文档内容
专题 01 利用导函数研究函数的切线问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：在型求切线方程...........................................2
题型二：过型求切线方程...........................................4
题型三：已知切线斜率求参数.......................................6
题型四：确定过一点可以做切线条数.................................8
题型五：已知切线条数求参数.......................................9
题型六：距离问题转化为相切问题..................................13
题型七：公切线问题..............................................14
三、专项训练.......................................................18
一、必备秘籍
1、切线的斜率：函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的
切线的斜率 ，即 .
2、曲线的切线问题（基础题）
（1）在型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：函数f (x)在 x=x 或者(x ,f(x ))处的切线方程.
0 0 0
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 f (x )（方法：把 x=x 代入原函数f (x)中），切点(x ,f(x )).
0 0 0 0
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点(x ,f(x ))，切线斜率 k=f '(x )。
0 0 0
根据直线的点斜式方程得到切线方程： y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0（2）过型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
3、已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
4、已知f (x)和 存在 （ ）条公切线问题
第一步 设f (x)的切点 设 的切点
求公切线的斜率
写出并整理切线
整理得： 整理得：
联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点
个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个
数；二、典型题型
题型一：在型求切线方程
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线 在 处的切线与直线 垂
直，则实数 .
【答案】-2
【详解】因为 ，定义域为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线斜率为 ，
因为曲线 在 处的切线与直线 垂直，
所以 不符合题意，所以直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数 在 处的切线方程为 ．
（结果写成一般式）
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以在 处的切线方程为 ，整理得 ，
故答案为： .
3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，则点 即为 .
∵ ，∴切线斜率为 ，
∴切线方程为 ，即 .
故答案为： .
4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）在 处的
切线为 ，则直线 过定点的坐标为 .【答案】
【详解】根据题意：函数 在 处有切线， 切点为 ，
又 ，故切线斜率为 ，
直线 的方程为 ，
该直线过定点的坐标为 .
故答案为：
5．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与曲线
相切，则 .
【答案】 /
【详解】因为 的导数为 ，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又切线 与曲线 相切，设切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，解得 ，
所以 ，则 ，解得 .
故答案为； .
题型二：过型求切线方程
1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】由题设 ，若切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，又切线过 ，
则 ，可得 或 ，
当 时，切线为 ；当 时，切线为 ，整理得 .
故选：C
2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数 ，则曲线 过坐标原
点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
所以，所求切线方程为 ，
将原点坐标代入所求切线方程可得 ，即 ，解得 ，
因此，所求切线方程为 .
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线 相切的一条切线的方程为 .
【答案】 或 或 (写出其中一条即可)
【详解】解：设曲线 表示抛物线的一部分，
设其切线方程为 ，代入 ，
得 .由 ，得 .
当 时， ，符合题意，
当 时， ，均符合题意，
所以切线方程 .
设 的切线的切点为 .
由 ，得 ， ，
得切线方程为 .
将 的坐标代入切线方程，得 ，
所以 ，所以切线方程为 .
故答案为： 或 或 (写出其中一条即可)
4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线 在点 处切线的斜率为 ，过点 的
切线方程 .
【答案】
【详解】设
， ，解得： ， ；
当 是切点时，切线方程为： ，即 ；当 不是切点时，设切点坐标为 ，
则在点 处的切线方程为： ，
代入点 得： ，
，
解得： ， 切点为 ，与 重合，不合题意；
综上所述：切线方程为 .
故答案为： .
5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点 作曲线 的切线，则切线方程为 ．
【答案】
【详解】因为点 不在曲线上，设切点 ，且 ，则 ，①
又 ，则切线斜率为 ，②
由①②解得 ， ，所以 ，切线的斜率为 ，
切线方程为 ，即 .
故答案为： .
题型三：已知切线斜率求参数
1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线 与曲线 相切，则实数a的值为
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【详解】 ，则 ，
设直线l与曲线 的切点 ，则直线l的斜率 ，
由于直线 斜率为 ，则 ，解得 ，所以 ，即切点为 ，
故 ，解得 ．
故选：A.
2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】设切点为 ，
，故斜率为 ，
则切线方程为 ，
整理得 ，
所以 ，解得 .
故选：B
3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数 （ 、 ）在点 处的切线斜率为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 的定义域为R， ，
又 在点 处的切线斜率为 ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时，“ ”成立，
∴ 的最小值为 .
故选：C．
4．（2023上·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线 与曲线 相切，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设切点为 ，则 ，解得 ，
所以 ．令 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
故选：A
5．（2023上·天津·高三统考期中）已知函数 ，若曲线 的一条切线的方程为
，则 .
【答案】3
【详解】设切点坐标为 ，易知 ，
则 ，由切线方程为 可得 ，
即 ，解得 ，即切点坐标为 ，
将 代入切线方程可得 ，解得 .
