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导数与零点问题
一、 多选题
1. 在直角坐标系内，由 ， ， ， 四点所确定的“ 型函数”指的是三次函数
，其图象过 ， 两点，且 的图象在点 处的切线经过点
，在点 处的切线经过点 ．若将由 ， ， ， 四点所确定的“ 型函
数”记为 ，则下列选项正确的是（ ）．
A. 曲线 在点 处的切线方程为
B.
C. 曲线 关于点 对称
D. 当 时，
【答案】ABC
【解析】因为直线 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
即 ，所以 正确；
因为 的图象过点 及 ，
所以 有两个零点 ， ，
故可设 （其中 ），
则 ，
由 ， ，得 ， ，
所以 ，选项 正确；
又由选项 可知， ，
所以曲线 关于点 对称，选项 正确；
当 时，有 ， ，
所以 ，即 不正确．
故答案为 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；一个函数的自对称问题
2.
1已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）．
A. 直线 为曲线 的一条切线 B. 的极值点个数为
C. 的零点个数为 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】因为 ，
所以 ，令 ，即 ，
令 ， ，在同一坐标系中作出两函数的图象，
由图象得：当 和 时， ，
所以此时 ，
所以 在 和 上单调递增，
当 和 时， ，
所以此时 ，
所以 在 和 上单调递减，
且 ， ，
，
作出函数 的图象如图 所示：
选项：根据函数的图象，知 选项正确；
选项：由图象得 有 个不同的解，有 个极值点，故 正确；
选项：当 或 时， ，
所以函数 有 个零点，故 错误；
2选项：根据函数 的图象可知， 不正确．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；求切线条数问题；直接求函数的零点（不含
参）
二、 解答题
3. 设函数 ．
（ 1 ）当 时，求函数 在区间 内的最大值；
（ 2 ）若函数 在区间 内有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）当 时， ， ，
令 ，得 ， ，
与 、 之间的关系如下表：
极大值
函数在区间 内只有一个极大值点，所以 是极大值点也是最大值点，
最大值为 ．
（ 2 ）（1）当 时， ，显然在区间 内没有两个零点，不符合题意．
（2）当 时， ， ．
①当 且 时， ，函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 内不可能有两个零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ， ，
与 、 之间的关系如下表：
极大值
3因为 ，若 在区间 内有两个零点，
则 ，即 ，化简 ，
因为 ，
，
综上所述，当 时，函数 在区间 内有两个零点．
【标注】【知识点】求参数范围（含参二次型导函数）
4. 已知函数 ， ， ．
（ 1 ）若 在 处取得极小值，求 的值；
（ 2 ）在（1）的条件下”,若 在区间 为增函数，求 的取值范围；
（ 3 ）在（2）的条件下，函数 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）
由 在 处取得极大值，得 ，
所以 ．（经检验适合题意)
（ 2 ） ，因为 在区间 为增函数，
所以 在区间 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
由于 ，得 ．
所以 的取值范围是 ．
（ 3 ） ，
故 ，得 或
当 时， ， 在 上是增函数，显然不合题意．
当 时， ， 随 的变化情况如下表：
极大值 极小值
4要使 有三个零点，故需 ，
即 ， 解得
所以 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参二次型导函数）；区间上恒单调
5. 已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
（ 1 ）设 ， 恒成立，求 的最大值．
（ 2 ）设 ，讨论函数 在 上的零点个数．（参考数据：
， ）
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）当 时， 在 上的零点个数为 ，
当 时， 在 的零点个数为 ．
【解析】（ 1 ）设函数 ，
所以 ，令 得 ，（ ）
且当 时， 时，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为要使得 恒成立，只要 恒成立，
即 ①，
设 ， 且 ，
∴ ，∴ 在 上单调递减，
又 ， ，
且 图象连续不断，所以满足①的 的最大值为 ．
（ 2 ）方法一： ， ，
设 ，则
，
因为 ，所以在 内必存在唯一的实数 ，使得 ，
所以 ， ， 为增函数
， ， 为减函数，
5下面先证明： ，
因为 ，所以 ， ，
∵当 时，有 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
下证 ，即证 ，即证
，
∵ ，
∴ ．
方法二：∵当 时，有 ， ，
∴ ，
∴ ，
下证 ，令 ，则 ，
即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
∴ 为单调递增函数，
∴当 时， ，∴ ，
∴ ．
方法三：欲证 ，即证 ，
因为 ，所以只需证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
又 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
