在
1,1
e
m
，使得
0
g m
，
当
0,
x
m
时，
0
g
x
，所以
g x 单调递减；当x
,
m 时，
0
g
x
，
所以
g x 单调递增，又
0x 1，且
e
0
g
，所以
0
e
x ，代入②得
e
a ，所以
0
2e
a
x
.故选：D
6.写出a 的一个值，使得直线
0
x
ay
a
是曲线
sin x
y
x
的切线，则a=______.【答案不唯一】
【答案】（答案不唯一）
【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点
0,1 ，利用导数的几何意义，列式求
参数a 的值.
【详解】设切点为
0
0
,
P
x
y
，直线
0
x
ay
a
恒过定点
0,1 ，
2
cos
sin
x
x
x
y
x
，则
0
0
0
0
0
2
0
0
sin
1
cos
sin
x
x
x
x
x
x
x
，
则
0
0
0
0
0
sin
cos
sin
x
x
x
x
x
，可得其中一个根
0x
，
1
x
y
，此时
1
1
a
，得a
.
故答案为：（答案不唯一）
题型三：切线的平行与垂直问题
1.设曲线
2x
f x
a x
在点
1,
1
f
处的切线与直线ln2
3
0
x
y
平行，则实数
a
（
）
A．ln2
2
B．ln2
C．2ln2
D．3ln2
【答案】C
【解析】由
2x
f
x
a x
得
1
1
2 l 2
2
n
x
f
x
a
x
，故
2l
1
2
1
2
n
f
a
，
由于点
1,
1
f
处的切线与直线ln2
3
0
x
y
平行，且直线ln2
3
0
x
y
的斜率为ln 2 ，
所以
1
1
2ln 2
2
ln 2
2ln 2
f
a
a
，故选：C
2.已知
ln
f x
x
x
，曲线
y
f x
在点Q 处的切线l 与直线2
14
0
x
y
平行，则直线l 的方程为（
）
A．2
1
0
x
y
B．2
1
0
x
y
C．
2
1
0
x
y
D．
2
1
0
x
y
【答案】B
【解析】因为
ln
f x
x
x
，其中
0
x
，则
1
1
f
x
x
，
直线2
14
0
x
y
的斜率为2 ，由
1
1
2
f
x
x
，
可得
1
x ，且
1
1
f
，即点
1,1
Q
，
所以，直线l 的方程为
1
2
1
y
x
，即2
1
0
x
y
.故选：B.
3.已知曲线
1e
ln
x
y
x
x
在
1
x 处的切线与直线
2
0
x
my
垂直，则实数m
.
【答案】-2
【解析】因为
1e
ln
x
y
x
x
，定义域为
0,
，所以
1e
ln
1
x
y
x
，
所以曲线
1e
ln
x
y
x
x
在
1
x 处的切线斜率为
1
2
x
y
，
因为曲线
1e
ln
x
y
x
x
在
1
x 处的切线与直线
2
0
mx
y
垂直，
所以
0
m
不符合题意，所以直线
2
0
x
my
的斜率为
1
m
，
所以
1
( 2)
1
m
，所以
2
m .
4.函数
2
ex
f x
x
a
的图象在点
0,
0
f
处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则实数
a
．
【答案】0
【解析】由题可得，
2
2
ex
f
x
x
a
，
所以在点
0,
0
f
处的切线斜率为
0
2
f
a
，
又切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，
所以2
2
a
，解得
0
a
．
5.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
【答案】3
13
2
【解析】对于
3
y
x
，
2
=3
y
x
；
对于
1
ln
0
3
3
x
y
x x
，
1
1
1
1
1
=
=
0
3
3
3
3
y
x
x
x
；
由于两条曲线在
0
0
0
x
x
x
处的切线互相垂直，
所以
2
2
0
0
0
0
1
1
3
=3
=
1
3
x
x
x
x
，
2
0
0
3
1=0
x
x
，解得
0
3
= 3
1
2
x
（负根舍去）.
题型四：切线的条数问题
1.若过
,a b 可作
1 (
0)
y
x
x
x
的两条切线，则（
）
A．
1
a
b
a
a
B．a
b
C．
0
b
D．
1
b
a
a
【答案】A
【解析】设切点为
0
0
0
2
0
1
1
,
,
0 ,
1
x x
x
y
x
x
，切线的斜率
2
0
1
1
k
x
，
则切线方程为：
0
0
2
0
0
1
1
1
y
x
x
x
x
x
，
把点( , )
a b 代入可得
0
0
2
0
0
1
1
1
b
x
a
x
x
x
，
化为：
2
0
0
(
)
2
0
b
a x
x
a
，则此方程有大于0 的两个实数根．
则
0
Δ
4
4
0
2
0
0
b
a
b
a a
b
a
a
b
a
，即
0
1
b
a
a
b
a a
，则
1
a
b
a
a
，故选：A．
2.（多选）已知函数
3
f x
x
mx
，若过点
1,1
P
恰能作2条曲线
y
f x
的切线，则m 的值可以为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BC
【解析】设切点为
2
0
0
,
,
3
x
y
f
x
x
m
，
切线的方程为
3
2
0
0
0
0
3
(
y
x
mx
x
m
x
x
.
代入点
1,1
P
，可得
3
2
0
0
0
0
1
3
1
x
mx
x
m
x
，即
3
2
0
0
2
3
1
x
x
m
.
因为切线过点
1,1
P
恰能作2 条曲线
y
f x
的切线，所以方程
3
2
0
0
2
3
1
x
x
m
有2 解.
令函数
3
2
2
3
,
6
1
g x
x
x
g
x
x x
.
当
1
x 或
0
x
时，
0
g
x
；当1
0
x
时，
0
g x
.
所以
g x 在
, 1
和
0,
上单调递增，在
1,0
上单调递减.
所以( )
g x 的极大值为
1
1
g
，( )
g x 的极小值为
0
0
g
，
所以
1
1
m 或
1
0
m
，解得
2
m
或
1
m .故选：BC.
3.若曲线
1 ex
y
x
过点
,0
P a
的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
1
a 或
5
a
【解析】
2 ex
y
x
，设切点
,
1 et
t t
，则切线的斜率为
2 et
k
t
，
故切线方程为
2
2 e
1 e
t
t
y
t
x
t
t
，
取x
a
，
0
y
代入，得
2
2
1
e
0
t
a t
t
t
，
∵e
0
t
，∴
2
1
2
1
0
t
a
t
a
有两个不等实根，
故
2
2
Δ
1
4 2
1
6
5
0
a
a
a
a
，解之，得
1
a 或
5
a .
4.若曲线
ex
x
f x
有三条过点
0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（
）
A．
2
1
0, e
B．
2
4
0, e
C．
1
0, e
D．
4
0, e
【答案】B
【解析】设该切线的切点为
0
0
0
(
,
)
ex
x
x
，则切线的斜率为
0
0
0
1
(
)
ex
x
k
f
x
，
所以切线方程为
0
0
0
0
0
1
(
)
e
e
x
x
x
x
y
x
x
，
又切线过点(0, )
a ，则
0
0
0
0
0
1
(0
)
e
e
x
x
x
x
a
x
，整理得
0
2
0
ex
x
a
.
要使过点(0, )
a 的切线有3 条，需方程
0
2
0
ex
x
a
有3 个不同的解，
即函数
0
2
0
ex
x
y
图象与直线y
a
在R 上有3 个交点，
设
2
( )
ex
x
g x
，则
(2
)
( )
ex
x
x
g x
，
令
( )
0
0
2
g x
x
，令
( )
0
0
g x
x
或
2
x
，
所以函数( )
g x 在(0,2) 上单调递增，在(
,0)
和(2,
)
上单调递减，
且极小值、极大值分别为
2
4
0
0,
2
e
g
g
，如图，
由图可知，当
2
4
0
e
a
时，函数
0
2
0
ex
x
y
图象与直线y
a
在R 上有3 个交点，
即过点(0, )
a 的切线有3 条.
所以实数a 的取值范围为
2
4
0
e
a
.故选：B.
5.若过点
,s t 可以作曲线
ln
y
x
的两条切线，则（
）
A．
ln
s
t
B．
ln
s
t
C．
ln
t
s
D．
ln
t
s
【答案】D
【分析】设切点为
0
0
(
,ln
)
x
x
，
0
(
0)
x
,等价于
0
0
0
(
1)
ln
t
x
x
x
s
有两个不同的实数根
0x ，求出( )
g x 单调区
间和最大值即得解.
【详解】解：设切点为
0
0
(
,ln
)
x
x
，
0
(
0)
x
, 由题得
1
y
x
，所以切线的斜率为
0
1
x ，
所以切线方程为
0
0
0
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
，
所以
0
0
0
0
1
ln
(
)=
1
s
t
x
s
x
x
x
，
所以
0
0
0
(
1)
ln
t
x
x
x
s
有两个不同的实数根
0x ，
设( )
(
1)
ln ,(
0),
( )
ln
g x
t
x
x
x x
g x
t
x
，
当0
et
x
时，
( )
0, ( )
g x
g x 单调递增；当
et
x
时，
( )
0, ( )
g x
g x
单调递减.
所以
max
( )
(e )
e
t
t
g x
g
，
所以
e ,
ln
,
ln
t
s
s
t
t
s
.
