5.8 二倍角公式
模块一：基础知识 .........................................................................2
考点一：二倍角公式 ....................................................................2
考点二：二倍角公式的变形应用 .....................................................2
模块二：题型分类 .........................................................................2
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题 .......................................2
题型二：利用二倍角公式求角 ........................................................4
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题 .......................................6
题型四：二倍角中的拼凑角问题 .....................................................8
题型五：二倍角公式与数学文化的结合 ...........................................10
题型六：辅助角公式的应用 .........................................................12
模块三：综合巩固 .......................................................................14
5.8 二倍角公式
模块一：基础知识
考点一：二倍角公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
考点二：二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
模块二：题型分类
题型一：利用二倍角公式解决给角求值问题
1.已知角的终边与单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，则sin 2
【答案】
24
25
/ 0.96
【详解】因为角的终边与单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，
所以
4
3
sin
,cos
5
5
，
所以
4
3
24
sin 2
2sin
cos
2
(
)
5
5
25
.
故答案为：
24
25
2.已知角的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴，若其终边经过点
2, 5
P
，则
2
sin2
cos
1
.
【答案】
4 5
13
【详解】由三角函数的定义可知，
5
tan
2
，
2
2
2
2
sin2
2sin
cos
2tan
5
4 5
5
cos
1
2cos
sin
2
tan
13
2
4
.
故答案为：
4 5
13
3.已知函数
π
sin
sin π
2
f x
x
x
，则
5π
6
f
（ ）
A．
3
4
B．
3
4
C．
1
2
D．
3
2
【答案】A
【详解】
π
1
sin
sin π
cos sin
sin2
2
2
f x
x
x
x
x
x
，
故
5π
1
5π
1
π
3
sin
sin
6
2
3
2
3
4
f
．
故选：A．
4.已知角的终边过点
1, 2
，则tan2（ ）
A．
11
2
B．4
3
C．2
11
D．11
2
【答案】B
【详解】因为角的终边过点
1, 2
，根据三角函数的定义，可得
2
tan
2
1
，
则
2
2
2
2
2tan
4
tan2
1
tan
1 ( 2)
3
.
故选：B．
题型二：利用二倍角公式求角
1.已知
7 2
3
sin
,sin
10
5
，其中
π
π
0,
,
,0
2
2
．
(1)求；
(2)求
sin 2
．
【答案】(1)
π
4
(2)
17 2
50
【详解】（1）因为
π
π
0,
,
,0
2
2
，所以
π π
,
2 2
，
又因为
3
sin
5
，且
0, 2
，所以
4
cos
5
．
因为
7 2
sin
10
，
π
0, 2
，所以
2
cos
10
，
则
sin
sin
sin
cos
cos
sin
3
2
4
7 2
2
5
10
5
10
2
，
又因为
π ,0
2
，所以
π
4
．
（2）由（1）可得
2
cos
10
，
π
4
，
因为
7 2
2
7
sin2
2sin cos
2
10
10
25
，
则
2
24
cos2
1 2sin
25
，
所以
sin 2
sin2 cos
cos2 sin
7
2
24
2
17 2 .
25
2
25
2
50
2.已知,
为锐角，
2 5
tan
2,cos
5
，则
tan 2
.
【答案】
11
2
【详解】由于为锐角，所以
2
2 5
5
sin
1
sin
1
,tan
5
5
cos
2
，
2
2
2tan
4
4
tan 2
1
tan
1 2
3
，
所以
4
1
tan 2
tan
11
3
2
tan 2
4
1
1
tan 2
tan
2
1
3
2
.
故答案为：
11
2
3.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且，
(0,π)
，则2
（ ）
A．4
B．4
或5π
4
C．
3π
4
D．4
或5π
4 或
3π
4
【答案】C
【详解】∵
1
tan
0
3
，且
(0,π)
，∴
π
0, 2
，2
(0,π)
，
∴
2
2
1
2
2tan
3
3
tan2
0
1
tan
4
1
1
3
，∴
π
2
0, 2
．
∵
1
tan
0
7
，且
(0,π)
，∴
π ,π
2
，∴2
( π,0)
，
又
3
1
tan 2
tan
4
7
tan(2
)
1
3
1
1
tan 2
tan
1
4
7
，
∴
3π
2
4
．
答案：C.