又 ，所以 显然成立，
∴ ，
6接下来，求函数 在 上的零点个数，
∵ ， 且函数 在 上单调递减，
∴ 在 有唯一零点，即函数 在 的零点个数为 ，
最后，求函数 在 上的零点个数，
∵ ， ，且函数 在 上单调递增，
∴①当 时， ，所以函数 在 上没有零点，
即函数 在 上的零点个数为 ；
②当 时， ，所以函数 在 上有唯一零点，
即函数 在 上的零点个数为 ，
绿上所述：当 时， 在 上的零点个数为 ，
当 时， 在 的零点个数为 ．
【标注】【知识点】放缩法；求函数零点（含参三角型导函数）；求函数零点（含参指对型导函
数）；通过构造函数证明不等式
6. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，一次函数 对任意 ， 恒成立，求 的表达
式．
（ 2 ）讨论关于 的方程 解的个数．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）① 或 时， 恰有一根；
② 时， 恰有三根．
【解析】（ 1 ）当 时， ，
∵对任意 ， 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立．
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
7∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，
又 ，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ．
（ 2 ） ，则 ，
∴ ，
即 ，设 ，则 ，
设 ， ，
①当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴ 在 恒有一解，
即 只有一解；
②当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ，
∴ 在 恒有一解；
8③当 时， ，
设 ， ， ，
∴ 在 上有二解，且 ，
又∵ ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ 在 上恰有一根，
当 时， ，
当 时， ， ，
∴ 且 ，解得 ，
∴ 在 上恰有一根， 在 上恰有三根．
综上：① 或 时， 恰有一根；
② 时， 恰有三根．
【标注】【知识点】求函数零点（含参二次型导函数）
7. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若函数 有且仅有 个零点，求 的取值范围．（其中常数
，是自然对数的底数）
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）易知 的定义域为 ，
9且 ， ．
①若 ，当 时， ；
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
在 上单调递减；
②若 ，易知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 在 和 上单调递减，
在 上单调递增；
③若 ，则 ，
∴ 在 上单调递减；
④若 ，易知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 在 和 上单调递减，
在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增．
（ 2 ）令 ，则 ，
∴依题意可知函数 与 的图象有 个不同的交点，
∴由（ ）易知必有 ，或 ，
①当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，
∴ 的极大值为 ，
的极小值为 ，
又 ，
10∴函数 与 的图象至多有 个交点，不合题意，
②当 时， 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，
∴ 的极小值为 ，
的极大值为 ，
∴必须有 成立，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
下面求不等式 的解集．
（解法一）令 ，则不等式 等价于 ，
令函数 ，则 ，
令 ，则 ，
极大值
函数 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
又 ，
∴ ，
即 恒成立，
故函数 单调递减，
又 ，
∴当且仅当 时， ，
∴不等式 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．
的取值范围为 ．
（解法二）令函数 ，
则 ，
令 ，则 ．
11极大值
∴函数 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
又 ，
∴ ，
即 恒成立，
故函数 单调递减，
又 ，
∴不等式 的解集为 ，
∴必有 ．
下面证明当 时，
函数 有且仅有 个零点．
（解法一）一方面，当 时， ．
另一方面，当 时， ，
∴ ．
不难知道，当 时，
函数 有且仅有 个零点．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
（解法二）当 时，
有
，
∴ ，
显然当 时，有 （证明略）．
于是，当 时，
有 ，
∴ ，
不难知道，当 时，
函数 有且仅有 个零点．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
12【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；求参数范围（含参指对型导函
数）；二阶导问题
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