故选：D
6.已知函数
1 ex
f x
x
，过点M（1，t）可作3 条与曲线
y
f x
相切的直线，则实数t 的取值范围
是（
）
A．
2
4 ,0
e
B．
2
4
2
,
e
e
C．
3
6 ,2e
e
D．
3
6 ,0
e
【答案】D
【分析】设切点为( ,(
1)e )
a
a a
，利用导数的几何意义求出切线的斜率
( )
k
f
a
，利用点斜式写出切线方程，
将点M 的坐标代入切线方程，可得关于a 的方程有三个不同的解，利用参变分离可得
2
(3
)ea
t
a
，令
2
( )
(3
)ex
g x
x
，利用导数求出( )
g x 的单调性和极值，则根据
( )
y
g x
与y
t
有三个不同的交点，即可求
出实数t 的取值范围
【详解】设切点为( ,(
1)e )
a
a a
，由
1 ex
f x
x
，得
e
1 e
2 e
x
x
x
f
x
x
x
，
所以切线的斜率为
2 ea
k
f
a
a
，所以切线方程为
(
1)e
(
2)e (
)
a
a
y
a
a
x
a
，因为点M（1，t）
在切线上，
所以
(
1)e
(
2)e (1
)
a
a
t
a
a
a
，化简整理得
2
(3
)ea
t
a
，令
2
( )
(3
)ex
g x
x
，则
2
( )
(3
2
)e
(
1)(
3)e
x
x
g x
x
x
x
x
，
所以当
3
x 或
1
x 时，
( )
0
g x
，当3
1
x
时，
( )
0
g x
，
所以( )
g x 在(
, 3)
和(1,
)
上递减，在( 3,1)
上递增，所以( )
g x 的极小值为
3
3
6
( 3)
(3
9)e
e
g
，极
大值为(1)
2e
g
，
当
3
x 时，
( )
0
g x
，所以( )
g x 的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3 条与曲线
y
f x
相切的直线，所以
( )
y
g x
的图象与直线y
t
有三个不同的
交点，
所以由图象可得
3
6
0
e
t
，故选：D
7.若过点( , )
m n 可以作曲线
2
log
y
x
的两条切线，则（
）
A．
2
log
m
n
B．
2
log
n
m
C．
2
log
m
n
D．
2
log
n
m
【答案】B
【分析】作出函数
2
log
y
x
的图象，由图象观察得出结论．
【详解】作出函数
2
log
y
x
的图象，由图象可知点( , )
m n 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切
线，
所以
2
log
n
m
，
故选：B．
8.过点
0,b 作曲线
ex
y
的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,1
D．
0,1
【答案】A
【分析】设切点
0
0
,
P
x
y
，进而求得切线方程，进而得到
0
0 e
1
x
b
x
，构造函数
1
ex
g x
x
分析
1
ex
g x
x
的单调性与取值范围即可判断
0
0 e
1
x
b
x
有且仅有两根时b 的取值范围即可
【详解】设切点为
0
0
,
P
x
y
，
ex
y
，故过
0
0
,
P
x
y
的切线方程为
0
0
0
e
e
x
x
y
x
x
，即
0
0
0
e
1
ex
x
y
x
x
.故
0
0 e
1
x
b
x
有且仅有两根.设
1
ex
g x
x
，则
ex
x
g
x
，令
0
g
x
则
0
x
，
令
0
g
x
则
0
x
，且
0
0
1
e
g
，又当
0
x
时，
0
g x
，1
0
g
.故
0
0 e
1
x
b
x
有且仅有两根则
b 的取值范围为
0,1
故选：A
题型五：两曲线的公切线问题
1.曲线
log
1
a
y
x a
与y
x
在公共点处有相同的切线，则
a
.
【答案】
2
e
e
【解析】设
log
1
a
y
f x
x a
、
y
g x
x
，则
1
ln
f
x
x
a
、
1
2
1
2
g
x
x
，
设
( )
f x 与( )
g x 的公共点为
0
0
,
x
y
，
( )
f x
与( )
g x 在公共点处有相同的切线，
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
f
x
g x
f x
g x
，即
0
0
0
0
1
1
ln
2
loga
x
a
x
x
x
，则
0
0
0
0
ln
ln
ln
2
x
x
a
x
a
x
，则
0
ln
2
x
，所以
2
0
e
x
，
2
ln
e
a
，所以
2
ee
a
．
2.若直线l 是曲线
ln
y
x
的切线，也是曲线
2
ex
y
的切线，则直线l 的方程为
．
【答案】
1
y
x
或
1
e
y
x
【解析】设y
kx
b
与
ln
y
x
和
2
ex
y
的切点分别为
1 2
1
2
2
(
,e
),(
,ln
)
x
x
x
x
，
由导数的几何意义可得
1 2
2
1
ex
k
x
，
曲线在
2
ex
y
在点
1 2
1
(
,e
)
x
x
处的切线方程为
1
1
2
2
1
e
e
(
)
x
x
y
x
x
，即
1
1
2
2
1
e
(1
)e
x
x
y
x
x
，
曲线
ln
y
x
在点
2
2
(
,ln
)
x
x
处的切线方程为
2
2
2
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
，
即
2
2
1
ln
1
y
x
x
x
，则
1
1
2
2
2
1
2
1
e
(1
)e
ln
1
x
x
x
x
x
，解得
2
1
x ，或
2
e
x
，所以
1
k 或1
e ．
代入得
1
y
x
或
1
e
y
x
.
3.若直线
4
y
x
m
是曲线
3
13
y
x
nx
与曲线
2
2ln
y
x
x
的公切线，则n
m
．
【答案】5
【解析】由
2
2ln
y
x
x
，得
2
2
y
x
x
，由
2
2
4
x
x
，解得
1
0
x
x
，
则直线
4
y
x
m
与曲线
2
2ln
y
x
x
相切于点
1,4
m
，
∴4
1 2ln1 1
m
，得
3
m ，
∴直线
4
3
y
x
是曲线
3
13
y
x
nx
的切线，
由
3
13
y
x
nx
，得
2
3
y
x
n
，设切点为
3
,
13
t t
nt
，
则
2
3
4
t
n
，且
3
13
4
3
t
nt
t
，联立可得
2
2
16
3
4
4
t
t
t
，解得
2
t
，所以
8
n ．
∴
8
3
5
n
m
．
4.若函数
2
( )
1
f x
x
与( )
ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
）
A．2e
B．e
C．
e
D．
2e
【答案】A
【解析】由题意得，
( )
2
f
x
x
，
( )
a
g x
x
．
设公切线与
2
( )
1
f x
x
的图象切于点
2
1
1
,
1
x x
，
与( )
ln
1
g x
a
x
的图象切于点
2
2
, ln
1
x a
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
ln
1
1
ln
2
a
x
x
a
x
x
a
x
x
x
x
x
x
，
∴
1
2
2
0
a
x x
，∴
2
1
2
2
1
1
2
1
2
ln
2
x x
x
x
x
x
x
，
∴
1
2
2
2
2
2
ln
x
x
x
x
，∴
2
2
1
2
2
2
2
2
4
4
ln
a
x x
x
x
x
．
设
2
2
( )
4
4
ln
h x
x
x
x
，则
( )
4 (1
2ln )
h x
x
x
，
∴
h x 在(0, e)上单调递增，在( e,
)
上单调递减，
∴
max
( )
( e)
2e
h x
h
，
∴实数a 的最大值为2e，故选：A．
5.曲线
2(
0)
f x
ax a
与
ln
g x
x
有两条公切线，则a 的取值范围为
【答案】1
(
,
)
2e
【解析】对
2
y
ax
求导得：
2
y
ax
；对
ln
y
x
求导得：
1
y
x
，
设与
2
y
ax
相切的切点为
,s t ，与曲线
ln
g x
x
相切的切点为
,
(
0)
m b
a
，
∴公共切线斜率为
1
2
t
b
as
m
s
m
，又
2
t
as
，
ln
b
m
，
∴
2
1
ln
2
as
m
as
m
s
m
，整理得
2
ln 2
1
0
as
as
，
设
2
ln 2
1
f s
as
as
，则
2
2
2
1
2
2
a
as
f
s
as
as
s
，又
0
a
，
0
s
，
当
1
2
s
a
时，
0
f
s
，
f s 单调递增；当
1
2
s
a
时，
0
f
s
，
f s 单调递减，
∴
1
2
s
a
处
f s 取得极小值，也为最小值为
1
1
ln 2
2
2
f
a
a
，
由恰好存在两条公切线，即
0
f s
有两解，而当s 趋向于0 时
f s 趋向于正无穷大，
令( )
ln
1
h x
x
x
，则
1
( )
1
h x
x
且
0
x
，
故(0,1)上
( )
0
h x
，即( )
h x 递减；(1,
)
上
( )
0
h x
，即( )
h x 递增，
∴( )
(1)
0
h x
h
，即
ln
1
x
x
，故2
ln(2
) 1
as
as
，
∴
2
2
(
2)
f s
as
as
as s
，显然当
2
s
时
0
f s
.
∴只要
1
0
2
f
a
，可得
1
2e
a
.
6.若函数
1
( )
3
3(
0)
f x
x
x
x
的图象与函数
ex
g x
tx
的图象有公切线l ，且直线l 与直线
1
2
2
y
x
互相垂直，则实数t （
）
A．1
e
B．
2e
C．1
e 或2 e
D．1
e 或4 e
【答案】D
【分析】根据垂直性质可得
2
lk
，再求导根据导数的几何意义可得切线l 的方程为
2
1
y
x
，再设函数
ex
g x
tx
与直线l 切于点
0
0
,
x
y
，列式求解即可
【详解】由题知，
2
lk
，令
2
1
3
2
f
x
x
，又
0
x
，解得
1
x ，因为
1
1
f
，所以切线l 的方程为
2
1
y
x
.
