文档内容
1、
（2010•山东）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式
为y=-13x3+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
A、13万件 B、11万件 C、9万件 D、7万件
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，
比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．
解答：解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；
令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数y=- 13x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，
在区间（9，+∞）上是减函数，
所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．
点评：本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题．
2、
（2006•浙江）f（x）=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是（ ）
A、-2 B、0 C、2 D、4
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．
解答：解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），
令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．
故选C
点评：此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．
3、
函数 f(x)=∫0x(t2-4t)dt在[-1，5]上的最大和最小值情况是（ ）
A、有最大值0，但无最小值
B、有最大值0和最小值- 323
C、有最小值- 323，但无最大值
D、既无最大值又无最小值
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．
专题：计算题．
分析：首先由不定积分的基本求法求出f（x）的函数表达式 13x3-2x2，对函数求导，利用导数求研究函数
y=x2-4x在[-1，5]上的单调性，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果．解答：解：f（x）=∫x（t2-4t）dt=（ 13t3-2t2）|x= 13x3-2x2
0 0
知y'=x2-4x，
令y'＞0，解得x＞4，或x＜0，
故函数y= 13x3-2x2，在[0，4]上减，在[4，5]和[-1，0]上增，
由此得函数在[-1，5]上的最大值和最小值．
故选B．
4、
函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（ ）
A、5，-15 B、5，-4 C、-4，-15 D、5，-16
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：对函数y=2x3-3x2-12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定
函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可
解答：解：由题意y'=6x2-6x-12
令y'＞0，解得x＞2或x＜-1
故函数y=2x3-3x2-12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增
又y（0）=5，y（2）=-15，y（3）=5
故函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，-15
故选A
5、
函数 y=x3+3x在（0，+∞）上的最小值为（ ）
A、4 B、5 C、3 D、1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x的值，把x值代入原函数求出极值，结合函数的
单调性求出最小值．
解答：解：f′（x）=3x2_ 3x2，
f′（x）=0 则x=±1
极值为：f（1）=4，f（-1）=-4，
且x＞1时，f′（x）＞0，0＜x＜1时，f′（x）＜0，
故函数 y=x3+3x在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数，
所以函数 y=x3+3x在（0，+∞）上的最小值为：f（1）=4
故选A．
6、
若函数f（x）=3x-x3在区间（a2-12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A、 (-1，11) B、（-1，4） C、（-1，2] D、（-1，2）
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；转化思想．分析：求函数（f x）=3x-x3导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间（a2-12，a）上有最小值，故最小值点
的横坐标是集合（a2-12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
解答：解：由题 f'（x）=3-3x2，
令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值
∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜ 11
又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2
综上知a∈（-1，2]
故选C
7、
已知f（x）=2x3-6x+m（m为常数），在[0，2]上有最大值3，那么此函数在[0，2]上的最小值为
（ ）
A、-1 B、-3 C、-5 D、5
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在区间[0，2]上为增函数，则当x=2时函数值就是最大值，
从而求出m，通过比较两个端点0和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．
解答：解：∵f′（x）=6x2-6=6（x-1）（x+1），
∵f（x）在[0，2]上为增函数，
∴当x=2时，f（x）=4+m最大，
∴4+m=3 m=-1，从而f（0）=-1．
∴最小值为-1．
⇒
故选A．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较
函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．
8、
已知 f(x)=x+4x，当x∈[1，3]时的值域为[n，m]，则m-n的值是（ ）
A、 13 B、 23 C、1 D、 43
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域．
专题：计算题．
分析：先对函数求导，可得f（′ x）=1- 4x2，判断其在[1，3]上的符号可得（f x）的单调性，进而可得最小值即n
的值，比较端点值的大小，可得最大值即m；进而可得答案．
解答：解：f（x）=x+ 4x，则f′（x）=1- 4x2，
易得在[1，2]上，f′（x）＜0，则f（x）是减函数，在[2，3]上，f′（x）＞0，则f（x）是增函数，
则f（x）在[1，3]上最小值为f（2）=4，即n=4；
且f（1）=5，f（3）= 133，有f（1）＞f（3），
则f（x）在[1，3]上最大值为f（1）=5，即m=4；
m-n=5-4=1；
故选C．9、
已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，则函数F（x）=f（x）f′（x）
+f2（x）的最大值是（ ）
A、 1+2 B、 2 C、 1-2 D、3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：先求出函数（f x）的导数，然后代入到函数F（x）中，再化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，最后根据正
弦函数的性质得到答案．
解答：解：∵f（x）=sinx+cosx
∴f'（x）=cosx-sinx
F（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2
=（cos2x-sin2x）+（sin2x+cos2x+2sinxcosx）
=cos2x+sin2x+1
= 2sin（2x+ π4）+1
所以，函数f（x）的最大值为 2+1．
故选A．
10、
已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数），在区间[-2，2]上有最大值20，那么此函数在区
间[-2，2]上的最小值为（ ）
A、-37 B、-7 C、-5 D、-11
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先将（f x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再
根据条件求出a的值，最小值即可求得．
解答：解：∵f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数）
∴f'（x）=-3x2+6x+9
令f'（x）=-3x2+6x+9=0，解得x=-1或3（舍去）
当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x=-1时取最小值，而f（2）=22+a＞f（-2）=2+a
即最大值为22+a=20，∴a=-2，最小值为f（-1）=-5-2=-7
故选B
11、
函数f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]的最大值为（ ）
A、4e-1 B、1 C、e2 D、3e2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导函数，令导数为0求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在
其中选出最大值．解答：解：f′（x）=xex+1（x+2）
令f′（x）=0得x=-2或x=0
当f′（x）＞0时，x＜-2或x＞0；当f′（x）＜0时，-2＜x＜0
当x=-2时f（-2）= 4e；当x=0时，f（0）=0；当x=1时，f（1）=e2
所以函数的最大值为e2
故选C
12、
函数y=x+2cosx在区间[0， π2]上的最大值是（ ）
A、 2 B、 π2+3 C、 π6+3 D、 π6+2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．
解答：解：y′=1-2sinx=0，得 x=π6或x=5π6，
故y=x+2cosx在区间[0， π6]上是增函数，在区间[ π6， π2]上是减函数，
又x= π6时，y= π6+3，x= π2时，y= π2＜ π6+3，
所以最大值为 π6+3，
故选C．
13、
函数f（x）=x3-x在[0，1]上的最小值为（ ）
A、0 B、 -239 C、 -33 D、 -12
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，确定极值点，再比较函数值的大小，从而得解．
解答：解：由题意，f′（x）=3x2-1=0，∴ x=±33
∵ f(0)=0，f(33)=-239，f(1)=0
∴函数f（x）=x3-x在[0，1]上的最小值为 -239
故选B．
14、
函数f（x）=2x3-6x2+3在[-2，2]上有最小值是（ ）
A、-5 B、-11 C、-29 D、-37
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的
值，即可求出函数的最小值．
解答：解：由已知，f′（x）=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[-2，2]，所以得当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以（f x） =（f 0）=3，又（f -2）=-37，（f 2）=-5，因为（f -2）=-37＜（f 2）=-5，所以函数（f x）的最小值为（f -2）
max=-37．
故选D．
15、
不等式 x2-x-6x-1＞0的解集为（ ）
A、{x|x＜-2，或x＞3} B、{x|x＜-2，或1＜x＜3}
C、{x|-2＜x＜1，或x＞3} D、{x|-2＜x＜1，或1＜x＜3}
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：解 f(x)g(x)＞0，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．
解答：解： x2-x-6x-1＞0 (x-3)(x+2)(x-1)＞0 （x-3）（x+2）（x-1）＞0
利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，
⇔ ⇔
故选C．
点评：本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题
16、
已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 y=-13x3
+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）万件．
A、13 B、11 C、9 D、7
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．
解答：解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数 y=-13x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，
所以在x=9处取极大值，也是最大值，
故选C．
17、
∫231xdx的值是（ ）
A、 13-12 B、ln3-ln2 C、ln2-ln3 D、 12-13
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．
专题：计算题．
分析：根据题意，直接找出被积函数 1x的原函数，直接计算在区间（2，3上的定积分即可．
解答：解：∵（lnx）′= 1x
∴ ∫231xdx=lnx|3=ln3-ln2
2
故选B．
18、
函数f（x）=x3-3x+2 在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）A、20和2 B、20和-1 C、20和0 D、19和-1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，确定函数在闭区间[0，3]上的单调性，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最
值．
解答：解：由题意，f′（x）=3x2-3x=3（x-1）（x+1）
∴函数f（x）在[0，1]上，f′（x）＜0，函数为单调减函数，
在[1，3]上，f′（x）＞0，函数为单调增函数
∴x=1时，函数取得最小值为0
又f（0）=2，f（3）=20
∴x=3时，函数取得最大值为20
故选C．
19、
函数f（x）=x•ex的最小值是（ ）
A、-1 B、 -1e C、 32 D、e
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到驻点x=-1，然后分区间x＜-1和x＞-1，讨论函
数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
解答：解：∵f′（x）=ex+xex
令f′（x）=0得
ex+xex=0
ex（1+x）=0
解得：x=-1
当x＜-1时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数
当x=-1时，f′（x）=0，函数f（x）=- 1e
当x＞-1时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数
∴当x=-1时，函数f（x）有极小值且为最小值
故答案为B．
20、
某工厂生产的机器销售收入y（万元）是产量x（千台）的函数：y =17x2，生产总成
1 1
本y
2
（万元）也是产量x（千台）的函数；y
2
=2x3-x2（x＞0），为使利润最大，应生产
（ ）
A、6千台 B、7千台 C、8千台 D、9千台
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：分类讨论．
分析：根据利润=收入-成本可得y=y-y，求出y′讨论其大于小于0得到函数的最大值．
1 2
解答：解：利润y=y-y=18x2-2x3，y=-6x2+36x，
1 2
解y'＞0得0＜x＜6；解y'＜0得x＞6；当x=6时，y取得最大值．
故答案为A．
点评：考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能力
21、
函数f（x）=2x3-6x2+3在[-2，2]上有最小值是（ ）
A、-5 B、-11 C、-29 D、-37
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的
值，即可求出函数的最小值．
解答：解：由已知，f′（x）=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[-2，2]，所以得当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以（f x） =（f 0）=3，又（f -2）=-37，（f 2）=-5，因为（f -2）=-37＜（f 2）=-5，所以函数（f x）的最小值为（f -2）
max
=-37．
故选D．
22、
函数y=x3-3x2-9x+5在区间[-4，4]上的最大值为（ ）
A、10 B、-71 C、-15 D、-22
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间
的两个端点对应的函数值，从四个函数值中选出最大值．
解答：解：f′（x）=3x2-6x-9，
令f′（x）=0得 x=-1或x=3
所以f（-4）=-71；f（-1）=10； f（3）=-22；f（4）=-3；
所以函数y=x3-3x2-9x+5在区间[-4，4]上的最大值为：10；
故选A．
23、
已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 y=-13x3
+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）万件．
A、13 B、11 C、9 D、7
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．
解答：解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数 y=-13x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，
故选C．
24、
函数f（x）=x3-3x+2 在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A、20和2 B、20和-1 C、20和0 D、19和-1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，确定函数在闭区间[0，3]上的单调性，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最
值．
解答：解：由题意，f′（x）=3x2-3x=3（x-1）（x+1）
∴函数f（x）在[0，1]上，f′（x）＜0，函数为单调减函数，
在[1，3]上，f′（x）＞0，函数为单调增函数
∴x=1时，函数取得最小值为0
又f（0）=2，f（3）=20
∴x=3时，函数取得最大值为20
故选C．
25、
某工厂生产的机器销售收入y（万元）是产量x（千台）的函数：y =17x2，生产总成
1 1
本y
2
（万元）也是产量x（千台）的函数；y
2
=2x3-x2（x＞0），为使利润最大，应生产
（ ）
A、6千台 B、7千台 C、8千台 D、9千台
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：分类讨论．
分析：根据利润=收入-成本可得y=y-y，求出y′讨论其大于小于0得到函数的最大值．
1 2
解答：解：利润y=y-y=18x2-2x3，y=-6x2+36x，
1 2
解y'＞0得0＜x＜6；解y'＜0得x＞6；
当x=6时，y取得最大值．
故答案为A．
点评：考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能力．
26、
已知f（x）=x3-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以（f a），（f b），（f c）为边长的
三角形，则m的取值范围是（ ）
A、m＞2 B、m＞4 C、m＞6 D、m＞8
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]
上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．解答：解：由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0得到x=1，x=-1（舍去）
1 2
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x） =f（1）=m-2，f（x） =f（2）=m+2，f（0）=m
min max
由题意知，f（1）=m-2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
27、
设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（
）
A、 13(1+ln3) B、 13ln3 C、 13(1-ln3) D、ln3-1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：构造函数F（x）=（f x）-g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0
求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．
解答：解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．
设F（x）=f（x）-g（x）=x3-lnx，
求导得：F'（x）= 3x2-1x．
令F′（x）＞0得 x＞33；令F′（x）＜0得 0＜x＜33
所以当x= 33时，F（x）有最小值为F（ 33）= 13(1+ln3)
故选A
28、
已知f（x）=2x3-6x2+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值
是（ ）
A、-37 B、-29 C、-5 D、以上都不对
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（-2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出
m，通过比较两个端点-2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．
解答：解：∵f′（x）=6x2-12x=6x（x-2），
∵f（x）在（-2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，
∴当x=0时，f（x）=m最大，
∴m=3，从而f（-2）=-37，f（2）=-5．
∴最小值为-37．
故选：A
29、已知函数f（x）=x3-3x+m在区间[-3，0]上的最大值与最小值的和为-1，则实数m的值为（
）
A、1 B、2 C、7.5 D、-8
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导函数令其等于零求出函数的驻点，分区间讨论函数的增减性得到函数的最值，求出m即
可．
解答：解：据题意可知：f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0得：x=±1；
∵函数在区间[-3，0]上有最值
∴x=1舍去，x=-1
①-3＜x＜-1时，f′（x）＞0，函数为增函数；
②x=-1时，f′（x）=0．
∴f（x）极大值为f（-1）=2+m；
③-1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数为减函数．
有因为f（-3）=-18+m，f（0）=m 且-18+m＜m＜2+m
∴f（x）的最大值为f（-1）=2+m，最小值为f（-3）=-18+m
函数f（x）=x3-3x+m在区间[-3，0]上的最大值与最小值的和为-1
∴m+2+（-18+m）=-1
2m=15
m=7.5
30、
函数y=x+2cosx在 [0，π2]上取最大值时，x的值为（ ）
A、0 B、 π6 C、 π3 D、 π2
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题考查的是利用导数在闭区间上求最值得问题．在解答时，要现将函数求导，通过到函数的正负情
况分析单调区间，进而判断出区间 [0，π2]上的单调性，获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：
y'=1-2sinx，
当y'＞0时，解得 0＜x＜π6，
当y'＜0时，解得 π6＜x＜π2，
所以当 x=π6时，函数y=x+2cosx在 [0，π2]上取最大值．
故选B．
31、
函数y=x3-3x2-9x+5在区间[-4，4]上的最大值为（ ）
A、10 B、-71 C、-15 D、-22
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间
的两个端点对应的函数值，从四个函数值中选出最大值．
解答：解：f′（x）=3x2-6x-9，
令f′（x）=0得 x=-1或x=3
所以f（-4）=-71；f（-1）=10； f（3）=-22；f（4）=-3；
所以函数y=x3-3x2-9x+5在区间[-4，4]上的最大值为：10；
故选A．
32、
函数y=x+2cosx在区间[0， π2]上的最大值是（ ）
A、 2 B、 π2+3 C、 π6+3 D、 π6+2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．
解答：解：y′=1-2sinx=0，得 x=π6或x=5π6，
故y=x+2cosx在区间[0， π6]上是增函数，在区间[ π6， π2]上是减函数，
又x= π6时，y= π6+3，x= π2时，y= π2＜ π6+3，
所以最大值为 π6+3，
故选C．
33、
函数y=x+2cosx在 [0，π2]上取最大值时，x的值为（ ）
A、0 B、 π6 C、 π3 D、 π2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题考查的是利用导数在闭区间上求最值得问题．在解答时，要现将函数求导，通过到函数的正负情
况分析单调区间，进而判断出区间 [0，π2]上的单调性，获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：
y'=1-2sinx，
当y'＞0时，解得 0＜x＜π6，
当y'＜0时，解得 π6＜x＜π2，
所以当 x=π6时，函数y=x+2cosx在 [0，π2]上取最大值．
故选B．
34、
已知曲线C：y= 13x3-x2-4x+1，直线l：x+y+2k-1=0，当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，
则实数k的取值范围是（ ）
A、k＞ 56 B、 k＜56 C、 K＜34 D、 K＞34
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：将已知条件当x∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C的上方，等价于x在（-3，3）内（-x-2k+1）- 13x3-x2-
4x+1＞0恒成立，构造函数，通过求导数，判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．
解答：解：命题等价于x在（-3，3）内，
（-x-2k+1）-（ 13x3-x2-4x+1）＞0恒成立
即k＜ -16x3+12x2+32x，
设y= -16x3+12x2+32x，
y'= -12x2+x+32= 12（3-x）（1+x）
所以函数y= -16x3+12x2+32x，
在[-3，-1）内y递减，（-1，3]内递增
所以x=-1，y取最小值 -56
所以k＜ -56
故选B．
35、
已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数），在区间[-2，2]上有最大值20，那么此函数在区
间[-2，2]上的最小值为（ ）
A、-37 B、-7 C、-5 D、-11
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先将（f x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再
根据条件求出a的值，最小值即可求得．
解答：解：∵f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数）
∴f'（x）=-3x2+6x+9
令f'（x）=-3x2+6x+9=0，解得x=-1或3（舍去）
当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x=-1时取最小值，而f（2）=22+a＞f（-2）=2+a
即最大值为22+a=20，∴a=-2，最小值为f（-1）=-5-2=-7
故选B
36、
f(x)=13x3-12x2+2在区间[-1，3]上的最大值是（ ）
A、-2 B、0 C、2 D、 132
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出（f x）的导函数，令导函数为0，求出两个根，判断根左右两边导函数的符号，求出两个极值，再求
出两个端点的函数值，比较端点值与极值的大小，找出最大值．
解答：解：f′（x）=x2-x=x（x-1）
令f′（x）=0得x=0或x=1
当（-1，0）时，f′（x）＞0；当0＜x＜3时，f′（x）＜0
所以当x=0时，f（x）有极大值2；当x=1时f（x）有极小值 13-12+2=116
又当x=-1时，f（x）的值为 -13-12+2=76当x=3时，f（x）的值为 9-92+2=132
所以函数的最大值为 132
故选D
37、
已知 f(x)=x+4x，当x∈[1，3]时的值域为[n，m]，则m-n的值是（ ）
A、 13 B、 23 C、1 D、 43
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域．
专题：计算题．
分析：先对函数求导，可得f（′ x）=1- 4x2，判断其在[1，3]上的符号可得（f x）的单调性，进而可得最小值即n
的值，比较端点值的大小，可得最大值即m；进而可得答案．
解答：解：f（x）=x+ 4x，则f′（x）=1- 4x2，
易得在[1，2]上，f′（x）＜0，则f（x）是减函数，在[2，3]上，f′（x）＞0，则f（x）是增函数，
则f（x）在[1，3]上最小值为f（2）=4，即n=4；
且f（1）=5，f（3）= 133，有f（1）＞f（3），
则f（x）在[1，3]上最大值为f（1）=5，即m=4；
m-n=5-4=1；
故选C．
38、
f（x）=2x3-6x2+a在[-2，2]上有最大值3，那么在[-2，2]上f（x）的最小值是（ ）
A、-5 B、-11 C、-29 D、-37
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题需要先根据条件：f（x）有最大值3来求出参数a的值，再进一步求出f（x）的最小值来．
解答：解：由已知f′（x）=6x2-12x，令 f′（x）＞0得x＜0或x＞2，又因为x∈[-2，2]
因此f（x）在[-2，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，
所以f（x）在区间[-2，2]的最大值为f（x） =f（0）=a=3
max
由以上分析可知函数的最小值在x=-2或x=2处取到，
又因为f（-2）=-37，f（2）=-5，因此函数的最小值为-37．
故应选D
39、
若函数 y=x3+32x2+m在[-2，1]上的最大值为 92，则m的值为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，从而确定极值点，根据最值在极值点处或端点处取得，可求m的值
解答：解：∵y'=3x2+3x，∴由y'=0得x=0，或x=-1．
∵ f(0)=m，f(-1)=m+12， f(1)=m+52，f(-2)=m-2，∴ m+52=92，得m=2．
故选B．
40、
已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为 y=-13x3
+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）万件．
A、13 B、11 C、9 D、7
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．
解答：解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数 y=-13x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+∞）上是减函数，
所以在x=9处取极大值，也是最大值，
故选C．
41、
设函数f（x）=x3-3x，则f（x）在[-2，2]上最大值为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：先根判断函数是奇函数，根据奇函数的性质求出f（x）在[0，2]区间的最大值，然后根据导数以及函数
的单调性便可求出函数f（x）在[-2，2]上最大值．
解答：解：由题意可知：f（x）为奇函数，故我们可以只研究区间[0，2]，
函数f（x）=x3-3x的导数为f'（x）=3x2-3，
当x∈[0，1）时，f'（x）＜0，f（x）在[0，1）单调递减；
当x=1时，f'（x）=0，
当x∈（1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在（1，2]单调递增，
∴函数f（x）在x=2时取得最大值，f（2）=8-6=2，
∴f（x）在[-2，2]上最大值为2，
故选C．
42、
关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A、（-4，0） B、（-∞，0） C、（1，+∞） D、（0，1）
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断．
专题：综合题．
分析：构造（f x）=x3-3x2-a，则f（′ x）=3x2-6x=3x（x-2），可知（f 0）=-a为极大值，（f 2）=-4-a为极小值，从而当
极大值大于0，极小值小于0时，有三个不等实根，由此可得a的取值范围．
解答：解：假设f（x）=x3-3x2-a，则f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
∴函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减
∴f（0）=-a为极大值，f（2）=-4-a为极小值当f（0）＞0，f（2）＜0时，即-a＞0，-4-a＜0，即-4＜a＜0时，有三个不等实根
故选A．
43、
函数 f(x)=13x3-4x+4在[0，3]上的最大值为（ ）
A、 -43 B、4 C、1 D、0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，确定函数在[0，3]上的单调性，利用函数的最值在极值点或端点处取得，可求函数的最大
值．
解答：解：由题意，f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）
∴函数在[0，2]上单调减，在[2，3]上单调增
∴函数在x=0或x=3处取得最大值
∵f（0）=4，f（3）=1
∴函数在0处取得最大值4
故选B．
44、
函数 f(x)={2x3+3x2+1(x≤0)aex(x＞0)在[-2，2]上的最大值为2，则a的范围是（ ）
A、 [2e2，+∞) B、 [0，2e2] C、（-∞，0] D、 (-∞，2e2]
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
专题：计算题；分类讨论；转化思想．
分析：由题意，可分段研究函数的最值，先确定出函数的单调性，确定出每一段上函数的最大值，令最大值小
于等于2，即可解出a的取值范围得出正确选项
解答：解：由题意，当x≤0时，（f x）=2x3+3x2+1，可得f（′ x）=6x2+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]
上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2
当x＞0时，（f x）=aex，若a＜0，则函数在（0，2]上为负，符合题意，若a=0，显然符合题意，当a＞0时，函数
是一个增函数，必有ae2≤2，故有a≤ 2e2
综上得a的范围是 (-∞，2e2]
故选D
45、
函数 y=14x4+13x3+12x2，在[-1，1]上最小值为（ ）
A、0 B、-2 C、-1 D、 1312
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
专题：计算题．
分析：讨论满足f（′ x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而确定函数在[-1，1]上的单调性，该题的极
小值就是最小值．
解答：解：f′（x）=x3+x2+x=x（x2+x+1），
当f′（x）=0得x=0，
∵0∈[-1，1]当x∈[-1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1]时，f′（x）＞0
∴函数在x=0处取最小值f（0）=0
∴函数 y=14x4+13x3+12x2，在[-1，1]上最小值为0．
故选A．
46、
设函数 f(x)=x3-12x2-2x+5，若对于任意x∈[-1，2]都有（f x）＜m成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A、（7，+∞） B、（8，+∞） C、[7，+∞） D、（9，+∞）
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．
解答：解：∵f（x）＜m恒成立，即f（x）的最大值＜m恒成立，
∴f′（x）=3x2-x-2，
当x∈[-1，- 23]时f（x）为增函数，
当x∈[- 23，1]时，f（x）为减函数，
∴f（x）的最大值为f（2）=7，
所以m的取值范围为（7，+∞）．
故选A．
47、
如果函数 f(x)=13x3-a2x满足：对于任意的x
1
，x
2
∈[0，1]，都有|f（x
1
）-f（x
2
）|
≤1恒成立，则a的取值范围是（ ）
A、 [-233，233] B、 (-233，233)
C、 [-233，0)∪(0，233] D、 (-233，0)∪(0，233)
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；分类讨论．
分析：由题意函数 f(x)=13x3-a2x满足：对于任意的x，x∈[0，1]，都有|（f x）-（f x）|≤1恒成立，必有函数
1 2 1 2
f(x)=13x3-a2x满足其最大值与最小值的差小于等于1，由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函
数的导数，用导数判断出最值，求出最大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值
解答：解：由题意f′（x）=x2-a2
当a≥1时，在x∈[0，1]，恒有导数为负，即函数在[0，1]上是减函数，故最大值为（f 0）=0，最小值为（f 1）= 13-
a2，故有 a2-13≤1，解得|a|≤ 233，故可得1≤a≤233
当a∈[0，1]，由导数知函数在[0，a]上增，在[a，1]上减，故最大值为（f a）= -23a3又（f 0）=0，矛盾，a∈[0，1]
不成立，
故选A．
48、
已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（ 12）x-m，若∀x
1
∈[0，3]，∃x
2
∈[1，2]，使得f（x
1
）
≥g（x
2
），则实数m的取值范围是（ ）
A、[ 14，+∞） B、（-∞， 14] C、[ 12，+∞） D、（-∞，- 12]显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．
解答：解：因为x∈[-1，3]时，f（x）∈[0，ln4]；
1 1
x∈[1，2]时，g（x）∈[ 14-m， 12-m]．
2 2
故只需0≥ 14-m m≥ 14．
故选A．
⇒
49、
若函数f（x）=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为
（ ）
A、（-∞，+∞） B、（-∞，1） C、（-1，+∞） D、（-1，1）
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；分类讨论．
分析：要使函数f（x）=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3
进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
解答：解：求一阶导数可得f（' x）=3x2-3a2，两个极值点分别在x=a、x=-a，代入函数，得（f a）=-2a3+1，（f -a）
=2a3+1，
当a＞0时，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
当a＜0时，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
当a=0时，显然成立；
则答案为：-1＜a＜1，
故选D．
50、
（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其
中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最
小值；
方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．
解答：解：设剪成的小正三角形的边长为x，则： S=(3-x)212•(x+1)•32•(1-x)=43•(3-x)21-x2(0＜x＜1)
（方法一）利用导数求函数最小值． S(x)=43•(3-x)21-x2，
S(x)=43•(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)(1-x2)2
= 43•(2x-6)•(1-x2)-(3-x)2•(-2x)(1-x2)2=43•-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2
ʹ
S(x)=0，0＜x＜1，x=13，
当 x∈(0，13]时，S′（x）＜0，递减；当 x∈[13，1)时，S′（x）＞0，递增；
ʹ故当 x=13时，S的最小值是 3233．
（方法二）利用函数的方法求最小值．
令 3-x=t，t∈(2，3)，1t∈(13，12)，
则： S=43•t2-t2+6t-8=43•1-8t2+6t-1
故当 1t=38，x=13时，S的最小值是 3233．
51、
（2008•江苏）f（x）=ax-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞
0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，（f x）≥0都成立；当x＞0时有a≥ 3x2-1x3，可构造函数g
（x）= 3x2-1x3，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x） ，同理可得x＜0时的a的范围，从而可
max
得a的值．
解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为：a≥ 3x2-1x3
设g（x）= 3x2-1x3，则g′（x）= 3(1-2x)x4，
所以g（x）在区间（0， 12]上单调递增，在区间[ 12，1]上单调递减，
因此g（x） =g（ 12）=4，从而a≥4；
max
当x＜0即x∈[-1，0）时，f（x）=ax3-3x+1≥0可化为：a≤ 3x2-1x3，
