2020年高考数学试卷（理）（新课标Ⅱ）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（青海）数学高考真题

2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分 150分. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则ð (AÈB)=（ ） U A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】 首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：AÈB=-1,0,1,2 ，则ð U A U B=-2,3 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2.若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. p æ pö 【详解】当a=- 时，cos2a=cos ç - ÷ >0，选项B错误； 6 è 3ø 第1页 | 共25页p æ 2pö 当a=- 时，cos2a=cos ç - ÷ <0，选项A错误； 3 è 3 ø 由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0，则sin2a=2sinacosa<0，选项C错误，选 项D正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由 于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该 超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人 每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95 ，则至少需要志愿者（ ） A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名 【答案】B 【解析】 【分析】 算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900， 900 故需要志愿者 =18名. 50 故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题. 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为 天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环 比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） 第2页 | 共25页A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】 第n环天石心块数为a ，第一层共有n环，则{a }是以9为首项，9为公差的等差数列， n n 设S 为{a }的前n项和，由题意可得S -S = S -S +729，解方程即可得到n，进一步 n n 3n 2n 2n n 得到S . 3n 【详解】设第n环天石心块数为a ，第一层共有n环， n 则{a }是以9为首项，9为公差的等差数列，a =9+(n-1)´9=9n， n n 设S 为{a }的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 n n 别为S ,S -S ,S -S ，因为下层比中层多729块， n 2n n 3n 2n 所以S -S = S -S +729， 3n 2n 2n n 3n(9+27n) 2n(9+18n) 2n(9+18n) n(9+9n) 即 - = - +729 2 2 2 2 即9n2 =729，解得n=9， 27(9+9´27) 所以S = S = =3402. 3n 27 2 故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道 容易题. 5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x- y-3=0的距离为（ ） 第3页 | 共25页5 2 5 3 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a,a,a >0，可得圆的半径为a，写出圆的 标准方程，利用点 2,1 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到 直线2x- y-3=0的距离. 【详解】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 a,a ，则圆的半径为a， 圆的标准方程为x-a2 +y-a2 =a2. 由题意可得2-a2 +1-a2 =a2， 可得a2 -6a+5=0，解得a=1或a =5， 所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ， -2 2 5 圆心到直线2x- y-3=0的距离均为d = = ； 5 5 2 5 所以，圆心到直线2x- y-3=0的距离为 . 5 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属 于中等题. 6.数列{a n }中，a 1 =2，a m+n =a m a n ，若a k+1 +a k+2 + L +a k+10 =215 -25，则k =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 第4页 | 共25页取m=1，可得出数列 a  是等比数列，求得数列 a  的通项公式，利用等比数列求和公式 n n 可得出关于k的等式，由kÎN*可求得k的值. a 【详解】在等式a =a a 中，令m=1，可得a =a a =2a ，\ n+1 =2， m+n m n n+1 n 1 n a n 所以，数列 a  是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a =2´2n-1 =2n， n n a ×  1-210 2k+1×  1-210 \a +a + +a = k+1 = =2k+1 210 -1  =25 210 -1 ， k+1 k+2 L k+10 1-2 1-2 \2k+1 =25，则k+1=5，解得k =4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考 查计算能力，属于中等题. 7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在 俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ） A. E B. F C. G D. H 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点. 