2012年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（上海）数学高考真题

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析 一．填空题 3-i 1．计算： = （i为虚数单位）. 1+i 【答案】1-2i 3-i (3-i)(1-i) 2-4i 【解析】 = = =1-2i. 1+i (1+i)(1-i) 2 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数 化即可. 2．若集合A{x|2x10}，B {x|| x1| 2}，则A  B  .  1  【答案】  ,3  2  1 【解析】根据集合A 2x10，解得x ，由 x1 p 2,得到,1 x3，所以 2  1  A  B  ,3.  2  【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法. 解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 2 cosx 3．函数 f(x) 的值域是 . sinx 1  5 3 【答案】  ,    2 2 1 【解析】根据题目 f(x)  sinxcosx2  sin2x2，因为1sin2x 1，所以 2 5 3   f(x)  . 2 2 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小 .考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若n (2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】arctan2 【解析】设直线的倾斜角为，则tan 2,arctan2. 第1页 | 共11页【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的 倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 2 5．在(x )6的二项展开式中，常数项等于 . x 【答案】160 2 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T C3x3( )3 160 . 4 6 x 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档 题. 1 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、 2 为公比的等比数列，体积分别记为V 1 ，V 2 ，  ，V n ，  ，则lim(V 1 V 2   V n ) . n 8 【答案】 7 1 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 2 1 1 8 1为首项， 8 为公比的等比数列，因此，l n i  m  (V 1 V 2   V n )  1  7 . 1 8 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知 识较综合. 7．已知函数 f(x) e|xa|（a为常数）.若 f(x)在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是 .   【答案】 ,1 ìïexa,x³a 【解析】根据函数 f(x)exa í 看出当x ³ a时函数增函数，而已知函数 f(x)在 ïîexa,xa     区间 1, 上为增函数，所以a的取值范围为： ,1 . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的 运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目， 难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 第2页 | 共11页3 【答案】 3 1 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到 l2  2，解得母线长 2 1 1 3 l  2，2r l  2,r 1所以该圆锥的体积为：V  Sh   22 12 . 圆锥 3 3 3 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他 的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知y  f(x) x2是奇函数，且 f(1) 1，若g(x)  f(x)2，则g(1)  . 【答案】1 【解析】因为函数y  f(x) x2为奇函数，所以g(1)  f(1)2,又f(1) 1,所以，g(1) 3, f(1)  3,g(1)  f(1)2 32 1 . f(1)f(1). 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y  f(x)为奇函数，所以 有 f(x)  f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.  10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角 ， 6 若将l的极坐标方程写成 f()的形式，则 f()  . 1 【答案】  sin( ) 6 1 【解析】根据该直线过点M(2,0)，可以直接写出代数形式的方程为：y  (x2)，将此化成 2 1 极坐标系下的参数方程即可 ，化简得 f()  .  sin( ) 6 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主 ，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中 档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选 择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2 【答案】 3 第3页 | 共11页【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概 2 型得到此种情况下的概率为 . 3 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题.  12．