g（x）= 3x2-1x3在区间[-1，0）上单调递增，
因此g（x） =g（-1）=4，从而a≤4，综上a=4．
min
答案为：4
52、
（2007•江苏）已知函数f（x）=x-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为
3
M，m，则M-m=
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先对函数（f x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数（f x）的单调性，列
出在区间[-3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．
解答：解：令f′（x）=3x2-12=0，得x=-2或x=2，
列表得：
可知M=24，m=-8，∴M-m=32．
故答案为：32
53、（2007•湖南）函数f（x）=12x-x 在区间[-3，3]上的最小值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先对函数（f x）进行求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后判断端点值和极值的大小进而得到最
小值．
解答：解：∵f'（x）=12-3x2，
∴f'（x）=0，得x=±2，
∵f（-2）=-16，f（3）=9，f（-3）=-9，f（2）=6，
∴f（x） =f（-2）=-16．
min
故答案为：-16．
54、
（2004•安徽）函数y= x-2x（x≥0）的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出y′得到驻点，讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可．
解答：解：y′= 12x-2，当0＜x＜ 116时，y′＞0，∴y= x-2x在（0， 116）上为增函数．
当x＞ 116时，y′＜0，∴y= x-2x在（ 116，+∞）上是减函数．
∴y= x-2x在（0，+∞）上的最大值为 116- 216= 18．
故答案为 18
55、
若函数 f(x)=13x3-x在(a，10-a2)上有最小值，则a的取值范围为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10-a2）有最小值确定出参数a的
取值范围．
解答：解：由已知，f′（x）=x2-1，有x2-1≥0得x≥1或x≤-1，
因此当x∈[1，+∞），（-∞，-1]时f（x）为增函数，在x∈[-1，1]时f（x）为减函数．
又因为函数 f(x)=13x3-x在(a，10-a2)上有最小值，所以开区间（a，10-a2）须包含x=1，
所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=- 23，
又由f（x）=- 23可得 13x3-x=- 23，于是得（x-1）2（x+2）=0
即有f（-2）=- 23，因此有以下不等式成立：
{-2≤a＜110-a2≥1，可解得-2≤a＜1，
答案为：[-2，1）
56、
函数f（x）= 12e（sinx+cosx）在区间[0， π2]上的值域为
x．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导数，研究函数在区间[0， π2]上的单调性，确定出函数最值，代入求出函数最值即可
解答：解：∵f（x）= 12ex（sinx+cosx）= 22exsin（x+ π4）
∴f'（x）= 22exsin（x+ π4）+ 22excos（x+ π4）=exsin（x+ π2）=excosx
在区间[0， π2]上f'（x）=excosx≥0
故函数f（x）= 12ex（sinx+cosx）在区间[0， π2]上的值域为[f（0），f（ π2）]= [12，12eπ2]
故答案为 [12，12eπ2]
57、
函数y=x-2sinx在区间[- 2π3， 2π3]上的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，从而求解．
解答：解：∵函数y=x-2sinx x∈[- 2π3， 2π3]
∴y′=1-2cosx，
令y′=0得，cosx= 12，
∴x= π3或- π3，
∴f（ π3）= π3-2× 32= π3- 3，f（- π3）= 3- π3
∵f（ -2π3）= -2π3-2×（- 32）=- 233+ 3，
f（ 2π3）= 2π3- 3，
∴f（x）最大值为 3- π3，
故答案为 3- π3．
58、
若函数f（x）=x-3x在区间（a-5，a）上有最大值，则实数a的取值范围是
3 2
．
显示解析试题篮 考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求函数（f x）=x3-3x导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间（a2-5，a）上有最小值，故最大值
点的横坐标是集合（a2-5，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
解答：解：由题 f'（x）=3x2-3，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
故函数在x=-1处取到极大值2，判断知此极大值必是区间（a2-5，a）上的最大值
∴a2-5＜-1＜a，解得-1＜a＜2
又当x=2时，f（2）=2，故有a≤2
综上知a∈（-1，2）
故答案为：-1＜a＜259、
已知f（x）=x+3x+a（a为常数），在[-3，3]上有最小值3，那么在[-3，3]上f（x）的
3 2
最大值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[-3，3]上分三种情况讨论得函数
的极值，然后比较取最大值即可．
解答：解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0 x=0，x=-2．
（i）当0≤x≤3，或-3≤x≤-2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
⇒
（ii）当-2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（-3）或f（0）⇒
f（-3）=（-3）3+3×（-3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（-2）或f（3），
f（-2）=（-2）3+3×（-2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．
故答案为：57．
60、
定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）
≤1，则x+y+2x+2y的最小值是
2 2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：先根据导数的符号判断函数的单调性，进而确定x+y的取值范围，然后设c=x2+y2+2x+2y，整理成
（x+1）2+（y+1）2=c+2的形式后转化为可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方的最小值的问题求解．
解答：解：∵f'（x）＜0∴该函数在（0，+∞）上是减函数
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
设c=x2+y2+2x+2y，则（x+1）2+（y+1）2=c+2，表示可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方，也表示一个圆
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（-1，-1）的距离最小
∴ (|-1-1-4|2)2=18=c+2∴c=16
故答案为：16
61、
已知f（x）=2x-6x+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]
3 2
上的最小值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的
值，即可求出函数的最小值．
解答：解：由已知，f′（x）=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，又因为x∈[-2，2]，
所以得
当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x） =f（0）=m=3，故有f（x）=2x3-6x2+3
max
所以f（-2）=-37，f（2）=-5
因为f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-37．
答案为：-37
62、
函数y=x+2cosx在区间 [0，π2]上的最大值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间 [0，π2]上的极值，本题极大值就是最大值．
解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx
令y′=0而x∈ [0，π2]则x= π6，
当x∈[0， π6]时，y′＞0．
当x∈[ π6， π2]时，y′＜0．
所以当x= π6时取极大值，也是最大值；
故答案为 π6+3
63、
函数f（x）=3x-x 在区间[-3，3]上的最小值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：先求出函数的导函数，然后确定函数的极值点，求出函数的极小值，最后比较极小值与端点值的大小．
解答：解：由f′（x）=3-3x2=0 x=±1，
⇒
故最小值为-18．
64、
当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=e 的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取
x
值范围是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：常规题型．
分析：构造函数G（x）=f（x）-y=ex-kx+1
求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时k的范围，即k的取值范围
解答：解：
G（x）=f（x）-y=ex-kx+1，
G′（x）=ex-k，
∵x∈（0，+∞）
∴G′（x）单调递增，
当x=0时G′（x）最小，当x=0时G′（x）=1-k
当G′（x）＞0时G（x）=f（x）-y=ex-kx+1单调递增，在x=0出去最小值0
所以1-k≥0 即k∈（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．
65、
函数 y=lnx-x在x∈[12，2]上的最大值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据所给的函数的解析式，首先对函数求导，使得到函数等于0，解出对应的x的值，在x两侧，导数
的符号先正后负，在x=1处取得最大值．
解答：解：∵y=lnx-x
∴ y′=1x-1=0，
∴x=1，
当x ∈[12，1)时，y′＞0
当x∈（1，2]时，y′＜0
∴函数在 [12，2]上先增后减，在x=1处取得最大值
f（1）=-1
故答案为：-1
66、
函数f（x）=x-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是
3
．
显示解析试题篮利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最
小值．
解答：解：由f′（x）=3x2-3=0，得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（-1）=3，f（1）=-1，
而f（-3）=-17，f（0）=1，
故函数f（x）=x3-3x+1在[-3，0]上的最大值是3．
故答案是3．67、
函数f（x）=3x-4x，x∈[0，1]的最大值为
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数（f x）的导函数，令导函数等于0求出根，判断根左右两边的导函数的符号，判断出函数的单
调性，求出函数的最值．
解答：解：∵f′（x）=3-12x2
令f′（x）=3-12x2=0得 x=12
当 x∈[0，12)时，f′(x)＞0；当 x∈(12，1)时，f′(x)＜0
所以当 x=12，f（x）有最大值，最大值为 f(12)=32-4×18=1
故答案为1
68、
设函数 f(x)=3x-1+42-x，则当x=
时，f（x）取最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由函数的解析式确定函数的定义域，再求导，求定义域内函数的极值、最值．
解答：解：函数的定义域为1≤x≤2，
f′（x）= 32x-1-22-x= 32-x-4x-12x-12-x=0，解得x= 3425
∴f'（x）、f（x）随x的变化如下表
故当x= 3425时，函数取最大值．
69、
已知函数f（x）=x-3x+2，若x∈[-2，3]，则函数的值域为
3 2
．
显示解析试题篮
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．
分析：先求导函数，从而确定函数的单调区间，确定函数的最值，从而得到函数的值域．
解答：解：求导函数得（f x）=3x（x-2），由f（′ x）=0，得x=0，x=2，且函数在[-2，0]，[2，3]上增，（0，2）上减，又
1 2
f（-2）=-18，f（0）=2，f（2）=-2，f（3）=2，故值域为[-18，2]．
故答案为：[-18，2]．
70、
如图，直角△ABC中，∠A=30°，∠B为直角，BC=1，D，E分别是AC，AB上的动点，
且
DE∥BC，现将△ADE沿DE翻折，使得平面A'DE⊥平面BCDE，当DE运动时，四棱锥
A'-BCDE体积的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题．
分析：由题意设出AE=x，求出ED，然后求出四棱锥A'-BCDE体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最
大值即可．
解答： 解：设AE=x，x∈（0， 3），所以ED= 3x3，所以四棱锥A'-BCDE
体积：V= 13x(32-12×33x2)= 36x-318x3，
所以V′= 36-36x2，令V′=0，解得x=1，x∈（0，1）函数单调递增，x∈[1， 3）导数小于0，函数单调递减，所
以x=1时，四棱锥A'-BCDE体积取得最大值，就是 36-318= 39；
故答案为： 39．
71、
函数y=x+2cosx在区间 [0，π2]上的最大值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间 [0，π2]上的极值，本题极大值就是最大值．
解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1-2sinx
令y′=0而x∈ [0，π2]则x= π6，
当x∈[0， π6]时，y′＞0．
当x∈[ π6， π2]时，y′＜0．
所以当x= π6时取极大值，也是最大值；
故答案为 π6+3
72、
函数f（x）=3x-x 在区间[-3，3]上的最小值是
3．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：先求出函数的导函数，然后确定函数的极值点，求出函数的极小值，最后比较极小值与端点值的大小．
解答：解：由f′（x）=3-3x2=0 x=±1，
⇒
故最小值为-18．
73、
函数 y=lnx-x在x∈[12，2]上的最大值是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据所给的函数的解析式，首先对函数求导，使得到函数等于0，解出对应的x的值，在x两侧，导数
的符号先正后负，在x=1处取得最大值．
解答：解：∵y=lnx-x
∴ y′=1x-1=0，
∴x=1，
当x ∈[12，1)时，y′＞0
当x∈（1，2]时，y′＜0
∴函数在 [12，2]上先增后减，在x=1处取得最大值
f（1）=-1
故答案为：-1
74、
函数f（x）=x-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最
小值．
解答：解：由f′（x）=3x2-3=0，得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（-1）=3，f（1）=-1，
而f（-3）=-17，f（0）=1，故函数f（x）=x3-3x+1在[-3，0]上的最大值是3．
故答案是3．
75、
设函数 f(x)=3x-1+42-x，则当x=
时，f（x）取最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由函数的解析式确定函数的定义域，再求导，求定义域内函数的极值、最值．
解答：解：函数的定义域为1≤x≤2，
f′（x）= 32x-1-22-x= 32-x-4x-12x-12-x=0，解得x= 3425
∴f'（x）、f（x）随x的变化如下表
故当x= 3425时，函数取最大值．
76、
已知函数f（x）=x-3x+2，若x∈[-2，3]，则函数的值域为
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，从而确定函数的单调区间，确定函数的最值，从而得到函数的值域．
解答：解：求导函数得（f x）=3x（x-2），由f（′ x）=0，得x=0，x=2，且函数在[-2，0]，[2，3]上增，（0，2）上减，又
1 2
f（-2）=-18，f（0）=2，f（2）=-2，f（3）=2，故值域为[-18，2]．
故答案为：[-18，2]．
77、
函数f（x）=x+5x+3x在区间[-4，0]上的最大值是
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间
的两个端点对应的函数值，从四个函数值中选出最大值．
解答：解：f′（x）=3x2+10x+3
令f′（x）=0得 x=-3或x=-13
所以f（-4）=4；f（-3）=9； f(-13)=-4327；f（0）=0
所以f（x）=x3+5x2+3x在区间[-4，0]上的最大值是 9
故答案为978、
已知函数 f(x)=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数
1
y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题．
分析：先根据题意得到不等式 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2，然后转化为 c＜-23x3+2x2-3x-83成立，即求在
闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）= -23x3+2x2-3x-83求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答
案．
解答：解：∵当x∈[-2，2]时 f(x)=13x3-x2-3x+43恒在直线9x+2y+c=0的下方
∴ 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2在x∈[-2，2]时恒成立，
即 c＜-23x3+2x2-3x-83在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）= -23x3+2x2-3x-83，∴g'（x）=-2x2+4x-3
∵g'（x）=-2x2+4x-3＜0恒成立，∴函数g（x）单调递减
函数在x∈[-2，2]的最小值等于g（2）=-6
∴c＜-6即可满足条件．
故答案为：（-∞，-6）
79、
已知函数f（x）=x-2lnx，则f（x）的最小值为
2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求函数的定义域，对函数求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最值．
解答：解：函数的定义域（0，+∞）
f(x)=2x-2•1x=2x2-2x=2(x+1)(x-1)x
令f′（x）≥0 x≥1； f′（x）≤0 0＜x≤1
ʹ
所以函数在（0，1]单调递减[1，+∞）单调递增
⇒ ⇒
所以函数在x=1时取得最小值，f（x） =f（1）=1
min
故答案为：1
80、
函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：由题意得f（′ x）=1- 2x= x-2x分析得到函数（f x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数，所以当x=2时函数（f x）
有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
解答：解：由题意得f′（x）=1- 2x= x-2x
因为x∈（0，2]
所以f′（x）＜0所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数．
所以当x=2时函数f（x）有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为[2-2ln2，+∞）．
故答案为：[2-2ln2，+∞）．
81、
函数f（x）=3x-x 在区间[-3，3]上的最小值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：先求出函数的导函数，然后确定函数的极值点，求出函数的极小值，最后比较极小值与端点值的大小．
解答：解：由f′（x）=3-3x2=0 x=±1，
⇒
故最小值为-18．
82、
函数f（x）=x-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最
小值．
解答：解：由f′（x）=3x2-3=0，得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（-1）=3，f（1）=-1，
而f（-3）=-17，f（0）=1，
故函数f（x）=x3-3x+1在[-3，0]上的最大值是3．
故答案是3．
83、
已知函数f（x）=x-3x+2，若x∈[-2，3]，则函数的值域为
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，从而确定函数的单调区间，确定函数的最值，从而得到函数的值域．解答：解：求导函数得（f x）=3x（x-2），由f（′ x）=0，得x=0，x=2，且函数在[-2，0]，[2，3]上增，（0，2）上减，又
1 2
f（-2）=-18，f（0）=2，f（2）=-2，f（3）=2，故值域为[-18，2]．
故答案为：[-18，2]．
84、
已知函数 f(x)=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数
1
y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题．
分析：先根据题意得到不等式 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2，然后转化为 c＜-23x3+2x2-3x-83成立，即求在
闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）= -23x3+2x2-3x-83求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答
案．
解答：解：∵当x∈[-2，2]时 f(x)=13x3-x2-3x+43恒在直线9x+2y+c=0的下方
∴ 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2在x∈[-2，2]时恒成立，
即 c＜-23x3+2x2-3x-83在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）= -23x3+2x2-3x-83，∴g'（x）=-2x2+4x-3
∵g'（x）=-2x2+4x-3＜0恒成立，∴函数g（x）单调递减
函数在x∈[-2，2]的最小值等于g（2）=-6
∴c＜-6即可满足条件．
故答案为：（-∞，-6）
85、
函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：由题意得f（′ x）=1- 2x= x-2x分析得到函数（f x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数，所以当x=2时函数（f x）
有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
解答：解：由题意得f′（x）=1- 2x= x-2x
因为x∈（0，2]
所以f′（x）＜0
所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数．
所以当x=2时函数f（x）有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为[2-2ln2，+∞）．
故答案为：[2-2ln2，+∞）．
86、
函数f（x）= 13x-4x+4在[0，3]上的最大值与最小值之和为
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x的值，吧x值代入原函数求出极值，再求出端点
值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做和．
解答：解：f′（x）=x2_4
f′（x）=0 则x=±2
极值：f（2 ）=- 43 f（-2）= 283
端点值：f（0）=4 f（3）=1
所以：最大值为 283 最小值为- 43，最大值和最小值之和为8
答案为8
87、
函数y=2x-3x-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：对函数求导，利用导数求研究函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的单调性，判断出最大值与最小值位置，
代入算出结果．
解答：解：由题设知y'=6x2-6x-12，
令y'＞0，解得x＞2，或x＜-1，
故函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，2]上减，在[2，3]上增，
当x=0，y=5；当x=3，y=-4；当x=2，y=-15．
由此得函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，-15；
故应填 5，-15
88、
（导数）函数y=xe 的值域是
x
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点代入已知函数，求出最
大值，从而求出函数的值域．
解答：解：∵函数y=xex
∴y′=ex+xex=ex（x+1）
∵ex＞0，
∴y′=0，解得x=-1，
当x＞-1时，y′＞0，为增函数；
当x＜-1时，y′＜0，为减函数；
∴当x=-1时函数有最小值f（-1）=- 1e，
故答案为[- 1e，+∞]．
89、
函数y=2x+3x-12x+14在[-3，4]上的最大值为
3 2
，最小值为．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：首先求出函数的导数，并令其等于零，求出函数的极值点，然后比较极值点与端点函数值的大小．
解答：解：由题可得y′=6x2+6x-12=0，
令y′=0，
解得x=1，-2，
又f（-3）=20，f（-2）=34，f（1）=7，f（4）=142，
故答案为142，7．
90、
设 f(x)=x3-12x2-2x+5，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范
围为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，
进而求出变量m的范围．
解答：解：f′（x）=3x2-x-2=0
解得：x=1或- 23
当x∈ (-1，-23)时，f'（x）＞0，
当x∈ (-23，1)时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x） ={f（- 23），f（2）} =7
max max
由f（x）＜m恒成立，所以m＞f （x）=7．
max
故答案为：（7，+∞）
91、
函数f（x）=3x-x 在区间[-3，3]上的最小值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：先求出函数的导函数，然后确定函数的极值点，求出函数的极小值，最后比较极小值与端点值的大小．
解答：解：由f′（x）=3-3x2=0 x=±1，
⇒
故最小值为-18．
92、函数f（x）=x-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最
小值．
解答：解：由f′（x）=3x2-3=0，得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（-1）=3，f（1）=-1，
而f（-3）=-17，f（0）=1，
故函数f（x）=x3-3x+1在[-3，0]上的最大值是3．
故答案是3．
93、
已知函数f（x）=x-3x+2，若x∈[-2，3]，则函数的值域为
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，从而确定函数的单调区间，确定函数的最值，从而得到函数的值域．
解答：解：求导函数得（f x）=3x（x-2），由f（′ x）=0，得x=0，x=2，且函数在[-2，0]，[2，3]上增，（0，2）上减，又
1 2
f（-2）=-18，f（0）=2，f（2）=-2，f（3）=2，故值域为[-18，2]．
故答案为：[-18，2]．
94、
已知函数 f(x)=13x3-x2-3x+43，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数
1
y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题．
分析：先根据题意得到不等式 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2，然后转化为 c＜-23x3+2x2-3x-83成立，即求在
闭区间上的最小值问题；先对函数g（x）= -23x3+2x2-3x-83求导判断单调性，即可求出最小值，进而得到答
案．
解答：解：∵当x∈[-2，2]时 f(x)=13x3-x2-3x+43恒在直线9x+2y+c=0的下方
∴ 13x3-x2-3x+43＜-92x-c2在x∈[-2，2]时恒成立，
即 c＜-23x3+2x2-3x-83在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）= -23x3+2x2-3x-83，∴g'（x）=-2x2+4x-3
∵g'（x）=-2x2+4x-3＜0恒成立，∴函数g（x）单调递减
函数在x∈[-2，2]的最小值等于g（2）=-6
∴c＜-6即可满足条件．
故答案为：（-∞，-6）
95、函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：由题意得f（′ x）=1- 2x= x-2x分析得到函数（f x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数，所以当x=2时函数（f x）
有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
解答：解：由题意得f′（x）=1- 2x= x-2x
因为x∈（0，2]
所以f′（x）＜0
所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上是减函数．
所以当x=2时函数f（x）有最小值2-2ln2，当x趋向于0时函数值趋向于+∞．
所以函数f（x）=x-2lnx在（0，2]上的值域为[2-2ln2，+∞）．
故答案为：[2-2ln2，+∞）．
96、
函数f（x）= 13x-4x+4在[0，3]上的最大值与最小值之和为
3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x的值，吧x值代入原函数求出极值，再求出端点
值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做和．
解答：解：f′（x）=x2_4
f′（x）=0 则x=±2
极值：f（2 ）=- 43 f（-2）= 283
端点值：f（0）=4 f（3）=1
所以：最大值为 283 最小值为- 43，最大值和最小值之和为8
答案为8
97、
已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f（x）=min{f（t）|a≤t≤x}
1
（x∈[a，b]），f（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表
2
示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，
若存在最小正整数k，使得f（x）-f（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称
2 1
函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f（x）=x，（x∈[-1，4]）为
2
[-1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的取值范围是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据函数（f x）=x2在x∈[-1，4]上的值域，先写出f（x）、f（x）的解析式，再由f（x）-f（x）≤k（x-a）求
1 2 2 1
出k的范围得到答案．解答：解： f1(x)={x2，x∈[-1，0)0，x∈[0，4]， f2(x)={1，x∈[-1，1)x2，x∈[1，4]
f2(x)-f1(x)={1-x2，x∈[-1，0)1，x∈[0，1)x2，x∈[1，4]
当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴ k≥1x+1，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x2≤k（x+1），
∴ k≥x2x+1，
∴ k≥165．
综上所述，∴ k≥165
故答案为： k≥165．
98、
∫-π2π2(1+cosx)dx=
；若 ∫-aax2dx=18(a＞0)，则a=
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；定积分的简单应用．
专题：计算题．
分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可求解 ∫-π2π2(1+cosx)dx；欲求∫
-
ax2dx=18（a＞0）中的a值，先求积分得到关于a的等式，最后求解方程邓可．
a
解答：解： ∫-π2π2(1+cosx)dx=（x+sinx） |-π2π2= π2+1-（ -π2-1）=π+2，
∵∫ ax2dx=18（a＞0）
-a
∴ 13x3|-aa=18，
23a3=18 a=3，
故答案为π+2；3．
⇒
99、
若函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a）上有最小值，则实数a的取值范围
2
是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a2）上有最小值，所以f（′ x）先小
于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：1-a＜1＜10-a2，进而求出正确的答案．
解答：解：由题意可得：函数 f(x)=13x3-x，
所以f′（x）=x2-1．
因为函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a2）上有最小值，
所以函数f（x）在区间（1-a，10-a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以结合二次函数的性质可得：1-a＜1＜10-a2，
解得：0＜a＜3．
故答案为（0，3）．
100、已知定义在R上的函数f（x）=x（ax-3），若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，
2
在x=0处取得最大值，则正数a的范围
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
专题：综合题．
分析：先对函数（f x）进行求导表示出函数g（x），然后对函数g（x）求导，令导函数等于0求出x，确定极值点，
最后求出端点值和极点值比较大小即可得到答案．
解答：解：∵f（x）=x2（ax-3）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+（3a-3）x2-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，令g'（x）=0，x= 1-a±a2+1a
由于 1-a-a2+1a＜0， 1-a+a2+1a＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
当0＜ 1-a+a2+1a≤2时， a≥34，由于g（x）在区间[0，2]先减后增，当g（0）=0＞g（2）=20a-24时，a＜ 6
5
∴ 34≤a＜ 65
当 1-a+a2+1a＞2即a＜ 34时，由于g（x）在区间[0，2]减，显然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a
＜ 65
∴a＜ 34
综上所述， 0＜a＜65
故答案为： 0＜a＜65
101、
已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f（x）=min{f（t）|a≤t≤x}
1
（x∈[a，b]），f（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表
2
示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，
若存在最小正整数k，使得f（x）-f（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称
2 1
函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f（x）=x，（x∈[-1，4]）为
2
[-1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的取值范围是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据函数（f x）=x2在x∈[-1，4]上的值域，先写出f（x）、f（x）的解析式，再由f（x）-f（x）≤k（x-a）求
1 2 2 1
出k的范围得到答案．
解答：解： f1(x)={x2，x∈[-1，0)0，x∈[0，4]， f2(x)={1，x∈[-1，1)x2，x∈[1，4]
f2(x)-f1(x)={1-x2，x∈[-1，0)1，x∈[0，1)x2，x∈[1，4]
当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴ k≥1x+1，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x2≤k（x+1），
∴ k≥x2x+1，
∴ k≥165．
综上所述，∴ k≥165
故答案为： k≥165．102、
∫-π2π2(1+cosx)dx=
；若 ∫-aax2dx=18(a＞0)，则a=
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；定积分的简单应用．
专题：计算题．
分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可求解 ∫-π2π2(1+cosx)dx；欲求∫
-
ax2dx=18（a＞0）中的a值，先求积分得到关于a的等式，最后求解方程邓可．
a
解答：解： ∫-π2π2(1+cosx)dx=（x+sinx） |-π2π2= π2+1-（ -π2-1）=π+2，
∵∫ ax2dx=18（a＞0）
-a
∴ 13x3|-aa=18，
23a3=18 a=3，
故答案为π+2；3．
⇒
103、
若函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a）上有最小值，则实数a的取值范围
2
是
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a2）上有最小值，所以f（′ x）先小
于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：1-a＜1＜10-a2，进而求出正确的答案．
解答：解：由题意可得：函数 f(x)=13x3-x，
所以f′（x）=x2-1．
因为函数 f(x)=13x3-x在区间（1-a，10-a2）上有最小值，
所以函数f（x）在区间（1-a，10-a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，
所以结合二次函数的性质可得：1-a＜1＜10-a2，
解得：0＜a＜3．
故答案为（0，3）．
104、
设函数f（x）=nx（1-x）（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为
2 2 n
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：对函数求导，令导数f（′ x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x= 2n+2取极大值，即函
数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．
解答：解：f′（x）=2n2x（1-x）n-n×n2x2（1-x）n-1
=n2x（1-x）n-1（2-2x-nx）=-n2x（1-x）n-1[（n+2）x-2]=0
得x=0，或x=1，或x= 2n+2f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：
∴f（x）在[0，1]上的最大值为 4(nn+2)n+2
故答案为： 4(nn+2)n+2
105、
若不等式x-4x＞2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围
4 3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题：计算题．
分析：不等式恒成立，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值．因此记不等式的左边为F
（x），利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R上的最小值，最后解右边2-a小于这个最小值，即可得
出答案．
解答：解：记F（x）=x4-4x3
∵x4-4x3＞2-a对任意实数x都成立，
∴F（x）在R上的最小值大于2-a
求导：F′（x）=4x3-12x2=4x2（x-3）
当x∈（-∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（-∞，3）上是减函数；
当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．
∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值
即[F（x）] =F（3）=-27
min
因此当2-a＜-27，即a＞29时，等式x4-4x3＞2-a对任意实数x都成立
故答案为：（29，+∞）
106、
若a＞0，则 a+1a-a2+1a2的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先换元 a2+1a2=t(t≥2)，从而可构建函数，转化为用导数法求函数的最值
解答：解：设 a2+1a2=t(t≥2)，则 a2+1a2=t2，即 a+1a=t2+2
再令 y=a+1a-a2+1a2=t2+2-t(t≥2)， y=tt2+2-1＜0
即 t∈[2，+∞)时，y是t的减函数，得 t=2时， ymax=2-2
ʹ
故答案为： 2-2
107、
函数f（x）=xe ，x∈[2，4]的最大值是
-x
．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：本题考查的是利用导数求闭区间上的最值问题．在解答时，先通过求导分析函数在区间[2，4]上的单
调性，结合单调性即可获得问题解答．
解答：解：由题意可知：
f′（x）=e-x-xe-x=（1-x）•e-x，
当f′（x）≥0 时，x≤1；
当f′（x）≤0时，x≥1；
所以函数在区间[2，4]上是单调递减函数，∴函数的最大值为 f(2)=2•e-2=2e2．
故答案为： 2e2．