( )
(
1)ex
g x
t x
，
设函数
ex
g x
tx
与直线l 切于点
0
0
,
x
y
，所以
0
0
0
0
0
2
1
e
2
1 e
x
x
x
tx
t x
，故
0
0
0
0
0
2
1
e
2
e
1
x
x
x
t
x
t
x
，即
0
0
0
2
1
2
1
x
x
x
，
2
0
0
2
1
0
x
x
，解得
0
1
1
e
x
t
或
0
1
2
4 e
x
t
.故选：D
7.若函数
2
1
f x
x
与
2 ln
1
g x
a
x
的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（
）
A．e
2
B．e
C．
e
D．
2e
【答案】B
【分析】分别设公切线与
2
1
f x
x
和
: ( )
2 ln
1
C g x
a
x
的切点
2
1
1
,
1
x x
，
2
2
,2 ln
1
x
a
x
，根据导数
的几何意义列式，再化简可得
2
2
2
2
2
2
2
ln
a
x
x
x
，再求导分析
2
2
( )
2
2
ln (
0)
h x
x
x
x x
的最大值即可
【详解】
2
f
x
x
，
2a
g
x
x
，设公切线与
2
1
f x
x
的图象切于点
2
1
1
,
1
x x
，与曲线
: ( )
2 ln
1
C g x
a
x
切于点
2
2
,2 ln
1
x
a
x
，
∴
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2 ln
1
1
2
2 ln
2
a
x
x
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
，故
1
2
a
x x
，所以
2
1
2
2
1
1
2
1
2
ln
2
x x
x
x
x
x
x
，
∴
1
2
2
2
2
2
ln
x
x
x
x
，∵
1
2
a
x x
，故
2
2
2
2
2
2
2
ln
a
x
x
x
，
设
2
2
( )
2
2
ln (
0)
h x
x
x
x x
，则
( )
2 (1 2ln )
h x
x
x
，
∴
h x 在(0, e)上递增，在( e,
)
上递减，∴
max
( )
( e)
e
h x
h
，
∴实数a 的最大值为e
故选：B.
8.若曲线
ln
y
x
与曲线：y =
2x k 有公切线，则实数k 的最大值为（
）
A．7
8 + 1 ln2
2
B．7
8 - 1 ln2
2
C．1
2 + 1 ln2
2
D．1
2
1 ln2
2
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得
2
1
2
1
2
1
2
ln
1
x
x
x
x
k
，整理得
2
2
2
ln 2
1
( )
k
x
x
f x
，利用导数研究函数的单调性求出
max
( )
f x
即可得出结果.
【详解】设在曲线
ln
y
x
上的切点为
1
1
( ,ln
)
x
x ，则切线斜率为
1
'
1
1
(ln ) |x x
x
x
，
在曲线
2
y
x
k
上的切点为
2
2
2
(
,
)
x
x
k
，切线斜率为
2
2
'
2
(
) |
2
x x
x
k
x
，
所以切线方程分别为
1
1
1
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
、
2
2
2
2
2
(
)
y
x
k
x
x
x
，即
1
1
1
ln
1
y
x
x
x
、
2
2
2
2
y
x x
x
k
，
有
2
1
2
1
2
1
2
ln
1
x
x
x
x
k
，整理得
2
2
2
ln 2
1
k
x
x
，设
2
( )
ln 2
1(
0)
f x
x
x
x
，则
2
1
1 2
( )
2
x
f
x
x
x
x
，
令
2
( )
0
0
2
f
x
x
，令
2
( )
0
2
f
x
x
，故函数
( )
f x 在
2
(0,
)
2
上单调递增，在
2
(
,
)
2
上单调递
减，
所以在(0,
)
上
max
2
1
2
1
1
( )
(
)
ln
ln 2
2
2
2
2
2
f x
f
，如图，
由图可知
1
1 ln 2
2
2
k
，即k 的最大值为1
1 ln2
2
2
.故选：C.
题型六：三角函数的切线
1.函数
2 cos
2sin
f x
x
x
x
在
π
x
处的切线在y 轴上的截距为（
）
A．
2
π
2π
B．2π
C．
2
π
2
D．
2
2π
π
2
2π
【答案】A
【分析】先求出
f
x
，根据导数的几何意义，得出切线方程，然后在切线方程中令
0
x
可得出答案.
【详解】因为
2 cos
2sin
f x
x
x
x
，所以
2
2 cos
sin
2cos
f
x
x
x
x
x
x
，
所以
π
2π
2
f
，
2
π
π
f
，所以
f
x 在
π
x
处的切线方程为
2
π
2π
2
π
y
x
，
令
0
x
得
2
π
2π
y
．故选：A．
2.设函数
3
2
1
( )
(
1)
sin
3
f x
x
a
x
a
x
，若
( )
f x 为奇函数，则曲线
( )
y
f x
在点(0,0) 处的切线斜率为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
1
2
【答案】C
【分析】先由函数为奇函数，求出a ，再利用导数的几何意义可求出切线的斜率
【详解】因为
( )
f x 为奇函数，所以
(
)
( )
0
f
x
f x
-
+
=
，所以
3
2
3
2
1
1
(
)
(
1)(
)
sin(
)
(
1)
sin
0
3
3
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
，所以
2
2(
1)
0
a
x
，
所以
1
0
a
，解得
1
a ，所以
3
1
( )
sin
3
f x
x
x
，
2
( )
cos
f
x
x
x
，所以
(0)
1
f
，
所以曲线
( )
y
f x
在点(0,0) 处的切线斜率为1．故选：C．
3.过曲线
cos
y
x
上一点
1
,
3 2
P
且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（
）
A．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
B．
2
1
2
0
3
2
x
y
C．
2
3
2
3
0
3
2
x
y
D．
2
1
2
0
3
2
x
y
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，可得切线斜率k，进而可得所求直线斜率k，代入点斜式方程，整理即可
得答案.
【详解】由题意得
sin
y
x
，
所以在点
1
,
3 2
P
处切线斜率
3
sin 3
2
k
，
则所求直线斜率
1
2 3
3
3
2
k
，
所以直线方程为
1
2 3
2
3
3
y
x
，整理得
2
3
2
3
0
3
2
x
y
.
故选：A
4.已知函数
3sin
4cos
f x
x
x
，则曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程为（
）
A．
3
4
y
x
B．
0
y
C．
4
y
D．
4
3
y
x
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】
3sin
4cos
f x
x
x
，
3cos
4sin
f
x
x
x
，
0
3
f
，
0
4
f
，
所以函数
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程为
4
3
0
y
x
，
即
3
4
y
x
.故选：A
题型七：切线与倾斜角
1.设点P 是曲线
3
3
2
y
x
x
上的任意一点，P 点处切线倾斜角为，则角的取值范围是______.
【答案】
2
0,
,
2
3
【分析】求出
2
3
3
y
x
，由tan
3
，根据的范围可得答案.
【详解】∵
2
3
3
3
y
x
，
∴tan
3
，
又∵0
，
∴0
2
或2
3
a
则角的取值范围是
2
0,
,
2
3
.
故答案为：
2
0,
,
2
3
.
2.函数
2ln
1
sin
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（
）
A．3
10 B．± 3
10
C．3
5
D．± 3
5
【答案】C
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在
0
x
处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到
sin2的值．
【详解】因为
2ln
1
sin
y
x
x
所以
2
cos
1
y
x
x
当
0
x
时，
3
y¢ = ，此时tan
3
，
∴
2
2
2
2sin
cos
2 tan
6
3
sin 2
2sin
cos
sin
cos
tan
1
9
1
5
．
故选：C.
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.
【详解】因为
2
ln
3
y
x
x
a x
，所以
1
2
3
y
x
a
x
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角
π π
,
3 2
，
所以
π
tan
3
3
y
对于任意的
0
x
恒成立，
即1
2
3
3
x
a
x
对任意
0
x
恒成立，
即
1
2
a
x
x
，又
1
2
2 2
x
x
，当且仅当
1
2x
x
，
即
2
2
x
时，等号成立，故
2 2
a
，
所以a 的取值范围是
,2 2
．
故选：D．
题型八：直线上点到曲线距离
1.已知
1
1
1
ln
2
0
x
x
y
，
2
2
2
5
2ln 2
0
x
y
，则
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
的最小值为（
）
A．3 5
5
B．4 5
5
C．9
5
D．16
5
【注意】直线与曲线最短距离，方法主要是“切线平行法”
【答案】C
【分析】依题意可得
1
1
,
A x y
在函数
ln
2
y
x
x
上，点
2
2
,
B x
y
在函数
1
5
ln 2
2
2
y
x
上，则
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
表示A 、B 两点的距离的平方，要求最小值，先求AB 的最小值，当过A 的点切线与
直线
1
5
ln 2
2
2
y
x
平行时，点A 到直线
1
5
ln 2
2
2
y
x
的距离即为AB 的最小值，利用导数求出切
点坐标，最后利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】解：由
1
1
1
ln
2
0
x
x
y
，则点
1
1
,
A x y
在函数
ln
2
y
x
x
上，
2
2
2
5
2ln 2
0
x
y
，则点
2
2
,
B x
y
在函数
1
5
ln 2
2
2
y
x
上，
则
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
表示A 、B 两点的距离的平方，
要求
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
的最小值，即求AB 的最小值，
当过A 的点切线与直线
1
5
ln 2
2
2
y
x
平行时，点A 到直线
1
5
ln 2
2
2
y
x
的距离即为AB 的最小值，
由
ln
2
y
x
x
可得
1
1
y
x
，所以
1
1
1
1
|
1
2
x x
y
x
，解得
1
2
x
，
所以
1
ln 2
2
2
ln 2
y
，即
2,ln 2
A
，
所以
2,ln 2
A
到
2
5
2ln 2
0
x
y
的距离
2
2
2
2ln 2
5
2ln 2
3
5
1
2
d
，即
min
3
5
AB
，
所以
2
2
1
2
1
2
x
x
y
y
的最小值为
2
min
9
5
AB
；
故选：C
2.曲线
ex
y
上到直线
e
2
y
x
的距离为
1
2 的点的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】设曲线
ex
y
上的点坐标为
,ex
x
，根据点到直线的距离公式得出关于x 的方程式，根据“三个等
价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结论.