在平行四边形ABCD中，A ，边AB、AD的长分别为2、1，若M 、N 分别是边 3 | BM | |CN | BC、CD上的点，且满足  ，则AM AN 的取值范围是 . | BC | |CD|   【答案】 2,5 【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所 5 1 示，因为AB  2,AD 1，所以 A(0,0),B(2,0),C( ,1)D( ,1). 设 2 2 1 5 1 5 5 1 5 1 5 1  N(x,1)(  x ),则BM  CN , CN  -x , BM  - x , M(2  x,(  x)sin ). 2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3   21 x 5 32 3x 根据题意，有AN (x,1),AM (  , ). 8 4 8   21 x 5 32 3x 1 5   所以AM AN  x(  )   x  ，所以2 AMAN 5. 8 4 8 2 2 6 4 2 D N C M 10 5 A B 5 10 2 4 6 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实 注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 1 13．已知函数y  f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B( ,5)、C(1,0)， 2 函数y  xf(x)（0 x 1）的图象与x轴围成的图形的面积为 . 第4页 | 共11页5 【答案】 4 ì 1 10x,0 x ï ï 2 【解析】根据题意得到， f(x)í 从而得到 1 ï 10x10, x1 p ïî 2 ì 1 10x2,0 x ï ï 2 y  xf(x)í 所以围成的面积为 1 ï 10x2 10x,  x1 ïî 2 1 1 5 5 S  210xdx (10x2 10x)dx  ，所以围成的图形的面积为 . 1 0 4 4 2 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的 运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后 的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC  2，若AD  2c， 且ABBD  AC CD  2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 . 2 【答案】 c a2 c2 1 3 【解析】据题ABBD  AC CD  2a，也就是说，线段ABBD与线段AC CD的长度 是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当BC 平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为 2 ： c a2 c2 1. 3 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件 构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20分） 15．若1 2i是关于x的实系数方程x2 bxc 0的一个复数根，则（ ） A．b  2,c 3 B．b  2,c 3 C．b  2,c  1 D．b  2,c  1 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点1 2i也是该方程的另一个根，所以 1 2i1 2i  2 b，即b  2，(1 2i)(1 2i) 3c，故答案选择B. 第5页 | 共11页【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题 ，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在ABC中，若sin2 Asin2 B sin2C，则ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C a b c 【解析】由正弦定理，得 sin A, sinB, sinC, 代入得到a2 b2 c2， 2R 2R 2R a2 b2 c2 由余弦定理的推理得cosC  0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选 2ab 择C 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理 ，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中 档题. 17．设10 x  x  x  x 104，x 105，随机变量取值x、x 、x 、x 、x 的概率 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 x  x x  x x  x x  x x  x 均为0.2，随机变量 取值 1 2 、2 3 、3 4 、4 5 、5 1 的概率也均为0.2， 2 2 2 2 2 2 若记D、D 分别为、 的方差，则（ ） 1 2 1 2 A．D  D B．D  D 1 2 1 2 C．D  D D．D与D 的大小关系与x、x 、x 、x 的取值有关 1 2 1 2 1 2 3 4 【答案】 A 1 【解析】 由随机变量, 的取值情况，它们的平均数分别为：x  (x x x x x ),， 1 2 1 5 1 2 3 4 5 1 x x x x x x x x x x  x   1 2  2 3  3 4  4 5  5 1   x , 2 5 2 2 2 2 2  1 且随机变量, 的概率都为0.2，所以有D＞D . 故选择A. 1 2 1 2 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础 ，本题属于中档题. 1 n 18．设a n  n sin 25 ，S n  a 1 a 2   a n ，在S 1 ,S 2 ,  ,S 100 中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】D 第6页 | 共11页[解析] 对于1≤k≤25,a≥0(唯a=0),所以S(1≤k≤25)都为正数. k 25 k 当26≤k≤49时,令  ,则k k,画出k终边如右, 25 25 其终边两两关于x轴对称,即有sinksin(50k), 所以S  1sin+1sin2++ 1 sin23+ 1 sin24+0 k 1 2 23 24 + 1 sin26+ 1 sin27+1sink y 26 27 k =1sin+1sin2++( 1  1 )sin24+(1  1 )sin23+ 13 12 1 2 24 26 23 27 +( 1  1)sin(50k),其中k=26,27,,49,此时050k k, 24 2  3 … … 2   50k k 所以 1  1 0,又0(50k)24,所以sin(50k)0,26  49 x 50k k 27 … … 48 从而当k=26,27,,49时,S都是正数,S=S+a=S+0=S>0. k 50 49 50 49 49 37 38 对于k从51到100的情况同上可知S都是正数. 