108、
若f（x）=ax-6ax+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值是-29，则a，b的值分别为
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出（f x）的导数，令导数为0求出根，通过对导函数二次项系数的分a＞0或a＜0两类讨论，判断根
左右两边导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间两个端点的函数值，从它们中
选出最值，列出方程求出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3ax2-12ax=3ax（x-4）
令f′（x）=0得x=0或x=4（舍去）
①当a＞0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，2]时，f′（x）＜0
∴当x=0时，函数f（x）有最大值f（0）=b
∴b=3
∵此时，f（-1）=b-7a=3-7a，f（2）=b-16a=3-16a
∴f（x）的最小值为3-16a
∴3-16a=-29
解得a=2
②当a＜0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，2]时，f′（x）＞0
∴当x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=b
∴b=-29
∵此时，f（-1）=b-7a=-29-7a，f（2）=b-16a=-29-16a
∴f（x）的最大值为-29-16a
∴-29-16a=3
解得a=-2
故答案为a=2，b=3或a=-2，b=-29．
109、
函数 f(x)=∫ox(1-cost)dt，当x∈[π2，π]的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．
专题：计算题．分析：利用微积分基本定理求出f（x）；然后利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值即可．
解答：解：∵f（x）=∫x（1-cosxdt，
0
∴f（x）=x-sinx，
y=1-cosx＞0(x∈[π2，π])，
∴f（x）在 [π2，π]上递增
ʹ
∴y =f（π）=π
max
故答案为：π
110、
函数 f(x)=2x-tanx在(0，π2)上的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；转化思想．
分析：求出函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调区间，再由单调性判断出函数的最值并求出．
解答：解：∵f（x）=2x-tanx，
∴ f(x)=2-1cos2x=2- 21+cos2x
令f'（x）=0得1+cos2x=1
ʹ
又x∈ (0，π2)，得x= π4，故当x∈ (0，π4)时导数为正，当x∈ (π4，π2)时，导数为负
故函数在 (0，π4)上增，在 (π4，π2)上减，所以当x= π4时函数值取到最大值，最大值为 f(π4)=2×π4-
tanπ4= π2-1．
故答案为 π2-1
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求解本题的关键是正确求出函数的导数根据导数判断出
最值在何处取到，本题中正切函数的导数求导方法是这样的，先切化弦再利用商的导数法则求导．
111、
已知f（x）=2x-6x+a，（a为常数）在[-2，2]上有最小值3，那么f（x）在[-2，2]上
3 2
的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，确定函数的单调区间，再利用（f x）在[-2，2]上有最小值3来求出参数a的值，再进一步求
出f（x）的最大值来．
解答：解析：由于f′（x）=6x2-12x=0，则x=0或x=2．
令 f′（x）＞0得x＜0或x＞2，又因为x∈[-2，2]
∴f（x）在[-2，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，
因f（0）=a，f（2）=a-8，f（-2）=a-40，故a=43．
在[-2，2]上最大值为f（x） =f（0）=43．
max
故答案为43．
112、
（文） 函数y=x-3x-9x+5在区间[-4，4]上的最大值是
3 2．
（理） 已知向量a=（2，-1，3），b=（-1，4，-2），c=（7，0，λ），若a、b、c三个向量共
面，则实数λ=
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；共线向量与共面向量．
专题：计算题．
分析：文：求出导函数，令导函数为0求出根，求出根对应的函数值及两个端点-4，4处对应的函数值，在四
个函数值中挑出最大值．
理：利用向量共线的充要条件，设出实数x，y，使得 c→=xa→+yb→，列出方程组，求出λ的值．
解答：解：（文）y′=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）
令y′=0得x=3或x=-1
当x=3时，y的值为-22；当x=-1时y的值为10；当x=-4时，y的值为-71；当x=4时y的值为-15
所以函数y=x3-3x2-9x+5在区间[-4，4]上的最大值是10
（理）∵ a→，b→，c→三个向量共面
∴存在实数x，y使得 c→=xa→+yb→
∴（7，0，λ）=（2x-y，-x，3x+λy）
∴ {2x-y=7-x+4y=03x-2y=λ
解得λ=10
113、
已知曲线 C1：y=13x3-3x+43，曲线 C2：y=x2-92x+m，若当x∈[-2，2]时，曲线
C 在曲线C 的下方，则实数m的取值范围是
1 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由题意当x∈[-2，2]时，曲线C 在曲线C 的下方，则可构造出函数F（x）= x2-92x+m-13x3+3x-43，问
1 2
题可以转化为F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
解答：解：令F（x）= x2-92x+m-13x3+3x-43，故F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
∵F'（x）=-x2+2x- 32＜0恒成立
∴F（x） 在[-2，2]上单调递减，
∴F（2）=m-3＞0，得m＞3
故答案为m＞3
114、
已知函数f（x）=-x+3x+9x+a（a为常数），在区间[-2，2]上有最大值20，那么此
3 2
函数在区间[-2，2]上的最小值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题．
分析：先将（f x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再
根据条件求出a的值，最小值即可求得．解答：解：∵f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数）
∴f′（x）=-3x2+6x+9
令f′（x）=-3x2+6x+9=0，解得x=-1或3（舍去）
当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x=-1时取最小值，而f（2）=22+a＞f（-2）=2+a
即最大值为22+a=20，∴a=-2，最小值为f（-1）=-5-2=-7
故答案为：-7．
115、
已知函数f（x）的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为f（x）的
保值区间．若g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），则m的值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数的单调性与特殊点．
专题：新定义．
分析：根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间，2≤1-m即m≤-1时，则g（1-
m）=2得m的值即可．
解答：解：因为g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），
所以2+m＞0，即m＞-2，
令g′（x）=1- 1x+m＞0，得x＞1-m，
所以g（x）在（1-m，+∞）上为增函数，
同理可得g（x）在（-m，1-m）上为减函数．
若2≤1-m即m≤-1时，
则g（1-m）=2得m=-1满足题意．
若m＞-1时，则g（2）=2，得m=-1，
所以满足条件的m值为-1．
故答案为：-1
116、
函数f（x）=x-x+lnx+m的值恒不为零，则m的取值范围为
2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先判断函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在1处取得最大值，要使函数（f x）=x-
x2+lnx+m的值恒不为零，则f（1）＜0，从而可求m的取值范围．
解答：解：函数的定义域为（0，+∞），由 f(x)=-(x-1)(2x+1)x=0可知函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单
调减，从而函数在1处取得最大值，要使函数f（x）=x-x2+lnx+m的值恒不为零，则f（1）＜0，∴m＜0．
ʹ
故答案为：m＜0．
117、
已知函数f（x）=（x-1）ln（1-x），则
（1）f（x）＞0的解集为；
（2）f（x）的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．
专题：计算题．
分析：（1）先求出函数的定义域，（x-1）ln（1-x）＞0时，考虑到定义域，有x-1＜0，因此只需要解 ln（1-x）＜
0 即可；
（2）本题利用导数来解答，先求出导函数，求出函数的单调增区间和减区间，得出函数在何时取到最大值．
解答：解：（1）由已知可得函数的定义域为：{x|x＜1}，所以x-1＜0，
由f（x）=（x-1）ln（1-x）＞0得ln（1-x）＜0，
所以0＜1-x＜1，即0＜x＜1，所以f（x）＞0的解集为：（0，1）
（2）对函数求导数得：f′（x）=ln（1-x）+1，由f′（x）＞0得 x＜1-1e，
因此函数f（x）在 (-∞，1-1e]上是增函数，在 [1-1e，1)上是减函数，
所以函数的最大值为： f(x)max=f(1-1e)=[（1- 1e）-1]ln[1-（1- 1e）]= 1e．
故答案为：（1）（0，1）； （2） 1e
118、
若f（x）=ax-6ax+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值是-29，则a，b的值分别为
3 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：求出（f x）的导数，令导数为0求出根，通过对导函数二次项系数的分a＞0或a＜0两类讨论，判断根
左右两边导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间两个端点的函数值，从它们中
选出最值，列出方程求出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3ax2-12ax=3ax（x-4）
令f′（x）=0得x=0或x=4（舍去）
①当a＞0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，2]时，f′（x）＜0
∴当x=0时，函数f（x）有最大值f（0）=b
∴b=3
∵此时，f（-1）=b-7a=3-7a，f（2）=b-16a=3-16a
∴f（x）的最小值为3-16a
∴3-16a=-29
解得a=2
②当a＜0时，x∈[-1，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，2]时，f′（x）＞0
∴当x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=b
∴b=-29
∵此时，f（-1）=b-7a=-29-7a，f（2）=b-16a=-29-16a
∴f（x）的最大值为-29-16a
∴-29-16a=3
解得a=-2
故答案为a=2，b=3或a=-2，b=-29．119、
若a＞0，则 a+1a-a2+1a2的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先换元 a2+1a2=t(t≥2)，从而可构建函数，转化为用导数法求函数的最值
解答：解：设 a2+1a2=t(t≥2)，则 a2+1a2=t2，即 a+1a=t2+2
再令 y=a+1a-a2+1a2=t2+2-t(t≥2)， y=tt2+2-1＜0
即 t∈[2，+∞)时，y是t的减函数，得 t=2时， ymax=2-2
ʹ
故答案为： 2-2
120、
若不等式x-4x＞2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围
4 3
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题：计算题．
分析：不等式恒成立，即较大的一边所取的最小值也大于较小的一边的最大值．因此记不等式的左边为F
（x），利用导数工具求出它的单调性，进而得出它在R上的最小值，最后解右边2-a小于这个最小值，即可得
出答案．
解答：解：记F（x）=x4-4x3
∵x4-4x3＞2-a对任意实数x都成立，
∴F（x）在R上的最小值大于2-a
求导：F′（x）=4x3-12x2=4x2（x-3）
当x∈（-∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（-∞，3）上是减函数；
当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．
∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值
即[F（x）] =F（3）=-27
min
因此当2-a＜-27，即a＞29时，等式x4-4x3＞2-a对任意实数x都成立
故答案为：（29，+∞）
121、
已知曲线 C1：y=13x3-3x+43，曲线 C2：y=x2-92x+m，若当x∈[-2，2]时，曲线
C 在曲线C 的下方，则实数m的取值范围是
1 2
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由题意当x∈[-2，2]时，曲线C 在曲线C 的下方，则可构造出函数F（x）= x2-92x+m-13x3+3x-43，问
1 2
题可以转化为F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
解答：解：令F（x）= x2-92x+m-13x3+3x-43，故F（x）＞0在x∈[-2，2]上恒成立
∵F'（x）=-x2+2x- 32＜0恒成立
∴F（x） 在[-2，2]上单调递减，∴F（2）=m-3＞0，得m＞3
故答案为m＞3
122、
已知函数f（x）=-x+3x+9x+a（a为常数），在区间[-2，2]上有最大值20，那么此
3 2
函数在区间[-2，2]上的最小值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题．
分析：先将（f x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再
根据条件求出a的值，最小值即可求得．
解答：解：∵f（x）=-x3+3x2+9x+a（a为常数）
∴f′（x）=-3x2+6x+9
令f′（x）=-3x2+6x+9=0，解得x=-1或3（舍去）
当-2＜x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x=-1时取最小值，而f（2）=22+a＞f（-2）=2+a
即最大值为22+a=20，∴a=-2，最小值为f（-1）=-5-2=-7
故答案为：-7．
123、
已知函数f（x）的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A 为f（x）的
保值区间．若g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），则m的值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数的单调性与特殊点．
专题：新定义．
分析：根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间，2≤1-m即m≤-1时，则g（1-
m）=2得m的值即可．
解答：解：因为g（x）=x-ln（x+m）的保值区间是[2，+∞），
所以2+m＞0，即m＞-2，
令g′（x）=1- 1x+m＞0，得x＞1-m，
所以g（x）在（1-m，+∞）上为增函数，
同理可得g（x）在（-m，1-m）上为减函数．
若2≤1-m即m≤-1时，
则g（1-m）=2得m=-1满足题意．
若m＞-1时，则g（2）=2，得m=-1，
所以满足条件的m值为-1．
故答案为：-1
124、
函数f（x）=x-x+lnx+m的值恒不为零，则m的取值范围为
2．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先判断函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，从而函数在1处取得最大值，要使函数（f x）=x-
x2+lnx+m的值恒不为零，则f（1）＜0，从而可求m的取值范围．
解答：解：函数的定义域为（0，+∞），由 f(x)=-(x-1)(2x+1)x=0可知函数在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单
调减，从而函数在1处取得最大值，要使函数f（x）=x-x2+lnx+m的值恒不为零，则f（1）＜0，∴m＜0．
ʹ
故答案为：m＜0．
125、
已知函数f（x）=（x-1）ln（1-x），则
（1）f（x）＞0的解集为
；
（2）f（x）的最大值为
．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．
专题：计算题．
分析：（1）先求出函数的定义域，（x-1）ln（1-x）＞0时，考虑到定义域，有x-1＜0，因此只需要解 ln（1-x）＜
0 即可；
（2）本题利用导数来解答，先求出导函数，求出函数的单调增区间和减区间，得出函数在何时取到最大值．
解答：解：（1）由已知可得函数的定义域为：{x|x＜1}，所以x-1＜0，
由f（x）=（x-1）ln（1-x）＞0得ln（1-x）＜0，
所以0＜1-x＜1，即0＜x＜1，所以f（x）＞0的解集为：（0，1）
（2）对函数求导数得：f′（x）=ln（1-x）+1，由f′（x）＞0得 x＜1-1e，
因此函数f（x）在 (-∞，1-1e]上是增函数，在 [1-1e，1)上是减函数，
所以函数的最大值为： f(x)max=f(1-1e)=[（1- 1e）-1]ln[1-（1- 1e）]= 1e．
故答案为：（1）（0，1）； （2） 1e
126、
设函数 f(x)=p(x-1x)-2lnx， g(x)=2ex（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范围．
0 0 0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求导f（′ x）= px2-2x+px2，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f（′ x）≥0恒成立”，再转化为
“p≥ 2xx2+1= 2x+1x恒成立”，由最值法求解．同理，要使“（f x）为单调减函数”，转化为“f（′ x）≤0恒成
立”，再转化为“p≤ 2xx2+1= 2x+1x恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．
（2）因为“在[1，e]上至少存在一点x，使得（f x）＞g（x）成立”，要转化为“（f x） ＞g（x） ”解决，易知g
0 0 0 max min
（x）= 2ex在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，（f x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，（f x）在
[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．
解答：解：（1）f（′ x）= px2-2x+px2，要使“（f x）为单调增函数”，转化为“f（′ x）≥0恒成立”，即p≥ 2xx2+1
= 2x+1x恒成立，又 2x+1x≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．同理，要使“（f x）为单调减函数”，转化为“f（′ x）≤0恒成立，再转化为“p≤ 2xx2+1= 2x+1x恒成立”，又
2x+1x＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）因g（x）= 2ex在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x） =f（1）=0＜2，不合题意
max
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x） ＞g（x） ，x∈[1，e]，
max min
即：f（e）=p（e- 1e）-2lne＞2 p＞ 4ee2-1．
③当0＜p＜1时，因x- 1x≥0，x∈[1，e]
⇒
所以f（x）=p（x- 1x）-2lnx≤（x- 1x）-2lnx≤e- 1e-2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ 4ee2-1，+∞）
127、
对于任意k∈[-1，1]，函数f（x）=x+（k-4）x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范
2
围是
．
显示解析试题篮
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．
解答：解：∵任意k∈[-1，，1]，，函数f（x）=x2+（k-4）x-2k+4＞0，恒成立，
∴f（k）=k（x-2）+x2-4x+4＞0为一次函数，
∴ {f(-1)＞0f(1)＞0，
∴-1（x-2）+x2-4x+4＞0，
（x-2）+x2-4x+4＞0，
解得x＜1或x＞3，
故答案为（-∞，1）∪（3，+∞）．
128、
（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器
的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 80π3立方
米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方
米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器
的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题．分析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达
式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间
外进行分类讨论．
解答：解：（1）由体积V= 43πr3+πr2l=80π3，解得l= 80-4r33r2，
∴y=2πrl×3+4πr2×c
=6πr× 80-4r23r2+4cπr2
=2π• 80+(2c-4)r3r，
又l≥2r，即 80-4r33r2≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r- 160πr2，
= 8π(c-2)r2(r3-20c-2)，0＜r≤2
由于c＞3，所以c-2＞0
当r3- 20c-2=0时，则r= 20c-23
令 20c-23=m，（m＞0）
所以y′= 8π(c-2)r2(r-m)(r2+rm+m2)
①当0＜m＜2即c＞ 92时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤ 92时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤ 92时，建造费用最小时r=2；
当c＞ 92时，建造费用最小时r= 20c-23
129、
（2010•重庆）已知函数f（x）=ax+x+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是
3 2
奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由f（' x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（-x）=-g
（x），利用待系数法求解．
（2）由（1）知 g(x)=-13x2+2x，再求导g（' x）=-x2+2，由g（' x）≥0求得增区间，由g（' x）≤0求得减区间；求
最值时从极值和端点值中取．
解答：解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）3+（3a+1）（-x）2+（b+2）（-x）+b=-[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得 a=-13，b=0，因此f（x）的解析表达式为 f(x)=-13x3+x2．（2）由（Ⅰ）知 g(x)=-13x3+2x，
所以g'（x）=-x2+2，令g'（x）=0
解得 x1=-2，x2=2
则当 x＜-2或x＞2时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间 (-∞，-2]， [2，+∞)上是减函数，
当 -2＜x＜2时，g(x)＞0，
从而g（x）在区间 [-2，2]上是增函数，
ʹ
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在 x=1，2，2时取得，
而 g(1)=53，g(2)=423，g(2)=43，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为 g(2)=423，最小值为 g(2)=43．
130、
（2010•陕西）已知函数f（x）= x，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该
切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ；
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题；分类讨论．
分析：首先分析对于（1）已知曲线y=（f x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，
考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a，最后由直线上一点及斜率求出直线方程即
可．
对于（2）设函数h（x）=（f x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ；首先解出h（x）的函数表达式，要
求最值考虑到应用函数的导函数的性质，先求出h（x）的导函数h（′ x），再分类讨论当a＞0和a≤0时的情况
求出极小值即可．
解答：解（1）已知函数f（x）= x，g（x）=alnx，a∈R．
则：f′（x）= 12x，g′（x）= ax（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，）
故有 x=alnx且 12x= ax，
解得a= e2，x=e2，
∵两条曲线交点的坐标为（e2，e）切线的斜率为k=f′（e2）= 12e，
所以切线的方程为y-e= 12e（x-e）；
2
（2）由条件知h（x）= x-alnx（x＞0），
∴h′（x）= 12x-ax=x-2a2x，
（Ⅰ）当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2，
所以当0＜x＜4a2时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a2）上递增．
所以x＞4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极致点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
所以Φ（a）=h（4a2）=2a-aln4a2=2
（Ⅱ）当a≤0时，h（x）=（1/2-2a）/2x＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
故h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞o）．
131、（2009•湖南）已知函数f（x）=x+bx+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
3 2
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题：计算题．
分析：（1）函数（f x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f（′ x）得到一个二次函数，利用
x= -b2a=2求出b即可；（2）求出f（′ x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域
和值域即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以 -2b6=2，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，，f（x）=x3-6x2+cx
f′（x）=3x2-12x+c=3（x-2）2+c-12
（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x，x．
1 2
不妨设x＜x，则x＜2＜x．
1 2 1 2
当x＜x 时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x）内为增函数；
1 1
当x＜x＜x 时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x，x）内为减函数；
1 2 1 2
当x＞x 时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x，+∞）内为增函数．
2 2
所以f（x）在x=x 处取极大值，在x=x 处取极小值．
1 2
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x 处存在唯一极小值，所以t=x＞2．
2 2
于是g（t）的定义域为（2，+∞）．
由f′（t）=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t．
于是g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3+6t2，t∈（2，+∞）．
当t＞2时，g′（t）=-6t2+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）
132、
（2009•北京）设函数f（x）=x-3ax+b（a≠0）．
3
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．
分析：（1）已知函数的解析式（f x）=x3-3ax+b，把点（2，（f 2））代入，再根据（f x）在点（2，（f 2））处与直线y=8
相切，求出a，b的值；
（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x2-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴ {f(2)=0f(2)=8 {3(4-a)=08-6a+b=8 {a=4b=24.
ʹ ⇒ ⇒
（Ⅱ）∵f′（x）=3（x2-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由 f(x)=0 x=±a，
当 x∈(-∞，-a)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
ʹ ⇒当 x∈(-a，a)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当 x∈(a，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时 x=-a是f（x）的极大值点， x=a是f（x）的极小值点．
133、
（2008•浙江）已知a是实数，函数f（x）=x（x-a）．
2
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出f（' x），利用f（' 1）=3得到a的值，然后把a代入（f x）中求出（f 1）得到切点，而切线的斜率等
于f'（1）=3，写出切线方程即可；
（II）令f（' x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f（' x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减
性得到函数的最大值．
解答：解：（I）f'（x）=3x2-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得 x1=0，x2=2a3．
当 2a3≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f =f（2）=8-4a．
max
当 2a3≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f =f（0）=0．
max
当 0＜2a3＜2，即0＜a＜3，（f x）在 [0，2a3]上单调递减，在 [2a3，2]上单调递增，从而 fmax={8-4a，0
＜a≤2.0，2＜a＜3.
综上所述， fmax={8-4a，a≤2.0，a＞2.
134、
（2008•天津）已知函数 f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解
析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的 a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在 [14，1]上恒成立，求b的
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据（f x）在点P（2，（f 2））处的切线方程为y=3x+1，解出
a值；
（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；
（Ⅲ）已知 a∈[12，2]，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出（f x）的最大值，让（f x）的最大值小于
10就可以了，从而解出b值．
解答：解：（Ⅰ）解： f(x)=1-ax2，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8．
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
ʹ
所以函数f（x）的解析式为 f(x)=x-8x+9．
（Ⅱ）解： f(x)=1-ax2．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
ʹ
当a＞0时，令f'（x）=0，解得 x=±a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在 (-∞，-a)， (a，+∞)内是增函数，在 (-a，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，（f x）在 [14，1]上的最大值为 f(14)与（f 1）的较大者，对于任意的 a∈[12，2]，不等式
f（x）≤10在 [14，1]上恒成立，当且仅当{f(14)≤10f(1)≤10，
即 {b≤394-4ab≤9-a，对任意的 a∈[12，2]成立．
从而得 b≤74，所以满足条件的b的取值范围是 (-∞，74]．
135、
（2007•湖南）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O
的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜
90°），且 sinθ=25，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的
公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为
a2万元/km、当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l+1）a万元、已知
2
OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km）， OA=3(km)．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价
最小．
（III）在AB上是否存在两个不同的点D'，E'，使沿折线PD'E'O修建公路的总造
价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论、
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：综合题．
分析：对于（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．这是一个实际应用题，需要先把
复杂的图形转化为清晰的几何图形，然后设BD=x（km）．根据几何关系列出总造价为f（x）的函数表达式，
1
再根据配方法求出最小值即为所求．
对于（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．设AE=y
（km）， 0≤y≤54，总造价为f（y）万元，求出总造价的f（y）的函数表达式，求出其导函数的方法，通过判断
2 2
在区间上正负问题，讨论区间单调性．然后根据单调性求极值即可得到答案．解答： 解：（I）如图，PH⊥α，HB α，PB⊥AB，
由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB， ⊂
所以∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角，
则∠PBH=θ， PB=PHsinθ=1．
设BD=x（km），0≤x≤1.5，
则 PD=x2+PB2=x2+1∈[1，2]．
记总造价为f（x）万元，
1
据题设有 f1(x)=(PD2+1+12AD+AO)a=(x2-12x+114+3)a= (x-14)2a+(4316+3)a
当 x=14，即 BD=14(km)时，总造价f（x）最小．
1
（II）设AE=y（km）， 0≤y≤54，总造价为f（y）万元，
2
根据题设有 f2(y)=[PD2+1+y2+3+12(32-14-y)]a= (y2+3-y2)a+4316a、
则 f2′(y)=(yy2+3-12)a，由f′（y）=0，得y=1．
2
当y∈（0，1）时，f′（y）＜0，f（y）在（0，1）内是减函数；
2 2
当 y∈(1，54)时，f′（y）＞0，f（y）在 (1，54)内是增函数．
2 2
故当y=1，即AE=1（km）时总造价f（y）最小，且最小总造价为 6716a万元．
2
136、
（2006•福建）已知函数f（x）=-x+8x，g（x）=6lnx+m．
2
（I）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（II）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的
交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中的一动一定的问题，解题时要针对于二
次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边．
（2）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通
过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．
解答：解：（I）f（x）=-x2+8x=-（x-4）2+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）2+8（t+1）=-t2+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t2+8t．
综上， h(t)={-t2+6t+7，t＜316，3≤t≤4-t2+8t，t＞4
（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x2-8x+6lnx+m，
∴ (x)=2x-8+6x=2x2-8x+6x=2(x-1)(x-3)x(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
ϕʹ当x∈（0，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x） =m（1）=m-7，m（x） =m（3）=m+6ln3-15．
最大值 最小值
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 { (x)最大值=m-7＞0 (x)最小值
=m+6ln3-15＜0
ϕ ϕ
即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-
6ln3）．
137、
（2004•浙江）已知a为实数，f（x）=（x-4）（x-a）．
2
（1）求导数f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；综合题．
分析：（1）按导数的求导法则求解
（2）由f（′ -1）=0代入可得（f x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最
值
（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（-2）≥0联立可得a的范围
（ 法二）求出f（′ x），再求单调区增间（-∞，x
1）
和[x
2
，+∞），依题意有（-∞，-2）⊆（-∞，x
1）
[2，+∞] [x
2
，+∞）
解答：解：（1）由原式得f（x）=x3-ax2-4x+4a，∴f'（x）=3x2-2ax-4．
⊆
（2）由f'（-1）=0得 a=12，此时有 f(x)=(x2-4)(x-12)，f(x)=3x2-x-4．
由f'（x）=0得 x=43或x=-1，又 f(43)=-5027，f(-1)=92，f(-2)=0，f(2)=0，
ʹ
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为 92，最小值为 -5027．
（3）解法一：f（' x）=3x2-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，由条件得f（' -2）≥0，f（' 2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范围为[-2，2]．
解法二：令f'（x）=0即3x2-2ax-4=0，由求根公式得： x1，2=a±a2+123(x1＜x2)
所以f'（x）=3x2-2ax-4．在（-∞，x]和[x，+∞）上非负．
1 2
由题意可知，当x≤-2或x≥2时，f'（x）≥0，
从而x≥-2，x≤2，
1 2
即 {a2+12≤6-aa2+12≤a+6
解不等式组得-2≤a≤2．
∴a的取值范围是[-2，2]．
138、
（2004•浙江）设曲线y=e（x≥0）在点M（t，c c）处的切线l与x轴y轴所围成的
-x -1
三角表面积为S（t）．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．专题：综合题．
分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，对函数y=e-（x x≥0）在点M（t，c-1c）进行求导，然后根据电斜
式求出切线方程；
（Ⅱ）根据三角形面积公式用t表示出S（t），然后由题意先对函数S进行求导，解出极值点，然后再根据函数
的定义域，
把极值点代入已知函数，从而求解．
解答： 解：（Ⅰ）因为f'（x）=（e-x）'=-e-x，
所以切线l的斜率为-e-1，
故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t）．
即e-tx+y-e-1（t+1）=0
（Ⅱ）令y=0得x=t+1，
又令x=0得y=e-t（t+1）
所以S（t）= 12(t+1)•e-1(t+1)
= 12(t+1)2e-1
从而 S(t)=12e-1(1-t)(1+t).
