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第16课 任意角的三角函数（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知角 终边经过点 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，角 终边经过点 ，可得 ，
又由 ，根据三角函数的定义，可得 且 ，解得 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角 的大小如图所示，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可.
【详解】由图可知， ，
；
故选：A.
3．（2023春·北京·高一校考期中）如图，角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的
横坐标为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值．
【详解】角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，所以 则
； 故选：B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知锐角 的终边上一点 的坐标为
，则 ＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简，即可得到 ，根据三角函数的定义及 的范围判断即可；
【详解】解：因为锐角 的终边上一点 的坐标为 ，且
， ，从而有点 的坐标
为 ，所以 ．
故选：C．
二、多选题
5．（2022·高一课时练习）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．若 ，则 或 B． 的充要条件是
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AB
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断B选项；利用
平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用平面向量的模长公式可判断D选项.
【详解】对于A，若 ，则 ，解得 ，因为 ，所以 或 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ，即 ，
当 时， ， ， ，则 ，即 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 或 或 ，故D错误.
故选：AB.
6．（2023秋·高一课时练习）在平面直角坐标系 中，角 顶点在原点 ，以 正半轴为始边，终边经
过点 ，则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据角 终边经过点 ，结合三角函数的定义可以判断角 的正弦、余弦、正切的正
负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.
【详解】由题意知角 在第四象限，所以 ， ， .
选项A， ；选项B， ；选项C， ；
选项D， 符号不确定.
故选：AB.7．（2023·全国·高三专题练习）已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】点 代入单位圆的方程求出点 可得 ，再由弦化切可得答案.
【详解】 角 的终边与单位圆交于点 ，
， ， ，
当 时， ；
当 时， ．
故选：AC.
三、填空题
8．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点 绕着原
点 顺时针旋转 得到点 ，点 的横坐标为 .
【答案】
【分析】根据三角函数定义求得 ，确定 与x轴正半轴的夹角为 ,结合三角
函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】由题意得 ,
设 与x轴正半轴的夹角为 ，则 ，
则 与x轴正半轴的夹角为 ，故点 的横坐标为 ，
故答案为：
9．（2020秋·江苏泰州·高三江苏省姜堰第二中学校考阶段练习）欧拉公式 （ 为虚数单
位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的
关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.
根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于第 象限.
【答案】三
【分析】由欧拉公式可得 ，则 表示的复数在复平面中对应的点为 .判断点
所在的象限，即得答案.
【详解】由欧拉公式可得 ，则 表示的复数在复平面中对应的点为 .
点 在第三象限，
即 表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.
四、解答题
10．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 ， .
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域.【答案】（1） ， 或 ， ；（2） .
【分析】（1）利用正弦函数的性质求出 的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于 的等式，解出
即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简 ，结合 的范围和三角函数的性质，从而求出 的值域.
【详解】（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 .
令 ，故 或 ，整理得 或 .
故解集为 或 ， .
（2）由于 ，所以 .所以
由于 ， ，所以 .
，故 ，故 .
所以函数 的值域为 .
【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考
查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023春·吉林白城·高一校考阶段练习）已知角 的终边与单位圆的交于点 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：首先求出点 的坐标，再利用三角函数的定义得出 的值，进而由同角三角函数
基本关系式求出结果即可．
详解：∵点 在单位圆上， ，则由三角函数的定义可得得
则
点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出 的值是解题的关键．
二、多选题
2．（2021·高一课时练习）若集合 ， ，则正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据正弦函数可得集合 ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】由 ，
又 ，
显然集合
所以 ，
则 成立，所以选项A正确.成立，所以选项B正确，选项D不正确.
，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，则函数 的最小值为 .
【答案】 /0.5
【分析】对 求导，然后令 ，判断 的单调性，得到 的值域，从而判断
的单调性，即可确定函数 的最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，
记 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
故当 时，函数 有最小值为 ，
故答案为：
四、解答题
4．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= ，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得 ，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义
得 ，再根据同角三角函数关系得 ，最后根据 ，利用两角差的余弦公式求结
果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ，
所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ，
由 得 .
由 得 ，
所以 或 .
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022秋·重庆北碚·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 的最小正周期为
D．将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，所得到的函数解析
式为
【答案】ABD
【分析】由三角函数的定义，可得 ， ， 的值，根据和角差角及二倍角公式代入计算可判断
A、B正误，对于C、D，根据辅助角公式进行化简，结合绝对值变换、周期公式及“左加右减”平移方法
就可以判断.
【详解】由三角函数的定义，得 ， ， .
对于A， ，故选项A正确；
对于B，
，故选项B正确；
对于C， ，所以 的最小正周期，故选项C错误；
对于D，将 图象上的所有点向左平
移 个单位长度，得到的函数解析式 ，故选项D正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若 在区间( ， )上
恰有2个零点，则 的取值范围是 .
【答案】 或 .
【分析】先求出零点的一般形式，再根据 在区间( ， )上恰有2个零点可得关于整数 的不等式组，
从而可求 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，故 ，
故 ，
因为 在区间( ， )上恰有2个零点，
所以存在整数 ，使得：
，若 为偶数，则 ，
整理得到： ①，因为 ，故 ，
当 时， ，故①无解，
当 时，有 即 .
若 为奇数，则 ，
整理得到： ②，因为 ，故 ，
当 时， ，故②无解，
当 时，有 ，无解.
当 时，有 ，故 .
综上， 或 .故答案为： 或 .
【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到
关于整数 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.