故答案为：3
题型四：确定过一点可以做切线条数
1．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数 为 上的奇函数，过点
作曲线 的切线，可作切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】A
【详解】 ，故 ， ，
， ，
设切点为 ，则 ，且 ，
整理得到 ，解得 ， ，
故切线方程为 ，
故选：A2．（2021下·北京·高二校考期中）已知函数 ，则曲线 过点 的切线有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【详解】设切点为A ，直线AP的斜率为k,则 ，
又 ， ，
∴
又方程 的判别式为 ，且 ，
∴ 方程 有两个不同的解，
∴ 曲线 过点 的切线有两条，
故选：C.
3．（2021下·湖南·高二校联考阶段练习）经过点 作曲线 的切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】因为 ，
设切点为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
将 代入，得 即： 或 ，
所以 ，此时，切点为 ；
或
因为 ，所以方程 有两个不同的根，且根不为0，所以方程 共有3个
不同的根，即经过点 作曲线 的切线有3条.
故选：C.
4．（2019上·四川内江·高三统考阶段练习）已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线
条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设在曲线 上的切点为 ， ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程得 ，即 ，
解得 ， ， .
因此，过点 可向 引切线，有三条.
故选：C.
题型五：已知切线条数求参数
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正确的
是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【详解】设切点 ．因为 ，所以 ，
所以点 处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，所以 ，即 .
令 ，则 与 有且仅有1个交点， ，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，显然 时， ，于是符合题意；
当 时，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，所以
，
则 ，即 ．
综上， 或 ．
故选：D
2．（2023下·陕西汉中·高二校联考期中）过点 作曲线 切线有且只有两条，则b的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设切点为 ，
由 ，则 ，所以过 的切线方程为 ，即 ，
故 有且仅有两根，
设 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 ， ，此时 单调递减，
又当 时， ， ， ，
所以 的图象如下：
故 有且仅有两根，则b的取值范围为 ．
故选：A．
3．（2023·全国·校联考二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，且极小值、极大值分别为 ，如图，
由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
4．（2022上·山西运城·高三校考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设曲线 在点 处的切线为 ，
由 可知直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，
将 代入直线 可得关于 的方程 具有两个不相等的正数解，
构造函数 ，
则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
且当 时， ；
，当 ，即 时， ，
即当 时， ；
故为了使方程 有两个不相等的正数解，
则须使 .故选：B.
5．（2022上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若过点 能作三条直线与
的图像相切，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知： ，故 ，设切点为
根据导数的几何意义，知切线斜率为 ，切线方程为 ,
将 点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数 与函数 有三个不同的交点.
故 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
则当 时， 有极小值 ，
当 时， 有极大值 .
所以 的取值范围为 .
故选：D.
题型六：距离问题转化为相切问题
1．（2022上·四川成都·高三校联考阶段练习）曲线 上的点到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为 ，
则 ，解得 ，
所以切点为 ，代入切线方程，可得 ，即切线为 ，由两平行线间的距离 ，
所以最小值为 ，
故选：C．
2．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若实数 满足 ，则
的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【详解】由 ，得 ，令 ，则 ，
令 得 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增；
由 ，得 ，令 ，
的图像如下图：
则 表示 上一点 与 上一点 的距离的平方，
显然，当过M点的 的切线与 平行时， 最小，
设 上与 平行的切线的切点为 ，由 ，解得 ，
所以切点为 ，切点到 的距离的平方为 ，
即 的最小值为8；
故选：A.
3．（2023下·广西河池·高二校联考期中）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的
最小距离为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】 点 是曲线 上的任意一点，设 ，
令 ，解得 1或 （舍去）， ，此时 ，
∴曲线上与直线 平行的切线的切点为 ，
点 到直线 的最小距离 .
故选：A.
题型七：公切线问题
1．（2023上·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线 与曲线 有公切
线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，所以公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
设公切线与函数 切于点 ，
由 ，得 ，则公切线的斜率为 ，
所以公切线方程为 ，化简得 ，
所以 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，所以由题意得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
【答案】 或 （写出一个即可）
【详解】设公切线 与曲线 切于点 ，
与曲线 切于点 .
由 ，得 .由 ，得 .
令 ，即 ，则 ，
且 ，
即 ，
化为 ，
所以 ，解得 或 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
当 时， ， ，
此时切线 的方程为 ，即 .
综上可知，切线 的方程为 或 ，写出任意一个即可.
故答案为： 或 ，写出任意一个即可.
3．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期11月调研考试数学试题）写出曲线 与
的一条公切线方程： .
【答案】 （或 ）（答案不唯一）
【详解】设公切线与曲线 相切的切点为 ，与曲线 相切的切点为 ，
由 ，求导得 ，由 ，求导得 ，于是 ，即有 ，公切线方程为 ，
显然该切线过点 ，因此 ，
整理得 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，公切线方程为 ，当 时， ，公切线方程为 .
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a的取值范围是
．
【答案】
【详解】由题可知， ， ，
设与曲线 相切的切点为 ，与 相切的切点为 ，
则有公共切线斜率为 ，则 ， ，
又 ， ，可得 ，
即有 ，即 ，
可得 ， ，
设 ， ， ，
可得 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减， ,
可得 处 取得极大值，且为最大值 ，
则正实数a的取值范围 ，
故答案为：
5．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数
(1)当 时， 求 的极值；
(2)若曲线 与曲线 存在2 条公切线， 求a的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值；
(2) .【详解】（1）当 时，设 ，显然 ，
求导得 ，由 ，得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 在 取得极大值 ，无极小值.