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，
ʹ
当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
所以S（t）的最大值为S（1）= 2e．
139、
（2004•黑龙江）已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（ a+b2）＜（b-a）ln2．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；平均值不等式在函数极值中的应用．
专题：证明题；综合题．
分析：（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调
性，进而可求出最大值．
（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）-2g（ a+b2）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnx＜x，
将 ln2ba+b、 ln2ba+b放缩变形为ln2ba+b＞-b-a2a、 ln2ba+b＞-a-b2b代入即可得到左边不等式成立，
再用 2aa+b＜a+bab根据y=lnx的单调性进行放缩 aln2aa+b+bln2ba+b＜alna+b2b+bln2ba+b.然后整
理即可证明不等式右边成立．
解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f(x)=11+x-1.令f′（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
ʹ
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明： g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2
= aln2aa+b+bln2ba+b.由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设 0＜a＜b，得b-a2a＞0，-1＜a-b2b＜0，
因此 ln2ba+b=-ln(1+b-a2a)＞-b-a2a，
ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)＞-a-b2b，
所以 aln2aa+b+bln2ba+b＞-b-a2-a-b2=0.
又 2aa+b＜a+bab，
aln2aa+b+bln2ba+b＜ alna+b2b+bln2ba+b.=（b-a）ln 2ba+b＜（b-a）ln2
综上 0＜g(a)+g(b)-2g(a+b2)＜(b-a)ln2.
140、
（2004•贵州）求函数 f(x)=ln(1+x)-14x2在[0，2]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的
极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．
解答：解： f(x)=11+x-12x，
令 11+x-12x=0，
ʹ
化简为x2+x-2=0，解得x=-2（舍去），x=1．
1 2
当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；
当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．
所以 f(1)=ln2-14为函数f（x）的极大值．
又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f（0）=0为函数f（x）在[0，2]上的最小值，
f(1)=ln2-14为函数f（x）；
在[0，2]上的最大值．
141、
已知函数 f(x)=mx33+ax2+(1-b2)x，m，a，b∈R．
（Ⅰ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求 z=3a+b的最小值；
（Ⅱ）当a=1， b=3时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范
围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
分析：（I）由m=1，我们可以求出函数（f x）及f（' x）的解析式（含参数a，b），由函数（f x）是R上的增函数，
f'（x）≥0恒成立，根据二次函数恒成立的条件，可得a 2+b2≤1，进而求出 z=3a+b的最小值；
（Ⅱ）由已知中a=1， b=3，我们易求出函数（f x）及导函数f（′ x）的解析式，分别讨论m＜0，m=0，m＞0三
种情况下m的取值范围，综合讨论结果即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=mx2+2ax+（1-b2）．
因为函数f（x）是R上的增函数，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
则有△=4a2-4（1-b2）≤0，即a2+b2≤1．
设 {a=rcosθb=rsinθ（θ为参数，0≤r≤1），
则 z=3a+b=r(3cosθ+sinθ)=2rsin(θ+π3)
当 sin(θ+π3)=-1，且r=1时， z=3a+b取得最小值-2．
（Ⅱ）当a=1， b=3时， f(x)=mx33+x2-2x
f'（x）=mx2+2x-2①当m＞0时，f'（x）=mx2+2x-2是开口向上的抛物线，
显然f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f'（x）＞0，所以m的取值范围是（0，+∞）．
②当m=0时，显然成立．
③当m＜0时，f'（x）=mx2+2x-2是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足 m＜0，-1m≥2，f(-1m)＞0，或 {m＜0-1m＜2f(2)＞0
解得 -12＜m＜0．
ʹ ʹ
则m的取值范围是 (-12，+∞)．
142、
已知函数f（x）=x+mx+nx有两个不同的极值点α，β，设f（x）在点（-1，f（-1））
3 2
处的切线为l，其斜率为k；在点（1，f（1））处的切线为l，其斜率为k
1 1 2 2
（1）若m=1，n=-1，当t∈（-1，1）时，求函数f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若 k1=-12，|α-β|= 103，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k•k 可能取到的最大整数值．
1 2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某
点切线方程．
分析：（1）先根据m=1，n=-1，f（′ x）=3x2+2x-1，求得原函数（f x）在x＜-1或x＞ 13是增函数，在-1＜x＜
13时是减函数，由于t∈（-1，1）时，再分类讨论即可求得（f x）的最小值．（2）求出求出函数的导函数，因为
k=f（′ -1）得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=103
1
中得到②，然后①②解得b和c即可；
（3）由于f（' x）=x2+2mx+n，α，β∈（-1，1），得到 {f′(-1)＞0f′(1)＞0f′(-m)＜0即 {1+2m+n＞01-2m+n＞
0m2-2m2+n＜0利用线性规划的方法得到kk=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数即可．
1 2
解答：解：（1）若m=1，n=-1，f′（x）=3x2+2x-1
此二次函数3x2+2x-1＞0时，x＜-1或x＞ 13，
∴原函数f（x）在x＜-1或x＞ 13是增函数，在-1＜x＜ 13时是减函数，
由于t∈（-1，1）时，
∴当t≥ 13时，f（x）的最小值为：f（t）=t3+t2-t，
当t＜ 13时，f（x）的最小值为：f（ 13）=- 527．
（2）f′（x）=3x2+2mx+n
∵若 k1=-12
∴f′（-1）=- 12
3+2b+c=- 12 ①
∵α，β是3x2+2mx+n=0的两根，∴ α+β=-2m3，αβ=n3．
又∵ |α-β|=103，∴ |α-β|2=(α+β)2-4αβ=4b29-4•c3=109②
由①②得 {c=92m=4=或{c=12b=2．
（3）∵f'（x）=x2+2mx+n，α，β∈（-1，1），
∴ {f′(-1)＞0f′(1)＞0f′(-m)＜0即 {1+2m+n＞01-2m+n＞0m2-2m2+n＜0
利用线性规划的方法得到：kk=（3+2m+n）（3-2m+n）取到的最大整数值8．
1 2
143、
已知函数f（x）=e-kx（x∈R）
x
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；分类讨论．
分析：（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（2）函数（f |x|）是偶函数，只要（f x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于（f x）在[0，+∞）的最小值大于零．
解答：解：（1）f'（x）=ex-e，令f'（x）=0，解得x=1
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）单调递减．（6分）
（2）∵f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立
当x≥0时，f'（x）=ex-k，令f'（x）=0，解得x=lnk
（1）当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）减，在（lnk，+∞）增，
∴f（x） =f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e
min
（2）当lnk≤0，即0＜k≤1时，f'（x）=ex-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x） =f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1
min
综上，0＜k＜e．（12分）．
144、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线
3
x+18y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为12．
（1）求a，b，c的值；
（2）设 g(x)=f(x)x2，当x＞0时，求g（x）的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）先根据函数（f x）是奇函数可求出c的值，然后对函数（f x）进行求导根据导函数的最小值等于12
可确定b的值，再由导数的几何意义可确定a的值．
（2）根据（1）确定函数（f x）的解析式，然后代入到函数g（x）中整理成g（x）= 2(x+6x)的形式，根据基本不等
式可求出最小值．
解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax2+b的最小值为12，∴b=12；
又直线x+18y-7=0的斜率为 -118，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0为所求．
（2）由（1）得f（x）=2x3+12x，∴当x＞0时， g(x)=f(x)x2= 2(x+6x)≥2•2x•6x=46，
∴g（x）的最小值为 46．
145、
已知函数f（x）=x-ax+b在区间在x=2处取得极值-8
3
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
（3）当x∈[-3，3]时，求y=f（x）的最值域．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
分析：（1）求出导函数，令f′（2）=0，f（2）=-8，列出方程组，求出a，b的值得到函数的解析式．
（2）将求出的a，b值代入导函数，令导函数大于0，求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0 得到x的范围为单调递减区间．
（3）由（2），求出函数的两个极值及端点值，比较出最大值 与最小值，求出值域．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2-a
f（x）=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8
∴ {f′(2)=0f(2)=-8即 {12-a=08-2a+b=-8
解得a=12，b=8
所以f（x）=x3-12x+8
（2）由（1）f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0得-2＜x＜2
所以y=f（x）的单调递增区间为（2，+∞）和（-∞，-2）；递减区间有（-2，2）．
（3）由（2）得x=-2是极大值点，x=2是极小值点，且f（-2）=24，f（2）=-8，f（-3）=17，f（3）=-1
所以函数的值域为[-8，24]．
146、
设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若 a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的
单调性．
分析：（I）首先，g（x）的定义域是（0，+∞），再根据求导法则得g（x）=f（' x）= ax+lnx，分别讨论当a≤0时和当
a＞0时g（x）零点的两种不同情况，得到g（x）的单调区间的两种情形；
（II）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，求出g（a）的值，由a≥ 1e可以证得g（a）≥0，从而f（' x）≥0．
得到（f x）在（0，+∞）上单调递增，再由根的存在性定理可以证得函数（f x）在（0，+∞）上存在零点，结合单调
性可得函数的零点个数为1．
解答：解：（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）= ax+lnx，
∴g'（x）=- ax2+1x=x-ax2，…（2分）
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）单调区间是（0，+∞）…（4分）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上单调递增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）= aa+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥ 1e，∴lna≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（11分）
∵ f(e)=(e+a)lne-e+a=2a＞0，f(1e)=(1e+a)ln1e-1e+a=-2e＜0，，
∴ f(x)在(1e，e)内有零点．…（13分）
故函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数为1．…（14分）
147、
已知定义在R上的函数f（x）=x（ax-3），其中a为常数．
2
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f'（x）在x=0处取得最大值，求正数a的
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．分析：（I）求出f'（x）=3ax2-6x，根据题意可得f'（1）=3a-6=0，可以得出a=2；
（II）先得出g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0），所以g（' x）=3ax2+6（a-1）x-6是一个二次函数，讨论此函数的根
的判别式和零点的分布，可以得出最大值只能为g（0）或g（2），再根据已知条件得g（0）≥g（2），可解出a
的取值范围．
解答：解：（I）∵f（x）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=3a-6=0，
∴a=2．
（II）g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0）
g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，△=36（a-1）2+72a=36（a2+1），
∴f'（x）=0有两个实根，设这两个实根为x，x，
1 2
则 x1x2=-2a＜0，
设x＜0＜x，当0＜x＜2时，g（x）为极小值，
1 2 2 2
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）的最大值为g（0），
2
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2），
即 0≥20a-24，解得a≤65，∴ 0＜a≤65
148、
已知函数f（x）= 12[3ln（x+2）-ln（x-2）]
（I） 求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题．
分析：（I）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调
性，进而可求出最大值．
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围
解答：解：（Ⅰ）f′（x）= 12[ 3x+2- 1x-2]= x-4x2-4
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0∴
f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在【3，7】上的最大值应在端点处取得 f（3）-f（7）= 12[3ln5-ln1]- 12[ln625-ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，∴F（x）≥0恒成立
又F′（x）= ax-1-x-4x2-4= (a-1)x2+5x-4(a+1)(x-1)(x2-4)
显然在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x-1）（x2-4）＞0恒成立．
∴（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．…（10分）
下面分情况讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1=0时（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a-1＞0时，又有两种情况：①52+16（a-1）（a+1）≤0；
② -52(a-1)≤且（a-1）-22+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a2+9≤0，无解；由②得a≥- 14，a-1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．149、
f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）试比较 ln2222+ ln3232+…+ lnn2n2与 (n-1)(2n+1)2(n+1)的大小．
（n∈N且n≥2），并证明你的结论．
*
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可；
（2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断
出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小
值大于0即可．
解答：解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx
当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- 1x= x-1x≥0
∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．
（2）x＜1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1- 1x＜0
∴f（x）在区间（0，1）减的．
故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x） =f（1）=0
min
a≥1 x＞a f（ x ）=x-a-lnx，f′（x）=1- 1x=x-1x≥0
f（x）在[a，+∞）上是递增的，
0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1- 1x＜0
∴f（x）在 （0，a）递减函数，
0＜a＜1，x≥af（x）=x-a-lnx
f′（x）=1- 1x=x-1x，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数
0＜x＜a 时 f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1- 1x＜0
∴f（x） 在 （0，a）递减函数
f（x）在[1，+∞）递减函数，（0，1）递减函数．
a≥1 时 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函数．
0＜a＜1 时 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函数．
（3）当a=1 x＞1 时 x-1-lnx＞0 lnxx＜1-1x
∴ ln2222+ln3232+…+lnn2n2＜1-122+1-132+…+1-2n2=n-1（- 122+ 132+…+ 1n2）＜n-1（- 12×3+ 1
3×4+…+ 1n(n+1)）=n-1-（ 12- 13+ 13- 14+…+ 1n-1n+1）=n-1-（ 12- 1n+1）= (n-1)(2n+1)2(n+1)
150、
已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数 g(x)=12x2+m
x+72（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的
最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证： f(1+a)-f(2)＜a-12．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．专题：综合题．
分析：（1）对函数（f x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切线斜率等于f（' 1），从而可得到切线方程，最
后切线方程与函数g（x）联立可求出m的值．
（2）根据（1）中m的值可先确定函数g（x）的解析式，然后对其求导代入函数h（x）中确定其解析式，再对函
数h（x）进行求导，根据导数的正负判断函数的单调性进而可确定最大值．
（3）先对（f 1+a）-（f 2）进行整理变形为 f(1+a)-f(2)=ln(1+a-12)，再根据（2）可得到当-1＜x＜0时h（x）＜2，
即ln（1+x）＜x，可得证．
解答：解：（Ⅰ）∵ f(x)=1x，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
ʹ
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切
∴ {y=x-1y=12x2+mx+72 12x2+(m-1)x+92=0，
得△=（m-1）2-9=0 m=-2（m=4不合题意，舍去）
⇒
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， g(x)=12x2-2x+72
⇒
∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴ h(x)=1x+1-1=-xx+1．（x＞-1）
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．
ʹ
于是，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
所以，当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜1时， -1＜a-12＜0
∴ f(1+a)-f(2)=ln1+a2=ln(1+a-12)＜a-12．
151、
已知函数f（x）=x-ax+b在区间在x=2处取得极值-8
3
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
（3）当x∈[-3，3]时，求y=f（x）的最值域．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
分析：（1）求出导函数，令f′（2）=0，f（2）=-8，列出方程组，求出a，b的值得到函数的解析式．
（2）将求出的a，b值代入导函数，令导函数大于0，求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0 得到x
的范围为单调递减区间．
（3）由（2），求出函数的两个极值及端点值，比较出最大值 与最小值，求出值域．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x2-a
f（x）=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8
∴ {f′(2)=0f(2)=-8即 {12-a=08-2a+b=-8
解得a=12，b=8
所以f（x）=x3-12x+8
（2）由（1）f′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0得-2＜x＜2
所以y=f（x）的单调递增区间为（2，+∞）和（-∞，-2）；递减区间有（-2，2）．
（3）由（2）得x=-2是极大值点，x=2是极小值点，且f（-2）=24，f（2）=-8，f（-3）=17，f（3）=-1
所以函数的值域为[-8，24]．152、
设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若 a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的
单调性．
分析：（I）首先，g（x）的定义域是（0，+∞），再根据求导法则得g（x）=f（' x）= ax+lnx，分别讨论当a≤0时和当
a＞0时g（x）零点的两种不同情况，得到g（x）的单调区间的两种情形；
（II）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，求出g（a）的值，由a≥ 1e可以证得g（a）≥0，从而f（' x）≥0．
得到（f x）在（0，+∞）上单调递增，再由根的存在性定理可以证得函数（f x）在（0，+∞）上存在零点，结合单调
性可得函数的零点个数为1．
解答：解：（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）= ax+lnx，
∴g'（x）=- ax2+1x=x-ax2，…（2分）
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）单调区间是（0，+∞）…（4分）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上单调递增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）= aa+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥ 1e，∴lna≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（11分）
∵ f(e)=(e+a)lne-e+a=2a＞0，f(1e)=(1e+a)ln1e-1e+a=-2e＜0，，
∴ f(x)在(1e，e)内有零点．…（13分）
故函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数为1．…（14分）
153、
已知定义在R上的函数f（x）=x（ax-3），其中a为常数．
2
（I）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f'（x）在x=0处取得最大值，求正数a的
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
分析：（I）求出f'（x）=3ax2-6x，根据题意可得f'（1）=3a-6=0，可以得出a=2；
（II）先得出g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0），所以g（' x）=3ax2+6（a-1）x-6是一个二次函数，讨论此函数的根
的判别式和零点的分布，可以得出最大值只能为g（0）或g（2），再根据已知条件得g（0）≥g（2），可解出a
的取值范围．
解答：解：（I）∵f（x）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=3a-6=0，
∴a=2．
（II）g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0）
g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，△=36（a-1）2+72a=36（a2+1），
∴f'（x）=0有两个实根，设这两个实根为x，x，
1 2
则 x1x2=-2a＜0，
设x＜0＜x，当0＜x＜2时，g（x）为极小值，
1 2 2 2所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）的最大值为g（0），
2
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2），
即 0≥20a-24，解得a≤65，∴ 0＜a≤65
154、
已知函数 f(x)=4x+ax2+1．
（1）当a=0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上是否有最值？若有求出最值，若没有请
说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，2]上有最小值为 125，求f（x）在[0，2]上的最大值；
（3）当 f(2)=-1225时，解不等式 f(x+2x-4)-85＞0．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
ʹ
专题：综合题．
分析：（1）将a=0代入后对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断函数的单调性和极值从而可求出最
值．
（2）对函数（f x）进行求导可得到 f′(x)=4-2ax-4x2(x2+1)2，分母（x2+1）2＞0恒成立，令g（x）=4-2ax-4x2则
与x轴必有两个交点，再根据函数单调性可确定（f x）的最小值应在端点取得，最大值在x=x 处取得，然后对
1
两个端点进行讨论即可确定答案．
（3）当 f(2)=-1225时可求出a的值，根据 f(2)=f(12)=85，再由函数的单调性可解题．
解答：解：（1）当a=0时， f(x)=4-4x2(x2+1)2，于是有
ʹ
ʹ
又f（-1）=-2，f（1）=2，且x＞0时，f（x）＞0；x＜0时，f（x）＜0；
所以f（x）在（-∞，+∞）上有最大值是f（1）=2；有最小值是f（-1）=-2．
（2）因为 f(x)=4-2ax-4x2(x2+1)2，而（x2+1）2＞0恒成立，
考察函数g（x）=4-2ax-4x2与x轴必有两个交点设为（x，0）、（x，0）且xx＜0，不妨设x＞0，当2＞x＞0
ʹ 1 2 1 2 1 1
时有
所以f（x）在[0，2]上最小值应在端点取得，最大值在x=x 处取得，
1
当 f(0)=125时， a=125，此时 f(2)=5225＜125不合题意；
当 f(2)=125时，a=4，此时 f(0)=4＞125符合题意，所以a=4代入g（x）=4-2ax-4x2可解得 x1=2-1，符合2＞x＞0．
1
从而得到f（x）在[0，2]上的最大值为 22+2．
当x≥2时，f（x）在[0，2]上单调递增，
1
所以 f(0)=125， a=125，
代入g（x）=4-2ax-4x2解得 x1=34-35＜2不合x≥2．舍去，
1
综上f（x）在[0，2]的最大值为 22+2，
（3）当 f(2)=-1225时，a=0，又 f(2)=f(12)=85，
由（1）知 12＜x+2x-4＜2，
ʹ
从而解得 3-7＜x＜12或 4＜x＜3+7，
所以当 f(2)=-1225时，不等式 f(x+2x-4)-85解集为 {x|3-7＜x＜12或 4＜x＜3+7}．
ʹ
155、
设函数 f(x)=p(x-1x)-2lnx，g(x)=2ex（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）＞g（x），求实数p的取值范围．
0 0 0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令导函数等于0，在（0，+∞）上有解，分离出p，利用基本不等式求出p的范围，
检验p=1是否满足题意．
（2）将问题转化为（f x）＞g（x）在[1，e]上有解，分离出p，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最小值，令p
＞h（x）的最小值即得p的范围．
解答：解：（1） f(x)=px2-2x+px2，
有条件得，f'（x）=0在（0，+∞）上有解
ʹ
即 p=2xx2+1=2x+1x在（0，+∞）上有解，∵x＞0，∴ x+1x≥2，∴0＜p≤1
若当p=1时， f(x)=(1x-1)2≥0，不符条件，所以0＜p＜1
（2）有题意得：f（x）＞g（x）在[1，e]上有解
ʹ
即 f(x)-g(x)=p(x-1x)-2lnx-2ex＞0在[1，e]上有解
即 p＞2ex+2lnxx-1x在[1，e]上有解
记 h(x)=2ex+2lnxx-1x，只需p＞h（x） ∵ (2ex+2lnx)=2x-2ex2＜0，所以 2ex+2lnx在[1，e]是减函数
min
x-1x在[1，e]是增函数
ʹ
所以h（x）在[1，e]是减函数 p＞h(x)min=4ee2-1
156、
已知定义在R上的函数f（x）=x（ax-3），其中a为常数．
2
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取
值范围．
显示解析试题篮
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；
（2）要求函数（f x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f（' x）在区间（-1，0）大于零即可，另外要注意对
a的讨论；
（3）要求函数g（x）=（f x）+f（' x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点
值
g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取
得最大值，得到g（0）≥g（2）即可
解答：解：（1）∵f（x）=ax3-3x2
∴f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2
（2）①当a=0时
f（x）=-3x2在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax (x-2a)，令f'（x）=0得：x=0，x= 2a
1 2
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当 x∈(2a，0)时f'（x）＞0，
∴ 2a≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6=3[ax2+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax2+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a2+4＞0．
设方程（*）的两个根为x，x，由（*）式得 x1x2=-2a＜0，不妨设x＜0＜x．
1 2 1 2
当0＜x＜2时，g（x）为极小值
2 2
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
2
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24，解得a≤ 65，又因为a＞0，所以 a∈(0，65]．
故答案为：（1）a=2；（2）a≥-2；（3） a∈(0，65]
157、
有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器
（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四
个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方
形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V；
1
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪
费减少，而且所得长方体容器的容积V＞V．
2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．分析：本题首先设出小正方形的边长为x，则长方体的长宽都为4-2x，体积等于长×宽×高，求出体积的导数，
令其等于零得出最大容积．第二问主要对题意理解清楚，说的是材料有所浪费，想到在两个角切去小正方形
去下的小正方形焊到对边上组成新的长方体体积比原来的大．
解答：解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，
∴V=（4-2x）2•x=4（x3-4x2+4x）（0＜x＜2）．
1
∴V′=4（3x2-8x+4）．
1
令V′=0，得x= 23，x=2（舍去）．
1 1 2
而V′=12（x- 23）（x-2），
1
又当x＜ 23时，V′＞0；当 23＜x＜2时，V′＜0，
1 1
∴当x= 23时，V 取最大值 12827．
1
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正
方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器．
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V=3×2×1=6，显然V＞V．
2 2 1
故第二种方案符合要求．
158、
函数f（x）=x+ax+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为
3 2
y=3x+1．（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，
求f （x）的表达式；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数在x=1处的值，利用点斜式写出切线方程，化为斜截式令其斜率为3，纵截距为1，令导
函数在-2处的值为0，列出方程组，求出f（x）的解析式．
（II）求出（f x）的导函数，令导函数为0，求出根，列出x，（f x），f（′ x）的变化表，求出极大值，端点值，求出函数
f（x）的最大值．
（III）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨
论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[-2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基
本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
解答：解（Ⅰ）
由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得fʹ(x)=3x2+2ax+b过y=f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y-f(1)=fʹ(1)(x-1)即y-
(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)而过y=f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y=3x+1故{3+2a+b=3-a+c-2=1，即
{2a+b=0…(1)a-c=-3…(2)∵y=f(x)在x=-2时有极值，故fʹ(-2)=0∴-4a+b=-12…(3)由(1)(2)(3)相联立解得
a=2，b=-4，c=5f(x)=x3+2x2-4x+5，&&&&&…(4分)
（Ⅱ）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
x [-3，-2） -2 (-2，23) 23 (23，1]f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 极大 极小
f（x） =f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13 f（1）=13+2×1-4×1+5=4
极大
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13 …（8分）
（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x2+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x2-bx+b
依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）=3x2-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立．
①在 x=b6≥1时，g(x)最小值=g(1)=3-b+b＞0&∴b≥6
②在 x=b6≤-2时，g(x)最小值=g(-2)=12+2b+b≥0∴b∈
③在 -2≤b6≤1时，g(x)最小值=12b-b212≥0&则0≤b≤6．
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0…（12分）
或者（Ⅲ）y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
又f'（x）=3x2+2ax+b，由（1）知2a+b=0∴f'（x）=3x2-bx+b
依题意f（' x）在[-2，1]上恒有f（' x）≥0，即g（x）=3x2-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立∴ b≥3x2x-1=3x2x-1=3(x-1)
+3x-1+6(x≤1)
令m（x）=3（x-1）+ 3x-1（x≤1）
则m（x） ≤-6∴(3x2x-1)max=0∴b≥0
159、
设函数f（x）=-cosx-4tsin x2cos x2+2t-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的
2 2
最小值记为g（t）．
（1）求函数g（t）的表达式；
（2）判断g（t）在[-1，1]上的单调性，并求出g（t）的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用；
利用导数研究函数的单调性．
专题：常规题型．
分析：（1）用配方法求函数的最值，根据二次项为0时函数值最小求g（t）
（2）根据图象判断函数的单调性，求最值
解答：解：（1）因为函数f（x）=-cos2x-4tsin x2cos x2+2t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，
所以f（x）=sin2x-2tsinx+2t2-3t+3=（sinx-t）2+t2-3t+3
g（t）=f（x） =f（t）=t2-3t+3
min
（2）g（t）=t2-3t+3=（t- 32）2+ 34，其对称轴为t= 32，开口向上，
所以g（t）在[-1，1]上的单调性为单调递减，
g（t） =1
min
g（t） =7
max
160、
已知函数 f(x)=x3-12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围．
2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
专题：应用题．分析：（1）由题意得f（x）在x=1处取得极值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（2）把原不等式等价转化为： x3-12x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立，设g（x）= x3-12x2-2x则g（′ x）=3x2-
x-2=（3x+2）（x-1），利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值为g（2）=2，则有c2-c＞2，解得：c＞2或c
＜-1．
解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x2-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x2-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立
∴ x3-12x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即 x3-12x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g（x）= x3-12x2-2x则g′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，- 23）时，g′（x）＞0
当x∈（- 23，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0
所以，当x= -23时，g（x）取得极大值为g（ -23）= 2227
又因为g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值为g（2）=2
则有c2-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
161、
已知函数f（x）=ax+bx+cx在点x 处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经
3 2
0
过点（0，0），（2，0），如图，
（1）求 a，b，c的值；
（2）若x∈[-1，1]，求f（x）的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
专题：计算题；数形结合．
分析：（1）求出导函数，由导函数的图象求出函数的单调区间，求出函数的极值，，列出方程组，解方程组求
出a，b，c
（2）求出函数的极值及函数的端点值，选出最大值、最小值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c
由导函数的图象知，f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）递减；在（0，2）上递增
所以当x=2时取得极大值
所以有 {c=012a+4b+c=08a+4b+2c=4
解得a=-1，b=3，c=0（2）由（1）知，f（x））=-x3+3x2，且函数在x=0处有极小值
因为f（0）=0；f（-1）=4，f（1）=2
所以f（x）的最大值4；最小值为0．
162、
已知：函数f（x）=x-ax-3x．
3 2
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）因为f（' 3）=0得到a的值，确定出（f x）和f（′ x）的解析式，然后令f（′ x）=0求出x的值，在区间[1，
a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为（f x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f（′ x）＞0，解得a≤ 32(x-1x)，求出 32(x-1x)的最小值得到
a的取值范围．
解答： 解：（1）f（' 3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f'（x）=3x2-8x-3，
令 f(x)=3x2-8x-3=0，则x=-13或x=3.