4.已知
1
tan
3
，
1
tan
7
，且
,
0,π
，则2
．
【答案】
3π
4
【详解】因为
1
tan
0
3
，
1
tan
0
7
，
,
0,π
，
所以
π
0, 2
，
π ,π
2
，
因为
2
2
1
2
2tan
3
3
tan2
0
1
tan
4
1
1
3
，
所以
π
2
0, 2
，
π ,π
2
，因此π
2
0
，
因为
3
1
tan 2
tan
4
7
tan 2
1
3
1
1
tan 2
tan
1
4
7
，
所以
3π
2
4
，
故答案为：
3π
4
题型三：利用二倍角公式解决条件求值问题
1.已知
4
sin
5
=
，
π ,π
2
，求sin 2，cos2，tan 2的值．
【答案】
24
sin 2
25
，
7
cos2
25
，
24
tan 2
7
．
【详解】因为
π ,π
2
，所以cos
0
．
所以
2
2
4
3
cos
1
sin
1
5
5
．
所以
4
3
24
sin 2
2sin
cos
2
5
5
25
，
2
2
2
2
3
4
7
cos2
cos
sin
5
5
25
，
sin 2
24
25
24
tan 2
cos2
25
7
7
．
2.已知
π
1
tan
6
2
，
π
1
tan 12
3
，则
)
t n(
a
2
（ ）
A．
9
13
B．
2
11
C．10
11
D．2
5
【答案】B
【详解】由
π
1
tan 12
3
得，
2
2
π
1
2tan
2
π
12
3
tan
2
1
π
4
1 ( )
1
tan
3
2
6
1
3
，
而
π
1
tan
6
2
，
故
π
π
tan(
)
tan(2
)
π
π
6
6
tan
2
tan (
)
(2
)
π
π
6
6
tan(
) tan(2
)
)
6
(
1
6
1
3
2
2
4
1
3
11
1
2
4
，
故选：B
3.已知，均为锐角，
2 7
cos
7
，
3 3
sin
14
，则cos2
，2
.
【答案】
1
7
π
3
【详解】因为
2 7
cos
7
，
所以
2
1
cos2
2cos
1
7
，
又因，均为锐角，所以
π
,
0, 2
，则
2
0,π
，
所以
π
2
0, 2
，所以
π π
2
,
2 2
，
2
4 3
sin 2
1 cos 2
7
，
又因
3 3
sin
14
，所以
2
13
cos
1
sin
14
，
则
4 3
13
1
3 3
3
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
7
14
7
14
2
，
所以
π
2
3
.
故答案为：1
7 ；π
3 .
4.若
π
3
sin 2
4
，则cos2（ ）
A．
7
4
B．
7
4
C．1
8
D．
1
8
【答案】C
【详解】由
π
3
sin 2
4
，得
3
cos
4
，
则
2
2
3
1
cos2
2cos
1
2
1
4
8
．
故选：C
5.在ABC
中，若
4
tan
3
A
，则sin2A
．
【答案】24
25 /0.96
【详解】
2
2
2
2sin
cos
2tan
sin2
2sin
cos
sin
cos
tan
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
，
因为
4
tan
3
A
，所以
2
4
2
24
3
sin2
25
4
1
3
A
.