（2）设曲线 上切点 ，则切线斜率为 ，方程为 ，
依题意，切线 与曲线 相切，于是方程 有两个相等的正实根，
而 ，则 ，且 ，即有 ，
由公切线有两条，得关于 的方程: 有两个不同的实数解，
令 ，则 与 的图象有两个交点，
由 ，求导得 ，由 ，得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
因此 ，函数 的图象如图，
观察图象知，当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
所以a的取值范围是 .三、专项训练
1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为
，则 （ ）
A． B． C．-2 D．
【答案】B
【详解】由题意知 在曲线 上，所以 .
又 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .
又因为曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，所以切线的斜率为1.
故而 .由 解得 ，所以 .
故选：B
2．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）函数 的图象在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴所求的切线方程为 ，即 .
故选：D
3．（2023下·高二课时练习）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 不存在
【答案】A
【详解】由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，
即
故选：A
4．（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）若直线 是曲线 的一条切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C． ln 2 D．
【答案】B
【详解】设直线 与曲线 相切的切点为 ，由 求导得 ，
于是 ，则 ， ，
设 ，求导得 ，
当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数 递增，
因此当 时， ，
所以 的最小值为 .
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解法一 由 ，得 ．设切点坐标为 ，
则切线方程为 ，
把 代入可得 ，即 ，
因为 ，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
解法二 由 ，得 ，令 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，且 ，则点 在曲线 的下方，数形结合可知，过点 可作曲线 的2条切线．
故选：B
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线，切
点分别为 和 ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由题意知 ，
因为 与曲线 相切，
所以 ，整理得 ，
同理 ，
则 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，
所以 ．
故选： .
7．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同
的切线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数 与函数 的图象公共点坐标为 ，
求导得 ，依题意， ，于是 ，
令函数 ，显然函数 在 上单调递增，且 ，则当 时， ，因此在 中， ，此时 ，经检验 符合题意，
所以 .
故选：B
8．（2023上·四川·高三校联考阶段练习）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
距离的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直线
的距离最小，
设切点为 ， 则 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，
由题知 ，解得 或 （舍），
所以 ，此时点 到直线 的距离 ，
故选：B.
9．（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为
， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由 ，得 ，
设切点坐标为 ，
则 ， 切线方程为 ，
将 代入可得 ，即 ，
依题意关于 的方程 有两个不同的解 、 ，
即关于 的方程 有两个不同的解 、 ，
．
故选：A．二、多选题
10．（2023下·高二课时练习）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】因为点 在直线 上，所以 .
由 ，则求导可得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 .
故选：AD.
11．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知直线l与曲线 相切，则下列直线中可能与l
平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】 ， ，则 ，当且仅当 即 等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率 ，因为切线与直线l平行，所以l的斜率 ，
选项A中直线的斜率为 ，符合题意；
选项B中直线的斜率为 ，不符合题意；
选项C中直线的斜率为 ，符合题意；
选项D中直线的斜率为 ，符合题意；
故选：ACD.
12．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）若过点 可以作三条直线与函数
相切，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【详解】设切点 ，
由函数 ，可得 ，
则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
因为点 在切线上，可得 ，
即 ，又因为过点 可以作三条直线与函数 相切，
即方程 有三个不同的实数解，且 不是方程的解，
即 有三个不同的实数解，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
又由 ，且当 时， ，当 时， ，
当 ,
所以实数 的取值范围为 ，结合选项C、D符合题意.
故选：CD.
三、填空题
13．（2024上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 在点 处的切线与直线
平行，则实数 .
【答案】
【详解】由题设 ，则 ，故 .
故答案为：
14．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）若函数 在 处的切线与 的
图像有三个公共点，则 的取值范围 ．
【答案】【详解】当 时， ，所以切点的坐标为 ，
当 时， ， ，所以切线的斜率 ，
所以切线 的方程为：
而 ，即 过点
当切线 过点 时，切线与 函数 的图象有三个公共点，
将 代入切线方程得： ，得
当切线 与 相切时，切线 与数 的图象只有两个公点，
设切线 ： 与 在 处相切，
由 ，得 ，
所以 ，得 ， ，所以切点坐标为
代入切线 ： ，得 ，
因此在 处的切线与 的图像有三个公共点时， 的取值范围为： .
故答案为： .
四、单空题
15．（2023下·高二课时练习）已知函数 是曲线 的一条切线，则 .
【答案】 /【详解】设切点为 ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴切线方程为 ，又点 在曲线 上，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ .
故答案为：
五、问答题
16．（2023上·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)当 时， 与 有公切线，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
当 时，可得 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增；
当 时，可得 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减.
（2）解：设公切线与 和 的切点分别为 ，
可得 ，可得切线方程为 ，
即 ，即
由 ，可得 ，则 ，所以切线方程为
所以 ，可得 ，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以，当 时，函数 取得极大值，极大值为 ，又由当 时， ；当 时， ，
所以 ，所以 时，即实数 的取值范围为 .