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
ʹ
（2）f'（x）=3x2-2ax-3≥0∴x≥1∴ a≤32(x-1x)，
当x≥1时， 32(x-1x)是增函数，其最小值为 32(1-1)=0，
∴a≤0．
163、
求函数y=（1+cosx ） sinx在区间[0，π]内的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．
分析：先求出y′=0时得到α的值，区间[0，π]内讨论函数的增减性得到函数的最大值即可
解答：解：∵y′=-sin2x+（1+cosx）cosx=2cos2x+cosx-1，又因为x∈[0，π]
∴当y′=0时得到x= π3，x=π．
当x∈[0， π3]时，y′＞0，函数y为增函数，y =（1+cos π3）sin π3= 334；
极大值
当x∈[ π3，π]时，y′＜0，函数y为减函数，y = 334．
极大值
故函数在区间[0，π]内的最大值为 334．
164、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．
解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
165、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
166、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
167、
已知函数f（x）=-x+ax-4，a∈R．
3 2
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，求a的取值范围．
0 0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：计算题．
分析：（1）当a等于3时求出函数的导数根据导数求出函数的极值，再求出端点值，比较极值和端点值的大
小求得最值
（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，观察是否满足存在x∈（0，+∞），使得（f x）＞0，最后得出a的取
0 0
值范围，
解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f¢（x）、f（x）在区间的变化如下表：
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
f¢（x） - 0 +
f（x） 0 ↘ 极小值-4 ↗ -2所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x- 2a3）．
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f¢（x）＜0，此时（f x）单调递减，而（f x）＜（f 0）=-4，不存在使题设成立的x．
0
若a＞0，则当x∈（0， 2a3）时，f¢（x）＞0，此时（f x）单调递增；当x∈（ 2a3，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f
（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（ 2a3）= 4a327-4．所以题设的x 存在当且仅当
0
4a327-4＞0，解得a＞3．
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．
168、
已知函数 f(x)=12x2-ax-8lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[2，5]上的最小值；
（II）求函数f（x）的单调区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据所给的a的值，代入函数式，对函数求导，判断出单调区间，在闭区间上求出函数的两个端点
的知和极值进行比较，得到最值．
（II）对函数求导，使得导函数等于0，求出对应的两个根，验证出导函数在不同的区间中的符号，求出单调区
间．
解答：解：（I）因为a=2，所以， f(x)=12x2-2x-8lnx，
f(x)=x-2-8x=x2-2x-8x=(x-4)(x+2)x（3分）
当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
ʹ
当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=4时，f（x） =f（4）=-8ln4=-16ln2．（6分）
min
（II）由 f(x)=x-a-8x=x2-ax-8x=0，（8分）
得 x1=a+a2+322，x2=a-a2+322，（10分）
ʹ
又因为x∈（0，+∞），
所以当 x∈(0，a+a2+322)时，f'（x）＜0，
当 x∈(a+a2+322，+∞)时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调增区间为 (a+a2+322，+∞)，单调减区间为 (0，a+a2+322)．（14分）
169、
已知x＞-1，n≥2且n∈N，比较（1+x） 与1+nx的大小．
* n
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先构造函数（f x）=（1+x）n（- 1+nx），研究函数（f x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值
与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
170、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
171、
已知函数f（x）=ax+bx+cx在点x 处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经
3 2
0
过点（0，0），（2，0），如图，
（1）求 a，b，c的值；
（2）若x∈[-1，1]，求f（x）的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
专题：计算题；数形结合．
分析：（1）求出导函数，由导函数的图象求出函数的单调区间，求出函数的极值，，列出方程组，解方程组求
出a，b，c
（2）求出函数的极值及函数的端点值，选出最大值、最小值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c
由导函数的图象知，f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）递减；在（0，2）上递增
所以当x=2时取得极大值
所以有 {c=012a+4b+c=08a+4b+2c=4
解得a=-1，b=3，c=0
（2）由（1）知，f（x））=-x3+3x2，且函数在x=0处有极小值
因为f（0）=0；f（-1）=4，f（1）=2
所以f（x）的最大值4；最小值为0．
172、已知：函数f（x）=x-ax-3x．
3 2
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）因为f（' 3）=0得到a的值，确定出（f x）和f（′ x）的解析式，然后令f（′ x）=0求出x的值，在区间[1，
a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为（f x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f（′ x）＞0，解得a≤ 32(x-1x)，求出 32(x-1x)的最小值得到
a的取值范围．
解答： 解：（1）f（' 3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f'（x）=3x2-8x-3，
令 f(x)=3x2-8x-3=0，则x=-13或x=3.
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
ʹ
（2）f'（x）=3x2-2ax-3≥0∴x≥1∴ a≤32(x-1x)，
当x≥1时， 32(x-1x)是增函数，其最小值为 32(1-1)=0，
∴a≤0．
173、
求函数y=（1+cosx ） sinx在区间[0，π]内的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．
分析：先求出y′=0时得到α的值，区间[0，π]内讨论函数的增减性得到函数的最大值即可
解答：解：∵y′=-sin2x+（1+cosx）cosx=2cos2x+cosx-1，又因为x∈[0，π]
∴当y′=0时得到x= π3，x=π．
当x∈[0， π3]时，y′＞0，函数y为增函数，y =（1+cos π3）sin π3= 334；
极大值
当x∈[ π3，π]时，y′＜0，函数y为减函数，y = 334．
极大值
故函数在区间[0，π]内的最大值为 334．
点评：考查学生利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
174、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
175、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
176、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
177、
已知函数f（x）=-x+ax-4，a∈R．
3 2
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＞0，求a的取值范围．
0 0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：计算题．
分析：（1）当a等于3时求出函数的导数根据导数求出函数的极值，再求出端点值，比较极值和端点值的大
小求得最值
（2）求出函数的导数，讨论a的取值范围，观察是否满足存在x∈（0，+∞），使得（f x）＞0，最后得出a的取
0 0
值范围，
解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x3+3x2-4，f¢（x）=-3x2+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f¢（x）、f（x）在区间的变化如下表：
x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1
f¢（x） - 0 +
f（x） 0 ↘ 极小值-4 ↗ -2
所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f¢（x）=-3x2+2ax=-3x（x- 2a3）．
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f¢（x）＜0，此时（f x）单调递减，而（f x）＜（f 0）=-4，不存在使题设成立的x．
0
若a＞0，则当x∈（0， 2a3）时，f¢（x）＞0，此时（f x）单调递增；当x∈（ 2a3，+∞）时，f¢（x）＜0，此时f
（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（ 2a3）= 4a327-4．所以题设的x 存在当且仅当
04a327-4＞0，解得a＞3．
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．
178、
已知函数 f(x)=12x2-ax-8lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[2，5]上的最小值；
（II）求函数f（x）的单调区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据所给的a的值，代入函数式，对函数求导，判断出单调区间，在闭区间上求出函数的两个端点
的知和极值进行比较，得到最值．
（II）对函数求导，使得导函数等于0，求出对应的两个根，验证出导函数在不同的区间中的符号，求出单调区
间．
解答：解：（I）因为a=2，所以， f(x)=12x2-2x-8lnx，
f(x)=x-2-8x=x2-2x-8x=(x-4)(x+2)x（3分）
当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
ʹ
当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=4时，f（x） =f（4）=-8ln4=-16ln2．（6分）
min
（II）由 f(x)=x-a-8x=x2-ax-8x=0，（8分）
得 x1=a+a2+322，x2=a-a2+322，（10分）
ʹ
又因为x∈（0，+∞），
所以当 x∈(0，a+a2+322)时，f'（x）＜0，
当 x∈(a+a2+322，+∞)时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调增区间为 (a+a2+322，+∞)，单调减区间为 (0，a+a2+322)．（14分）
179、
已知x＞-1，n≥2且n∈N，比较（1+x） 与1+nx的大小．
* n
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先构造函数（f x）=（1+x）n（- 1+nx），研究函数（f x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值
与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
180、已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
181、
已知：函数f（x）=x-ax-3x．
3 2
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）因为f（' 3）=0得到a的值，确定出（f x）和f（′ x）的解析式，然后令f（′ x）=0求出x的值，在区间[1，
a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为（f x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f（′ x）＞0，解得a≤ 32(x-1x)，求出 32(x-1x)的最小值得到
a的取值范围．
解答： 解：（1）f（' 3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f'（x）=3x2-8x-3，
令 f(x)=3x2-8x-3=0，则x=-13或x=3.
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
ʹ
（2）f'（x）=3x2-2ax-3≥0∴x≥1∴ a≤32(x-1x)，
当x≥1时， 32(x-1x)是增函数，其最小值为 32(1-1)=0，
∴a≤0．
182、
求函数y=（1+cosx ） sinx在区间[0，π]内的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．
分析：先求出y′=0时得到α的值，区间[0，π]内讨论函数的增减性得到函数的最大值即可解答：解：∵y′=-sin2x+（1+cosx）cosx=2cos2x+cosx-1，又因为x∈[0，π]
∴当y′=0时得到x= π3，x=π．
当x∈[0， π3]时，y′＞0，函数y为增函数，y =（1+cos π3）sin π3= 334；
极大值
当x∈[ π3，π]时，y′＜0，函数y为减函数，y = 334．
极大值
故函数在区间[0，π]内的最大值为 334．
183、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．
解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
184、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
185、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
186、
已知函数 f(x)=12x2-ax-8lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[2，5]上的最小值；
（II）求函数f（x）的单调区间．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据所给的a的值，代入函数式，对函数求导，判断出单调区间，在闭区间上求出函数的两个端点
的知和极值进行比较，得到最值．
（II）对函数求导，使得导函数等于0，求出对应的两个根，验证出导函数在不同的区间中的符号，求出单调区
间．
解答：解：（I）因为a=2，所以， f(x)=12x2-2x-8lnx，
f(x)=x-2-8x=x2-2x-8x=(x-4)(x+2)x（3分）
当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
ʹ
当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=4时，f（x） =f（4）=-8ln4=-16ln2．（6分）
min
（II）由 f(x)=x-a-8x=x2-ax-8x=0，（8分）
得 x1=a+a2+322，x2=a-a2+322，（10分）
ʹ
又因为x∈（0，+∞），
所以当 x∈(0，a+a2+322)时，f'（x）＜0，
当 x∈(a+a2+322，+∞)时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调增区间为 (a+a2+322，+∞)，单调减区间为 (0，a+a2+322)．（14分）
187、
已知x＞-1，n≥2且n∈N，比较（1+x） 与1+nx的大小．
* n
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先构造函数（f x）=（1+x）n（- 1+nx），研究函数（f x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值
与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
188、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
189、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．
解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
190、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
点评：此题考查学生用数学解决实际问题的能力，以及运用导数求闭区间上的最值的解题思想．
191、
已知：函数f（x）=x-ax-3x．
3 2
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）因为f（' 3）=0得到a的值，确定出（f x）和f（′ x）的解析式，然后令f（′ x）=0求出x的值，在区间[1，
a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为（f x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f（′ x）＞0，解得a≤ 32(x-1x)，求出 32(x-1x)的最小值得到
a的取值范围．
解答： 解：（1）f（' 3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f'（x）=3x2-8x-3，
令 f(x)=3x2-8x-3=0，则x=-13或x=3.
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
ʹ
（2）f'（x）=3x2-2ax-3≥0∴x≥1∴ a≤32(x-1x)，
当x≥1时， 32(x-1x)是增函数，其最小值为 32(1-1)=0，
∴a≤0．
192、
求函数y=（1+cosx ） sinx在区间[0，π]内的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．
分析：先求出y′=0时得到α的值，区间[0，π]内讨论函数的增减性得到函数的最大值即可解答：解：∵y′=-sin2x+（1+cosx）cosx=2cos2x+cosx-1，又因为x∈[0，π]
∴当y′=0时得到x= π3，x=π．
当x∈[0， π3]时，y′＞0，函数y为增函数，y =（1+cos π3）sin π3= 334；
极大值
当x∈[ π3，π]时，y′＜0，函数y为减函数，y = 334．
极大值
故函数在区间[0，π]内的最大值为 334．
193、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．
解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
194、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
195、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
196、
已知函数 f(x)=12x2-ax-8lnx，a∈R．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[2，5]上的最小值；
（II）求函数f（x）的单调区间．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据所给的a的值，代入函数式，对函数求导，判断出单调区间，在闭区间上求出函数的两个端点
的知和极值进行比较，得到最值．
（II）对函数求导，使得导函数等于0，求出对应的两个根，验证出导函数在不同的区间中的符号，求出单调区
间．
解答：解：（I）因为a=2，所以， f(x)=12x2-2x-8lnx，
f(x)=x-2-8x=x2-2x-8x=(x-4)(x+2)x（3分）
当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
ʹ
当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x=4时，f（x） =f（4）=-8ln4=-16ln2．（6分）
min
（II）由 f(x)=x-a-8x=x2-ax-8x=0，（8分）
得 x1=a+a2+322，x2=a-a2+322，（10分）
ʹ
又因为x∈（0，+∞），
所以当 x∈(0，a+a2+322)时，f'（x）＜0，
当 x∈(a+a2+322，+∞)时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调增区间为 (a+a2+322，+∞)，单调减区间为 (0，a+a2+322)．（14分）
197、
已知x＞-1，n≥2且n∈N，比较（1+x） 与1+nx的大小．
* n
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先构造函数（f x）=（1+x）n（- 1+nx），研究函数（f x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值
与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
198、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
199、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．
解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
200、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
201、
求函数y=（1+cosx ） sinx在区间[0，π]内的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；三角函数的最值．
分析：先求出y′=0时得到α的值，区间[0，π]内讨论函数的增减性得到函数的最大值即可
解答：解：∵y′=-sin2x+（1+cosx）cosx=2cos2x+cosx-1，又因为x∈[0，π]
∴当y′=0时得到x= π3，x=π．
当x∈[0， π3]时，y′＞0，函数y为增函数，y =（1+cos π3）sin π3= 334；
极大值
当x∈[ π3，π]时，y′＜0，函数y为减函数，y = 334．
极大值
故函数在区间[0，π]内的最大值为 334．
202、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．
解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
203、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
204、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
205、
已知x＞-1，n≥2且n∈N，比较（1+x） 与1+nx的大小．
* n
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先构造函数（f x）=（1+x）n（- 1+nx），研究函数（f x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值
与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
206、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
207、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．
解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
208、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
209、
已知函数f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数；
（Ⅲ）当a＞0，b＞0时，求证：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的
单调性．
专题：证明题；综合题．
分析：（1）先求函数（f x）的值域，然后对函数（f x）进行求导，根据导函数的正反判断函数的单调性，进而可
得到最小值；
（2）先由（1）可判断函数在不同区间的不同取值，然后对m的范围进行分析可确定方程（f x）-m=0（m∈R）
的解的个数．
（3）先将不等式（f a）+（f b）≥（f a+b）（- a+b）ln2转化为（f a）+f（[ a+b）-a]≥（f a+b）（- a+b）ln2，然后令函数g
（x）=（f x）+（f k-x）并将函数（f x）的解析式代入后求导数，根据导数的正负判断函数的单调性从而求出函数g
（x）的最小值，并且任意x有g（x）大于等于g（x）的最小值，得证．
解答：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）
f(x)=lnx+1，令f(x)=0，得：x=1e，
当x∈（0，+∞）时，f′（x），f（x）的变化的情况如下：
ʹ ʹ
所以，f（x）在（0，+∞）最小值是 f(1e)=-1e．
（Ⅱ）当 x∈(0，1e)，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是 (-1e，0)；
当 x∈(1e，+∞)时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是 (-1e，+∞)
下面讨论f（x）-m=0的解；
所以，当 m＜-1e时，原方程无解；
当 m=-1e或m≥0时，原方程有唯一解；
当 -1e＜m＜0时，原方程有两解
（Ⅲ）原不等式可化为：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2设函数g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）
则g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）
g(x)=lnx+1-ln(k-x)-1=lnxk-x
令g'（x）＞0，则 lnxk-x＞0，∴ xk-x＞1，∴ 2x-kk-x＞0，
ʹ
解得： k2＜x＜k，
令g'（x）＜0，解得：0＜x＜ k2
∴函数g（x）在 (0，k2)上单调递减，在 (k2，k)上单调递增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值为 g(k2)
∴当x∈（0，k）时，总有g（x） ≥g(k2)，
即： f(x)+f(k-x)≥f(k2)+f(k-k2)=2f(k2)
= klnk2=klnk-kln2=f(k)-kln2
令x=a，k-x=b，则有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．
210、
已知函数f（x）= x2+2x+ax
（1）当a= 12，x∈（0，+∝）时，求函数f（x）的最小值
（2）若对于任意x∈[1，+∝），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）用分离常数法，把f（x）分离为 f(x)=x+12x+2，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）先用分离常数法把函数分离，再分 a和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求（f x）的最小值，
即可求得实数a的取值范围．
解答：解：解：（1）当a= 12 时，f（x）= f(x)=x+12x+2．
通过讨论单调性得，f（x）在（0， 2）上为减函数，在[ 2，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（ 2）= 2+2．
（2）函数f（x）=x+ ax+2在（0， a]上是减函数，在[ a，+∞）上是增函数．
若 a＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ a）=2 a+2．
若 a≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．
211、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
212、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
213、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
214、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
215、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．
解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
216、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
217、
已知函数f（x）= x2+2x+ax
（1）当a= 12，x∈（0，+∝）时，求函数f（x）的最小值
（2）若对于任意x∈[1，+∝），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）用分离常数法，把f（x）分离为 f(x)=x+12x+2，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）先用分离常数法把函数分离，再分 a和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求（f x）的最小值，
即可求得实数a的取值范围．
解答：解：解：（1）当a= 12 时，f（x）= f(x)=x+12x+2．
通过讨论单调性得，f（x）在（0， 2）上为减函数，在[ 2，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（ 2）= 2+2．
（2）函数f（x）=x+ ax+2在（0， a]上是减函数，在[ a，+∞）上是增函数．
若 a＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ a）=2 a+2．
若 a≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．
218、
已知向量 x→=（1，t-3 ）， y→=（-k，t） （其中实数k和t不同时为零），
2
当|t|＜2时，有 x→⊥ y→，当|t|＞2时，有 x→∥ y→．
（1）求函数关系式k=f （t ）；
（2）求函数f （t ）的单调递减区间；
（3）求函数f （t ）的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；平行向量与共线向量；
数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：（1）利用向量垂直的充要条件及向量共线的充要条件列出关于k，t的方程，分离出k即为函数关系式
k=f （t ）；
（2）分段求出函数的导函数，求出导函数小于0的x的范围，写出区间形式即得到函数f （t ）的单调递减区
间．
（3）利用（2）求出函数的极值．再求出区间的两个端点的函数值，选出最值．
解答：解：（1）当|t|＜2时，由 x→⊥y→得： x→•y→=-k+（t2-3）t=0，
得k=f（t）=t3-3t（|t|＜2）
当|t|＞2时，由 x→∥y→得：k= -tt2-3
所以k=f（t）= {t3-3t当-2≤t≤2时t3-t2当t＜-2或t＞2时（5分）
（2）当|t|＜2时，f′（t）=3t2-3，由f′（t）＜0，得3t2-3＜0
解得-1＜t＜1，
当|t|＞2时，f′（t）= (3-t2)-t(-2t)(3-t2)2= 3+t2(3-t2)2＞0∴函数f（t）的单调递减区间是（-1，1）．（4分）
（3）当|t|＜2时，由f′（t）=3t2-3=0得t=1或t=-1
∵1＜|t|＜2时，f′（t）＞0
∴f（t） =f（-1）=2，f（t） =f（1）=-2
极大值 极小值
又f（2）=8-6=2，f（-2）=-8+6=-2
当t＞2时，f（t）= -tt2-3＜0，
又由f′（t）＞0知f（t）单调递增，∴f（t）＞f（2）=-2，
即当t＞2时，-2＜f（t）＜0，
同理可求，当t＜-2时，有0＜f（t）＜2，
综合上述得，当t=-1或t=2时，f（t）取最大值2
当t=1或t=-2时，f（t）取最小值-2（5分）
219、
已知函数f （x）=2x-3（2+a）x+6（1+a）x+1（a∈R）．
3 2 2 2
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导数，再由函数f（ x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的
根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f（ x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故
函数f（ x）在区间[0，2]上的最大值是（f 1），（f 2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
- 63≤a≤ 63，
所以a的取值范围是- 63≤a≤ 63．（15分）
220、
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为 -23，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
221、
设函数f（x）=1-e ．
-x
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥ xx+1；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ xax+1，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：综合题．
分析：（1）将函数（f x）的解析式代入（f x）≥ xx+1整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex-x-1，然后根据其导
函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数（f x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直
接得到（f x）≤ xax+1不成立；当a≥0时，令h（x）=ax（f x）+（f x）-x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函
数判断单调性并求出最值，求a的范围．
解答：解：（1）当x＞-1时，f（x）≥ xx+1当且仅当ex≥1+x
令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x
所以当x＞-1时，f（x）≥ xx+1
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞- 1a，则 xax+1＜0，f（x）≤ xax+1不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤ xax+1当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤ 12时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤ xax+1
（ii）当a＞ 12时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜ 2a-1a时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞ xax+1
综上，a的取值范围是[0， 12]
222、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
223、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
224、
已知函数f（x）=x+ax+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
3 2
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）先根据函数（f x）的图象在点P（1，（f 1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大
于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．
解答：解：（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，
得a+b=-1
又f'（1）=-3 2a=-6故f（x）=x3-3x2+2
f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，
⇒
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2）
（2）当0＜t≤2时，f（x） =f（0）=2，f（x） =f（t）=t3-3t2+2
max min
当2＜t≤3时，f（x） =f（0）=f（3）=2，f（x） +2=f（2）=-2
max min
当t＞3时，f（x） =f（t）=t3-3t2+2，f（x） =f（2）=-2
max min
225、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
226、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
227、已知函数f（x）= x2+2x+ax
（1）当a= 12，x∈（0，+∝）时，求函数f（x）的最小值
（2）若对于任意x∈[1，+∝），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）用分离常数法，把f（x）分离为 f(x)=x+12x+2，再利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）先用分离常数法把函数分离，再分 a和1的大小进行讨论，并利用函数的单调性来求（f x）的最小值，
即可求得实数a的取值范围．
解答：解：解：（1）当a= 12 时，f（x）= f(x)=x+12x+2．
通过讨论单调性得，f（x）在（0， 2）上为减函数，在[ 2，+∞）上为增函数．
∴f（x）min=f（ 2）= 2+2．
（2）函数f（x）=x+ ax+2在（0， a]上是减函数，在[ a，+∞）上是增函数．
若 a＞1，即a＞1时，f（x）在区间[1，+∞）上先减后增，f（x）min=f（ a）=2 a+2．
若 a≤1，即0＜a≤1时，
f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，说明a+3＞0，得a＞-3
求实数a的取值范围（-3，+∞）．
228、
已知向量 x→=（1，t-3 ）， y→=（-k，t） （其中实数k和t不同时为零），
2
当|t|＜2时，有 x→⊥ y→，当|t|＞2时，有 x→∥ y→．
（1）求函数关系式k=f （t ）；
（2）求函数f （t ）的单调递减区间；
（3）求函数f （t ）的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；平行向量与共线向量；
数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：（1）利用向量垂直的充要条件及向量共线的充要条件列出关于k，t的方程，分离出k即为函数关系式
k=f （t ）；
（2）分段求出函数的导函数，求出导函数小于0的x的范围，写出区间形式即得到函数f （t ）的单调递减区
间．
（3）利用（2）求出函数的极值．再求出区间的两个端点的函数值，选出最值．
解答：解：（1）当|t|＜2时，由 x→⊥y→得： x→•y→=-k+（t2-3）t=0，
得k=f（t）=t3-3t（|t|＜2）
当|t|＞2时，由 x→∥y→得：k= -tt2-3
所以k=f（t）= {t3-3t当-2≤t≤2时t3-t2当t＜-2或t＞2时（5分）
（2）当|t|＜2时，f′（t）=3t2-3，由f′（t）＜0，得3t2-3＜0
解得-1＜t＜1，
当|t|＞2时，f′（t）= (3-t2)-t(-2t)(3-t2)2= 3+t2(3-t2)2＞0
∴函数f（t）的单调递减区间是（-1，1）．（4分）
（3）当|t|＜2时，由f′（t）=3t2-3=0得t=1或t=-1
∵1＜|t|＜2时，f′（t）＞0
∴f（t） =f（-1）=2，f（t） =f（1）=-2
极大值 极小值又f（2）=8-6=2，f（-2）=-8+6=-2
当t＞2时，f（t）= -tt2-3＜0，
又由f′（t）＞0知f（t）单调递增，∴f（t）＞f（2）=-2，
即当t＞2时，-2＜f（t）＜0，
同理可求，当t＜-2时，有0＜f（t）＜2，
综合上述得，当t=-1或t=2时，f（t）取最大值2
当t=1或t=-2时，f（t）取最小值-2（5分）
229、
已知函数f （x）=2x-3（2+a）x+6（1+a）x+1（a∈R）．
3 2 2 2
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导数，再由函数f（ x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的
根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f（ x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故
函数f（ x）在区间[0，2]上的最大值是（f 1），（f 2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
- 63≤a≤ 63，
所以a的取值范围是- 63≤a≤ 63．（15分）
230、
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为 -23，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
231、
已知函数f（x）=x-3x．
3 2
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈[-4，3]时，求f（x）的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数小于0，解出不等式，得到函数的单调递减区
间．
（2）根据上一问做出的函数的单调区间，得到（f x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减，故（f x）在[-4，3]上的
最大值为f（0）和f（3）中的较大者．
解答：解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2．
∴f'（x）=3x2-6x＜0得，0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由（1）知，f（x）在[-4，0]，[2，3]递增，在（0，2）递减
故f（x）在[-4，3]上的最大值为max{f（0），f（3）}=max{0，0}=0
232、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
233、
求 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：由已知中 f(x)=13x3-4x+4的解析式，求出函数的导函数，进而判断出函数在区间[-1，3]的单调性，进
而分析出最值．
解答：解：∵ f(x)=13x3-4x+4
∴f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，x∈[-1，3]
可得x=2
∵当x∈[-1，2）时，f′（x）＜0恒成立；
当x∈（2，3]时，f′（x）＞0恒成立；
故当x=2时，函数f（x）有极（最）小值- 43
又∵f（-1）= 233，f（3）=1
故 f(x)=13x3-4x+4在区间[-1，3]的最小值为- 43，最大值为 233
234、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
235、
已知向量 x→=（1，t-3 ）， y→=（-k，t） （其中实数k和t不同时为零），
2
当|t|＜2时，有 x→⊥ y→，当|t|＞2时，有 x→∥ y→．