故答案为：24
25
题型四：二倍角中的拼凑角问题
1.已知,
为锐角，
3
5
tan
,cos
4
5
．
(1)求sin2的值；
(2)求
tan
的值．
【答案】(1) 24
25
(2)
38
41
【详解】（1）因为
3
tan
4
，
所以
2
2
2
3
2
2si
5
n
cos
2tan
4
sin2
2sin
cos
9
sin
cos
tan
1
1
16
24
2
（2）因为
3
tan
4
，所以
2
3
2
2tan
24
4
tan 2
9
1
tan
7
1 16
，
因为,
为锐角，所以
π
π
0,
,
0,
2
2
，所以
0,π
，
所以
2
1
2 5
sin
1 cos
1
5
5
，
则
2 5
sin
5
tan
2
cos
5
5
，
所以
24
2
tan 2
tan
7
t
1
an
tan 2
24
1
tan 2
t
1
3
4
a
7
8
n
2
2.已知
π
5
sin
3
5
，则
π
sin 2
6
（ ）
A．4
5
B．
4
5
C．3
5
D．
3
5
-
【答案】C
【详解】
π
π
π
2π
2π
π
sin 2
cos
2
cos
2
cos 2
cos 2
6
2
6
3
3
3
2
2
π
5
3
1 2sin
1 2
3
5
5
，
故选：C
3.已知
π
3
π
cos
,
0
6
5
2
，
，则
2π
cos
2
3
．
【答案】7
25 /0.28
【详解】由题意，
π
0 2
，
，
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
3
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
6
3
3
6
3
3
3
5
2
2
2
，
解得：
π
3
sin
3
5
，
∴
π
3
sin 3
5
，
2
2
2π
π
π
3
7
cos
2
cos2
1 2sin
1 2
3
3
3
5
25
，
故答案为：7
25 .
4.已知
π
3
sin
6
5
，则
5π
sin 2
6
（ ）
A．8
25
B．
8
25
C．7
25
D．
7
25
【答案】C
【详解】
5π
π
5π
π
sin 2
cos
2
cos 2
6
2
6
3
2
π
π
7
cos 2
1 2sin
6
6
25
，
故选：C.
5.已知是第一象限角，满足
3
cos 4
5
，则cos2
（ ）
A．7
25
B．
24
25
C．24
25
D．
7
25
【答案】B
【详解】因为是第一象限，则4
为第一象限角或第二象限角，
且
3
cos
0
4
5
，所以
2
4
sin
1 cos
4
4
5
，
由题意可得：
π
π
π
π
π
24
cos2
cos 2
sin 2
2sin
cos
4
2
4
4
4
25
.
故选：B.
6.已知
π
7
sin
5
3
，则
3π
cos 2
5
．
【答案】5
9
【详解】
2
3π
π
π
π
5
cos 2
cos 2
π
cos 2
1 2sin
5
5
5
5
9
．
故答案为：5
9 .
题型五：二倍角公式与数学文化的结合
1.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比
值为无理数
5
1
2
该值恰好等于2sin18，则cos36（ ）
A．5
2
B．
5
1
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
【答案】C
【详解】由题意
5
1
2sin18
2
，
5
1
sin18
4
，
2
2
5
1
3
5
5
1
cos36
1
2sin 18
1
2
1
2
4
8
4
，
故选：C．
2.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距
0
180
的
对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距
正切值的乘积，即
tan
l
h
．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为,
，若第一
次的“晷影长”是“表高”的2 倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4 倍，则
tan 2
2
（ ）
A．6
7
B．
6
7
C．84
13
D．
84
13
【答案】D
【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的2 倍，得tan
2
，
由第二次的“晷影长”是“表高”的4 倍，得tan
4
，
所以
tan
tan
2
4
6
tan
1
tan tan
1 2 4
7
，
所以
tan 2
2
tan2
2
2
6
2
2tan
84
7
1
tan
13
6
1
7
．
故选：D
3.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分
之比等于较大部分与整体之比，其比值为
5
1
0.618
2
，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于
5
1
2
的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则cos2C
．
【答案】
5
1
4
【详解】
设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，
因为
5
1
2
BC
AC
，
所以
5
1
cos
2
4
BC
C
AC
，
则
2
5
1
cos2
2cos
1
4
C
C
．
故答案为：
5
1
4
.
4.五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以
找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，
都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中PT
BP 、PT
AP 、TE
TB 等都是黄金分割比
5
1
2
，已知五角星的顶角
是36°，则利用上面信息可求得sin126（ ）
A．
5
1
4
B．
6
2
4
C．
5
1
4
D．
5
1
2
【答案】C
【详解】由图形可知
36
A
，则
1
1
5
1
5
1
2
sin18
2
2
4
PT
AP
，
所以
2
2
5
1
5
1
cos36
1
2sin 18
1
2
4
4
，
所以
5
1
sin126
sin 90
36
cos36
4
，
故选：C
题型六：辅助角公式的应用
1.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1（𝑥∈R）．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(2)若𝑓(𝑥0) =
6
5，𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，求cos2𝑥0的值．
【解题思路】（1）利用二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质运算即可得解；
（2）利用三角函数基本关系式、两角差的余弦公式运算即可得解.