【详解】设曲线
ex
y
上的点坐标为
,ex
x
，点到直线
e
2
y
x
的距离为
1
2 ，
即：
2
e
e
2
1
2
e
1
x
x
d
，化简得：
2
1
e
e
2
e
1
2
x
x
，令
e
e
2
x
f x
x
，求导得：
e
ex
f
x
当
1
x 时，
0
f
x
，
f
x 单调递增；当
1
x 时，
0
f
x
，
f
x 单调递减；
max
1
2
0
f
x
f
，又
1
0,
2
0
f
f
，
1
1,1
x
，使
1
0
f x
；
2
1,2
x
，使
2
0
f x
；
对于函数
e
e
2
x
g x
x
，则有：
1
,
x
x
，
g x 单调递减；
1,1
x
x
，
g x 单调递增；
2
1,
x
x
，
g x 单调递减；
2,
x
x
，
g x 单调递增；又
2
1
1
2
e
1
2
g
，
e
e
2
x
g x
x
与直线
2
1
e
1
2
y
有两个交点，
曲线
ex
y
上到直线
e
2
y
x
的距离为
1
2 的点的个数为2 个.故选：C.
3.曲线
ln
y
x
上的点到直线
2
y
x
的最短距离是（
）
A．2 2
B．3 2
2
C．
2
3
D．
2
【答案】B
【分析】求曲线
ln
y
x
的切线方程，再求两平行线间距离.
【详解】
如图所示，设曲线
ln
y
x
上一点
0
0
,ln
x
x
，且在该点处切线斜率为1，
1
y
x
，所以斜率
0
1
1
k
x
，解得
0
1
x ，故切点为
1,0 ，切线方程为
0
1
1
y
x
，即
1
y
x
，
两直线间距离为
2
2
2
1
3 2
2
1
1
，故选：B.
4.已知实数a，b，c，d 满足：
2e
1
1
1
a
a
c
b
d
，其中e 是自然对数的底数，则
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的最小值是
（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】由a，b，c，d 满足：
2e
1
1
1
a
a
c
b
d
，得到点
,
a b 在曲线
2ex
y
x
上，点
,c d 在
2
y
x
上，
从而得到
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的几何意义就是曲线
2ex
y
x
上的任一点到
2
y
x
上的任一点的距离的平方.
利用导数求出
2 2
d
就是两曲线间距离的最小值，即可求出
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的最小值.
【详解】因为实数a，b，c，d 满足：
2e
1
1
1
a
a
c
b
d
，
所以
2ea
b
a
，
2
d
c
.
所以点
,
a b 在曲线
2ex
y
x
上，点
,c d 在
2
y
x
上.
所以
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的几何意义就是曲线
2ex
y
x
上的任一点到
2
y
x
上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当
2ex
y
x
的某一条切线与
2
y
x
平行时，两平行线间距离最小.
设
2ex
y
x
在点
,
a b 处的切线与
2
y
x
平行，则有：
2e
1 2e
1
a
a
b
a
y
，解得：
2
0
b
a
，即切点为
0, 2
.
此时
0, 2
到直线
2
y
x
的距离为
| 0
2
2 |
2 2
1 1
d
就是两曲线间距离的最小值，
所以
2
2
(
)
(
)
a
c
b
d
的最小值为
2
2
2 2
8
d
.故选：B
题型九：两曲线上点距离最值
【基础知识】
两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图
1.设P 为曲线
ex
y
上一点，Q 为曲线
ln
y
x
上一点，则|PQ|的最小值为（
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
【答案】C
【分析】由导数求出两曲线的切线
【详解】
ex
y
，
ex
y
，
0
x
时，
1
y，
1
y ，所以
1
y
x
是
ex
y
图象的一条切线，切点为(0,1)，
ln
y
x
，
1
y
x
，
1
x 时，
1
y，
0
y
，所以
1
y
x
是
ln
y
x
的图象的一条切线，切点为(1,0) ，
1 0
1
0 1
k
，
这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直，
|PQ|的最小值即为两切点间的距离．
所以
min
2
PQ
，故选：C．
2.已知函数
4
3
e x
y
的图象与函数
ln(
1) 1
4
x
y
的图象关于某一条直线l 对称，若P，Q 分别为它们上的两
个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
2(1 ln 2)
2
【分析】整体代换求解直线l 的解析式，利用导数的几何意义求解函数
4
3
e x
y
的图象上到直线l 距离最短
的点，即为点P ，即可求解
,
P Q 两点间的最短距离.
【详解】解：令
1
t
x
，则
1
x
t
，
4
3
4
1
e
=e
x
t
y
，
ln(
1) 1
ln
1
4
4
x
t
y
．
因为
4
1
e t
y
与
ln
1
4
t
y
关于直线y
t
对称，
所以函数
4
3
e x
y
与函数
ln(
1) 1
4
x
y
关于直线
1
y
x
对称，
所以P，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线
1
y
x
距离最小值的2 倍，
函数
4
3
e x
y
在
0
0
(
,
)
P x
y
点处的切线斜率为
0
4
3
4e x
k
，
令
0
4
3
4e
1
x 得，
0
3
2ln 2
4
x
，
0
1
4
y
，
所以点P 到直线
1
y
x
距离的最小值为
3
2ln 2
1
1
1 ln 2
4
4
2
2 2
d
，
所以这两点之间距离的最小值为
2 1 ln 2
2
2
d
．
故答案为：
2(1 ln 2)
2
.
3.已知点P 为曲线
ln
e
x
y
上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线
ln
y
a x
相切，则
实数a＝___．
【答案】e
【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设
1
( ,
ln )
e
P x
x ，所以
2
2
2
1
( )
(ln )
e
OP
x
x
，
设
2
2
2
1
( )
( )
(ln )
e
g x
x
x
，
2
2
2
2
2
ln
1
1
e
( )
2
( )
2 (ln )
e
x
x
g x
x
x x
x
，
当
1
e
x
时，
2
2
2
2
ln
1
ln
e
e
x
x
，
2
2
2
e
2
x
，所以
( )
0, ( )
g x
g x 单调递增，
当
1
0
e
x
时，
2
2
2
2
ln
1
ln
e
e
x
x
，
2
2
2
e
2
x
，
所以
( )
0, ( )
g x
g x
单调递减，
当
1
e
x
时，函数( )
g x 有最小值，即OP 有最小值，所以
1
1
( ,
)
e
e
P
，
此时直线OP 的方程为y
x
，设直线y
x
与曲线
ln
y
a x
相切于点
0
0
(
, ln )
x a x
，
由
0
0
ln
1
a
a
y
a x
y
x
a
x
x
，显然
0
0
(
, ln )
x a x
在直线y
x
上，
则
0
0
ln
a x
x
，因此有
ln(
)
e
a
a
a
a
，
故答案为：e
4.若
1
2
,
x x
R
，则
2
1
2
2
1
2
e
e
x
x
x
x
的最小值是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
原题等价于函数
x
y
e
上的点
1
1,
x
A x e
与函数
ln
y
x
上的点
2
2
,
x
B e
x
间的距离最小值的平方，结合两个
函数关于y
x
对称，将其转化为函数
ln
y
x
与y
x
的距离的最小值2 倍的平方，利用导数求切线方程最
后转化求两平行线间的距离平方即可.
【详解】
由题意可转化为点
1
1,
x
A x e
与点
2
2
,
x
B e
x
间的距离最小值的平方，
点A 在函数
x
y
e
上，点B 在函数
ln
y
x
上，这两个函数关于y
x
对称，
所以转化为函数
ln
y
x
与y
x
的距离的最小值2 倍的平方，
此时
1
1
y
x
，∴
ln
y
x
斜率为1 的切线方程为
1
y
x
，它与y
x
的距离为
2
2
.
故原式的最小值为2.故选：B.
题型十：恒成立与存在求参
1.已知函数
2
2 ,
0,
ln ,
0,
x
x x
f
x
x
x x
，若关于x 的不等式
e
f x
ax
（e是自然对数的底数）在R 上恒成
立，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1 e
1
,
3e
2
B．
2
1 e
1
,
3e
2
C．
2
1 e ,2
2e
D．
2
1 e ,2
2e
【答案】D
【分析】利用函数图像处理恒成立问题.
【详解】
e
f x
ax
在R 上恒成立，等价于
f
x 的图像恒在
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
直线
e
y
ax
的上方，画出
2
2 ,
0
ln ,
0
x
x x
f x
x
x x
的
图像：
直线
e
y
ax
恒过定点
0, e
，当直线
e
y
ax
与
ln
y
x
x
，
0
x
相切时，设切点
0
0
0
,
ln
P x x
x
，求导
得
ln
1
y
x
¢ =
+ ，可得
0
1
ln
k
x
，由
0
0
0
0
ln
e
1 ln
x
x
x
x
，
解得
0
e
x ，则切线的斜率为2.当直线
e
y
ax
与
2
1
1
y
x
，
0
x
相切时，直线
e
y
ax
与半圆
2
2
1
1
0
x
y
y
相切，由
2
e
1
1
a
a
，解得
2
1 e
2e
a
，
由图可知，a 的取值范围是
2
1 e ,2
2e
.故A，B，C 错误.