（1）求函数关系式k=f （t ）；
（2）求函数f （t ）的单调递减区间；
（3）求函数f （t ）的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；平行向量与共线向量；
数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：（1）利用向量垂直的充要条件及向量共线的充要条件列出关于k，t的方程，分离出k即为函数关系式
k=f （t ）；
（2）分段求出函数的导函数，求出导函数小于0的x的范围，写出区间形式即得到函数f （t ）的单调递减区间．
（3）利用（2）求出函数的极值．再求出区间的两个端点的函数值，选出最值．
解答：解：（1）当|t|＜2时，由 x→⊥y→得： x→•y→=-k+（t2-3）t=0，
得k=f（t）=t3-3t（|t|＜2）
当|t|＞2时，由 x→∥y→得：k= -tt2-3
所以k=f（t）= {t3-3t当-2≤t≤2时t3-t2当t＜-2或t＞2时（5分）
（2）当|t|＜2时，f′（t）=3t2-3，由f′（t）＜0，得3t2-3＜0
解得-1＜t＜1，
当|t|＞2时，f′（t）= (3-t2)-t(-2t)(3-t2)2= 3+t2(3-t2)2＞0
∴函数f（t）的单调递减区间是（-1，1）．（4分）
（3）当|t|＜2时，由f′（t）=3t2-3=0得t=1或t=-1
∵1＜|t|＜2时，f′（t）＞0
∴f（t） =f（-1）=2，f（t） =f（1）=-2
极大值 极小值
又f（2）=8-6=2，f（-2）=-8+6=-2
当t＞2时，f（t）= -tt2-3＜0，
又由f′（t）＞0知f（t）单调递增，∴f（t）＞f（2）=-2，
即当t＞2时，-2＜f（t）＜0，
同理可求，当t＜-2时，有0＜f（t）＜2，
综合上述得，当t=-1或t=2时，f（t）取最大值2
当t=1或t=-2时，f（t）取最小值-2（5分）
236、
已知函数f （x）=2x-3（2+a）x+6（1+a）x+1（a∈R）．
3 2 2 2
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导数，再由函数f（ x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的
根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f（ x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故
函数f（ x）在区间[0，2]上的最大值是（f 1），（f 2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
- 63≤a≤ 63，
所以a的取值范围是- 63≤a≤ 63．（15分）
237、已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为 -23，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
238、
已知函数 f(x)=ln(2+3x)-32x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数 x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，
求实数a的取值范围；（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数，令导函数为0求出两个根，判断出根两边的导数的符号，求出函数的极值即最值．
（II）分离出参数a，构造两个新函数，通过求导数，判断出函数的单调性，求出函数的最值，求出a的范围．
（III）分离出参数b，构造函数，通过求导数求出函数的极值，求出参数b的范围．
解答：解：（I） f(x)=32+3x-3x=-3(x+1)(3x-1)3x+2，令f'（x）=0，得 x=13或x=-1（舍）
当 0≤x＜13时，f（' x）＞0，（f x）单调递增；当 13＜x≤1时，f（' x）＜0，（f x）单调递减，∴ f(13)=ln3-16是
ʹ
函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞ -ln32+3x对 x∈[16，12]恒成立
若 ln32+3x＞0即 x∈[16，13)恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得 a＞lnx-ln32+3x或 a＜lnx+ln32+3x
设 h(x)=lnx-ln32+3x=ln2x+3x23； g(x)=lnx+ln32+3x=ln32+3x
依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在 x∈[13，12]恒成立
∵ g′(x)=2x(2+3x)＞0， h′(x)=2+6x2x+3x2＞0
∴g（x），h（x）都在 [13，12]上递增
∴ a＞h(12)或a＜g(13)
即a＞ln712或a＜ln13
（3）由f（x）=-2x+b知 ln(2+3x)-32x2+2x-b=0，
令 (x)=ln(2+3x)-32x2+2x-b，则 (x)=32+3x-3x+2=7-9x22+3x
当 x∈[0，73]时，（' x）＞0，于是 （x）在 [0，73]上递增；当 x∈[73，1]时，（' x）＜0，于是 （x）在 [7
ϕ ϕʹ
3，1]上递减，而 (73)＞ (0)， (73)＞ (1)∴（f x）=-2x+b即 （x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价
ϕ ϕ ϕ ϕ
于 { (0)=ln2-b≤0 (73)ln(2+7)-76+273-b＞0 (1)=ln5+12-b≤0，解得 ln5+12≤b＜ln(2+7)-76+273
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
239、
已知a∈R，函数 f(x)=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e+x（其中e为自然对数的底
x
数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直？若
0 0
存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）讨论满足f（′ x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将（f x）的各极值与其端点的
函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（2）将曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直转化成方程g（' x）=0有实数解，只需研究导函数的最小
0 0
值即可．
解答：解：（1）∵ f(x)=ax+lnx-1，
∴ f(x)=-ax2+1x=x-ax2
令f'（x）=0，得x=a．
ʹ
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值 ae．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为 ae．
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1= exx+(lnx-1)ex+1=(1x+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，当a=1时， f(x)=1x+lnx-1．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即 1x+lnx-1≥0．（10分）
当x∈（0，e]， ex0＞0， 1x0+lnx0-1≥0，
0
∴ g(x0)=(1x0+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x）=0有实数解．（13分）
ʹ 0 0
而g（' x）＞0，即方程g（' x）=0无实数解．、故不存在x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴
0 0 0 0
垂直．
240、
设函数f（x）= 13x-mx+（m-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点
3 2 2
0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数
m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：本题利用导数来研究恒成立问题．先求出（f x）的导数，根据f（′ x）＞0求得的区间是单调增区间，f（′ x）
＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数（f x）的零点分布问题，最后转化为一个
一元二次方程的根的分布问题．
解答：解：f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．
当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数．
因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）= 13x[x2-3mx+3（m2-4）]，
所以 {(3m)2-12(m2-4)＞03(m2-4)≠0
解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．
当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．
此时f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不合，故舍去；
当m∈（-2，2）时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1（舍去）．
综上可知，m的取值范围是{-1}．
241、已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有$f（x）≤f'（x）+\frac{{{x^2}+ax+{a^2}+1}}{a}
•{e^{ax}}$成立，x的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2
只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，基本不等式，还有变量分离，属于基础题．
242、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为$y=3240（-{x^2}+2x+\frac{5}{3}）$，则当x为何
值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
243、
已知函数f （x）=2x-3（2+a）x+6（1+a）x+1（a∈R）．
3 2 2 2
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导数，再由函数f（ x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的
根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f（ x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故
函数f（ x）在区间[0，2]上的最大值是（f 1），（f 2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
- 63≤a≤ 63，
所以a的取值范围是- 63≤a≤ 63．（15分）
244、已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx$的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为$-\frac{2}{3}$，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
245、
已知a∈R，函数$f（x）=\frac{a}{x}+lnx-1$，g（x）=（lnx-1）e+x（其中e为自然
x
对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直？若
0 0
存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
0显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）讨论满足f（′ x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将（f x）的各极值与其端点的
函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（2）将曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直转化成方程g（' x）=0有实数解，只需研究导函数的最小
0 0
值即可．
解答：解：（1）∵ f(x)=ax+lnx-1，
∴ f(x)=-ax2+1x=x-ax2
令f'（x）=0，得x=a．
ʹ
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna
③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值 ae．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为 ae．
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1= exx+(lnx-1)ex+1=(1x+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，当a=1时， f(x)=1x+lnx-1．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即 1x+lnx-1≥0．（10分）
当x∈（0，e]， ex0＞0， 1x0+lnx0-1≥0，
0
∴ g(x0)=(1x0+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x）=0有实数解．（13分）
ʹ 0 0
而g（' x）＞0，即方程g（' x）=0无实数解．、故不存在x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴
0 0 0 0
垂直．
246、
设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x-mx+（m-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相
3 2 2
同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成
立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：本题利用导数来研究恒成立问题．先求出（f x）的导数，根据f（′ x）＞0求得的区间是单调增区间，f（′ x）
＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数（f x）的零点分布问题，最后转化为一个
一元二次方程的根的分布问题．
解答：解：f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．
当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数．
因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）= 13x[x2-3mx+3（m2-4）]，
所以 {(3m)2-12(m2-4)＞03(m2-4)≠0
解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．
当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．此时f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不合，故舍去；
当m∈（-2，2）时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1（舍去）．
综上可知，m的取值范围是{-1}．
247、
已知函数f（x）=ax-6ax+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值
3 2
3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明
理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的单调性．
专题：计算题．
分析：要求是否存在a、b使（f x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，分两种情况a＞0，a＜0讨论函数的增
减性利用导数求闭区间上函数的最值的方法得出a的值即可．
解答：解：a≠0时，f′（x）=3ax2-12ax=3a（x2-4x）
令f′（x）=0，得x=0，或x=4 [-1，2]（舍）
①a＞0时，如下表
∉
∴当x=0时，f（x）取得最大值，∴b=3；
②a＜0时，如下表
∴当x=0时，f（x）取得最小值，∴b=-29
又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）
∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2，
综上：a=2，b=3或a=-2，b=-29．
248、函数f（x）=x+ax+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为
3 2
y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）由（f x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数（f x）在x=-2时有极值即可
列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f（' x），通过f（' x）＞0，及f（' x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故 {3+2a+b=3a+b+c-2=1即 {2a+b=0(1)a+b+c=3(2)
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x） =f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4
极大
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算
能力，属于基础题．
249、
已知定义在R上的函数f（x）=ax-3x，其中a为大于零的常数．
3 2
（1）当$a=\frac{1}{3}$时，令h（x）=f′（x）+6x，求证：当x∈（0，+∞）时，h（x）
≥2elnx（e为自然对数的底数．）
（2）若函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）要证当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx即证f（′ x）+6x-2elnx≥0，令F（x）=f（′ x）+6x-2elnx=x2-2elnx
即证明F（x）的最小值≥0即可
（2）要求函数g（x）=（f x）+f（' x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的
函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式
解答：解：（1）因为 f(x)=13x3-3x2，所以f'（x）=x2-6x
所以h（x）=f'（x）+6x=x2，令F（x）=x2-2elnx，（x＞0）∴ F(x)=2x-2ex=2(x-e)(x+e)x
所以 x∈(0，e]，F(x)≤0；x∈[e，+∞)，F(x)≥0
ʹ
所以当 x=e时，F（x）取得极小值， F(e)为F（x）在（0，+∞）上的最小值
ʹ ʹ
因为 F(e)=(e)2-2elne=0
所以 F(x)=x2-2elnx≥F(e)=0，即x2≥2elnx（2）g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x，x∈[0，2]
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6（*），令g'（x）=0有△=36a2+36＞0
设方程（*）的两根为x，x 则， x1x2=-2a＜0设x＜0＜x
1 2 1 2
当0＜x＜2时，g（x）为极小值，所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
2 2
当x≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（0），所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
2
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24解得 a≤65，所以 a∈(0，65]
250、
求函数y=-x+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．
解答：解：y=-（x-2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2
结合函数的图象可得，当x=2时，y =2；
max
当x=0时，y =-2
min
故最大值是2，最小值是-2．
251、
已知函数f（x）=x•e ，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
2 ax
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有 f(x)≤f(x)+x2+ax+a2+1a•eax成立，x的取值范
围．
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0， x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+x2+ax+a2+1aeax恒成立，即 x2≤2x+ax2+x2
+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到a+1a≥x2-3xx2+1(a＞0)，求出 a+1a(a＞0)的最小值，
从而得到 x2-3xx2+1≤2即可
解答：解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0 x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：
⇒
∴x∈[-1，1]时，f （x）=e，f （x）=0
max min
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+ x2+ax+a2+1aeax恒成立，
即x2≤2x+ax2+ x2+ax+a2+1a对任意a＞0恒成立．
(a+1a)(x2+1)≥x2-3x，a+ 1a≥x2-3xx2+1（a＞0）
又∵a＞0∴a+ 1a≥2a•1a=2只需 x2-3xx2+1≤2 x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．
⇒
252、
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当
增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高
的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的
投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则
投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为 y=3240(-x2+2x+53)，则当x为何值时，本年度
的年利润最大？最大利润为多少？
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量
可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．
（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数
为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得 0＜x＜56
（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x2+2x+ 53）=3240×（0.9x3-4.8x2+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x2-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由 f(x)=0，解得x=59或x=3，
当 x∈(0，59)时，f(x)＞0，f(x)是增函数；当 x∈(59，1)时，f(x)＜0，f(x)是减函数．
ʹ
∴当 x=59时， f(x)取极大值f(59)=20000万元，
ʹ ʹ
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当 x=59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．
253、
已知函数f （x）=2x-3（2+a）x+6（1+a）x+1（a∈R）．
3 2 2 2
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求函数的导数，再由函数f（ x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a2）=0的
根相等，即可求得a的值；（II）由（I）知函数f（ x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a2]上是减函数，在区间[1+a2，2]上是增函数，故
函数f（ x）在区间[0，2]上的最大值是（f 1），（f 2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
- 63≤a≤ 63，
所以a的取值范围是- 63≤a≤ 63．（15分）
254、
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为 -23，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
255、
已知a∈R，函数 f(x)=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e+x（其中e为自然对数的底
x
数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直？若
0 0
存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）讨论满足f（′ x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将（f x）的各极值与其端点的
函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（2）将曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直转化成方程g（' x）=0有实数解，只需研究导函数的最小
0 0
值即可．
解答：解：（1）∵ f(x)=ax+lnx-1，
∴ f(x)=-ax2+1x=x-ax2
令f'（x）=0，得x=a．
ʹ
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna
③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值 ae．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为 ae．
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1= exx+(lnx-1)ex+1=(1x+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，当a=1时， f(x)=1x+lnx-1．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即 1x+lnx-1≥0．（10分）
当x∈（0，e]， ex0＞0， 1x0+lnx0-1≥0，
0
∴ g(x0)=(1x0+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x）=0有实数解．（13分）
ʹ 0 0
而g（' x）＞0，即方程g（' x）=0无实数解．、故不存在x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x 处的切线与y轴
0 0 0 0
垂直．
256、设函数f（x）= 13x-mx+（m-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点
3 2 2
0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数
m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：本题利用导数来研究恒成立问题．先求出（f x）的导数，根据f（′ x）＞0求得的区间是单调增区间，f（′ x）
＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数（f x）的零点分布问题，最后转化为一个
一元二次方程的根的分布问题．
解答：解：f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．
当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数．
因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）= 13x[x2-3mx+3（m2-4）]，
所以 {(3m)2-12(m2-4)＞03(m2-4)≠0
解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．
当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．
此时f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不合，故舍去；
当m∈（-2，2）时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1（舍去）．
综上可知，m的取值范围是{-1}．
257、
已知函数f（x）=ax-6ax+b，问是否存在实数a、b使f（x）在[-1，2]上取得最大值
3 2
3，最小值-29，若存在，求出a、b的值．并指出函数的单调区间．若不存在，请说明
理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的单调性．
专题：计算题．
分析：要求是否存在a、b使（f x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，分两种情况a＞0，a＜0讨论函数的增
减性利用导数求闭区间上函数的最值的方法得出a的值即可．
解答：解：a≠0时，f′（x）=3ax2-12ax=3a（x2-4x）
令f′（x）=0，得x=0，或x=4 [-1，2]（舍）
①a＞0时，如下表
∉∴当x=0时，f（x）取得最大值，∴b=3；
②a＜0时，如下表
∴当x=0时，f（x）取得最小值，∴b=-29
又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）
∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2，
综上：a=2，b=3或a=-2，b=-29．
258、
函数f（x）=x+ax+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为
3 2
y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）由（f x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数（f x）在x=-2时有极值即可
列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f（' x），通过f（' x）＞0，及f（' x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故 {3+2a+b=3a+b+c-2=1即 {2a+b=0(1)a+b+c=3(2)
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x） =f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4
极大
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．259、
已知定义在R上的函数f（x）=ax-3x，其中a为大于零的常数．
3 2
（1）当 a=13时，令h（x）=f′（x）+6x，求证：当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx（e
为自然对数的底数．）
（2）若函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）要证当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx即证f（′ x）+6x-2elnx≥0，令F（x）=f（′ x）+6x-2elnx=x2-2elnx
即证明F（x）的最小值≥0即可
（2）要求函数g（x）=（f x）+f（' x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的
函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式
解答：解：（1）因为 f(x)=13x3-3x2，所以f'（x）=x2-6x
所以h（x）=f'（x）+6x=x2，令F（x）=x2-2elnx，（x＞0）∴ F(x)=2x-2ex=2(x-e)(x+e)x
所以 x∈(0，e]，F(x)≤0；x∈[e，+∞)，F(x)≥0
ʹ
所以当 x=e时，F（x）取得极小值， F(e)为F（x）在（0，+∞）上的最小值
ʹ ʹ
因为 F(e)=(e)2-2elne=0
所以 F(x)=x2-2elnx≥F(e)=0，即x2≥2elnx
（2）g（x）=ax3+（3a-3）x2-6x，x∈[0，2]
g'（x）=3ax2+2（3a-3）x-6（*），令g'（x）=0有△=36a2+36＞0
设方程（*）的两根为x，x 则， x1x2=-2a＜0设x＜0＜x
1 2 1 2
当0＜x＜2时，g（x）为极小值，所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
2 2
当x≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（0），所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
2
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24解得 a≤65，所以 a∈(0，65]
260、
求函数y=-x+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．
解答：解：y=-（x-2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2
结合函数的图象可得，当x=2时，y =2；
max
当x=0时，y =-2
min
故最大值是2，最小值是-2．
261、
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为 -23，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x∈
0
（-1，2），使f（x）=k．
′
0
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出
另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程
求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f′（x）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．
0
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+2ax+b，由题设知f′（-1）=0
0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即 a≤-12时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴ f(x)min=f(2)=8a+23=-23，
解得 a=-16，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即 -12＜a＜1时，
∴ f(x)min=f(1-2a)=13(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=13(1-2a)2(a-2)
∴ 13(1-2a)2(a-2)=-23，化简得a（2a-3）2=0，a=0或 a=32，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ） k=f(2)-f(-1)2-(-1)=3a，即证x2+2ax+b=3a
0 0
即证方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x2+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a2+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x2+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x∈（-1，2），使f'（x）=k．
0 0
262、
设函数f（x）= 13x-mx+（m-4）x，x∈R．已知函数f（x）有三个互不相同的零点
3 2 2
0，α，β，且α＜β．若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求实数
m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
分析：本题利用导数来研究恒成立问题．先求出（f x）的导数，根据f（′ x）＞0求得的区间是单调增区间，f（′ x）
＜0求得的区间是单调减区间，利用单调性结合函数的图象研究函数（f x）的零点分布问题，最后转化为一个
一元二次方程的根的分布问题．
解答：解：f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．
当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；
当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；
当x∈（m+2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数．
因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）= 13x[x2-3mx+3（m2-4）]，
所以 {(3m)2-12(m2-4)＞03(m2-4)≠0解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．
当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．
此时f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不合，故舍去；
当m∈（-2，2）时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
当m∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．
因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．
所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．
因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，
所以m+2=1，即m=-1（舍去）．
综上可知，m的取值范围是{-1}．
263、
函数f（x）=x+ax+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为
3 2
y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：（1）由（f x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数（f x）在x=-2时有极值即可
列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f（' x），通过f（' x）＞0，及f（' x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得f'（x）=3x2+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f'（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故 {3+2a+b=3a+b+c-2=1即 {2a+b=0(1)a+b+c=3(2)
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…（3）
由（1）（2）（3）相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
f（x） =f（-2）=（-2）3+2（-2）2-4（-2）+5=13f（1）=13+2×1-4×1+5=4
极大
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．
264、
求函数y=-x+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
2
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．
解答：解：y=-（x-2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2
结合函数的图象可得，当x=2时，y =2；
max
当x=0时，y =-2
min
故最大值是2，最小值是-2．
265、
已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．
专题：综合题．
分析：（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（2）将（f x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式 a≤lnx+1x对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令 g(x)=lnx
+1x，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小
值即可．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得 x＞1e；令f'（x）＜0，解得 0＜x＜1e．
从而f（x）在 (0，1e)单调递减，在 (1e，+∞)单调递增．
所以，当 x=1e时，f（x）取得最小值 -1e．
（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式 a≤lnx+1x对于x∈[1，+∞）恒成立．
令 g(x)=lnx+1x，
则 g(x)=1x-1x2=1x(1-1x)．
当x＞1时，
ʹ
因为 g(x)=1x(1-1x)＞0，
故g（x）是（1，+∞）上的增函数，
ʹ
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1]．
266、
已知a∈R，函数f（x）=x（x-a）．
2
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点．
专题：综合题．
分析：（1）将a=3代入求出函数f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．
（2）对函数（f x）进行求导然后对a的值进行分析：当a≤0时，f（′ x）＞0，（f x）是区间[1，2]上的增函数进而可
得到最小值；
当a＞0时，根据导函数的正负对函数区间[1，2]上的单调性进行讨论，从而确定最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意f（x）=x2（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）设此最小值为m．， f/(x)=3x2-2ax=3x(x-23a)，x∈(1，2)，
（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a
（2）当a＞0时，
当 x＜0或x＞2a3时，f'（x）＞0，从而f（x）在[ 23a，+∞）上是增函数；
当 0＜x＜2a3时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0， 23a]上是单调减函数
①当 23a≥2，即a≥3时，m=f（2）=8-4a
②当 1≤23a＜2，即 32≤a＜3时， m=f(2a3)=-4a273.