【解答过程】（1）解：由题意
𝑓(𝑥) = 2 3sin𝑥cos𝑥+ 2cos2𝑥−1 =
3sin2𝑥+ cos2𝑥
= 2
3
2 sin2𝑥+ 1
2 cos2𝑥= 2sin 2𝑥+ π
6 ，
∵2𝑘π +
π
2 ≤2𝑥+
π
6 ≤2𝑘π +
3π
2 ，𝑘∈Z,
∴𝑘π +
π
6 ≤𝑥≤𝑘π +
2π
3 ，𝑘∈Z,
∴函数𝑓(𝑥)的单调递减区间为𝑘π + π
6 ,𝑘π + 2π
3 （𝑘∈Z）.
（2）解：由（1）知，𝑓(𝑥0) = 2sin 2𝑥0 + π
6 ，
又∵𝑓(𝑥0) =
6
5，∴sin 2𝑥0 + π
6 =
3
5，
∵𝑥0 ∈π
4 , π
2 ，则2𝑥0 +
π
6 ∈2π
3 , 7π
6 ，
∴cos 2𝑥0 + π
6 < 0，
∴cos 2𝑥0 + π
6 = −
4
5，则
cos2𝑥0 = cos
2𝑥0 +
π
6 −
π
6
= cos 2𝑥0 +
π
6 cos π
6 + sin 2𝑥0 +
π
6 sin π
6
= −4
5 ×
3
2 +
3
5 ×
1
2 = 3−4 3
10 .
2.已知函数𝑓(𝑥) = 2 3cos2 π
2 + 𝑥−2sin(π + 𝑥)cos𝑥−3 .
(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期及单调递减区间：
(2)若𝑓𝑥0−π
6 =
14
25,𝑥0 ∈3π
4 ,π ，求sin2𝑥0的值.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简函数式，再结合三角函数的性质计算即可；
（2）结合（1）得sin 2𝑥0−2π
3
=
7
25，利用同角三角函数的平方关系及正弦函数的和差公式计算即可.
【解答过程】（1）原函数式可化为𝑓(𝑥) =
3(2sin2𝑥−1) +2sin𝑥cos𝑥= sin2𝑥−3cos2𝑥= 2sin 2𝑥−π
3 ，
则其最小正周期为𝑇=
2π
2 = π，
令
π
2 +2𝑘π ≤2𝑥−
π
3 ≤
3π
2 +2𝑘π⇒𝑥∈5π
12 + 𝑘π, 11π
12 + 𝑘π (𝑘∈Z)，
即单调递减区间为：5π
12 + 𝑘π, 11π
12 + 𝑘π (𝑘∈Z)；
（2）由上可知𝑓𝑥0−π
6 = 2sin 2 𝑥0−π
6 −π
3 = 2sin 2𝑥0−2π
3
=
14
25⇒ sin 2𝑥0−2π
3
=
7
25，
又𝑥0 ∈3π
4 ,π ，所以2𝑥0−
2π
3 ∈5π
6 , 4π
3 ，
则cos 2𝑥0−2π
3
= −1−sin2 2𝑥0−2π
3
= −
24
25，
故sin2𝑥0 = sin 2𝑥0−2π
3 + 2π
3
= sin 2𝑥0−2π
3 cos
2π
3 + cos 2𝑥0−2π
3 sin
2π
3
=
7
25 × −1
2 −
24
25 ×
3
2 = −24 3 + 7
50
.
3.已知𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥.
(1)求𝑓(𝑥)的周期及单调递增区间；
(2)求函数𝑓(𝑥)在0, π
2 上的最大值和最小值.
【解题思路】（1）由三角恒等变换化简𝑓(𝑥)，由周期公式求周期，根据正弦函数的单调性求𝑓(𝑥)递增区间；
（2）根据角的范围，求出2𝑥+
π
4的范围，利用正弦函数求出值域即可得解.