【详解】根据三视图，画出多面体立体图形， 第5页 | 共25页图中标出了根据三视图M 点所在位置， 可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根 据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题. x2 y2 8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于 a2 b2 D,E两点，若 ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ） V A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 x2 y2 b 因为C: - =1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y =± x，与直线x=a联立方 a2 b2 a 程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据 ODE的面积为8，可得ab值，根据 V 2c=2 a2 +b2 ，结合均值不等式，即可求得答案. x2 y2 【详解】 QC: - =1(a>0,b>0) a2 b2 b \双曲线的渐近线方程是y =± x a x2 y2 Q 直线x=a与双曲线C: - =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点 a2 b2 不妨设D为在第一象限，E在第四象限 第6页 | 共25页ìx=a ï ìx=a 联立í b ，解得í ï y = x îy =b î a 故D(a,b) ìx=a ï ìx=a 联立í b ，解得í ï y =- x îy =-b î a 故E(a,-b) \|ED|=2b 1 \ ODE面积为：S = a´2b=ab=8 V △ODE 2 x2 y2 Q 双曲线C: - =1(a>0,b>0) a2 b2 \其焦距为2c=2 a2 +b2 ³2 2ab =2 16 =8 当且仅当a =b=2 2 取等号 \C的焦距的最小值：8 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和 均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能 力和计算能力，属于中档题. 9.设函数 f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ） 1 1 1 A. 是偶函数，且在( ,+¥)单调递增 B. 是奇函数，且在(- , )单调递减 2 2 2 1 1 C. 是偶函数，且在(-¥,- )单调递增 D. 是奇函数，且在(-¥,- )单调递减 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 æ 1 1ö 根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC；当xÎ ç - , ÷时，利用函数单调性 è 2 2ø 第7页 | 共25页æ 1ö 的性质可判断出 f x 单调递增，排除B；当xÎ ç -¥,- ÷时，利用复合函数单调性可判断 è 2ø 出 f x 单调递减，从而得到结果. ì 1ü 【详解】由 f x=ln 2x+1-ln 2x-1得 f x 定义域为íx x¹± ý，关于坐标原点对称 î 2þ ， 又 f -x=ln1-2x -ln -2x-1 =ln 2x-1-ln 2x+1 =-f x ， \ f x 为定义域上的奇函数，可排除AC； æ 1 1ö 当xÎ ç - , ÷时， f x=ln2x+1-ln1-2x ， è 2 2ø æ 1 1ö æ 1 1ö Qy=ln2x+1 在ç - , ÷上单调递增，y =ln1-2x 在ç - , ÷上单调递减， è 2 2ø è 2 2ø æ 1 1ö \ f x 在ç - , ÷上单调递增，排除B； è 2 2ø æ 1ö 2x+1 æ 2 ö 当xÎ ç -¥,- ÷时， f x=ln-2x-1-ln1-2x=ln =ln ç 1+ ÷， è 2ø 2x-1 è 2x-1ø 2 æ 1ö Q m=1+ 在ç -¥,- ÷上单调递减， f m=lnm在定义域内单调递增， 2x-1 è 2ø æ 1ö 根据复合函数单调性可知： f x 在ç -¥,- ÷上单调递减，D正确. è 2ø 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称 的前提下，根据 f -x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范 围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 9 3 10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16 4 π，则O到平面ABC的距离为（ ） 3 3 A. 3 B. C. 1 D. 2 2 第8页 | 共25页【答案】C 【解析】 【分析】 根据球O的表面积和 ABC 的面积可求得球O的半径R和 ABC 外接圆半径r，由球的 V V 性质可知所求距离d = R2 -r2 . 【详解】设球O的半径为R，则4pR2 =16p，解得：R=2. 设 ABC 外接圆半径为r，边长为a， V 9 3 ABC是面积为 的等边三角形， QV 4 1 3 9 3 2 a2 2 9 \ a2´ = ，解得：a =3，\r = ´ a2 - = ´ 9- = 3， 2 2 4 3 4 3 4 \球心O到平面ABC的距离d = R2 -r2 = 4-3 =1. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用； 解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11.若2x -2y <3-x -3-y，则（ ） A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0 C. ln|x- y|>0 D. ln|x- y|<0 【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式变为2x -3-x <2y -3-y，根据 f t=2t -3-t的单调性知x< y，以此去判断各个 选项中真数与1的大小关系，进而得到结果. 【详解】由2x -2y <3-x -3-y得：2x -3-x <2y -3-y， 令 f t=2t -3-t， y =2x为R上的增函数，y =3-x为R上的减函数，\ f t 为R上的增函数， Q \x< y， 第9页 | 共25页Qy-x>0，\y-x+1>1，\lny-x+1>0，则A正确，B错误； Q x-y 与1的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函 数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 12.0- 1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a 1 a 2L a nL 满足a i Î{0,1}(i=1,2, L )，且存在正 整数m，使得a i+m =a i (i=1,2, L )成立，则称其为0- 1周期序列，并称满足a i+m =a i (i=1,2, L )的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的 0- 1 m 1序列a 1 a 2L a nL ，C(k)= m åa i a i+k (k =1,2, L ,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为 i=1 1 5的0-1序列中，满足C(k)£ (k =1,2,3,4)的序列是（ ） 5 A 11010 B. 11011 C. 10001 D. 11001 L L L L 【答案】C 【解析】 【详解】由a =a 知，序列a 的周期为m，由已知，m=5， i+m i i 1 5 C(k)= åaa ,k =1,2,3,4 5 i i+k i=1 对于选项A， 1 5 1 1 1 1 C(1)= åaa = (aa +a a +a a +a a +a a )= (1+0+0+0+0)= £ 5 i i+1 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 5 i=1 1 5 1 1 2 C(2)= åaa = (aa +a a +a a +a a +a a )= (0+1+0+1+0)= ，不满足 5 i i+2 5 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 5 5 i=1 ； 对于选项B， 1 5 1 1 3 C(1)= åaa = (aa +a a +a a +a a +a a )= (1+0+0+1+1)= ，不满足； 5 i i+1 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 i=1 对于选项D， 第10页 | 共25页1 5 1 1 2 C(1)= åaa = (aa +a a +a a +a a +a a )= (1+0+0+0+1)= ，不满足 5 i i+1 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 i=1 ； 故选：C 【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及 数学运算能力，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 2 【答案】 2 【解析】 【分析】 首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. ® ® 2 【详解】由题意可得：a×b =1´1´cos45o = ， 2 æ ® ®ö ® 由向量垂直的充分必要条件可得：çka-b÷×a =0， è ø ®2 ® ® 2 2 即：k´a -a×b =k- =0，解得：k = . 2 2 2 故答案为： ． 2 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识 ，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名 同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】 【分析】 根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即 可求得答案. 第11页 | 共25页【详解】 Q4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至 少安排1名同学 \先取2名同学看作一组，选法有：C2 =6 4 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A3 =6 3 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6´6=36种 故答案为：36. 【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使 用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 15.设复数z ，z 满足|z|=|z |=2，z +z = 3+i，则|z -z |=__________. 1 2 1 2 1 2 1 2 【答案】2 3 【解析】 【分析】 令z =2cosq+2sinq×i，z =2cosa+2sina×i，根据复数的相等可求得 1 2 1 cosqcosa+sinqsina=- ，代入复数模长的公式中即可得到结果. 2 【详解】Q z 1 = z 2 =2，可设z 1 =2cosq+2sinq×i，z 2 =2cosa+2sina×i， \z +z =2cosq+cosa+2sinq+sina×i = 3+i， 1 2 ì ï2cosq+cosa= 3 \í ，两式平方作和得：42+2cosqcosa+2sinqsina=4， ïî 2sinq+sina=1 1 化简得：cosqcosa+sinqsina=- 2 \ z -z = 2cosq-cosa+2sinq-sina×i 1 2 = 4cosq-cosa2 +4sinq-sina2 = 8-8cosqcosa+sinqsina = 8+4 =2 3 故答案为：2 3. 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式， 第12页 | 共25页将问题转化为三角函数的运算问题. 16.设有下列四个命题： p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 1 p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面. 2 p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 3 p ：若直线lÌ平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 4 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① p Ù p ② p Ù p ③Øp Ú p ④Øp ÚØp 1 4 1 2 2 3 3 4 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 p 的真假；利用三点共线可判断命题 p 的真假； 1 2 利用异面直线可判断命题 p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 p 的真假.再利用复合 3 4 命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题 p ，可设l 与l 相交，这两条直线确定的平面为a； 1 1 2 若l 与l 相交，则交点A在平面a内， 3 1 同理，l 与l 的交点B也在平面a内， 3 2 所以，ABÌa，即l Ìa，命题 p 为真命题； 3 1 对于命题 p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 2 命题 p 为假命题； 2 对于命题 p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 3 命题 p 为假命题； 3 第13页 | 共25页对于命题 p ，若直线m^平面a， 4 则m垂直于平面a内所有直线， 直线l Ì平面a，\直线m^直线l， Q 命题 p 为真命题. 4 综上可知， p Ù p 为真命题， p Ù p 为假命题， 1 4 1 2 Øp Ú p 为真命题，Øp ÚØp 为真命题. 2 3 3 4 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考 查推理能力，属于中等题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.V ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求 ABC 周长的最大值. V 2p 【答案】（1） ；（2）3+2 3. 