③当 0＜a＜32时，m=f（1）=1-a
综上所述，所求函数的最小值 m={1-a，(a≤32)-4a327，(32＜a＜3)4(2-a)，(a≥3)
267、
函数f（x）=x-6x 的定义域为[-2，t]，设f（-2）=m，f（t）=n，f′（x）是f（x）的导
3 2
数．
（Ⅰ）求证：n≥m；
（Ⅱ）确定t的范围使函数f（x）在[-2，t]上是单调函数；
（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足 f(x0)=n-mt+2；并确定
0
这样的x 的个数．
0
ʹ
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）设h（t）=n-m代入求出得到h（t）≥0得证；
（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，在区间[-2，t]上讨论函数的增减性，得到函数的单调区间；
（Ⅲ）n-m=（t+2）（t-4）2，得到 n-mt+2=(t-4)2，f（′ x）=3x2-12，我们只要证明方程3x2-12x（- t-4）2=0在（-2，t）
内有解即可，设g（x）=3x2-12x（- t-4）2，得到g（-2）•g（t）=-2（t+2）（2 t-4）（t-10）．讨论t的值来决定方程解的
个数即可．
解答：解：（Ⅰ）设h（t）=n-m，则h（t）=t3-6t2+32=（t+2）（t-4）2≥0，所以n≥m．
（Ⅱ）f′（x）=3x2-12，令f′（x）=0，得x=0，x=4．
1 2
当t∈（-2，0）时，x∈[-2，t]时，f（′ x）＞0，f（x）是递增函数；当t=0时，显然f（x）在[-2，0]也是递增函数．
∵x=0是（f x）的一个极值点，∴当t＞0时，函数（f x）在[-2，t]上不是单调函数．∴当t∈（-2，0]时，函数（f x）
在[-2，t]上是单调函数．
（Ⅲ）由（1），知n-m=（t+2）（t-4）2，∴ n-mt+2=(t-4)2．
又∵f′（x）=3x2-12，我们只要证明方程3x2-12x-（t-4）2=0在（-2，t）内有解即可．
记g（x）=3x2-12x（- t-4）2，则g（-2）=36（- t-4）2=（- t+2）（t-10），g（t）=3t2-12t（- t-4）2=2（t+2）（t-4），g（-2）=36-
（t-4）2＞0，g（t）=3t2-12t-（t-4）2＞0，
∴g（-2）•g（t）=-2（t+2）2（t-4）（t-10）．
①当t∈（-2，4）∪（10，+∞）时，g（-2）•g（t）=-2（t+2）（2 t-4）（t-10）＜0，方程（*）在（-2，t）内有且只有一解；
②当t∈（4，10）时，g（-2）=（- t+2）（t-10）＞0，g（t）=2（t+2）（t-4）＞0，又g（2）=-12（- t-4）2＜0，∴方程（*）在
（-2，2），（2，t）内分别各有一解，方程（*）在（-2，t）内两解；
③当t=4时，方程g（x）=3x2-12x=0在（-2，4）内有且只有一解x=0；
④当t=10时，方程g（x）=3x2-12x-36=3（x+2）（x-6）=0在（-2，10）内有且只有一解x=6．
综上，对于任意的t＞-2，总存在x∈（-2，t），满足 f(x0)=n-mt+2．
0
当t∈（-2，4]∪[10，+∞）时，满足 f(x0)=n-mt+2，x∈（-2，t）的x 有且只有一个；
0ʹ 0
当t∈（4，10）时，满足 f(x0)=n-mt+2，x∈（-2，t）的x 恰有两个．
ʹ 0 0
ʹ
268、设a∈R，函数f（x）= e-x2（ax+a+1），其中e是自然对数的底数．
2
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题．
分析：（1）对函数（f x）进行求导然后整理成f（′ x）= 12e-（x -ax2+2ax-a-1）的形式，因为 12e-x＞0，根据导函
数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况来确
定原函数的单调性．
（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到
最小值．
解答：解：（1）由已知f′（x）=- 12e-x（ax2+a+1）+ 12e-x•2ax
= 12e-x（-ax2+2ax-a-1）．
因为 12e-x＞0，以下讨论函数g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况：
当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a2-4（a2+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，
即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＜0时，g（x）=0有两个根x = a±-aa，并且 a+-aa＜ a--aa，
1，2
所以在区间（-∞， a+-aa）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；
在区间（ a+-aa， a--aa）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．
在区间（ a--aa，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．
综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；
当a＜0时，f（x）在（-∞， a+-aa）上单调递增，在（ a+-aa， a--aa）上单调递减，
在（ a--aa，+∞）上单调递增．
（2）当-1＜a＜0时， a+-aa=1+ -aa＜1， a--aa=1+ 1-a＞2，
所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）= 5a+12e2．
269、
设函数f（x）=e，g（x）=x+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
x 2
（Ⅰ）若函数 y=f(2x)e-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x，同时满足：（i）x
0 0
是函数h（x）的零点；（ii）h′（x）=0．试确定x、n的值，并证明函数h（x）在R上
0 0
为增函数．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）求出y的表达式，利用求导数方法研究其单调性，确定最小值，令其为0，解方程求出参数值．
（Ⅱ）：（i）x 是函数h（x）的零点；（ii）h（′ x）=0这两个条件给出了两个方程，利用此两方程即可解出x、n的
0 0 0
值，由此求出函数h（x）的解析式，再利用导数为正，证明其是增函数．
解答：解（Ⅰ）∵ y=f(2x)e-ag(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y=2e2x-1-2a，
当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）
ʹ ʹ
此时由2e2x-1-2a=0得：x= 12（lna+1），且x＞ 12（lna+1）时，y'＞0
x＜x＞ 12（lna+1）时，y'＜0，
∴x∈（-∞， 12（lna+1））时，函数为减函数，
x∈（ 12（lna+1），+∞）时，函数为增函数，∴ ymin=a-2a•12(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)
（Ⅱ）∵h（x）=ex+2n-n（x2+4x+5），∴h'（x）=ex+2n-2nx-4n，
∵ {_h(x0)=0h(x0)=0，{_ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)ex0+2n=2nx0+4n(1)，
∴nx2+4nx+5n=2nx+4n由（1）知n≠0，∴2x+4=x2+4x+5，∴（x+1）2=0∴x=-1（9分）
0 ʹ 0 0 0 0 0 0 0
代入（1）有e2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数 y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且当
x=12(lna+1)=12取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=12，∴x0=-1，n=12(11分)∵ h(x)=ex+1-
12(x2+4x+5)，∴设R(x)=h(x)=ex+1-x-2，R'（x）=ex+1-1，（12分）
∴x≥-1时，R（' x）≥0，x＜-1时，R（' x）＜0x=-1时，R（x） =0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）
ʹ min
=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）
270、
已知定义在R上的函数f（x）=-2x+bx+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x 是奇函
3 2 2
数，函数f（x）在x=-1处取极值．
求（I）b的值；
（II）函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；函数在某点取得极值的条件．
分析：（I）由函数F（x）=f（x）-3x2是一个奇函数，得到F（-x）=-F（x）构建关于b的方程求解．
（II）由函数f（x）在x=1处取极大值，可得陇望蜀f′（-1）=0和f（-1）=-6-6+c=0，从而得到了f（x）
=-2x3+3x2+12x，再导数求得最值．
解答：解：（I）∵函数F（x）=f（x）-3x2是一个奇函数，
∴F（-x）=-F（x），化简计算得∴b=3；（4分）
（II）∵函数f（x）在x=1处取极大值，
∴f′（-1）=0（5分）f（x）=-2x3+3x2+cx，f′（x）=-6x2+6x+c（6分）
∴f（-1）=-6-6+c=0，c=12（8分）
∴f（x）=-2x3+3x2+12x，f′（x）=-6x2+6x+12=-6（x2-x-2）
令f′（x）=0，得x=-1，x=2，（9分）
1 2
列表
（11分）
∴当x=-3时，f（x） =45．（13分）
max
271、
已知f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）已知 21x＞xa对任意x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有 lnx＞1ex-2ex成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区
间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明 xlnx＞xex-2e(x∈(0，+∞))．由（1）可知（f x）=xlnx（x∈（0，+∞））
的最小值是 -1e，构造新函数，得到结论．
解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，…（1分）
当 x∈(0，1e)，f(x)＜0，f(x)单调递减，当 x∈(1e，+∞)，f(x)＞0，f(x)单调递增 …（2分）
①当 0＜t＜1e时， t+2＞1ef(x)min=f(1e)=-1e； …（3分）
ʹ ʹ
②当 1e≤t＜t+2，即 t≥1e时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
f（x） =f（t）=tlnt； …（4分）
min
所以 f(x)min={-1e，0＜t＜1e.tlnt，t≥1e…（5分）
（2）在 21x＞xa两边取对数得 1xln2＞alnx，…（6分）
由于0＜x＜1，所以 aln2＞1xlnx，…（7分）
令 g(x)=1xlnx，由（1）可知，当x∈（0，1）时， g(x)≤gmax(x)≤g(1e)=-e（8分）
所以 aln2＞-e，即a＞-eln2． …（9分）
（3）问题等价于证明 xlnx＞xex-2e(x∈(0，+∞))，…（10分）
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是 -1e，当且仅当 x=1e时取到，（11分）
设 m(x)=xex-2e(x∈(0，+∞))，则 m(x)=1-xex，…（12分）
易知 m(x)max=m(1)=-1e，当且仅当x=1时取到，…（13分）
ʹ
从而对一切x∈（0，+∞），都有 lnx＞1ex-2ex成立． …（14分）
272、
已知函数f（x）=x-3x，求函数f（x）在 [-3，32]上的最大值和最小值．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，进而可得函数的单调区间，由此可求函数的极值，再求出端点函数值，进而可求函数在区
间上的最值．
解答：解：f'（x）=3（x+1）（x-1），
当x∈[-3，-1）或 x∈(1，32]时，f'（x）＞0，∴ [-3，-1]，[1，32]为函数f（x）的单调增区间
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，∴[-1，1]为函数f（x）的单调减区间
又因为 f(-3)=-18，f(-1)=2，f(1)=-2，f(32)=-98，
所以当x=-3时，f（x） =-18
min
当x=-1时，f（x） =2
max
273、
已知：函数f（x）=ax+ bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 52，f（2）
= 174，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， 12）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断
与证明；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（Ⅰ）由函数是奇函数得（f -x）+（f x）=0代入求得c的值，又因为（f 1）= 52，（f 2）= 174，代入得到a与
b的方程，联立求出a、b即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f（′ x），在（0， 12）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x= 12，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax- bx+c+ax+ bx+c=0∴c=0
由f（1）= 52，f（2）= 174，得a+b= 52，2a+ b2= 174解得a=2，b= 12
∴a=2，b= 12，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ 12x，∴f′（x）=2- 12x2
当x∈（0， 12）时，0＜2x2＜ 12， 12x2＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， 12）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2- 12x2=0，x＞0得x= 12
∵当x＞ 12， 12x2＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（ 12，+∞）上为增函数．在（0， 12）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（ 12）=0
274、
已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，
（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a
的值；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数．
专题：综合题．
分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到（f -x）=-（f x），将（f -x）的值代入，求出（f x）在x∈[-e，0）的
解析式．
（2）求出f（′ x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；
根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴（f -x）=-ax+2ln（-x）．∵（f x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为： f(x)={ax-2ln(-x)x∈[-e，0)ax+2lnx，x∈(0，e]
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵ fʹ(x)=a-2x=ax-2x．
①当 2a≤-e，即-2e≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x） =f（-e）=-ae-2=4，解得 a=-6e＜-2e（舍去）
min
②当 2a＞-e，即a＜-2e时，则
x (-e，2a) (2a，0)
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗
∴ f(x)min=f(2a)=2-2ln(-2a)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．
275、设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
276、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
277、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
278、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．279、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
280、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
ʹ由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
281、
已知函数f（x）=x-3x，求函数f（x）在 [-3，32]上的最大值和最小值．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：先求导函数，进而可得函数的单调区间，由此可求函数的极值，再求出端点函数值，进而可求函数在区
间上的最值．
解答：解：f'（x）=3（x+1）（x-1），
当x∈[-3，-1）或 x∈(1，32]时，f'（x）＞0，∴ [-3，-1]，[1，32]为函数f（x）的单调增区间
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，∴[-1，1]为函数f（x）的单调减区间
又因为 f(-3)=-18，f(-1)=2，f(1)=-2，f(32)=-98，
所以当x=-3时，f（x） =-18
min
当x=-1时，f（x） =2
max
282、
已知：函数f（x）=ax+ bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 52，f（2）
= 174，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， 12）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断
与证明；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；待定系数法．分析：（Ⅰ）由函数是奇函数得（f -x）+（f x）=0代入求得c的值，又因为（f 1）= 52，（f 2）= 174，代入得到a与
b的方程，联立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f（′ x），在（0， 12）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x= 12，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax- bx+c+ax+ bx+c=0∴c=0
由f（1）= 52，f（2）= 174，得a+b= 52，2a+ b2= 174解得a=2，b= 12
∴a=2，b= 12，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ 12x，∴f′（x）=2- 12x2
当x∈（0， 12）时，0＜2x2＜ 12， 12x2＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， 12）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2- 12x2=0，x＞0得x= 12
∵当x＞ 12， 12x2＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（ 12，+∞）上为增函数．在（0， 12）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（ 12）=0
283、
已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，
（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a
的值；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数．
专题：综合题．
分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到（f -x）=-（f x），将（f -x）的值代入，求出（f x）在x∈[-e，0）的
解析式．
（2）求出f（′ x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；
根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴（f -x）=-ax+2ln（-x）．∵（f x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为： f(x)={ax-2ln(-x)x∈[-e，0)ax+2lnx，x∈(0，e]
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵ fʹ(x)=a-2x=ax-2x．
①当 2a≤-e，即-2e≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x） =f（-e）=-ae-2=4，解得 a=-6e＜-2e（舍去）
min
②当 2a＞-e，即a＜-2e时，则
x (-e，2a) (2a，0)
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗
∴ f(x)min=f(2a)=2-2ln(-2a)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．284、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
285、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
286、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
287、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
288、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
289、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
290、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
291、
已知：函数f（x）=ax+ bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 52，f（2）
= 174，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， 12）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断
与证明；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（Ⅰ）由函数是奇函数得（f -x）+（f x）=0代入求得c的值，又因为（f 1）= 52，（f 2）= 174，代入得到a与
b的方程，联立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f（′ x），在（0， 12）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x= 12，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax- bx+c+ax+ bx+c=0∴c=0
由f（1）= 52，f（2）= 174，得a+b= 52，2a+ b2= 174解得a=2，b= 12
∴a=2，b= 12，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ 12x，∴f′（x）=2- 12x2
当x∈（0， 12）时，0＜2x2＜ 12， 12x2＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， 12）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2- 12x2=0，x＞0得x= 12
∵当x＞ 12， 12x2＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（ 12，+∞）上为增函数．在（0， 12）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（ 12）=0292、
已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，
（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a
的值；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数．
专题：综合题．
分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到（f -x）=-（f x），将（f -x）的值代入，求出（f x）在x∈[-e，0）的
解析式．
（2）求出f（′ x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；
根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴（f -x）=-ax+2ln（-x）．∵（f x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为： f(x)={ax-2ln(-x)x∈[-e，0)ax+2lnx，x∈(0，e]
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵ fʹ(x)=a-2x=ax-2x．
①当 2a≤-e，即-2e≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x） =f（-e）=-ae-2=4，解得 a=-6e＜-2e（舍去）
min
②当 2a＞-e，即a＜-2e时，则
x (-e，2a) (2a，0)
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗
∴ f(x)min=f(2a)=2-2ln(-2a)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．
点评：解决是否存在这种探索性的题时，一般是假设存在，然后去求，求出则存在，求不出就不存在．
293、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
294、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
295、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
296、设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
297、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
298、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
299、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
300、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
301、
已知：函数f（x）=ax+ bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 52，f（2）
= 174，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， 12）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断
与证明；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（Ⅰ）由函数是奇函数得（f -x）+（f x）=0代入求得c的值，又因为（f 1）= 52，（f 2）= 174，代入得到a与
b的方程，联立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f（′ x），在（0， 12）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x= 12，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax- bx+c+ax+ bx+c=0∴c=0
由f（1）= 52，f（2）= 174，得a+b= 52，2a+ b2= 174解得a=2，b= 12
∴a=2，b= 12，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ 12x，∴f′（x）=2- 12x2
当x∈（0， 12）时，0＜2x2＜ 12， 12x2＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， 12）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2- 12x2=0，x＞0得x= 12
∵当x＞ 12， 12x2＜2，
∴f′（x）＞0，即函数f（x）在区间（ 12，+∞）上为增函数．在（0， 12）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（ 12）=0
302、
已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，
（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a
的值；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数．
专题：综合题．
分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到（f -x）=-（f x），将（f -x）的值代入，求出（f x）在x∈[-e，0）的
解析式．
（2）求出f（′ x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；
根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴（f -x）=-ax+2ln（-x）．∵（f x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为： f(x)={ax-2ln(-x)x∈[-e，0)ax+2lnx，x∈(0，e]
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵ fʹ(x)=a-2x=ax-2x．
①当 2a≤-e，即-2e≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x） =f（-e）=-ae-2=4，解得 a=-6e＜-2e（舍去）
min
②当 2a＞-e，即a＜-2e时，则
x (-e，2a) (2a，0)
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗
∴ f(x)min=f(2a)=2-2ln(-2a)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．
303、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
304、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
305、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）306、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
307、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
308、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
309、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
310、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
311、
已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，
（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a
的值；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数．
专题：综合题．
分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到（f -x）=-（f x），将（f -x）的值代入，求出（f x）在x∈[-e，0）的
解析式．
（2）求出f（′ x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；
根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴（f -x）=-ax+2ln（-x）．∵（f x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为： f(x)={ax-2ln(-x)x∈[-e，0)ax+2lnx，x∈(0，e]
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵ fʹ(x)=a-2x=ax-2x．
①当 2a≤-e，即-2e≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x） =f（-e）=-ae-2=4，解得 a=-6e＜-2e（舍去）
min
②当 2a＞-e，即a＜-2e时，则
x (-e，2a) (2a，0)f'（x） - +
f（x） ↘ ↗
∴ f(x)min=f(2a)=2-2ln(-2a)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．
312、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
313、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
314、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
315、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
316、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
317、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
318、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
319、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
320、已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△ ≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
321、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
⇒
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
322、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
323、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b 的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
324、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
325、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）326、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
327、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
328、已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
329、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x ）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）330、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
331、
设函数f（x）=（1+x）-ln（1+x）+2．
2 2
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若不等式f（x）＞m在 x∈[1e-1，e-1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[1，2]，使不等式 f(x0)＞a+94a+m成立，
0
求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）求出（f x）的导函数，令f（′ x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数（f x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在 x∈[1e-1，e-1]的单调性，进一步求出f（x） ，得到m的范围．
min
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出f =（f 2）=11-ln9，令f 大于g（a）的最大值
max max
求出a的范围
解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)=2(1+x)-2x+1=2x(x+2)x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当 x∈[1e-1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在 [1e-1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x） =f（0）=1-0+2=3
min
∴m＜3…（8分）
（3）设 g(a)=a+94a+m，g′(a)=1-94a2=0 a=32
⇒y=g（a）在 a∈(1，32)上单减，在 a∈(32，2)上单增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴f =f（2）=11-ln9…（12分）
max
又 g(1)=134+m
g(2)=258+m
g（1）＞g（2）
∴ 11-ln9＞134+m
∴ m＜314-ln9…（14分）
332、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．333、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1 ）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
334、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
335、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
336、设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．337、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
338、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
339、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
340、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
ʹ（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
341、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．
342、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）343、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
344、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
maxf （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
345、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
346、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
347、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
348、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
349、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
350、
已知函数f（x）=e-x（e为自然对数的底数）
x
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，求实数a的取值范围；
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
⊆
专题：计算题．
分析：（I）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数（f x）在区间（a，b）内只有一个极
值，那么极小值就是最小值；
（II）根据不等式（f x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，可转化成，对任意的x∈[0，2]，不等式（f x）＞ax恒
成立，将（1+a）x＜ex变形为 a＜exx-1，令g(x)=exx-1，利用导数研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．
⊆
解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f′（x）=ex-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，
解得x＜0．（2分）
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．（5分）
（II）因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，
所以，对任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，（6分）
⊆由f（x）＞ax，得（1+a）x＜ex
当x=0时，上述不等式显然成立，
故只需考虑x∈（0，2]的情况．（7分）
将（1+a）x＜ex变形为 a＜exx-1（8分）
令 g(x)=exx-1，则 g(x)=(x-1)exx2
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．（10分）
ʹ
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而，
所求实数a的取值范围是（-∞，e-1）．（12分）
351、
已知函数f（x）= 13x+ a-22x-2ax-3．
3 2
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：（Ⅰ）当a=1时f（′ x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）令f（′ x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判
断（f x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数，（f -2）=- 83-2+4-3，（f 0）=-3，
有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f（′ x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f（′ x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解
为x＜2或x＞-a，当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，当-a=2时，即a=-2，不等式①的解
为x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2处连续所以f（x）的单调增区间是实数集R．根据导数的意义可以判断函数
的单调性．
解答：解：
（Ⅰ）a=1时，函数解析式为 f(x)=13x3-12x2-2x-3其定义域为R．
f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同样，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上为增函数．在（-1，2）上为减函数．在（2，+∝）上为增函数．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）与f（0）中的较小者．
f（-2）=- 83-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值为f（-2）=- 113．
（Ⅱ）f′（x）=x2+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0． ①
当-a＞2时，即a＜-2，不等式①的解为x＜2或x＞-a，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∝）；
当-a＜2时，即a＞-2，不等式①的解为x＜-a或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（-∝，-a）和（2，+∞）；
当-a=2时，即a=-2，不等式①的解为x∈R，且x≠2，由（f x）在x=2处连续所以（f x）的单调增区间是实数集
R．
综上：
（1）当a＜-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）当a＞-2时，f（x）的单调增区间是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）当a=-2时，f（x）在实数集R上的单调递增．352、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0，我们易可构造一个关于b 的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）
353、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
354、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构
造函数，转化为研究函数的单调性．
355、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
356、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
357、已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
358、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调 ⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，解决函数在区间上的不单调问题，通常转化为函数在区间上
有解且△≠0
359、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
360、
已知函数f（x）=e-x（e为自然对数的底数）
x
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，求实数a的取值范围；
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
⊆
专题：计算题．
分析：（I）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，连续函数（f x）在区间（a，b）内只有一个极
值，那么极小值就是最小值；
（II）根据不等式（f x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，可转化成，对任意的x∈[0，2]，不等式（f x）＞ax恒
成立，将（1+a）x＜ex变形为 a＜exx-1，令g(x)=exx-1，利用导数研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．
⊆
解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f′（x）=ex-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，
解得x＜0．（2分）
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．（5分）
（II）因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2} P，
所以，对任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，（6分）
⊆
由f（x）＞ax，得（1+a）x＜ex当x=0时，上述不等式显然成立，
故只需考虑x∈（0，2]的情况．（7分）
将（1+a）x＜ex变形为 a＜exx-1（8分）
令 g(x)=exx-1，则 g(x)=(x-1)exx2
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．（10分）
ʹ
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而，
所求实数a的取值范围是（-∞，e-1）．（12分）
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及恒成立问题，一般恒成立求参数问题常常将参
数进行分离，转化成研究已知函数在某个区间上的最值问题，考查了划归与转化的思想，属于中档题．
361、
已知函数f（x）=x- 12x2+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值．
3
（1）求b的值；
（2）若当x∈[1，2]时，f（x）＜c 恒成立，求c的取值范围；
2
（3）c为何值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（1）由已知中函数（f x）=x3- 12x2+bx+c，且（f x）在x=1处取得极值，我们求出f（′ x）的解析式，根据
f′（1）=0 ，我们易可构造一个关于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用导数法，我们可以判断出当x∈[1，2]时，函数（f x）的单调性，进而求出（f x）在区间[1，2]的最大值，
根据当x∈[1，2]时，f（x）＜c2恒成立，可以构造一个关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（3）若曲线y=（f x）与x轴仅有一个交点，则y=（f x）的极大值小于0，或y=（f x）的极小值大于0，进而构造关
于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x3- 12x2+bx+c，
∴f′（x）=3x2-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=0 …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2 …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x2-x-2
令f′（x）=0，则x= -23，或x=1 …..（4分）
∵x∈（-∞， -23）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（ -23，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）单调递增 …（5分）
∴在闭区间[-1，2]上，f（x）的最大值为f（2）=2+c＜c2，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1 …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的极大值为f（ -23）= 2227+c，
f（x）的极小值为f（1）=c- 32 …（8分）
∵当f（ -23）＜0，或f（1）＞0时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点 …．（9分）
∴ 2227+c＜0，或c- 32＞0，
即c＜ -2227，或c＞ 32时，
曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点…（10分）362、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
363、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
364、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
365、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
366、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
367、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
368、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
369、
已知函数f（x）=x+ax+bx在 x=-23与x=1处都取得极值．
3 2
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
专题：计算题．
分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即
可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做
出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．
解答：解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（ -23）= 129-43a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a= -12，b=-2
经检验，a= -12，b=-2符合题意
所以，所求的函数解析式为f(x)=x3-12x2-2x（2）由（1）得f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），
列表
x （-2，- 23） - 23 （- 23，1） 1 （1，2）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
且f(-2)=-6，f(-23)=2227，f(1)=-32，f(0)=0所以当x∈[-2，2]时，f(x)max=f(-23)=2227，f(x)min=f(-2)-6
370、
已知函数f（x）=x-2ax，把函数f（x）的图象向左平移一个单位得到函数y=g（x）
2
的图象，且一个（x）是偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函数F（x）在区间[[1，3]上的最大值和最
小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的图象与图象变化；偶函数．
专题：计算题．
分析：（I）利用图象平移的规律得到g（x）的解析式，根据y=f（x）是偶函数，令1-a=0求出a的值．
（II）求出F（x），F（′ x），令导数为0求出两个根，列出x在[1，3]上变化时，F（′ x），F（x）的变化情况表，求出最
值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得g（x）=f（x+1）=x2+2（1-a）x-2a+1． （2分）
∵y=f（x）是偶函数，
∴1-a=0
∴a=1 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x，g（x）=x2-1
∴F（x）=f（x）-[g（x）+1]=x4-2x3（5分）
∴F′（x）=4x3-6x2=2x2（2x-3）（6分）
令2x2（2x-3）=0得x=x=0，x= 32 （8分）
1 2 3
当x在[1，3]上变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表
x 1 (1，32) 32 (32，3) 3
F′（x） - 0 +
F（x） -1 ↘ -2716 ↗ 27
（12分）
∴函数y=F（x）在区间[1，3]上的最大值、最小值分别是27、 -2716． （13分）
371、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
372、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构
造函数，转化为研究函数的单调性．373、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
374、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
375、已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
376、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）377、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
378、
已知函数f（x）=x-2ax，把函数f（x）的图象向左平移一个单位得到函数y=g（x）
2
的图象，且一个（x）是偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函数F（x）在区间[[1，3]上的最大值和最
小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的图象与图象变化；偶函数．
专题：计算题．
分析：（I）利用图象平移的规律得到g（x）的解析式，根据y=f（x）是偶函数，令1-a=0求出a的值．
（II）求出F（x），F（′ x），令导数为0求出两个根，列出x在[1，3]上变化时，F（′ x），F（x）的变化情况表，求出最
值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得g（x）=f（x+1）=x2+2（1-a）x-2a+1． （2分）
∵y=f（x）是偶函数，
∴1-a=0
∴a=1 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x，g（x）=x2-1
∴F（x）=f（x）-[g（x）+1]=x4-2x3（5分）
∴F′（x）=4x3-6x2=2x2（2x-3）（6分）
令2x2（2x-3）=0得x=x=0，x= 32 （8分）
1 2 3
当x在[1，3]上变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表
x 1 (1，32) 32 (32，3) 3F′（x） - 0 +
F（x） -1 ↘ -2716 ↗ 27
（12分）
∴函数y=F（x）在区间[1，3]上的最大值、最小值分别是27、 -2716． （13分）
379、
已知函数f（x）=lnx- ax；
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）由题意：（f x）的定义域为（0，+∞），对函数求导，分别解（f x）′＞0（＜0），从而求函数的增（减）
区间，
（II）令f（′ x）=0 x=-a，分①-a≤1②1＜-a＜e③-a≥e三种情况讨论函数在已知区间上的单调性，确定函数的
最小值．
⇒
解答：解：（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），且 f(x)=1x+ax2=x+ax2．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
ʹ
（Ⅱ）由（1）可知： f(x)=x+ax2
①若a≥-1，则x+a≥0，即f（' x）≥0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为增函数，（f x） =（f 1）=-a（6分）
ʹ min
②若a≤-e，则x+a≤0，即f（' x）≤0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为减函数， f(x)min=f(e)=1-ae（8
分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x） =f（-a）=ln（-a）+1（11分）
min
综上可知：当a≥-1时，f（x） =-a；
min
当a≤-e时， f(x)min=1-ae；
当-e＜a＜-1时，f（x） =ln（-a）+1（12分）
min
380、
已知a∈R， f(x)=x+1-2x，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）= x+1-2x+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）= 12x+1-12x+1x＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x） =h（1）=0
max
（2） t(x)=12x+1-12x+ax（x＞0）