故选：D.13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 137
2.已知函数
2
e
2
x
f x
ax
ax
在
0,
x
上有最小值，则实数a 的取值范围为（
）
A．1 ,
2
B．
e
1
,
2
2
C．
1,0
D．
1
,
2
【答案】D
【分析】求出函数的导数，令
( )
0
f
x
，得：e
2 (
1)
x
a x
，令( )
x
g x
e
，( )
2 (
1)
h x
a x
，问题( )
h x 的斜
率2a
大于过( 1,0)
的( )
g x 的切线的斜率即可，求出切线的斜率，解关于a 的不等式即可．
【详解】解：
2
( )
e
2
x
f x
ax
ax
，
( )
e
2
2
x
f
x
ax
a
，若函数
( )
f x 在
,
(
)
0
x
上有最小值，
即
( )
f x 在(0,
)
先递减再递增，即
( )
f
x 在(0,
)
先小于0，再大于0，令
( )
0
f
x
，得e
2 (
1)
x
a x
，
令( )
x
g x
e
，( )
2 (
1)
h x
a x
，只需( )
h x 的斜率2a
大于过( 1,0)
的( )
g x 的切线的斜率即可，
设切点是
0
(x ，
0
e )
x ，则切线方程是：
0
0
e
e (
)
x
x
y
x
a
，将( 1,0)
代入切线方程得：
0
0
x
，
故切点是(0,1)，切线的斜率是1，只需2
1
a
即可，解得
1
2
a
，即
1
,
2
a
，故选：D．
3.已知P 是曲线
2
:
ln
3
C y
x
x
a x
上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为，若3
2
，
则实数a 的取值范围是（
）
A．
2 3,0
B．
2 2,0
C．
,2 3
D．
,2 2
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.
【详解】因为
2
ln
3
y
x
x
a x
，所以
1
2
3
y
x
a
x
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角
π π
,
3 2
，所以
π
tan
3
3
y
对于任意的
0
x
恒成立，
即1
2
3
3
x
a
x
对任意
0
x
恒成立，即
1
2
a
x
x
，又
1
2
2 2
x
x
，当且仅当
1
2x
x
，
即
2
2
x
时，等号成立，故
2 2
a
，所以a 的取值范围是
,2 2
．故选：D．
4.若曲线
ex
y
过点( 2,0)
的切线恒在函数
2
1
2
( )
e
3
1
e
e
x
f x
a
x
x
的图象的上方，则实数a 的取值
范围是__________．
【答案】
2
(
, e )
【分析】先求出切线方程
1 (
2)
e
y
x
，根据题意有
2
1
1
2
(
2)
e
3
1
e
e
e
x
x
a
x
x
恒成立，参变分离
后
2
3
1
ex
x
x
a
恒成立，所以
min( )
a
g
x
.
【详解】设曲线
x
y
e
过点( 2,0)
的切线的切点为
0
0
(
,
)
x
y
，
则切线的斜率
0
0
0
0
0
0
e
e
( 2)
2
x
x
y
k
x
x
，
所以
0
1
x ，
1
e
k
，切线方程为
1 (
2)
e
y
x
，
所以
2
1
1
2
(
2)
e
3
1
e
e
e
x
x
a
x
x
恒成立，
所以
2
3
1
ex
x
x
a
恒成立，
令
2
3
1
( )
ex
x
x
g x
，则
(
1)(
2)
( )
ex
x
x
g x
因为当
2
x ，
( )
0
g x
，
2
x ，
( )
0
g x
，
所以
2
x 为( )
g x 的极小值点，又因为x 时，( )
0
g x
，
2
( 2)
e
0
g
所以
2
min ( )
(
2)
e
g
x
g
，所以
2e
a
.
故答案为：
2
(
, e )
.
题型十一：零点或交点交点求参数
【注意】常用思维：1.分参，水平线法2.分离函数，切线法3.移项到一侧求导讨论法
1.若函数
ln
1
f x
x
ax
有3 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
1,0
0,1
U
【答案】D
【分析】函数
ln
1
f x
x
ax
有3 个零点，等价于函数
ln
y
x
与函数
1
y
ax
的图象有3 个交点，利
用导数求得两函数相切时的a 值，再利用数形结合即可求得实数a 的取值范围
【详解】令
0
f
x
，得ln
1
x
ax
，
所以函数
ln
1
f x
x
ax
有3 个零点，
等价于函数
ln
y
x
与函数
1
y
ax
的图象有3 个交点，
作出函数
ln
y
x
的图象，函数
1
y
ax
的图象恒过
0, 1
点，
当
0
a
时，显然函数
ln
y
x
与函数
1
y 的图象仅有2 个交点，不符合题意；
当
0
a
时，当直线
1
y
ax
与曲线
ln
y
x
相切时，
不妨设切点坐标为
0
0
,ln
P x
x
，则曲线
ln
y
x
在切点处的切线斜率
0
1
k
a
x
，又因为切点也在直线
1
y
ax
上，
所以
0
0
ln
1
x
ax
，解得
0
1
x ，则切点为
1,0 ，此时
1
a ，
所以若函数
ln
y
x
与函数
1
y
ax
的图像仅有3 个交点，则0
1
a
；根据函数图象的对称性，
当
0
a 时，若函数
ln
y
x
与函数
1
y
ax
的图象仅有3 个交点，则1
0
a
．
综上所述，实数a 的取值范围是
1,0
0,1
U
．
故选：D．
2.已知函数
2
2
,
0
1 ,
0
x
x
x
f x
x
x
，若函数
g x
f
x
x
m
恰有三个零点，则实数m 的取值范围是
（
）
A．
1
, 2
(
,0]
4
B．
1
2,
0,
,
4
C．
1
2,
0,
4
D．
1 ,2
0,
4
答案】A
【分析】问题转化为函数
( )
y
f x
的图象与直线y
x
m
有三个交点，作出函数图象和直线
:
a y
x
m
，
求出图象中直线a 在, ,
b c d 位置时m 值，兩图象得参数范围．
【详解】
g x
f
x
x
m
恰有三个零点，则
( )
f x
x
m
有三个不同的实解，
即函数
( )
y
f x
的图象与直线y
x
m
有三个交点，
如图，作出函数
( )
y
f x
的图象，作直线
:
a y
x
m
，
平移直线a 到b 的位置，它与
1
y
x
相切，此时，由
2
1
y
x
，
2
1
1
y
x
，
1
x （
1
x 舍去），
又
1
x 时，
1
y ，即切点为( 1,1)
，
由1
1 m
得
2
m ，
平移直线a 到c 的位置，它与
2
2
y
x
x
（0
2
x
）相切，此时
2
2
y
x
，由
2
2
1
y
x
得
1
2
x
，
2
1
1
3
2
( )
2
2
4
y
，即切点为1 3
( , )
2 4 ，由3
1
4
2
m
得
1
4
m
，平移直线a 到d 的位置，它过原点，0
0
m
，
0
m
，
由图象可知当
2
m 或
1
0
4
m
时
( )
y
f x
的图象与直线y
x
m
有三个不同的交点．
故选：A
3.已知函数
( )
eln
|
|
f x
x
x
a
，
2
[1,e ]
x
.若
( )
y
f x
的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范
围是（
）
A．[1,e]
B．(0,e]
C．
2
[1,e
2e]
D．
2
(0,e
2e]
【答案】D
【分析】将
( )
y
f x
的图象与x 轴有且仅有两个交点，转化为函数
eln
y
x
与
|
|
y
x
a
的图象在
2
[1,e ]上
有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数a 的取值范围.
【详解】
( )
eln
|
|
f x
x
x
a
，
2
[1,e ]
x
的图象与x 轴有且仅有两个交点，
等价于函数
eln
y
x
与
|
|
y
x
a
的图象在
2
[1,e ]上有且仅有两个交点.
当直线y
x
a
与
eln
y
x
的图象相切时，
令
e
'
1
y
x
，得
e
x，即切点为(e,e) ，此时
0
a
；
当y
x
a
的图象过点
2
(e ,2e) 时，
2
e
2
e
a
，
所以要使函数
eln
y
x
与
|
|
y
x
a
的图象在
2
[1,e ]
x
上有且仅有两个交点，
则需
2
(0,e
2e]
a
.
故选：D.
4.函数
2
3
4
,
2
( )
log (
1),
2
x
x
f x
x
x
，
( )
3
g x
kx
k
，若函数
( )
f x 与( )
g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范
围为（
）
A．(2 2
6,0)
B．(2 3
6,0)
C．( 2,0)
D．(2 5
6,0)
【答案】D
【分析】作出函数
2
3
4
,
2
( )
log (
1),
2
x
x
f x
x
x
，根据
( )
3
g x
kx
k
过定点（3，0），求得与
2
4
y
x
相切的直线
为l 的斜率即可.
【详解】解：作出函数
2
3
4
,
2
( )
log (
1),
2
x
x
f x
x
x
的图象，如图所示：
与
2
4
y
x
相切的直线为l，且切点为
2
0
0
,4
P
x
x
，
因为
2
y
x
，所以切线的斜率为
0
2
k
x
，则切线方程为
2
0
0
0
4
2
y
x
x
x
x
，
因为
( )
3
g x
kx
k
过定点
3,0 ，且在切线上，代入切线方程求得
0
0
3
5,
3
5
x
x
（舍去），
所以切线的斜率为
2 5
6
k
，因为函数
( )
f x 与( )
g x 的图象有三个交点，
由图象知：实数k 的取值范围为(2 5
6,0)
，故选：D
题型十二：等式（不等式）整数解求参
1.已知函数
1
ln
f x
kx x
x
，若
0
f
x
有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（
）
A．ln5 ln 2
,
30
10
B．ln5 ln 2
,
30
10
C．ln 2 ln3
,
10
12
D．ln 2 ln3
,
10
12
【答案】C
【分析】将问题化为
ln
(
1)
x
k x
x
有且只有两个整数解，利用导数研究
ln
( )
x
g x
x
的性质，并画出( )
g x 与
(
1)
y
k x
的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k 的范围.
