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专题 04 三角函数
易错点1 不能正确理解三角函数的定义
角α的终边落在直线y＝2x上，则sinα的值为
A．－ B．
C． D．±
【错解】选C.
在角的终边上取点P(1,2)，∴r＝|OP|＝＝，∴sinα＝＝＝，故选C．
【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理，而错解中
没有对两种情况进行讨论导致错误．
【参考答案】D
1．定义
设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 的终边上任意一
点 ， 到 原 点 的 距 离 ， 那 么 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 分 别 是．
注意：正切函数 的定义域是 ，正弦函数和余弦函数的定义域都是 .
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．在平面直角坐标系 中，点 是角 终边上的一点，则 等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 点 是角 终边上的一点，
，
从而 ，故选A.学！科网
【名师点睛】本题考查主要考查三角函数的定义以及二倍角的正切公式的应用，意在考查综合运用所学知
识解答问题的能力，属于中档题.
易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值．
【错解】①当00)来确定ω；
④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为 (即令ωx＋φ＝
0，x＝ )确定φ.
函数 的图象向右平移 个单位长度误写成 .
（1）三角函数图象变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的 变
换”的原则.
（2）对于三角函数图象平移变换问题,其平移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变
量 ,如果 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不
同时,首先要将函数名称统一,其次要把 变换成 ,最后确定平移的单位,并根据 的符号确定
平移的方向.
易错点5 注意符号对三角函数性质的影响已知函数f(x)＝2cos.
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若x∈[－π，π]，求f(x)的最大值和最小值．
【错解】（1）由－π≤－≤0得，≤x≤，
∴f(x)的单调递增区间为.
（2）∵－1≤cos≤1，
∴[f(x)] ＝2，[f(x)] ＝－2.
max min
【错因分析】（1）忽略了函数f(x)的周期性；（2）忽略了x∈[－π，π]对函数f(x)的最值的影响．
【参考答案】（1）函数 的单调递增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)；（2）f(x) ＝2，f(x) ＝－.
max min
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
（1）已知三角函数解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；
②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过
解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三
角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.
4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)
的形式，再分别应用公式T= ，T= ，T= 求解．
（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数
的零点，因此在判断直线x=x 或点（x，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验
0 0
f（x）的值进行判断．
0
（3）若（f x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋ （k Z），同时当x=0时，（f x）取得最大或最小值．若（f x）
=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.
5．已知函数 ．将 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数为偶函数，则
关于函数 ，下列命题正确的是
A．函数 在区间 上有最小值 B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 的一条对称轴为 D．函数 的一个对称点为【答案】B
【解析】由题意知平移后的解析式为： ，因为此函数为偶函数，
所以y轴为其对称轴之一，所以将 代入可得 ，
解得： ，由 的取值范围可得 ，
所以原解析式为 ，
A选项，将区间代入函数，可得 ，根据 图象可知无最值，
B选项，将区间代入函数，可得 ，根据 图象知函数单调递增，
C选项，将 代入函数，可得 ，所以 应为对称中心的横坐标，
D选项，将 代入函数，可得 ，所以应为对称轴与x轴交点.
故选B.
【名师点睛】本题综合考查函数图象的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明确解
题思路，注意结合图象解题，会更容易理解.
三角函数的图象与性质是高考考试的重点与难点,掌握三角函数的图象与性质,并能灵活运用,解答此类问题
的关键是将三角函数变形为 处理．
（1）在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略复合函数的单调性，直接由： ，得
出错误结论；二是易忽略对字母 的限制,在解答此类问题时，一定要注意对字母 的限制.
（2）在解答本题时，容易忽视了对a>0，a<0两种情况进行讨论．（3）在解答本题时，误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(kπ，0)(其中k∈Z)，但由正切函数的图象发现：
点(kπ＋，0)(其中k∈Z)也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(，0)(其中k∈Z)．
易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误
已知α、β为三角形的两个内角，cosα＝ ，sin（α＋β）＝ ，则β＝
A． B．
C． D．
【错解】选C.