综上,可选D. k [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析S的符号,为此,需借助分类讨论、 k 数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题 之关键. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2 2，PA=2.求： （1）三角形PCD的面积；（6分） （2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD= 22 (2 2)2 2 3，CD=2， z 所以三角形PCD的面积为122 3 2 3. ……6分 2 P （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2 2,0)，E(1, 2, 1)， E AE (1, 2,1)，BC (0,2 2,0). ……8分 A D y 设AE与BC的夹角为，则 B cos AEBC  4  2 ，=. C |AE||BC| 22 2 2 4 x 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分 F E 在AEF中，由EF= 2、AF= 2、AE=2 D A 知AEF是等腰直角三角形， 所以∠AEF=. B 4 C 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于 《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查 空间想象能力，属于中档题． 第7页 | 共11页20．已知函数 f(x)lg(x1). （1）若0 f(12x) f(x)1，求x的取值范围；（6分） （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x1时，有g(x) f(x)，求函数 y  g(x) (x[1,2])的反函数.（8分） ì22x 0 [解]（1）由í ，得1 x1. î x10 由0lg(22x)lg(x1)lg22x 1得1 22x 10. ……3分 x1 x1 因为x10，所以x122x10x10， 2  x 1. 3 3 ì1 x1 由í 得 2  x 1. ……6分  2  x 1 3 3 î 3 3 （2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此 y  g(x) g(x2) g(2x) f(2x)lg(3x). ……10分 由单调性可得y[0,lg2]. 因为x 310y，所以所求反函数是y 310x，x[0,lg2]. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指 数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y P y  12 x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49 援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 O x 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t 0.5时，P的横坐标x =7t  7 ，代入抛物线方程y  12 x2 A P 2 49 中，得P的纵坐标y =3. ……2分 P 由|AP|= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4分 2 7 由tan∠OAP= 2  7 ，得∠OAP=arctan 7 ，故救援船速度的方向 312 30 30 为北偏东arctan 7 弧度. ……6分 30 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2). 由vt  (7t)2 (12t2 12)2 ，整理得v2 144(t2  1)337.……10分 t2 因为t2  1 ³2，当且仅当t=1时等号成立， t2 所以v2 ³1442337252，即v³25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C :2x2  y2 1. 1 （1）过C 的左顶点引C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 1 1 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交C 于P、Q两点，若l与圆x2  y2 1相切，求证： 1 第8页 | 共11页OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆C :4x2  y2 1. 若M、N分别是C 、C 上的动点，且OM⊥ON， 2 1 2 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C : x2  y2 1，左顶点A( 2,0)，渐近线方程：y  2 x. 1 1 2 2 过点A与渐近线y  2 x平行的直线方程为y  2 (x 2)，即y  2 x1. 2 ì y  2 x ïìx  2 解方程组í ，得í 4 . ……2分 îy  2 x1 ï î y  1 2 所以所求三角形的面积1为S  1 |OA|| y| 2 . ……4分 2 8 （2）设直线PQ的方程是y  xb.因直线与已知圆相切， 故 |b| 1，即b2 2. ……6分 2 ì y  xb 由í ，得x2 2bxb2 10. î2x2  y2 1 ì x  x 2b 设P(x , y )、Q(x , y )，则í 1 2 . 1 1 2 2 x x b2 1 î 1 2 又2，所以 OPOQ  x x  y y 2x x b(x  x )b2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(b2 1)b2bb2 b2 20， 故OP⊥OQ. ……10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|= 2 ，则O到直线MN的距离为 3 . 