【详解】由题设，
f
x 定义域为(0,
)
，则
0
f
x
可得
ln
(
1)
x
k x
x
，
令
ln
( )
x
g x
x
，则
2
1
ln
( )
x
g x
x
，
所以0
e
x
时
( )
0
g x
，即( )
g x 递增，值域为(
1
, )
e
；
e
x时
( )
0
g x
，即( )
g x 递减，值域为
1
(0, )
e ；
而
(
1)
y
k x
恒过( 1,0)
，函数图象如下：
要使
ln
(
1)
x
k x
x
有且只有两个整数解，则
(
1)
y
k x
与( )
g x 必有两个交点，
若交点的横坐标为
1
2
x
x
，则
1
2
1
2
3
4
x
x
，
所以
ln 2
3
2
ln3
4
3
ln 4
5
4
k
k
k
，即ln 2
ln3
10
12
k
.故选：C
2.已知函数
2
e
2
x
x
f
x
a
x
，若有且仅有两个正整数，使得
0
f x
成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
1
1
,
3e e
B．
3
2
9
1
,
5e
e
C．
3
9
1
,
5e
3e
D．
2
1
2
,
2e e
【答案】C
【分析】将
0
f x
转化为
2
(
2)
ex
x
a x
，再分别求导分析
2
( )
ex
x
g x
和( )
(
2)
h x
a x
的图象，再分别求得
( )
(
)
1,
1
g
，
2,
2
g
，
3,
3
g
到
2 0
，的斜率，分析临界情况即可
【详解】由
( )
0
f x
且
0
x
，得
2
(
2)
ex
x
a x
，设
2
( )
ex
x
g x
，( )
(
2)
h x
a x
，
2
2
( )
ex
x
x
g x
，已知函数( )
g x 在（0，2）上单调递增，在(2,
)
上单调递减，
函数( )
(
2)
h x
a x
的图象过点( 2,0)
，
(1)
1
1
( 2)
3e
g
，
2
(2)
1
2
( 2)
e
g
，
3
(3)
9
3
( 2)
5e
g
，结合图象，因为
3
2
9
1
1
5e
3e
e
，所以
3
9
1
5e
3e
a
．
故选：C
3.已知不等式ln
(
1)
2 ln2
x
x
x
k
x
的解集中仅有2 个整数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
3
4
0,
ln
4
3
B．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
C．2 ln2,
3
D．3
4 2
ln
,
ln2
4
3 3
【答案】D
【分析】根据题意，设
( )
(
1), ( )
ln4
ln
f x
k x
g x
x
x
x ，进而通过数形结合求得答案.
【详解】由ln
(
ln4)
0
x
x
x k
k
可得：(
1)
ln4
ln
k x
x
x
x
，设
( )
(
1), ( )
ln4
ln
f x
k x
g x
x
x
x ，
( )
ln4
ln
1
g x
x
，
4
0, e
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递增，
4 ,
e
x
时，
( )
0
g x
，( )
g x 单调递减，
则当
4
e
x
时函数
g x 取得最大值，如示意图：
由图可知，当
0
k
时，整数解超过了2个，不满足题意；当
0
k
时，需满足
2
2
3
3
f
g
f
g
得：3
4
2
ln
ln 2
4
3
3
k
．
故选择：D．
4.若关于x 的不等式
1
e
2
1
x
a
x
x
（其中
1
a ），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
3
5
,
4 3e
B．
3
1, 2e
C．
2
3
5
,
4
3e
D．
2
3
5
,
2e
3e
【答案】D
【分析】根据给定不等式，构造函数
(
( )
e 2
1)
x
f x
x
和( )
(1
)
g x
a
x
，作出函数图象，结合图象分析求解
作答.
【详解】由不等式
1
e
2
1
x
a
x
x
（
1
a ），令
(
( )
e 2
1)
x
f x
x
，( )
(1
)
g x
a
x
，
(
( )
e 2
1)
x
f
x
x
，当
1
2
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
2
x
时，
( )
0
f
x
，
即函数
( )
f x 在
1
(
,
)
2
上单调递减，在
1
(
,
)
2
上单调递增，
min
1
2
2
e
f
x
f
，且当
1
2
x
时，
恒有
( )
0
f x
，
函数( )
(1
)
g x
a
x
，
1
a 表示恒过定点(1,0) ，斜率为a
的直线，
在同一坐标系内作出函数
( )
y
f x
的图象和直线
(1
)
y
a
x
，如图，
因不等式
1
e
2
1
x
a
x
x
（
1
a ）有且只有两个整数解，观察图象知，-1 和0 是不等式
( )
( )
g x
f x
解
集中的两个整数，
于是得�( −�) > �( −�)
�( −�) ≤�( −�)，即
��>−
�
e
��≤−
�
e�
，解得
2
3
5
2e
3e
a
，
所以实数a 的取值范围是
2
3
5
(
,
]
2e
3e
.故选：D
题型十三：恒等式、不等式
1.已知直线
R
y
ax a
与曲线
ln
y
x
相交于
1
1
(
,
)
M x y ､
2
2
(
,
)
N x
y
两点，若
1
2
x
x
，则下列结论错误的是
（
）
A．
1
0
e
x
B．
1
2
2e
x
x
C．
2
1
y
D．
1
2
2
y
y
【答案】D
【分析】构造函数
ln x
f
x
x
，利用导数法可判断AC，作出
ln
y
x
图像与
2
2
e
y
x
可判断BD
【详解】令
ln x
f
x
x
，则
1 ln x
f
x
x
，故
0,e
x
时，
f
x 递增；
e,
x
时，
f
x 递减，
所以
f
x 的极大值
1
e
e
f
，且
1
x ，
0
f x
，因为直线
R
y
ax a
与曲线
ln
y
x
相交于
1
1
(
,
)
M x y ､
2
2
(
,
)
N x
y
两点，
所以y
a
与
f
x 图像有2 个交点，所以
1
0
e
a
，
1
2
0
e
x
x
，故
2
2
ln
1
y
x
.
在
ln
y
x
图像取一点
2e ,2 ，则直线
2
2
e
y
x
与曲线
ln
y
x
交于两点（如图所示），
此时
2
1
2
1,
e
x
x
2
1
2
e
1
2e
x
x
，
1
2
2
2
y
y
y
，综上可知ABC 正确，D 错误.故选：D.
2.已知m，n 为实数，不等式ln
0
x
mx
n
恒成立，则n
m 的最小值为______．
【答案】1
【分析】数形结合，将题意转化为一次函数y
mx
n
恒在
ln
y
x
的上方或相切，再分析可得
0
m
，且
当n
m 最小时y
mx
n
与
ln
y
x
相切.再设切点列式，可得
ln
1
m
m
n
m
，再构造函数求导分析最小值即
可
【详解】不等式ln
0
x
mx
n
恒成立即
ln
mx
n
x
恒成立，即一次函数y
mx
n
恒在
ln
y
x
的上方或
相切.当
0
m
时显然y
mx
n
与
ln
y
x
相交，不合题意，故
0
m
.当m 一定时，要n
m 越小，易得y
mx
n
的截距要越小，最小时y
mx
n
与
ln
y
x
相切.此时设切点
0
0
,ln
x
x
，则
ln
y
x
的导数
1
y
x
，故
0
0
0
1
ln
m
x
x
mx
n
，即
1
ln
1
n
m
，故
ln
1
m
m
n
m
，设
ln
1
0
m
m
g x
m
，则
2
2
1 ln
1
ln
m
m
m
m
g
x
，
令
0
g
x
有
1
m ，易得当
0,1
m
时
0
g
x
，
g x 单调递减；当
1,
m
时
0
g
x
，
g x 单调
递增；故当
1
m 时，取最小值1
1
g
，故n
m 的最小值为1
故答案为：1
3.若直线l 与函数
ex
f
x
，
ln
g x
x
的图象分别相切于点
1
1
,
A x
f x
，
2
2
,
B x g x
，则
1
2
1
2
x x
x
x
______.
【答案】1
【分析】利用导数科的切线斜率与切线方程，进而可得
1
x 与
2
x 的关系，即可求解.
【详解】由
ex
f
x
，
ln
g x
x
，得
ex
f
x
，
1
g
x
x
，
则
1
2
1
ex
x
，
1
2
1
lne
ln
x
x
，即
2
1
ln
x
x
.
曲线
y
f x
在点A 处的切线方程为
1
1
1
e
e
1
x
x
y
x
x
，
曲线
y
g x
在点B 处的切线方程为
2
2
1
1
ln
y
x
x
x
，所以
1
1
2
e
1
1 ln
x
x
x
，
可得
1
1
2
1 1
1
x
x
x
，整理得
1
2
1
2
1
x x
x
x
.
故答案为：1
.
4.若曲线
ln
y
x
在点
1
1
,
P x y
处的切线与曲线
x
y
e
相切于点
2
2
,
Q x
y
，则
1
2
1
1
1
x
x
x
__________.
【答案】0
【分析】
利用导数的几何意义分别求解出
ln
y
x
在点
1
1
,
P x y
处的切线方程以及
x
y
e
在点
2
2
,
Q x
y
处的切线方
程，根据两切线重合，求解出
1
2
,
x x 之间的关系式，由此可化简计算出
1
2
1
1
1
x
x
x
的值.
【详解】
ln
y
x
的导数为
1
y
x
，可得曲线
ln
y
x
在点
1
1
,
P x y
处的切线方程为
1
1
1
1
ln
y
x
x
x
x
，
x
y
e
的导数为
ex
y
，可得曲线
x
y
e
在点
2
2
,
Q x
y
处的切线的方程为
2
2
2
x
x
y
e
e
x
x
，
由两条切线重合的条件，可得
2
1
1
xe
x
，且
2
1
2
ln
1
1
x
x
e
x
，
则
2
1
ln
x
x
，即有
1
1
1
1
ln
1
1 ln
x
x
x
，可得
1
1
1
1
ln
1
x
x
x
，则
1
2
1
1
1
1
ln
ln
0
1
x
x
x
x
x
.故答案为: 0
模块三：综合巩固
1.已知函数
2
( )
2
(1)
f x
x
xf
，则曲线
( )
y
f x
在点(2,
(2))
f
处的切线方程为（
）
A．6
8
0
x
y
B．6
8
0
x
y
C．6
8
0
x
y
D．6
8
0
x
y
【答案】A
【分析】先求导数，令
1
x
，计算
1
f
的值，得到
2
2
2
f
x
x
x
，
4
2
f
x
x
，计算斜率
2
k
f
，
用点斜式写出直线方程即可.