【解答过程】（1）由𝑓(𝑥) = sin2𝑥+ cos2𝑥=
2sin 2𝑥+ π
4 ，
所以周期 𝑇=
2π
2 = π，
令2𝑘π−
π
2 ≤2𝑥+
π
4 ≤2𝑘π +
π
2，得𝑘π−
3π
8 ≤𝑥≤𝑘π +
π
8，(𝑘∈Z)，
∴𝑓(𝑥)的单调递增区间为𝑘π−3π
8 ,𝑘π + π
8 ，(𝑘∈Z).
（2）当𝑥∈0, π
2 时，则2𝑥+
π
4 ∈π
4 , 5π
4 ，所以sin 2𝑥+ π
4 ∈−
2
2 ,1 ，
故2sin 2𝑥+ π
4 ∈[−1, 2]，
∴𝑓(𝑥)max =
2， 𝑓(𝑥)min = −1．
4.已知函数𝑓(𝑥) = sin 𝑥+ π
6 + sin 𝑥−π
6 + cos𝑥+ 𝑎在𝑥∈−π
2 , π
2 时的最大值为1.
(1)求常数𝑎的值；
(2)求函数𝑓(𝑥)的单调递减区间；
(3)求使𝑓(𝑥) ≥0成立的𝑥的取值集合.
【解题思路】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式𝑓(𝑥)，再根据最大值求𝑎；
（2）利用正弦函数的单调性确定区间；
（3）利用正弦函数的图象与性质确定𝑥的取值集合.
【解答过程】（1）𝑓(𝑥) = sin(𝑥+
π
6) + sin(𝑥−
π
6) + cos𝑥+ 𝑎
=
3
2 sin𝑥+ 1
2 cos𝑥+
3
2 sin𝑥−1
2 cos𝑥+ cos𝑥+ 𝑎
=
3sin𝑥+ cos𝑥+ 𝑎
= 2sin(𝑥+
π
6) + 𝑎；
因为𝑥∈−π
2 , π
2 ，所以𝑥+
π
6 ∈−π
3 , 2π
3 ，
所以当𝑥+
π
6 =
π
2时，𝑓(𝑥)有最大值𝑎+ 2，
所以𝑎+ 2 = 1，所以𝑎= −1.
（2）𝑓(𝑥) = 2sin(𝑥+
π
6)−1，
令
π
2 +2𝑘π ≤𝑥+
π
6 ≤
3π
2 +2𝑘π(𝑘∈Z)，
得
π
3 +2𝑘π ≤𝑥≤
4π
3 +2𝑘π(𝑘∈Z)，
所以函数𝑓(𝑥)的单调递减区间是π
3 + 2𝑘π, 4π
3 + 2𝑘π ,(𝑘∈Z).
（3）𝑓(𝑥) ≥0，即2sin(𝑥+
π
6)−1 ≥0，
所以sin(𝑥+
π
6) ≥
1
2，所以
π
6 +2𝑘π ≤𝑥+
π
6 ≤
5π
6 +2𝑘π(𝑘∈Z)，
解得2𝑘π ≤𝑥≤
2π
3 +2𝑘π(𝑘∈Z)，
所以使𝑓(𝑥) ≥0成立的𝑥的取值集合是𝑥|2𝑘π ≤𝑥≤2π
3 + 2𝑘π,𝑘∈Z .
模块三：综合巩固
1.化简sin235°−1
2
cos10°cos80°等于（ ）
A．－2
B．－
1
2
C．－1
D．1
【解题思路】利用三角函数的二倍角公式以及诱导公式，可得答案.
【解答过程】sin235∘−1
2
cos10∘cos80∘=
1−cos270∘
2
−1
2
cos10∘sin10∘=
−cos70∘
sin20∘= −1.
故选：C.
2.化简
1−cos160°
2
+
1−sin160°的结果是（ ）
A．cos10°
B．sin10°
C．2sin10° + cos10°
D．2cos10°−sin10°
【解题思路】利用正余弦的二倍角公式化简即可.
【解答过程】原式化简为
1 + cos20°
2
+
1−sin20° =
1 + (2cos210°−1)
2
+
1−2sin10°cos10° = cos10° + cos10°−sin10° = 2cos10°−
sin10°.