3 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A； （2）利用余弦定理可得到AC+ AB2 -AC×AB=9，利用基本不等式可求得AC+ AB的 最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：BC2 -AC2 -AB2 = AC×AB， AC2 + AB2 -BC2 1 \cosA= =- ， 2AC×AB 2 2p Q AÎ0,p ，\A= . 3 （2）由余弦定理得：BC2 = AC2 + AB2 -2AC×ABcosA= AC2 + AB2 + AC×AB=9， 第14页 | 共25页即AC+ AB2 -AC×AB=9. 2 æ AC+ ABö AC×AB£ （当且仅当AC = AB时取等号）， Q ç ÷ è 2 ø 2 æ AC+ ABö 3 \9=AC+ AB2 -AC×AB³AC+ AB2 - = AC+ AB2， ç ÷ è 2 ø 4 解得：AC+ AB£2 3（当且仅当AC = AB时取等号）， \ ABC 周长L= AC+ AB+BC £3+2 3，\ ABC 周长的最大值为3+2 3. V V 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、 三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结 合基本不等式构造不等关系求得最值. 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某 种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法 抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个样 i i i i 20 区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 åx =60， i i=1 20 20 20 20 åy =1200， å（x -x)2 =80， å（y - y)2 =9000， å（x -x（) y - y)=800. i i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生 动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）； i i （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. n å（x -x（) y - y) i i i=1 附：相关系数r= ， 2 =1.414. n n å（x -x)2å（y - y)2 i i i=1 i=1 【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析 【解析】 【分析】 第15页 | 共25页（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可； 20 å(x -x)(y - y) i i （2）利用公式r = i=1 计算即可； 20 20 å(x -x)2å(y - y)2 i i i=1 i=1 （3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样. 1 20 1 【详解】（1）样区野生动物平均数为 åy = ´1200=60， 20 i 20 i=1 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200´60=12000 （2）样本(x ,y )的相关系数为 i i 20 å(x -x)(y - y) i i 800 2 2 r = i=1 = = »0.94 20 20 80´9000 3 å(x -x)2å(y - y)2 i i i=1 i=1 （3） 由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样 先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本， 在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可. 【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数 学运算能力，是一道容易题. x2 y2 19.已知椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶 1 2 1 2 a2 b2 4 点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|. 1 2 3 （1）求C 的离心率； 1 （2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程. 1 2 1 2 1 x2 y2 【答案】（1） ；（2）C : + =1，C : y2 =12x. 2 1 36 27 2 【解析】 【分析】 第16页 | 共25页4 （1）求出 AB 、 CD ，利用 CD = AB 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆C 的 3 1 离心率的值； x2 y2 （2）由（1）可得出C 的方程为 + =1，联立曲线C 与C 的方程，求出点M 的坐 1 4c2 3c2 1 2 标，利用抛物线的定义结合 MF =5可求得c的值，进而可得出C 与C 的标准方程. 1 2 【详解】（1）Q Fc,0 ，AB^ x轴且与椭圆C 1 相交于A、B两点， 则直线AB的方程为x=c， ìx=c ï ìx=c ïx2 y2 ï 2b2 联立í + =1，解得í b2 ，则 AB = ， ï a2 b2 ï y =± a î a ïa2 =b2 +c2 î ìx=c 抛物线C 的方程为y2 =4cx，联立í ， 2 îy2 =4cx ìx=c 解得í ，\CD =4c， îy =±2c 4 8b2 Q CD = AB ，即4c= ，2b2 =3ac， 3 3a 即2c2 +3ac-2a2 =0，即2e2 +3e-2=0， 1 1 Q00) V 可得：ON = AP，NP= AO= AB=6m Q O为△A 1 B 1 C 1 的中心，且△A 1 B 1 C 1 边长为6m 1 \ON = ´6´sin60°= 3m 3 故：ON = AP = 3m Q EF//BC AP EP \ = AM BM 第20页 | 共25页3 EP \ = 3 3 3 解得：EP=m 在BC 截取BQ= EP=m，故QN =2m 1 1 1 BQ= EP且BQ//EP Q 1 1 \四边形BQPE是平行四边形， 1 \BE//PQ 1 由（1）BC ^平面AAMN 1 1 1 故ÐQPN 为BE与平面AAMN所成角 1 1 在Rt△QPN ，根据勾股定理可得：PQ= QN2 +PN2 = 2m2 +6m2 =2 10m QN 2m 10 \sinÐQPN = = = PQ 2 10m 10 10 \直线BE与平面AAMN所成角的正弦值： . 1 1 10 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直 转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； 3 3 （2）证明： f(x) £ ； 8 3n （3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ . 4n æ pö æp 2pö 【答案】（1）当xÎ ç 0, ÷时， f 'x>0, f x 单调递增，当xÎ ç , ÷时， è 3ø è 3 3 ø æ2p ö f 'x<0, f x 单调递减，当xÎ ç ,p ÷时， f 'x>0, f x 单调递增.（2）证明见解 è 3 ø 析；（3）证明见解析. 【解析】 第21页 | 共25页【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原 函数的单调性即可； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即 可证得题中的不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 2 f x=ésinx  sin2 xsin2x  sin22xsin4x   sin22n-1xsin2nx  sin22nxù3，然后结合(2 ë L û )的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得： f x=2sin3 xcosx，则： f 'x=2  3sin2 xcos2 x-sin4 x  =2sin2 x  3cos2 x-sin2 x  =2sin2 x  4cos2 x-1  =2sin2 x2cosx+12cosx-1 ， p 2p f 'x=0在xÎ0,p 上的根为：x = ,x = ， 1 3 2 3 æ pö 当xÎ ç 0, ÷时， f 'x>0, f x 单调递增， è 3ø æp 2pö 当xÎ ç , ÷时， f 'x<0, f x 单调递减， è 3 3 ø æ2p ö 当xÎ ç ,p ÷时， f 'x>0, f x 单调递增. è 3 ø (2)注意到 f x+p=sin2x+psiné ë 2x+pù û =sin2 xsin2x= f x ， 故函数 f x 是周期为p的函数， 结合(1)的结论，计算可得： f 0= f p=0， 2 2 æpö æ 3ö 3 3 3 æ2pö æ 3ö æ 3ö 3 3 f ç ÷ =ç ç ÷ ÷ ´ = ， f ç ÷ =ç ç ÷ ÷ ´ç ç - ÷ ÷ =- ， è 3ø è 2 ø 2 8 è 3 ø è 2 ø è 2 ø 8 3 3 3 3 据此可得：éf xù = ，éf xù =- ， ë û ë û max 8 min 8 3 3 即 f x £ . 8 第22页 | 共25页(3)结合(2)的结论有： sin2 xsin22xsin24x sin22nx L 2 =ésin3 xsin32xsin34x sin32nxù3 ë L û 2 =ésinx  sin2 xsin2x  sin22xsin4x   sin22n-1xsin2nx  sin22nxù3 ë L û 2 é 3 3 3 3 3 3 ù3 £êsinx´ ´ ´ L ´ ´sin22nxú 8 8 8 ë û 2 é æ3 3ö nù3 æ3ö n £êç ÷ ú = ç ÷ . ê ç è 8 ÷ ø ú è4ø ë û 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的 知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选 题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程] ì 1 x=t+ , ìx=4cos2q， ï ï t 22.已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ：í （θ为参数），C ：í （t为 1 2 1 îy =4sin2q 2 ï 1 y =t- ïî t 参数）. （1）将C ，C 的参数方程化为普通方程； 1 2 （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极 1 2 轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程. 17 【答案】（1）C :x+ y =4；C :x2 - y2 =4；（2）r= cosq. 1 2 5 【解析】 【分析】 （1）分别消去参数q和t即可得到所求普通方程； 第23页 | 共25页（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化 即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由cos2q+sin2q=1得C 的普通方程为：x+ y =4； 1 ì 1 ì 1 x=t+ x2 =t2 + +2 ï ï ï t ï t2 由í 得：í ，两式作差可得C 的普通方程为：x2 - y2 =4. 1 1 2 ï y =t- ï y2 =t2 + -2 ïî t ïî t2 ì 5 x= ìx+ y =4 ï ï 2 æ5 3ö （2）由í 得：í ，即P ç , ÷； îx2 - y2 =4 ï 3 è2 2ø y = ïî 2 设所求圆圆心的直角坐标为 a,0 ，其中a >0， æ 5ö 2 æ 3ö 2 17 17 则 a- + 0- =a2，解得：a = ，\所求圆的半径r = ， ç ÷ ç ÷ è 2ø è 2ø 10 10 æ 17ö 2 æ17ö 2 17 \所求圆的直角坐标方程为： x- + y2 = ，即x2 + y2 = x， ç ÷ ç ÷ è 10ø è10ø 5 17 \所求圆的极坐标方程为r= cosq. 5 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐 标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. [选修4—5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)= x-a2 +|x-2a+1|. （1）当a=2时，求不等式 f(x)…4的解集； （2）若 f(x)…4，求a的取值范围. ì 3 11ü 【答案】（1）íx x£ 或x³ ý；（2） -¥,-1 U 3,+¥ . î 2 2 þ 【解析】 【分析】 （1）分别在x£3、3< x<4和x³4三种情况下解不等式求得结果； 第24页 | 共25页（2）利用绝对值三角不等式可得到 f x³a-12 ，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当a=2时， f x= x-4 + x-3 . 3 当x£3时， f x=4-x+3-x=7-2x³4，解得：x≤ ； 2 当3< x<4时， f x=4-x+x-3=1³4，无解； 11 当x³4时， f x=x-4+x-3=2x-7³4，解得：x³ ； 2 ì 3 11ü 综上所述： f x³4的解集为íx x£ 或x³ ý. î 2 2 þ （2） f x= x-a2 + x-2a+1 ³  x-a2 -x-2a+1 = -a2 +2a-1 =a-12 （当且 仅当2a-1£ x£a2时取等号）， \a-12 ³4，解得：a£-1或a³3， \a的取值范围为 -¥,-1 U 3,+¥ . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考 题型. 第25页 | 共25页