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2024年高考导数复习专题一
知识点一 已知切线（斜率）求参数,由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、
极值与最值的综合应用,利用导数研究方程的根
典例1、已知函数 ， ．已知曲线 在点 处的切线与直线
平行．
（1）求 的值；
（2）证明：方程 在 内有且只有一个实根．
随堂练习：已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行.
（1）求 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，求
的取值范围.典例2、已知函数 ．（ ）在 处的切线l方程为
．
（1）求a，b，并证明函数 的图象总在切线l的上方（除切点外）；
（2）若方程 有两个实数根 ， ．且 ．证明： ．
随堂练习：已知函数 的图象的一条切线为 轴.
（1）求实数 的值；（2）令 ，若存在不相等的两个实数 满足 ，
求证： .
典例3、设函数 ，曲线 在原点处的切线为x轴，
（1）求a的值；
（2）求方程 的解；
（3）证明： .随堂练习：已知函数 ，直线 与曲线 相切．
（1）求实数 的值；
（2）若曲线 与直线 有两个公共点，其横坐标分别为 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．知识点二 利用导数研究函数的零点,函数极值点的辨析
典例4、已知函数 ．
（1）求证： 有且仅有两个极值点的 ；
（2）若 ，函数 有三个零点，求实数c的取值范围．随堂练习：已知函数 ， .
（1）是否存在 使得0为函数 的极值点？若存在，求 的值；若不存在，说
明理由；
（2）若函数 有且只有两个零点，求 的值.
典例5、已知函数 ，求证：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
（2） 在 上有且仅有2个零点.随堂练习：设函数 ， ，（ 为参数）．
（1）当 时，求 的单调区间，并证明 有且只有两个零点；
（2）当 时，证明： 在区间 上有两个极值点．
典例6、已知a为实数，函数
（1）当 时，求曲线 在点（1，f（1））处的切线的方程：
（2）当 时，求函数f（x）的极小值点；
（3）当 时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由.随堂练习：已知函数 ， 为 的导数．
（1）判断并证明 在区间 上存在的极大值点个数；
（2）判断 的零点个数．2024年高考导数复习专题一答案
典例1、 答案：（1） ；（2）证明见解析.
解：（1） ， 由题意知，曲线 在点 处的切线斜率为2，
则 ， 所以 ，解得 .
（2）令 ， ，
则 ， ， 所以 ，所以函数 在 内一定有零点，
，
∴ 在 上单调递增，所以函数 在 内有且只有一个零点，
即方程 在 内有且只有一个实根.
随堂练习：答案： （1）1；（2） .
解：（1）∵ ， ， 则 ，解得 .
（2）由（1）有 . ∴原方程可整理为 .
令 ， 得 ， ∴当 时， ，
当 时， ，又 ， 即 在 上是增函数，在 上是
减函数.
∴当 时， 有最大值 .
∵ ， .
∴ .
由 ，得 ， ，
故 的取值范围是 .
典例2、 答案：（1）1、 ；证明见解析 （2）证明见解析
解：（1）将 代入切线方程 ，有 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
若 ，则 ，与 矛盾，故 ， ．
∴ ， ， ，
设 在 处的切线 方程为 ， 令 ，
即 ，所以 ，
当 时， ，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 故
，
即函数 的图象总在切线 的上方（除切点外）．
（2）由（1）知 ， 设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递减，故 ，故 ，
设 在 处的切线方程为 ，因为 ， ，所以 ，所以 ．
令 ， ，
当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ．
设 的根为 ，则 ， 又函数 单调递增，故 ， 故
，又 ，
所以 ．
随堂练习：答案：（1） ，（2）见解析
解:（1）由 ，得 ， ，
设切点坐标为 ，由题意得 ， 解得 .
（2） ，令 ，
则 ，当 时， ， ，又可以写成 ，当 时， ， ，
因此 在 上大于0， 在 上单调递增，又 ，
因此 在 上小于0，在 上大于0，
且 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
当 时， ， 记 ，
记函数 的导函数为 ，则
，
故 在 上单调递增， 所以 ，所以 ，
不妨设 ，则 ，
而 ， ，有单调性知 ，即 .
典例3、答案：（1） （2） （3）证明见解析
解：（1）因为 ， 所以 ，因为曲线 在原点处的切线为 轴，所以 ，即 .
（2）方程 可化为 ，
令 ， 则
，
所以 在 上单调递增， 又 ，所以 在 上有唯一零点
，
所以方程 有唯一解 .
（3）要证 ， 即证 ，
即证 ， 先证 ，
由（2）易得 ，
所以 ；
再证 ， 令 ，
则 ， 所以 在 单调递减，所以当 时， ， 即 ，
所以 ，
因为 ， 所以 ，即 ；
所以 .