故选：D.
3.已知函数
2
( )
1
2sin
f x
x
，则
π
8
f
的值为（ ）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
【答案】B
【详解】
2
π
π
π
2
( )
1 2sin
cos
8
8
4
2
f
.
故选：B
4.sin145 cos35
（ ）
A．
sin 70
B．
1 sin 70
2
C．sin 70
D．1 sin 70
2
【答案】D
【详解】
1
sin145 cos35
sin 180
35
cos35
sin35 cos35
sin 70
2
.
故选：D
5.函数
sin cos cos2
y
x
x
x
的最小正周期是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
【答案】C
【详解】因为
1
1
sin cos cos2
sin 2 cos2
sin 4
2
4
y
x
x
x
x
x
x
，
所以所求最小正周期为
2π
π
4
2
T
.
故选：C.
6.已知
sin
68
m
，则cos11
（ ）
A．1
2
m
B．1
2
m
C．
1
2
m
D．
1
2
m
【答案】B
【详解】由
sin
68
m
，有sin68
(
0)
m m
，得cos22
m
，
可得
2
2cos 11
1
m
，所以
1
cos11
2
m
.故A，C，D 错误.
故选：B.
7.已知
5π
tan
2
4
，则cos2的值为（ ）．
A．4
5
B．
1
2
C．
4
5
D．
1
2
【答案】C
【详解】由题意得，
5π
π
tan
1
tan
tan
2
4
4
1
tan
，
解得tan
3
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
1
tan
1 9
4
cos2
cos
sin
cos
sin
1
tan
1 9
5
α
α
α
α
α
α
α
α
α
．
故选：C
8.若
2023π
1
sin
2
4
，则cos2
（ ）
A．8
9
B．7
8
C．
7
8
D．
8
9
【答案】C
【详解】∵
2023π
3π
1
sin
sin
cos
2
2
4
，∴
1
cos
4
∴
2
1
7
cos2
2cos
1
1
8
8
.
故选：C.
9.已知角的终边落在直线
2
y
x
上，则2cos2
sin 2
3
的值为（ ）
A．1
B．1
C．1
D．
3
【答案】B
【详解】因为角的终边落在直线
2
y
x
上，所以tan
2
=- .
则
2
2
2
2
2 cos
sin
2sin
cos
2cos2
sin 2
3
3
sin
cos
2
2
2
2tan
2tan
3
tan
1
2
2 4
2
2
3
1
4 1
.
故选：B
10.
2
sin160 cos20
1
2sin 25
等于（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
4
D．2
【答案】A
【详解】
2
1 sin 40
sin160 cos20
sin 20 cos20
1
2
1
2sin 25
cos50
sin 40
2
．
故选：A．
11.已知
tan
和
tan
是关于x 的方程
2
3
0
x
mx
的两根，且
1
tan
2
，则m 的值为（ ）
A．5
B．
16
3
C．
17
3
D．6
【答案】B
【详解】因为
tan
和
tan
是关于x 的方程
2
3
0
x
mx
的两根，
所以
tan
tan
m
，
tan
tan
3
，
所以
tan
tan
tan 2
tan
1
tan
tan
4
m
，
因为
1
tan
2
，所以
2
2tan
4
tan 2
1
tan
3
，
所以
4
4
3
m
，
16
3
m
，
故选：B
12.（多选）下列各式中，值为
3
2
的是（ ）
A．
2
2
cos 15
sin 15
B．2sin15 cos15
C．
2
1
2sin 15
D．
2
2cos 15
1
【答案】ACD
【详解】对于A，
2
2
3
cos 15
sin 15
cos30
2
，故A 正确；
对于B，
1
2sin15 cos15
sin30
2
，故B 错误；
对于C，
2
3
1 2sin 15
cos30
2
，故C 正确；
对于D，
2
3
2cos 15
1
cos30
2
，故D 正确；
故选：ACD
13.（多选）下列各式中，值为
1
2 的是（ ）
A．2sin15 cos15
B．
2 π
2cos
1
12
C．
1
cos30
2
D．
2
tan22.5
1
tan 22.5
【答案】AD
【详解】对于A，
1
2sin15 cos15
sin30
2
，A 正确；
对于B，
2 π
π
3
1
2cos
1
cos
12
6
2
2
，B 错误；
对于C，
2
1 cos30
1
cos 15
cos15
2
2
，C 错误；
对于D，
2
2
tan22.5
1
2tan22.5
1
1
tan45
1
tan 22.5
2
1
tan 22.5
2
2
，D 正确．
故选：AD
14.已知为锐角，若
π
4
cos
6
5
，则
7π
sin 2
12
的值为（ ）
A．
2
10
B．7 2
10
C．17 2
50
D．31 2
50
【答案】D
【详解】
为锐角，π
π
2π
π
4
,cos
6
6
3
6
5
，
π
3
sin
6
5
，
π
π
π
24
sin 2
2sin
cos
3
6
6
25
，且
2
π
π
7
cos 2
2cos
1
3
6
25
．
故
7π
π
π
sin 2
sin
2
12
3
4
，
π
π
π
π
sin 2
cos
cos 2
sin
3
4
3
4
，
24
2
7
2
31 2
25
2
25
2
50
，
故选：D．
15.已知
1
sin
cos
5
，
π ,π
2
，则sin 2
.