【详解】因为
4
1
f
x
x
f
，令
1
x ，则
(1)
4
(1)
f
f
，所以
(1)
2
f
，则
2
2
2
f
x
x
x
，
4
2
f
x
x
，
2
6
k
f
，
2
4
f
，所以切线方程为：6
8
0
x
y
故选：A.
2.已知函数
(
0)
x
f x
e
ax a
在
0
x
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为1
4 ，则实数a 的值为
（
）
A．1
B．1
C．3
D．3
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线在
0
x
处的切线为
1
(
1)
y
a
x
，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数
(
0)
x
f x
e
ax a
，则
x
f
x
e
a
，
可得
1
0
f
a
，
0
1
f
，即切点坐标为
(0,1)
P
，
所以在
0
x
处的切线为
1
(
1)
y
a
x
，
当
0
x
时，
1
y ；当
0
y
时，
1
1
x
a
，
因为在
0
x
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为1
4 ，
可得1
1
1
1
2
1
3
a
，解得
1
a 或
3
a ，
又因为
0
a ，所以
3
a .
故选：C.
3.若直线y
kx
b
是曲线
ln
2
y
x
的切线，也是曲线
ln
1
y
x
的切线，则k （
）
A．2
B．4
C．
2e
D．
2
e
【答案】A
【分析】分别写出两条切线方程，合二为一，联立方程即可.
【详解】对于
ln
2
y
x
，设切点为
1
1
,
x
y
，
'
1
y
x
，
则切线方程为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1 ln
2
ln
1
y
y
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
，
即
1
1
1 ,
ln
1
k
b
x
x
…①；
对于
'
1
ln
1 ,
1
y
x
y
x
，设切点为
2
2
,
x
y
，
则切线方程为
2
2
2
2
2
2
2
1
1
,
ln
1
1
1
1
x
y
y
x
x
y
x
x
x
x
x
，
2
2
2
2
1
,
ln
1
1
1
x
k
b
x
x
x
…②；
由①②得：
1
2
2
1
2
2
1
1
1
ln
1
ln
1
1
x
x
x
x
x
x
解得
2
1
2
x
，
2
1
2
1
k
x
；故选：A.
4.已知M 是曲线
2
1
ln
1
2
y
x
x
a x
上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4
的锐
角，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2,
B．
4,
C．
,2
D．
,4
【答案】C
【分析】求y，结合已知根据导数的几何意义可得
tan
1
4
y
，即
1
x
a
x
对任意
0
x
恒成立，再利用
基本不等式求出
min
1
x
x
即可.
【详解】因为
2
1
ln
1
2
y
x
x
a x
，所以
1
1
y
x
a
x
，
因为曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于4
的锐角，
所以
tan
1
4
y
对于任意的
0
x
恒成立，即1
1
1
x
a
x
对任意
0
x
恒成立，
所以
1
x
a
x
，又
1
2
x
x
，当且仅当
1
x
x
，即
1
x 时，等号成立，
故
2
a
，所以a 的取值范围是
,2
.
故选：C
5.函数
( )
ln
f x
x
ax
存在与直线2
0
x
y
平行的切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．(
,2]
B．
1
1
,2
2
,2
e
e
C．
2,
D．
0,
【答案】B
【分析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
【详解】函数
( )
ln
f x
x
ax
存在与直线2
0
x
y
平行的切线，即
2
f
x
在
0,
上有解，
而
1
f
x
a
x
，所以
1
2
a
x
，因为
0
x
，所以
1
2
2
x
，所以
2
a
．
所以a 的取值范围是(
,2)
．
当直线2
0
x
y
就是
( )
ln
f x
x
ax
的切线时，设切点坐标( ,ln
)
m
m
am
，
可得
1
2
ln
2
a
m
m
am
m
，解得
1
e,
2
e
m
a
．
所以实数a 的取值范围是：
1
1
,2
2
,2
e
e
．
故选：B．
6.如图所示，函数
y
f x
的图像在点P 处的切线方程是
2
10
y
x
，则
4
4
f
f
的值为（
）
A．0
B．1
C．-1
D．2
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】因为切线方程为：
2
10
y
x
，故
4
2
f
，且
4
2
f
，故
4
4
0
f
f
故选：A
7.曲线
2
1
3ln
2
y
x
x
在点P 处的切线与直线
2
2
0
x
y
垂直，则点P 的横坐标为（
）
A．e
B．1
C．3
D．2e
【答案】C
【分析】设切点
,
P m n ，求得
2
1
3ln
2
y
x
x
的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得m ，即
为点P 的横坐标.
【详解】设切点
,
,
0
P m n
m
，
2
1
3ln
2
y
x
x
的导数为
3
y
x
x
，
可得切线的斜率为
3
k
m
m
，
由切线与直线
2
2
0
x
y
垂直，
可得
3
2
m
m
，解得
3
m
或
1
m （舍），
所以P 的横坐标为3 ，
故选：C
8.已知函数
3cos
sin
f x
x
x
.曲线
y
f x
在点
,
3
3
f
处的切线方程为（
）
A．
2
2
3
3
y
x
B．
2
2
3
3
y
x
C．
3
3
y
x
D．
3
3
y
x
【答案】C
【分析】首先求出
3
f
，再求出函数的导函数，即可得到
3
f
，最后利用点斜式求出切线方程；
【详解】解：因为
3cos
sin
f x
x
x
，所以
3cos
sin
3
3
3
3
f
，
所以
3sin
cos
f
x
x
x
，
3sin
cos
1
3
3
3
f
，
所以切点为
, 3
3
，切线的斜率
1
k ，
所以切线方程为
3
3
y
x
，即
3
3
y
x
；
故选：C
9.函数
2ln(
1)
cos
y
x
x
的图象在
0
x
处的切线对应的倾斜角为，则cos2
（
）
A．3
10
B．
3
10
C．3
5
D．
3
5
-
.
【答案】D
【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在
0
x
处的切线斜率，再利用二倍角公式和平方关系式
得到cos2的值．
【详解】因为
2ln(
1)
cos
y
x
x
，
所以
2
sin
1
y
x
x
，
当
0
x
时，
2
y
，此时tan
2
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
3
cos 2
cos
sin
sin
cos
tan
1
5
．
故选：D.
10.已知
0
a
，
0
b
，直线y
x
b
与曲线
ex a
y
相切，则4
1
a
b
的最小值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据题意设直线y
x
b
与曲线
ex a
y
的切点为
0
0
,
x
y
，进而根据导数的几何意义得
0
0
,
1,
1
x
a y
a
b
，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】根据题意，设直线y
x
b
与曲线
ex a
y
的切点为
0
0
,
x
y
，
因为
e
e
x a
x a
y
，直线y
x
b
的斜率为
1
k ，
所以
0
e
1
x
a
k
，
0
0
y
x
b
，
0
0
ex
a
y
所以
0
0
,
1,
1
x
a y
a
b
，
因为
0,
0
a
b
所以
4
1
4
1
4
4
5
5
2
9
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，当且仅当
2
2
3
a
b
时等号成立.所以1
4
a
b
的最
小值是9.
故选：D
11.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
D．2 2
【答案】D
【解析】过点P 作曲线
2
ln
y
x
x
的切线，
当切线与直线:
4
0
l x
y
平行时，点P 到直线:
4
0
l x
y
距离最小.
设切点为
0
0
0
1
,
0 ,
2
P x
y
x
y
x
x
，
所以切线斜率为
0
0
1
2
k
x
x
，由题知
0
0
1
2
1
x
x
，解得
0
1
x 或
0
1
2
x
（舍），
1, 1
P
，此时点P 到直线:
4
0
l x
y
距离
1 1 4
2 2
2
d
.故选：D
12.已知点P（x,y）是曲线
2
y
x
=
上的一动点，则点P（x,y）到直线2
4
0
x
y
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．3 5
5
D．3
5
【答案】C
【解析】当曲线在点P 处的切线与直线2
4
0
x
y
平行时，点P 到该直线的距离最小，
2
y
x
，由直线2
4
0
x
y
的斜率
2
k
，则2
2
x
，
得
1
x ，有
2
1
y
x
=
= ，所以
(1,1)
P
，
∴
(1,1)
P
到直线2
4
0
x
y
距离
2
2
| 2 1 4 |
3 5
5
2
( 1)
d
.故选：C.