ʹ∵t（x）在（0，1]上是增函数．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即 12x+1-12x+ax≥0在（0，1]上恒成立．
a≥x2x-x2x+1在（0，1]上恒成立．
令h（x）= x2x-x2x+1
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h(x)=2x4x-x+24(x+1)x+1(x＞0)
现只要比较 2x4x与 x+24(x+1)x+1大小，即可判断h'（x）的符号．
ʹ
事实上 2x4x＞x+24(x+1)x+1（ {2(x+1)3＞x(x+2)2x3+2x2+2x+2＞0在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为 h(1)=24
∴ a≥24．
381、
设函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处
3
的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；奇函数；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）先根据其为奇函数得到c=0；再求出导函数，根据其图象在点（1，f（1））处的切线方程是
6x+y+4=0得到f'（1）=3a+b=-6以及f（1）=-10，即可求出a，b的值；
（Ⅱ）先求原函数的导数，根据f（′ x）＞0求得函数的单调增区间，并通过比较极值和端点值的大小即可得到
函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c．解得c=0．…2分
又直线6x+y+4=0的斜率为-6，
所以f'（1）=3a+b=-6．…4分
把x=1代入6x+y+4=0中得f（1）=-10…5分
点（1，-10）在函数f（x）的图象上，则a+b=-10…6分
解得a=2，b=-12．
所以a=2，b=-12，c=0．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3-12x．
所以 fʹ(x)=6x2-12=6(x+2)(x-2)．…8分
列表如下：
x (-∞，-2) -2 (-2，2) 2 (2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…11分
所以函数f（x）的单调增区间是 (-∞，-2)和 (2，+∞)．
因为f（-1）=10， f(2)=-82，f（3）=18，
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是 f(2)=-82．…13分．
382、已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，
则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
383、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
384、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
385、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
386、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
387、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
388、
已知函数f（x）=x-2ax，把函数f（x）的图象向左平移一个单位得到函数y=g（x）
2
的图象，且一个（x）是偶函数．
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-[g（x）+1]，求函数F（x）在区间[[1，3]上的最大值和最
小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的图象与图象变化；偶函数．
专题：计算题．
分析：（I）利用图象平移的规律得到g（x）的解析式，根据y=f（x）是偶函数，令1-a=0求出a的值．
（II）求出F（x），F（′ x），令导数为0求出两个根，列出x在[1，3]上变化时，F（′ x），F（x）的变化情况表，求出最
值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得g（x）=f（x+1）=x2+2（1-a）x-2a+1． （2分）
∵y=f（x）是偶函数，
∴1-a=0
∴a=1 （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x，g（x）=x2-1
∴F（x）=f（x）-[g（x）+1]=x4-2x3（5分）
∴F′（x）=4x3-6x2=2x2（2x-3）（6分）
令2x2（2x-3）=0得x=x=0，x= 32 （8分）
1 2 3
当x在[1，3]上变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表
x 1 (1，32) 32 (32，3) 3
F′（x） - 0 +
F（x） -1 ↘ -2716 ↗ 27
（12分）
∴函数y=F（x）在区间[1，3]上的最大值、最小值分别是27、 -2716． （13分）
389、
已知函数f（x）=lnx- ax；
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）由题意：（f x）的定义域为（0，+∞），对函数求导，分别解（f x）′＞0（＜0），从而求函数的增（减）
区间，
（II）令f（′ x）=0 x=-a，分①-a≤1②1＜-a＜e③-a≥e三种情况讨论函数在已知区间上的单调性，确定函数的
最小值．
⇒
解答：解：（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），且 f(x)=1x+ax2=x+ax2．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
ʹ
（Ⅱ）由（1）可知： f(x)=x+ax2
①若a≥-1，则x+a≥0，即f（' x）≥0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为增函数，（f x） =（f 1）=-a（6分）
ʹ min
②若a≤-e，则x+a≤0，即f（' x）≤0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为减函数， f(x)min=f(e)=1-ae（8
分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x） =f（-a）=ln（-a）+1（11分）
min
综上可知：当a≥-1时，f（x） =-a；
min当a≤-e时， f(x)min=1-ae；
当-e＜a＜-1时，f（x） =ln（-a）+1（12分）
min
390、
已知a∈R， f(x)=x+1-2x，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）= x+1-2x+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）= 12x+1-12x+1x＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x） =h（1）=0
max
（2） t(x)=12x+1-12x+ax（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
ʹ
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即 12x+1-12x+ax≥0在（0，1]上恒成立．
a≥x2x-x2x+1在（0，1]上恒成立．
令h（x）= x2x-x2x+1
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h(x)=2x4x-x+24(x+1)x+1(x＞0)
现只要比较 2x4x与 x+24(x+1)x+1大小，即可判断h'（x）的符号．
ʹ
事实上 2x4x＞x+24(x+1)x+1（ {2(x+1)3＞x(x+2)2x3+2x2+2x+2＞0在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为 h(1)=24
∴ a≥24．
391、
已知函数f（x）= 12x+lnx
2
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∝）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= 23x 图象的下方．
3
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数
的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）= 12x2+lnx -23x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0
可证．
解答：解：（1）由f（x）= 12x2+lnx有f′（x）=x+ 1x（2分）
当x∈[1，0]时，f′（x）＞0
∴f （x）=f（e）= 12e2+1，
max
f （x）=f（1）= 12（6分）
max
（2）设F（x）= 12x2+lnx- 23x3，则F′（x）=x+ 1x-2x2= (1-x)(1+x+2x2)x
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=- 16＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴ 12x2+lnx＜ 23x3，得证（12分）
392、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
393、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1394、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
395、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2 ，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
396、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
397、
已知函数f（x）=lnx- ax；
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）由题意：（f x）的定义域为（0，+∞），对函数求导，分别解（f x）′＞0（＜0），从而求函数的增（减）
区间，
（II）令f（′ x）=0 x=-a，分①-a≤1②1＜-a＜e③-a≥e三种情况讨论函数在已知区间上的单调性，确定函数的
最小值．
⇒
解答：解：（Ⅰ）由题意：f（x）的定义域为（0，+∞），且 f(x)=1x+ax2=x+ax2．
∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
ʹ
（Ⅱ）由（1）可知： f(x)=x+ax2
①若a≥-1，则x+a≥0，即f（' x）≥0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为增函数，（f x） =（f 1）=-a（6分）
ʹ min
②若a≤-e，则x+a≤0，即f（' x）≤0在[1，e]上恒成立，此时（f x）在[1，e]上为减函数， f(x)min=f(e)=1-ae（8
分）
③若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数，当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
f（x） =f（-a）=ln（-a）+1（11分）
min
综上可知：当a≥-1时，f（x） =-a；
min
当a≤-e时， f(x)min=1-ae；
当-e＜a＜-1时，f（x） =ln（-a）+1（12分）
min
398、
已知a∈R， f(x)=x+1-2x，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）= x+1-2x+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）= 12x+1-12x+1x＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x） =h（1）=0
max
（2） t(x)=12x+1-12x+ax（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
ʹ
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即 12x+1-12x+ax≥0在（0，1]上恒成立．
a≥x2x-x2x+1在（0，1]上恒成立．
令h（x）= x2x-x2x+1
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h(x)=2x4x-x+24(x+1)x+1(x＞0)
现只要比较 2x4x与 x+24(x+1)x+1大小，即可判断h'（x）的符号．
ʹ
事实上 2x4x＞x+24(x+1)x+1（ {2(x+1)3＞x(x+2)2x3+2x2+2x+2＞0在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为 h(1)=24
∴ a≥24．
399、
．设函数 f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ 4a1+a2成
立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的极值．
专题：综合题．分析：（1）利用三角函数转换公式化简（f x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 4a1+a2成立，即 4a1+
a2≥g（t）的最大值，求出a的范围．
解答：解：（1） f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-
3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：
（- 12， 1
t （-1，- 12） - 12 12 （ 12，1）
2）
g'（t） + 0 - 0 +
G（t） ↗ 极大值g（- 12） ↘ 极小值g（ 12） ↗
由此可见，g（t）在区间（-1，- 12）和（ 12，1）单调增加，在区间（- 12， 12）单调减小，极小值为g（ 12）
=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， 4a1+a2= 4a+1a∈[-2，2]
当且仅当a=1时， 4a1+a2=2，对应的t=-1或 12，
故当t=-1或 12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ 4a1+a2成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ 12时，这样的a不存在．
400、
已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）401、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
ʹ
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
402、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
403、已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
404、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax 2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）405、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
406、
已知a∈R， f(x)=x+1-2x，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）= x+1-2x+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）= 12x+1-12x+1x＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x） =h（1）=0
max
（2） t(x)=12x+1-12x+ax（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
ʹ
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即 12x+1-12x+ax≥0在（0，1]上恒成立．
a≥x2x-x2x+1在（0，1]上恒成立．
令h（x）= x2x-x2x+1
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h(x)=2x4x-x+24(x+1)x+1(x＞0)
ʹ现只要比较 2x4x与 x+24(x+1)x+1大小，即可判断h'（x）的符号．
事实上 2x4x＞x+24(x+1)x+1（ {2(x+1)3＞x(x+2)2x3+2x2+2x+2＞0在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为 h(1)=24
∴ a≥24．
407、
．设函数 f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ 4a1+a2成
立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的极值．
专题：综合题．
分析：（1）利用三角函数转换公式化简（f x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 4a1+a2成立，即 4a1+
a2≥g（t）的最大值，求出a的范围．
解答：解：（1） f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-
3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：
（- 12， 1
t （-1，- 12） - 12 12 （ 12，1）
2）
g'（t） + 0 - 0 +
G（t） ↗ 极大值g（- 12） ↘ 极小值g（ 12） ↗
由此可见，g（t）在区间（-1，- 12）和（ 12，1）单调增加，在区间（- 12， 12）单调减小，极小值为g（ 12）
=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， 4a1+a2= 4a+1a∈[-2，2]
当且仅当a=1时， 4a1+a2=2，对应的t=-1或 12，
故当t=-1或 12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ 4a1+a2成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ 12时，这样的a不存在．
408、
已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
409、
设 23＜a＜1，函数 f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为 -6
2，求常数a，b．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题
一目了然，从而确定出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：
x -1 （-1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -1-32a+b b -a32+b 1-32a+b
当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵ f(0)-f(1)=32a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x） =f（-1），∴ a=63，
min
综上知 a=63，b=1
410、
已知a为实数，函数f（x）=（x+1）（x+a）
2
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y= 12x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的
范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）
即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
411、
设函数f（x）=x+ax-ax+m（a≥0）．
3 2 2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：计算题；综合题．
分析：（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式（f x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时（f x） ≤1，即
max
m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 3(x-a3)(x+a)
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜-a或 x＞a3，
由f′（x）＜0得 -a＜x＜a3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a）， (a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则f（x）在[-1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵ f(x)=3x2+2ax-a2=3(x-a3)(x+a)
ʹ由（1）知f（x）在 (-∞，-a)，(a3，+∞)上单调递增，
在 (-a，a3)上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴ {f(-1)≤0f(1)≤0，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
ʹ ʹ
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴ a3∈[1，2)，-a≤-3
又x∈[-2，2]
由（1）的单调性质知f（x） =max{f（-2），f（2）}
max
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x） =f（-2）=-8+4a+2a2+m
max
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x） ≤1即-8+4a+2a2+m≤1
max
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为 (-∞，-a)，(a3，+∞)，
单调递减区间为 (-a，a3)，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．
412、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
413、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
414、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4 ）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
415、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
416、
已知a∈R， f(x)=x+1-2x，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）= x+1-2x+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）= 12x+1-12x+1x＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x） =h（1）=0
max
（2） t(x)=12x+1-12x+ax（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
ʹ
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即 12x+1-12x+ax≥0在（0，1]上恒成立．
a≥x2x-x2x+1在（0，1]上恒成立．
令h（x）= x2x-x2x+1
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．
h(x)=2x4x-x+24(x+1)x+1(x＞0)
现只要比较 2x4x与 x+24(x+1)x+1大小，即可判断h'（x）的符号．
ʹ
事实上 2x4x＞x+24(x+1)x+1（ {2(x+1)3＞x(x+2)2x3+2x2+2x+2＞0在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为 h(1)=24
∴ a≥24．
417、
．设函数 f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ 4a1+a2成
立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的极值．
专题：综合题．
分析：（1）利用三角函数转换公式化简（f x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 4a1+a2成立，即 4a1+
a2≥g（t）的最大值，求出a的范围．
解答：解：（1） f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-
3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：
（- 12， 1
t （-1，- 12） - 12 12 （ 12，1）
2）
g'（t） + 0 - 0 +G（t） ↗ 极大值g（- 12） ↘ 极小值g（ 12） ↗
由此可见，g（t）在区间（-1，- 12）和（ 12，1）单调增加，在区间（- 12， 12）单调减小，极小值为g（ 12）
=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， 4a1+a2= 4a+1a∈[-2，2]
当且仅当a=1时， 4a1+a2=2，对应的t=-1或 12，
故当t=-1或 12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ 4a1+a2成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ 12时，这样的a不存在．
418、
已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
419、
设 23＜a＜1，函数 f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为 -6
2，求常数a，b．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题
一目了然，从而确定出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：
x -1 （-1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1
f′（x） + 0 - 0 +f（x） -1-32a+b b -a32+b 1-32a+b
当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵ f(0)-f(1)=32a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x） =f（-1），∴ a=63，
min
综上知 a=63，b=1
420、
已知a为实数，函数f（x）=（x+1）（x+a）
2
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y= 12x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．
解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）
即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
421、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1
422、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
423、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
424、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的极值．
专题：综合题．
分析：（1）利用三角函数转换公式化简（f x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 4a1+a2成立，即 4a1+
a2≥g（t）的最大值，求出a的范围．解答：解：（1） f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-
3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：
（- 12， 1
t （-1，- 12） - 12 12 （ 12，1）
2）
g'（t） + 0 - 0 +
G（t） ↗ 极大值g（- 12） ↘ 极小值g（ 12） ↗
由此可见，g（t）在区间（-1，- 12）和（ 12，1）单调增加，在区间（- 12， 12）单调减小，极小值为g（ 12）
=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， 4a1+a2= 4a+1a∈[-2，2]
当且仅当a=1时， 4a1+a2=2，对应的t=-1或 12，
故当t=-1或 12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ 4a1+a2成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ 12时，这样的a不存在．
425、
．设函数 f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ 4a1+a2成
立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
426、已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题
一目了然，从而确定出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：
x -1 （-1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -1-32a+b b -a32+b 1-32a+b
当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵ f(0)-f(1)=32a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x） =f（-1），∴ a=63，
min
综上知 a=63，b=1
427、
设 23＜a＜1，函数 f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为 -6
2，求常数a，b．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．
解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
428、
已知a为实数，函数f（x）=（x+1）（x+a）
2
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y= 12x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．
解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）
即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
429、
已知g（x）=ln（e+b）（b为常数）是实数集R上的奇函数，当g（x）＞0时，有 f(x
x
)=lng(x)+ax．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是 32，求a的值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．
专题：常规题型．
分析：（1）利用奇函数的定义进行整理化简是解决本体的关键，注意对数运算性质的灵活运用，指数运算性
质的运用和变形，以及恒成立问题的处理方法；（2）利用导数作为工具求解该函数在闭区间上的最值是解决本题的关键，根据该函数在何处取到最值列出
关于a的方程达到求解a的目的．
解答：解：（1）∵g（-x）=-g（x）∴ln（e-x+b）+ln（ex+b）=0 （e-x+b）（ex+b）=1
（e-x+ex）b+b2=0 （e-x+ex+b）b=0 b=0．
⇒
（2）由（1）知 f(x)=lnx+ax（x＞0），则 f(x)=1x-ax2=x-ax2
⇒ ⇒ ⇒
在[1，e]上，讨论如下：
ʹ
①当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，
这与函数在[1，e]上的最小值是 32相矛盾；
②当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是 32相矛盾；
③当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，
在（a，e]上有f''（x）＞0，单调递增，所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1
由 lna+1=32，得 a=e．
④当a=e时，函数（f x）在[1，e）上有f（' x）＜0，单调递减，其最小值为（f e）=2，还与最小值是 32相矛盾；
⑤当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为 f(e)=1+ae＞2，
仍与最小值是 32相矛盾；综上所述，a的值为 e．
430、
已知函数f（x）=ax+bx+cx+d，（x∈R）在任意一点（x，f（x））处的切线的斜率为
3 2
0
k=（x-2）（x+1）．
0 0
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值为 52，求y=f（x）在R上的极大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）由f（′ x）=3ax2+2bx+c和（f x）在（x，（f x））处的切线斜率k=（x-2）（x+1），能求出求a，b，c的值．
0 0 0 0
（2）由f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=3ax2+2bx+c=（x-2）（x+1），
0 0 0 0 0 0 0
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a= 13，b=- 12，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）= 13x3-12x2-2x+d，
由f′（x）=x2-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表
x [-3，-1） -1 （-1，2]
f′（x） + 0 -
f（x） ↑ 极大值 ↓f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=- 152+d，f（2）= -103+d，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=- 152+d=52，
则d=10．（11分）
∴f（x） =f（-1）= 676，
max
即所求函数f（x）在R上的极大值为 676．（12分）
431、
已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e-1．
x
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x，a＞0，讨论F（x）的单调性：
2
（Ⅱ）对任意的x，x∈（0，+∞），若都有f（x）-f（x）≤a（x-x）成立，求实数a的
1 2 2 1 2 1
取值范围；
（Ⅲ）对任意的x＞x＞0，试比较f（x）-f（x）与g（x-x）的大小并说明理由．
2 1 2 1 2 1
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不
同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个
范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个
单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
解答：解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+ a2x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）= 2x+1-（a+1）+ax= a(x-1-aa)(x-1)x+1
当0＜a＜ 12时，F（x）在（-1，1）和（ 1a-1，+∞）上单调递增，在（1， 1a-1）上单调递减
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a ＞12时，F（x）在（-1， 1a-1）和（1，+∞）上单增，在（ 1a-1，1）上单减，
当a= 12时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x＞x≥0，由题意得f（x）-f（x）≤ax-ax，
1 2 2 1 2 1
f（x）-ax≤f（x）-ax
2 2 1 1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x＞x≥0，总有t（x）≤t（x）
2 1 2 1
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴ t′(x)=1x+1-a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a ≥1x+1在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x）-f（x）≤x-x，
2 1 2 1
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x-x＞0，
2 1
∴g（x-x）＞x-x，
2 1 2 1
∴f（x）-f（x）≤x-x＜g（x-x）
2 1 2 1 2 1
∴f（x）-f（x）＜g（x-x）
2 1 2 1432、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
433、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2 ，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
434、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
435、
．设函数 f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤ 4a1+a2成
立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数
的极值．
专题：综合题．
分析：（1）利用三角函数转换公式化简（f x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤ 4a1+a2成立，即 4a1+
a2≥g（t）的最大值，求出a的范围．
解答：解：（1） f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4=sin2x-1-2tsinx+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+t2+4t3-
3t+3=（sinx-t）2+4t3-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：（- 12， 1
t （-1，- 12） - 12 12 （ 12，1）
2）
g'（t） + 0 - 0 +
G（t） ↗ 极大值g（- 12） ↘ 极小值g（ 12） ↗
由此可见，g（t）在区间（-1，- 12）和（ 12，1）单调增加，在区间（- 12， 12）单调减小，极小值为g（ 12）
=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a， 4a1+a2= 4a+1a∈[-2，2]
当且仅当a=1时， 4a1+a2=2，对应的t=-1或 12，
故当t=-1或 12时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥ 4a1+a2成立．
而当t∈（-1，1]且t≠ 12时，这样的a不存在．
436、
已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题．
分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
437、
设 23＜a＜1，函数 f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为 -6
2，求常数a，b．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题
一目了然，从而确定出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：
x -1 （-1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -1-32a+b b -a32+b 1-32a+b
当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵ f(0)-f(1)=32a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x） =f（-1），∴ a=63，
min
综上知 a=63，b=1
438、
已知a为实数，函数f（x）=（x+1）（x+a）
2
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y= 12x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．
解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）
即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
439、
已知函数f（x）=ax+bx+cx+d，（x∈R）在任意一点（x，f（x））处的切线的斜率为
3 2
0
k=（x-2）（x+1）．
0 0
（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值为 52，求y=f（x）在R上的极大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）由f（′ x）=3ax2+2bx+c和（f x）在（x，（f x））处的切线斜率k=（x-2）（x+1），能求出求a，b，c的值．
0 0 0 0
（2）由f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=3ax2+2bx+c=（x-2）（x+1），
0 0 0 0 0 0 0
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a= 13，b=- 12，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）= 13x3-12x2-2x+d，
由f′（x）=x2-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表
x [-3，-1） -1 （-1，2]
f′（x） + 0 -
f（x） ↑ 极大值 ↓
f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=- 152+d，f（2）= -103+d，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=- 152+d=52，
则d=10．（11分）
∴f（x） =f（-1）= 676，
max
即所求函数f（x）在R上的极大值为 676．（12分）
440、
已知函数f（x）=x-3ax-3a+a．
3 2 2
（1）若a=1，求函数f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间及极值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）把a=1代入函数，求出其导函数，得到其极值点，通过比较极值和端点值的大小即可得到函数f
（x）在[-1，4]上的最值；
（2）先求出其导函数，得到其极值点，列出x，（f x），f（′ x）的变化值表，根据表即可得到函数（f x）的单调区并
求出极值．
解答：解：（1）当a=1，f（x）=x3-3x2-2，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）------------（2分）
由f′（x）=0，得x=0或x=2．-----------------（3分）又f（0）=-2，f（2）=-6，f（-1）=-6，f（4）=14．
∴f（x）在在[-1，4]上最大值为14； 最小值为-6．-----------------（5分）
（2）若a＞0，f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），
令f′（x）=0，得x=0，x=2a，----（7分）
列出x，f（x），f′（x）的变化值表
…（9分）
由表可知：函数f（x）的单调增区间：（-∞，0）（2a，+∞）；单调减区间（0，2a）；-----（10分
所以：f（x） =f（0）=-3a+a，
极大值
f（x） =f（2a）=-4a3-3a2+a-----（12分）
极小值
441、
已知函数 f(x)=13x3+ax+b，（a，b∈R）在x=2处取得极小值 -43．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值
的条件．
专题：综合题．
分析：（I）通过求函数的导数，函数（f x）在x=2处取得极值，就是x=2时导数为0，求出a，利用极小值为 -
43，求出a，b，可得f（x）的解析式，从而可求函数f（x）的单调区间；
（II）要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2+a，由f′（2）=0得a=-4
由 f(2)=-43得b=4则 f(x)=13x3-4x+4，令f′（x）=x2-4＞0得x＞2或x＜-2
∴f（x）的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（II）由 f(-4)=-43，f(-2)=283，f(2)=-43，f(3)=1
则 283≤m2+m+103f(x)的最大值为283，
要使 13x3+ax+b≤m2+m+103对x∈[-4，3]恒成立，只要 f(x)max≤m2+m+103就可以了，
即 283≤m2+m+103得m≥3或m≤-2
所以实数m的取值范围是m≥3或m≤-2
442、
已知函数f（x）=[ax-（3+2a）x+a]•e ，a≠0．
2 x+1
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x+x-a）•e 对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值
2 x+1
范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e ，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的
x+1
取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数（f x）的极大值点，可得 {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，从而求
出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g
（x）在区间[2，4]上不单调⇔ ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
解答：解：（1） f(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1=[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0
x1=-1，x2=a+3a，
ʹ
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴ {a＜0a+3a＜-1或{a＞0a+3a＞-1，
解得， -32＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1 （x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0 -3≤x≤-1（10分）
⇔
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
⇒
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得， a=3x-3x2+1令t(x)=3x-3x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为 (917，3(2-1)2)
∴ 917＜a＜3(2-1)2（15分）
443、
附加题：
已知函数 f(x)=x3+ax2+32x+32a（a为实数），
（1）求不等式 f(x)＞32-ax的解集；
（2）若f′（1）=0，①求函数的单调区间；②证明对任意的x，x∈（-1，0），不等式
1 2
ʹ
|f(x1)-f(x2)|＜516恒成立．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先求导数： f/(x)=3x2+2ax+32，因此不等式 f(x)＞32-ax的解集可化为x（x+a）＞0，分类讨论
可以得出解集的三种不同情况；
ʹ
（2）根据f（′ 1）=0解出a= 94，从而 f/(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，讨论其零点即可得出函数（f x）的单
调性，进而找出函数在[1，0]上最大最小值的差，证明这个差小于 516即可．
解答：解：（1）不等式可化为x（x+a）＞0，
当a＞0时，解集为{x|x＞0或x＜-a}；
当a=0时，解集为{x|x≠0}；当a＜0时，解集为{x|x＞-a或x＜0}；
（2）∵f'（-1）=0，∴ 3-2a+32=0，a=94，
∴ f(x)=3x2+92x+32=3(x+12)(x+1)，由f(x)＞0，x＜-1或x＞-12；
①由 f(x)＜0，-1＜x＜-12
ʹ ʹ
∴f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调减区间为 (-1，-12)（10分）
ʹ
②由上知，f（x）的单调递增区间是 (-∞，-1)，(-12，+∞)；单调递减区间为 (-1，-12)
易知f（x）在[-1，0]上的最大值 M=278，最小值m=4916（12分）
∴对任意 x1，x2∈(-1，0)，恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=278-4916=516
444、
已知函数 f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时， f(x)-a2＞23恒成立，求a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．
分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是（f x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f（′ x）＞0即
可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数（f x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需
f(x)min＞a2+23，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根，解得 b=32．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)=23+a．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使 f(x)-a2＞23恒成立，只需 f(2)＞a2+23，----（12分）
即 23+a＞a2+23，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
445、
设 23＜a＜1，函数 f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为 -6
2，求常数a，b．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题
一目了然，从而确定出a，b的值．
解答：解：f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：
x -1 （-1，0） 0 （0，a） a （a，1） 1
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） -1-32a+b b -a32+b 1-32a+b
当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵ f(0)-f(1)=32a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x） =f（-1），∴ a=63，
min
综上知 a=63，b=1
446、
已知a为实数，函数f（x）=（x+1）（x+a）
2
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y= 12x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的
范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：（I）由已知中函数（f x）=（x2+1）（x+a），可得f（′ x）=3x2+2ax+1，结合f（′ -1）=0，求出a值，进而分析出
函数y=f（x）的单调性后，可得函数y=f（x）在[-32，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f（′ x）=3x2+2ax+1，函数（f x）图象没有y= 12x+m的切线，故f（′ x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实
数解，即△＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得a值的范围．解答：解：（I）∵f（x）=（x2+1）（x+a）
∴f′（x）=3x2+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2 …（2分）
∴f′（x）=3x2+4x+1
当x∈（-∞，-1）∪（- 13，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，- 13）时，f′（x）＜0，
故函数y=f（x）在区间（-∞，-1）和（- 13，+∞）上为增函数
在区间（-1，- 13）上为减函数…（4分）
故在区间[- 32，1]上
当x=-1，f（x）取极大值2，
当x=- 13，f（x）取极小值 5027，
又∵f（- 32）= 138，f（1）=6
∴函数y=f（x）在[- 32，1]上的最大值为6，最小值为 138；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x2+2ax+1
又∵函数f（x）图象没有y= 12x+m的切线
∴f′（x）= 12，即3x2+2ax+1= 12无实数解 …（8分）
即△=（2a）2-4×3× 12＜0 …（10分）
∴- 62＜a＜ 62 …（12分）
447、
已知函数f（x）=ax+bx+cx+d，（x∈R）在任意一点（x，f（x））处的切线的斜率为
3 2
0
k=（x-2）（x+1）．
0 0
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若y=f（x）在-3≤x≤2上的最小值为 52，求y=f（x）在R上的极大值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上
某点切线方程．
专题：计算题．
分析：（1）由f（′ x）=3ax2+2bx+c和（f x）在（x，（f x））处的切线斜率k=（x-2）（x+1），能求出求a，b，c的值．
0 0 0 0
（2）由f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．
解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，（1分）
而f（x）在（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=3ax2+2bx+c=（x-2）（x+1），
0 0 0 0 0 0 0
∴3a=1，2b=-1，c=-2，
∴a= 13，b=- 12，c=-2．（3分）
（2）∵f（x）= 13x3-12x2-2x+d，
由f′（x）=x2-x-2
=（x-2）（x+1）≥0，
知f（x）在（-∞，-1]和[2，+∞）上是增函数，
由f′（x）=（x-2）（x+1）≤0，
知f（x）在[-1，2]上为减函数．（7分）
（3）由f′（x）=（x-2）（x+1）及-3≤x≤2，可列表x [-3，-1） -1 （-1，2]
f′（x） + 0 -
f（x） ↑ 极大值 ↓
f（x）在[-3，2]上的最小值产生于f（-3）和f（2），
由f（-3）=- 152+d，f（2）= -103+d，
知f（-3）＜f（2），（9分）
于是f（-3）=- 152+d=52，
则d=10．（11分）
∴f（x） =f（-1）= 676，
max
即所求函数f（x）在R上的极大值为 676．（12分）
448、
已知函数f（x）=x-3ax-3a+a．
3 2 2
（1）若a=1，求函数f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间及极值．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的
极值．
专题：计算题．
分析：（1）把a=1代入函数，求出其导函数，得到其极值点，通过比较极值和端点值的大小即可得到函数f
（x）在[-1，4]上的最值；
（2）先求出其导函数，得到其极值点，列出x，（f x），f（′ x）的变化值表，根据表即可得到函数（f x）的单调区并
求出极值．
解答：解：（1）当a=1，f（x）=x3-3x2-2，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）------------（2分）
由f′（x）=0，得x=0或x=2．-----------------（3分）
又f（0）=-2，f（2）=-6，f（-1）=-6，f（4）=14．
∴f（x）在在[-1，4]上最大值为14； 最小值为-6．-----------------（5分）
（2）若a＞0，f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），
令f′（x）=0，得x=0，x=2a，----（7分）
列出x，f（x），f′（x）的变化值表
…（9分）
由表可知：函数f（x）的单调增区间：（-∞，0）（2a，+∞）；单调减区间（0，2a）；-----（10分
所以：f（x） =f（0）=-3a+a，
极大值
f（x） =f（2a）=-4a3-3a2+a-----（12分）
极小值
449、
已知函数f（x）=x-6x+4lnx+a（0＜x≤6）．
2
（1）求函数的单调区间；
（2）a为何值时，方程f（x）=0有三个不同的实根．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．
分析：（1）求导得： f(x)=2x-6+4x=2x2-6x+4x=2(x-1)(x-2)x令f（′ x）＞0和f（′ x）＜0再结合0＜x≤6即可求
解．
ʹ
（2）可分析出当x→+∞时（f x）→+∞并且x→0时（f x）→-∞而（f x）在（0，1）递增（1，2）递减（2，6）递增故要
使方程f（x）=0有三个不同的实根只需f（x）的极大值大于0同时极小值小于0即可．
解答：解：（1） fʹ(x)=2x-6+4x=2x2-6x+4x=2(x-1)(x-2)x，则
x x∈（0，1） x=1 x∈（1，2） x=2 x∈（2，6]
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
所以函数的单调递增区间为（0，1）和（2，6]，单调递减区间为[，2]．
（2）由（1）可知即y=f（x）的图象与x轴有3个不同的交点
又知当x趋近于0时，f（x）趋近于-∞，
数形结合得f（1）=a-5＞0且f（2）=-8+4ln2+a＜0，
所以5＜a＜8-4ln2
450、
已知函数f（x）=e-ax，a∈R．
x
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．
显示解析试题篮考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）先求导，结合函数的定义域，对参数a进行讨论，利用导数大于0得函数的单调增区间，导数小
于0得函数的单调减区间；
（Ⅱ）当x=0时，（f x）=1≥0成立；当x∈（0，+∞）时，（f x）=ex-ax≥0成立，分离参数可得 a≤exx成立．只需要
求右边函数的最小值即可，构建函数 g(x)=exx，求导确定函数的单调区间，从而可得函数的最小值，由此
可求参数a的范围
解答：解：（Ⅰ） f（x）的定义域是（-∞，+∞），f′（x）=ex-a．…2分
（1）当a≤0时，f'（x）＞0成立，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）； …3分
（2）当a＞0时，
令f'（x）＞0，得x＞lna，则f（x）的单调增区间是（lna，+∞）．…4分
令f'（x）＜0，得x＜lna，则f（x）的单调减区间是（-∞，lna）．…5分
综上所述，当a≤0时，（f x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，（f x）的单调增区间是（lna，+∞），单调减区
间是（-∞，lna）…6分
（Ⅱ）当x=0时，f（x）=1≥0成立，a∈R．…7分
当x∈（0，+∞）时，f（x）=ex-ax≥0成立，即x＞0 时， a≤exx成立．
设 g(x)=exx，…9分
所以 g(x)=xex-exx2= (x-1)exx2．…10分
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上为减函数； …11分
ʹ
x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）在x∈（1，+∞）上为增函数．…12分
则g（x）在x=1处取得最小值，g（1）=e．则a≤e．
综上所述，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0成立的a的范围是（-∞，e]．…13分