【答案】
24
25
【详解】由题意
1
sin
cos
5
，
π ,π
2
，
所以
2
2
2
1
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
25
，
2
π,2π
，
又因为
2
2
sin
cos
1,2sin
cos
sin 2
，
所以
1
1 sin 2
25
，解得
24
sin 2
25
.
故答案为：
24
25
.
16.已知
sin
cos
sin
cos
g x
x
x
x
x
，则
g x 的值域为
.
【答案】
1
1,
2
2
【详解】根据题意，令
π
sin
cos
2 sin
4
t
x
x
x
，则
2
2
t
，
因为
2
2
2
sin
cos
2sin
cos
1
2sin
cos
t
x
x
x
x
x
x
，所以
2
1
sin cos
2
t
x
x
，
因此
2
2
1
1
sin
cos
sin cos
1
1
2
2
t
g x
x
x
x
x
t
t
，
因为
2
2
t
，所以
2
1
1
1
1
1
2
2
2
t
，故函数值域为
1
1, 2
2
.
故答案为：
1
1, 2
2
.
17.已知
2
sin
45
10
，且0
90
，则sin2的值为
．
【答案】24
25 ./0.96
【详解】由0
90
可得45
45
45
，
所以
2
2
2
7 2
sin
45
cos
45
1
10
10
10
，
由二倍角公式及诱导公式可得
2
98
24
sin2
cos 2
90
2cos
45
1
1
50
25
.
故答案为：24
25 .
18.求下列各式的值：
(1)cos20 cos25
sin20 sin25
；
(2)cos80 cos20
sin80 sin20
；
(3)
2
2
cos 22.5
sin 22.5
.
【答案】(1)
2
2
(2) 1
2
(3)
2
2
【详解】（1）cos20 cos25
sin20 sin25
2
cos 20
25
cos45
2
（2）cos80 cos20
sin80 sin20
1
cos 80
20
cos60
2
（3）
2
2
2
cos 22.5
sin 22.5
cos 2 22.5
cos45
2
.
19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B 两点，且
,
A B 两点的
横坐标分别为3
5
,
5
13
.
(1)求
cos
的值；
(2)求
2
3π
cos
2
cos
2
的值.
【答案】(1) 33
65 ；
(2) 3
5 .
【详解】（1）因为锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B 的横坐标分别为3
5 ，
5
13
，
显然点A 在第一象限，点B 在第二象限，则点A，B 的纵坐标分别为4
5 ，12
13 ，
由已知及三角函数定义得
4
sin
5
=
，
12
sin
13
，而
3
cos
5
，
5
cos
13
，
所以
3
5
4
12
33
cos
cos
cos
sin
sin
(
)
5
13
5
13
65
.
（2）由（1）知
4
sin
5
=
，
3
cos
5
，
所以
2
2
2
2
3π
4
3
3
3
cos(
2 )
cos
sin 2
cos
2sin
cos
cos
2
( )
2
5
5
5
5
.