∵0<α<π，cosα＝ ，∴sinα＝ .
又∵sin（α＋β）＝ ，∴cos（α＋β）＝－
∴sinβ＝sin[（α+β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝ .
又∵0<β<π，∴β＝ .
【错因分析】（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin（α＋
β）时不能正确判断符号，产生两角．
（2）结论处应由cosβ的值确定β的取值，由sinβ确定结论时易出现两解而造成失误．【参考答案】A
利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最后确
定角的具体取值．
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊
角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角
的三角函数，从而得解.学！科网
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 ，则选正弦较好.
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如： ， ，
， ， ， .
（2）互余与互补关系
例如： ， .
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
6．（1）在 中， ，则这个三角形的形状为
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
（2）若 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】（1）B；（2）C.
（1）【解析】 在 中，
，
，
三角形是钝角三角形，故选B.
【点睛】本题考查三角形的形状，两角和的余弦函数的应用，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）
通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定
理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角
进而知其为钝角三角形.
（ 2 ）【 解 析 】 两 边 平 方 得 可 得，
解得 ，
.
则
则
故选C.
易错点7 求函数 的性质时出错
函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值为 .
【错解】
函数的最大值为＝.
【错因分析】形如y＝asinx＋bcosx的函数的最大值为，而函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)不符合上述形式．
【试题解析】y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)
＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°]
＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30°
＝5sin(x＋20°)＋2cos(x＋20°)－2sin(x＋20°)
＝3sin(x＋20°)＋2cos(x＋20°)，
∴ .
【参考答案】
1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
（2）利用公式 求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，
根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．
2．研究y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的性质时，一定要先利用诱导公式把 化为正数后求解.
7．已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单
位，得到函数 的图象，求函数 的图象的对称中心坐标.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 .
（2）由（1）知 ，把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到 的图象，再把得到的图象向左平移 个单位，得到 的图象，
所以函数 的图象的对称中心是 .【名师点睛】本题主要考查的知识点是函数 的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，以
及正弦函数的图象，掌握在化简过程中各公式的运用是解此类问题的关键.
求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再结
合正弦函数y=sinx，y=cosx，y=tan x的性质研究其相关性质．
易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误
在 中，若 ，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
【错解】选A.
由正弦定理，可得
【错因分析】错解中没有考虑角 的取值范围，误认为角 的取值范围为 .
【试题解析】由正弦定理可得
【参考答案】B1．利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不
明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
2．常见结论：
（1）三角形的内角和定理：
在 中， ，其变式有： ， 等．
（2）三角形中的三角函数关系：
； ；
； .
8．在 中，角A,B,C所对的边分别为 ，则实数a的取值范围是
____________.
【答案】 .
【解析】 由 ，
得 ，所以 ，
则由余弦定理 ，
得 ，解得 ，又 ，
所以 的范围是 .【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，
通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三
边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频
考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．角的有关概念
（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）分类 .
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
．
终边与 轴重合的角的集合为 ；终边与 轴重合的角的集合为 ；
终边与坐标轴重合的角的集合为 ．
2．弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
（2）公式
角α的弧度数公式 （弧长用l表示）
角度与弧度的换算
弧长公式 弧长扇形面积公式
3．任意角的三角函数
（1）定义：设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 的终边
上任意一点， 到原点的距离 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别是
．
（2）三角函数值在各象限内的符号：
（3）各象限内的三角函数线如下：
角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
图形
（4）特殊角的三角函数值：
0
0
1 0 0
1 0 0 10 1 不存在 0 不存在 0
4．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系： ．
（2）商的关系： ．
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ+α
角 π+α −α π−α −α +α
（k∈Z）
正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tan α tanα −tanα −tanα
函数名不变， 函数名改变，
口诀
符号看象限 符号看象限
二、三角函数的图象与性质
1．正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质
函
数
图
象定
义
域
值
域
当 时，
当 时，
； ；
最
既无最大值，也无最小值
值
当 时，
当 时，
．
．
周
期 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
性
奇
偶 ,奇函数 ，偶函数 ，奇函数
性
在
在 上是
单 上是增函数； 增函数； 在
调
性 在 在 上是 上是增函数．
减函数．
上是减函数．
对称中心 ；
对称中心 ；
对称中心 ；
对
对称轴 ，
称
对称轴 ， 无对称轴，
性
既是中心对称图形又是轴对称 既是中心对称图形又是轴对称 是中心对称图形但不是轴对
图形. 图形. 称图形.