13.已知点A 在函数
( )
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A ，B 两点之间距离的最小
值是（
）
A．2 2
B．4
C．4 2
D．8
【答案】A
【解析】设
0
0
,
A x
y
，
( )
e
2
x
f
x
，过点A 的切线恰好与直线:
3
0
l x
y
平行，
则
0
0
e
2
1
x
f
x
，即
0
e
1
x ，所以
0
0
x
，则
0
0
0
e
2
1
x
f x
x
，
即
0,1
A
，此时A 到直线:
3
0
l x
y
的距离
2
2
0
1
3
2 2
1
1
d
，
所以A ，B 两点之间距离的最小值为2 2 .故选：A
14.已知
2
2
(
)
e
1
(
R)
x
y
x
a
x
a
a
，则y 的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．
1
2
D．
2
e
【答案】C
【解析】由题意可得：
2
2
(
)
e
1
x
y
x
a
x
a
可以理解为点
, e
,
,
1
x
P x x
Q a a
之间距离的平方，
即
2
2
2
(
)
e
1
x
y
x
a
x
a
PQ
，
可知
, ex
P x x
在函数
ex
f x
x
的图像上，
,
1
Q a a
在直线:
1
l
y
x
上，
可得
1 ex
f
x
x
，
设函数
ex
f x
x
在点
0
0
,
M
x
y
处的切线1l 与直线l 平行，则直线1l 的斜率为1，
可得
0
0
0
1
e
1
x
f
x
x
，整理得
0
0
e
1
1
0
x
x
，
∵
e
1
1
x
g x
x
在定义域内单调递增，且
0
0
g
，
∴方程
0
0
e
1
0
x
x
有且仅有一个解
0
1
x ，则
0,0
M
，
故y 的最小值为点
0,0
M
到直线:
1
0
l x
y
的距离
2
2
0
0 1
2
2
1
1
d
，
故y 的最小值为
2
1
2
d
.故选：C.
15.若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（
）
A．eb
a
B．ea
b
C．0
eb
a
D．0
ea
b
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线
x
y
e
的图象，根据直观即可判定点
,a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
x
y
e
上任取一点
,
t
P t e
，对函数
x
y
e
求导得
ex
y
，
所以，曲线
x
y
e
在点P 处的切线方程为
t
t
y
e
e
x
t
，即
1
t
t
y
e x
t e
，
由题意可知，点
,a b 在直线
1
t
t
y
e x
t e
上，可得
1
1
t
t
t
b
ae
t e
a
t e
，
令
1
t
f t
a
t e
，则
t
f
t
a
t e
.当t
a
时，
0
f
t
，此时函数
f t 单调递增，
当t
a
时，
0
f
t
，此时函数
f t 单调递减，所以，
max
a
f t
f a
e
，
由题意可知，直线y
b
与曲线
y
f t
的图象有两个交点，则
max
a
b
f t
e
，
当
1
t
a
时，
0
f t
，当
1
t
a
时，
0
f t
，作出函数
f t 的图象如下图所示：
由图可知，当0
a
b
e
时，直线y
b
与曲线
y
f t
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
x
y
e
的图象如图所示，根据直观即可判定点
,a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知0
a
b
e
.
故选：D.
16.若直线l 与曲线y=
x 和x2+y2= 1
5 都相切，则l 的方程为（
）
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1
2
C．y= 1
2 x+1
D．y= 1
2 x+ 1
2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线l 在曲线y
x
上的切点为
0
0
,
x
x
，则
0
0
x
，
函数y
x
的导数为
1
2
y
x
，则直线l 的斜率
0
1
2
k
x
，
设直线l 的方程为
0
0
0
1
2
y
x
x
x
x
，即
0
0
2
0
x
x y
x
，
由于直线l 与圆
2
2
1
5
x
y
相切，则
0
0
1
1
4
5
x
x
，
两边平方并整理得
2
0
0
5
4
1
0
x
x
，解得
0
1
x ，
0
1
5
x
（舍），
则直线l 的方程为
2
1
0
x
y
，即
1
1
2
2
y
x
.
故选：D.
17.函数
4
3
( )
2
f x
x
x
的图像在点(1
(1))
f
，
处的切线方程为（
）
A．
2
1
y
x
B．
2
1
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
1
y
x
【答案】B
【分析】求得函数
y
f x
的导数
f
x
，计算出
1
f
和
1
f
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化
简即可.
【详解】
4
3
2
f
x
x
x
，
3
2
4
6
f
x
x
x
，
1
1
f
，
1
2
f
，
因此，所求切线的方程为
1
2
1
y
x
，即
2
1
y
x
.
故选：B.
18.曲线
2
1
2
x
y
x
在点
1, 3
处的切线方程为__________．
【答案】5
2
0
x
y
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当
1
x 时，
3
y ，故点在曲线上．
求导得：
2
2
2
2
2
1
5
2
2
x
x
y
x
x
，所以
1
|
5
x
y
．
故切线方程为5
2
0
x
y
．
故答案为：5
2
0
x
y
．
19.曲线
cos
2
x
y
x
在点
0,1 处的切线方程为__________.
【答案】
2
2
0
x
y
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】
1
'
sin
2
y
x
，
当
0
x
时其值为
1
2
，
故所求的切线方程为
1
1
2
y
x
，即
2
2
0
x
y
．
20.已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点
1,ae 处的切线方程为
2
y
x
b
，则
A．
,
1
a
e b
B．
,
1
a
e b
C．
1,
1
a
e
b
D．
1,
1
a
e
b
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．
【详解】详解：
ln
1,
x
y
ae
x
1
|
1
2
x
k
y
ae
，
1
a
e
将(1,1) 代入
2
y
x
b
得2
1,
1
b
b
，故选D．
21.设函数
3
2
1
f x
x
a
x
ax
．若
f
x 为奇函数，则曲线
y
f x
在点
0 0
，处的切线方程为(
)
A．
2
y
x
B．y
x
C．
2
y
x
D．y
x
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得
1
a ，进而得到
( )
f x 的解析式，再对
( )
f x 求导得出切线
的斜率k ，进而求得切线方程.
详解：因为函数
( )
f x 是奇函数，所以
1
0
a
，解得
1
a ，
所以
3
( )
f x
x
x
，
2
( )
3
1
x
f '
x
，
所以
'(0)
1,
(0)
0
f
f
，
所以曲线
( )
y
f x
在点(0,0) 处的切线方程为
(0)
'(0)
y
f
f
x
，
化简可得y
x
，故选D.
22.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小
值是_____.
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线
0
x
y
平移到与曲线
4
y
x
x
相切位置时，切点Q 即为点P 到直线
0
x
y
的距离最小.
由
2
4
1
1
y
x
，得
2(
2
)
x
舍，
3 2
y
，
即切点
( 2,3 2)
Q
，
则切点Q 到直线
0
x
y
的距离为
2
2
2
3 2
4
1
1
，
故答案为4．
23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对
数的底数），则点A 的坐标是____.
【答案】(e, 1) .
【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点
0
0
,
A x
y
，则
0
0
ln
y
x
.又
1
y
x
，
当
0
x
x
时，
0
1
y
x
，
点A 在曲线
ln
y
x
上的切线为
0
0
0
1 (
)
y
y
x
x
x
，
即
0
0
ln
1
x
y
x
x
，
代入点
, 1
e
，得
0
0
1 ln
1
e
x
x
，
即
0
0
ln
x
x
e
，
考查函数
ln
H x
x
x
，当
0,1
x
时，
0
H x
，当
1,
x
时，
0
H x
，
且
'
ln
1
H
x
x
，当
1
x 时，
'
0,
H
x
H x 单调递增，
注意到
H e
e
，故
0
0
ln
x
x
e
存在唯一的实数根
0x
e
，此时
0
1
y ，
故点A 的坐标为
,1
A e
.
24.若过点(1,2) 可作曲线
3
y
x
ax
的三条切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．( 3, 1)
B．( 2, 1)
C．(1,2)
D．(1,3)
【答案】C
【分析】首先求函数在切点
3
0
0
0
,
P x x
ax
处的切线方程，在根据条件转化为函数
g x 与
2
y
a
有3 个
交点，即可求参数的取值范围.
【详解】
2
3
y
x
a ，设切点
3
0
0
0
,
P x x
ax
，
所以在点P 处的切线方程为
3
2
0
0
0
0
3
y
x
ax
x
a
x
x
，因为切线过点
1,2 ，
所以
3
2
0
0
0
0
2
3
1
x
ax
x
a
x
，整理为
3
2
0
0
2
3
2
0
x
x
a
，
即
3
2
0
0
2
2
3
a
x
x
，设
3
2
0
0
2
3
g x
x
x
，
2
0
0
0
0
6
6
6
1
g
x
x
x
x
x
，
当
0
0
1
x
时，
0
g
x
，当
0
0
x
或
0
1
x 时，
0
g
x
，
所以函数在区间
0,1 单调递减，在区间
,0
和
1,单调递增，
所以函数的极大值是
0
0
f
，函数的极小值是
1
1
f
，若函数
g x 与
2
y
a
有3 个交点，则
1
2
0
a
，即1
2
a
.
故选：C
25.曲线
2ln
y
x
上的点到直线
2ln2
0
x
y
的最短距离是（
）
A．2
B．2
ln2
C．ln2
D．
2
【答案】D
【分析】求出y令
1
y，得
2
x ，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】
2
y
x
，令
2
1
y
x
，得
2
x ，
则点
2,2ln2 到直线
2ln2
0
x
y
的距离就是所求的最短距离，
即
2
2
2
2ln2
2ln2
2
1
( 1)
.
故选：D.
26.已知过原点的直线与函数
e
,
0
ln ,
0
x x
f
x
x x
的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（
）
A．
1
, e
e
B．
1
e
0,e
C．
1
e, e
D．
1
, e
0,e
【答案】B
【分析】画出函数图象并分别求出
0
x
和
0
x
两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】设过原点与
ln
f x
x
相切的于点
1
1
( ,ln
)
x
x ，
1
( )
f
x
x
，则斜率为
1
1
x ，此切线方程为
1
1
1
1
ln
(
)
y
x
x
x
x
，
将原点带入得
1x
e
，即斜率为1
e ，当斜率
e
1
0,
k
时函数
f
x 与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与
e
(
0)
x
f
x
x
相切的于点
2
2
(
,e
)
x
x
，
( )
x
f
x
e
，则斜率为
2
e x
，此切线方程为
2
2
2
e
e
(
)
x
x
y
x
x
，
将原点带入得
2
1
x ，即斜率为e
，
当斜率
e
k 时函数
f
x 与过原点的直线有两个公共点，故选：
B.