2 3 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为y kx（显然|k | 2 ），则直线OM的方程为y 1 x. 2 k ì y kx ï ìx2  1 由í ，得í 4k2 ，所以|ON |2 1k2 . î4x2  y2 1 ï î y2  4 k2 k2 4k2 同理|OM |2 1k2 . ……13分 2k21 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM |2 |ON |2)d2 |OM |2|ON |2， 所以 1  1  1  3k23 3，即d= 3 . d2 |OM|2 |ON|2 k21 3 综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准 方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲 线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为y x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解 题时间，本题属于中档题 ． 23．对于数集X {1, x , x , , x }，其中0 x  x   x ，n³2，定义向量集 1 2  n 1 2  n Y {a|a(s,t),sX,tX}. 若对于任意a Y，存在a Y ，使得a a 0，则称X 1 2 1 2 具有性质P. 例如X {1,1,2}具有性质P. 第9页 | 共11页（1）若x＞2，且{1,1,2, x}，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1X，且当x ＞1时，x =1；（6分） n 1 （3）若X具有性质P，且x 1 =1，x 2 =q（q为常数），求有穷数列 x 1 , x 2 ,  , x n 的通 项公式.（8分） [解]（1）选取a (x,2)，Y中与a 垂直的元素必有形式(1,b). ……2分 1 1 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a (x , x )Y .设a (s,t)Y 满足a a 0. 1 1 1 2 1 2 由(st)x 0得st 0，所以s、t异号. 1 因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1， 故1X. ……7分 假设x 1，其中1k n，则0 x 1 x . k 1 n 选取a (x , x )Y ，并设a (s,t)Y 满足a a 0，即sx tx 0， 1 1 n 2 1 2 1 n 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾； 若t=-1，则x  sx  s x ，矛盾. n 1 n 所以x =1. ……10分 1 （3）[解法一]猜测x qi1，i=1, 2, …, n. ……12分 i 记A k {1,1, x 2 ,  , x k }，k=2, 3, …, n. 先证明：若A 具有性质P，则A 也具有性质P. k1 k 任取a (s,t)，s、tA .当s、t中出现-1时，显然有a 满足a a 0； 1 k 2 1 2 当s  1且t  1时，s、t≥1. 因为A 具有性质P，所以有a (s ,t )，s 、t A ，使得a a 0， k1 2 1 1 1 1 k1 1 2 从而s 和t 中有一个是-1，不妨设s =-1. 1 1 1 假设t A 且t A ，则t  x .由(s,t)(1, x )0，得s tx ³ x ，与 1 k1 1 k 1 k1 k1 k1 k1 sA 矛盾.所以t A .从而A 也具有性质P. ……15分 k 1 k k 现用数学归纳法证明：x qi1，i=1, 2, …, n. i 当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，A k {1,1, x 2 ,  , x k }有性质P，则x i qi1，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若A k1 {1,1, x 2 ,  , x k , x k1 }有性质P，则A k {1,1, x 2 ,  , x k } 也有性质P，所以A k1 {1,1,q,  ,qk1, x k1 }. 取a (x ,q)，并设a (s,t)满足a a 0，即x sqt 0.由此可得s与t中有 1 k1 2 1 2 k1 且只有一个为-1. 若t 1，则1，不可能； 所以s 1，x qt qqk1 qk，又x qk1，所以x qk. k1 k1 k1 综上所述，x qi1 x qi1，i=1, 2, …, n. ……18分 i i [解法二]设a (s ,t )，a (s ,t )，则a a 0等价于 s 1   t 2 . 1 1 1 2 2 2 1 2 t 1 s 2 记B {s |sX,tX,|s||t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 t 第10页 | 共11页原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数，B  (,0){x 2 ,x 3 ,  ,x n }共有n-1个数， 所以B  (0,)也只有n-1个数. 由于 x n  x n    x n  x n ，已有n-1个数，对以下三角数阵 x x x x n1 n2 2 1 x n  x n    x n  x n x x x x n1 n2 2 1 x n1  x n1    x n1 x x x n2 n3 1 …… x 2 x 1 注意到 x x 1 n  x x n 1 1    x x 1 2 ，所以 x x n n 1  x x n n  1 2    x x 1 2 ，从而数列的通项公式为 x  x (x 2 )k1  qk1 k 1 x ，k=1, 2, …, n. ……18分 1 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予 题，通过定义“X 具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的 基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 第11页 | 共11页