2．函数 的图象与性质
（1）图象变换：
由函数 的图象通过变换得到 （A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平
移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.五点作图法：
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T= ,在一个周期内作出图象；
②令 ,令X分别取0， , , ,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到 的简图.
（2）函数 （A>0,ω>0）的性质：①奇偶性： 时，函数 为奇函数； 时，函数 为偶函数.
②周期性： 存在周期性，其最小正周期为T= .
③单调性：根据y=sint和t= 的单调性来研究，由 得单调增区
间；由 得单调减区间.
④对称性：利用y=sin x的对称中心为 求解，令 ，求得x.
利用y=sin x的对称轴为 求解，令 ，得其对称轴.
三、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） ：
（2） ：
（3） ：
（4） ：
（5） ：
（6） ：
2．二倍角公式
（1） ：（2） ：
（3） ：
公式的常用变形：
（1） ；
（2）降幂公式： ； ；
（3）升幂公式： ； ； ；
（4）辅助角公式： ，其中 ，
3．半角公式
（1）
（2）
（3）此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
四、正、余弦定理及解三角形
1．正弦定理
（1）内容：在 中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即
.正弦定理对任意三角形都成立．
（2）常见变形：
①
②
③
④正弦定理的推广： ，其中 为 的外接圆的半径.
1．正弦定理解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
2．在 中，已知 ， 和 时，三角形解的情况
2．余弦定理
（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
倍，即
（2）从余弦定理，可以得到它的推论：
.
1．余弦定理解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
2．利用余弦定理解三角形的步骤3．三角形的面积公式
设 的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.
（1） (h为BC边上的高)；
（2） ；
（3） ( 为三角形的内切圆半径)．
1．（2018年新课标I卷文）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，
，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，可知 三点共线，从而得到 ，
因为 ，
解得 ，即 ，所以 ，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标
的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
2．（2018年新课标Ⅲ卷文）若 ，则A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 .故答案为B.
3．（2018新课标全国Ⅱ）在 中， ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 所以
，选A.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化
为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
4．（2018新课标全国Ⅲ） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 ，所以 ，由余弦定理
，得 ，因为 ，所以 ，故选C.
5．（2018新课标全国Ⅲ文科）函数 的最小正周期为
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】 ，故所求的最小正周期为 ，故
选C.
【名师点睛】函数 的性质：
(1) .
(2)最小正周期
(3)由 求对称轴.
(4)由 求增区间;由 求减区间.
6．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知函数 ，则
A． 的最小正周期为π，最大值为3
B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为 ，最大值为3
D． 的最小正周期为 ，最大值为4
【答案】B
【解析】根据题意有 ，所以函数 的最小正周期为
，且最大值为 ，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，
在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.7．（2018天津文科）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式
为 .则函数的单调递增区间满足 ，即
，令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项A正确，B错误；函数
的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得函数的
一个单调递减区间为 ，选项C，D错误.故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
8．（2016新课标I卷文）将函数y=2sin (2x+ )的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为
A．y=2sin(2x+ ) B．y=2sin(2x+ )
C．y=2sin(2x– ) D．y=2sin(2x– )
【答案】D
【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.
9．（2017天津卷文）设函数 ，其中 ．若 且
的最小正周期大于 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，其中 ，所以 ，又 ，所
以 ，所以 ， ，由 得 ，故选A．
【名师点睛】关于 的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 ，再根据最小正
周期求 ，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的 的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大
致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求 或 的值、函数最值、取值范围等．
10．（2017新课标I卷文） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
，a=2，c= ，则C=
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意 得
，
即 ，所以 ．
由正弦定理 得 ，即 ，
因为c