随堂练习：答案：（1） （2）① ；②证明见解析
解：（1）设切点 ， ，
得 ， ，所以 ，代入直线 方程得 ；
（2）①由（1）知 ，若曲线 与直线 有两个公共点，
则等价于 有2个实数根， ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单
调递减，
，当 趋向于正无穷大时， 趋向于0，
当 趋向于负无穷大时， 趋向于负无穷大， 则 ；
② ，即 ，等价于 ，令 ， ， ，
因为 ，所以 ，故 ，所以 在 上单调递增，故
,
不妨设 ，故 ，即 ，由已知 ，所以
，
由①知，当 时， 单调递增，故 ，所以 ， 所以
.
典例 4、答案：（1）证明见解析； （2）当 时， ；当 时，
．
解：（1）依题意， ，令 ，即 ，
因为 恒成立，则 有两个根 ，不妨令 ，
即 ，当 或 时， ，当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
分别是 的极大值点和极小值点， 所以 有且仅有两个极值点的 ．
（2）由（1）知 是关于x的方程 的两根，即有
， ，因 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 ， ，
由（1）知 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，极小值为 ，要使函数 有三个零点，
当且仅当 ， 即 ，解得 ；
当 时， ， ，则 ，
，
函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，极小值为 ，要使函数 有三个零点，
当且仅当 ， 即 ，解得 ，
所以，当 时， ；当 时， ．
随堂练习：答案：（1）不存在，详见解析；（2）1.
解:（1）由函数 ， . 得 ， .
若0为函数 的极值点， 则 ，解得 ，此时 ，函数单调递增，无极值点，
所以不存在 使得0为函数 的极值点；
（2）令 ，得 ，
当 或 时， ， 当 时， ，
所以当 函数 取得极大值，当 时，函数 取得极小值，
若函数 有且只有两个零点，
则 或 ，
即 或 ，
解得 或 （舍去）
典例5、 答案：（1）证明见解析（2）证明见解析
解：（1）因为 ，所以 ，
设 ，则 ，则当 时， ，
所以 即 在 单调递减，
又 ， ，且 图像是不间断的，
由零点存在性定理可得 在 有唯一零点，设为 .则当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故 在 存在唯一极大值点.
（2）因为 ，所以 ，
设 ，则 ，则当 时， ，
所以 即 在 单调递减，
由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减.
又 ， ，所以 ，
又 的图像是不间断的，所以存在 ，使得 ；
又当 时， ，所以 在 递减，
因 ，又 ，又 的图像是不间断的，
所以存在 ，使得 ；
当 时， ， ，所以 ，从而 在 没有零点.
综上， 有且仅有2个零点.随堂练习：答案：（1） 在 和 单调递增，在 单调递减；证明
见解析；
（2）证明见解析．
解:（1）当 时， ， ， .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 和 单调递增，在 单调递减．
且 ， ， ， .
根据零点存在定理得， 在 有唯一零点，在 有唯一零点，
因此， 在 上有且只有两个零点．
（2）当 时， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 在 单调递减，在
单调递增．
又因为 ， ， ，
根据零点存在定理得， 在 和 各有一个零点分别为 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，故 在 上有一个极大值点和一个极小值点．
典例6、答案：（1） （2）极小值点 （3）函数f（x）的零点个数为
2，理由见解析
解：（1）当 时， ，
设曲线 在点（1，f（1））处的切线的方程为 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）当 时， ，故 ， 令 ，故
，
f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
0
极小值
所以f（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
所以函数f（x）有且仅有一个极小值点 .
（3）函数f（x）的零点个数为2，理由如下：
①当 时， .由于 ， 所以 ，
故函数f（x）在区间（0，a]上单调递减， ，
所以函数f（x）在区间（0，a]上有且仅有一个零点：
②当 时， ， 故 ，
令 ，得 ， ， ，故 ，
因此恒有 ，所以函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增.
又 ，
所以函数f（x）在区间（a，+∞）上有且仅有一个零点.
综上，函数f（x）的零点个数为2.
随堂练习：答案：（1） 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由见解析；
（2）2个零点，理由见解析.
解：（1） 在区间 上存在的极大值点个数为1，理由如下：
， ， ，令 ，
，
则 ，令 ， ，
，当 时， ，所以，
即 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，
所以 在 处取得极大值，
故 在区间 上存在的极大值点个数为1；
（2） 的定义域为 ，
①当 时，由（1）知， 在 上单调递增，而 ，所以当
时， ，
故 在 上单调递减，又 ， 所以 是 在 上的唯一
零点；
②当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递
减，
而 ， ， 所以存在 ，使得 ，
且当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以当 时， ，
所以 在 上没有零点；
③当 时， ，所以 在 上单调递减，
而 ， 所以 在 上有唯一零点；
④当 时， ，所以 ，从而 在 上无零点；
综上： 有且仅有两个零点.
