3.7 圆锥曲线中定点定直线问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：圆锥曲线中定点问题的思路与策略......................................2
考点二：直线过定点问题............................................................. 2
考点三：圆过定点问题................................................................ 2
考点四：与定点问题有关的基本结论...............................................3
考点五：定直线问题的处理方法.................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：椭圆中直线过定点问题.................................................... 4
题型二：双曲线中直线过定点问题..................................................6
题型三：抛物线中直线过定点问题..................................................8
题型四：圆锥曲线中动圆过定点.................................................... 9
题型五：椭圆中定直线问题........................................................ 11
题型六：双曲线中定直线问题......................................................13
题型七：抛物线中定直线问题......................................................15
题型八：圆锥曲线中定曲线问题...................................................17
模块三：综合巩固....................................................................... 18
3.7 圆锥曲线中定点定直线问题
模块一：基础知识
考点一：圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）
(2)利用条件找到k 与过定点的曲线
,
0
F x y
的联系，得到有关k 与,x y 的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点
0
0
,
x
y
，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于k
与,x y 的等式进行变形，直至易于找到
0
0
,
x
y 。常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“
k
”的形式，从而
0
0
,
x
y 只需要先
让括号内的部分为零即可
②若等式为含k 的分式，
0
0
,
x
y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或
者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择
容易观察到的形式）
2.圆锥曲线过定点问题处理方法
（1）参数无关法
把直线或者曲线方程中的变量x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程
就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y 的方程组，这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
（2）特殊到一般法
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
（3）关系法
对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上
两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），
然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
考点二：直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y
kx
b
，然后利用题中条件整理出,k b 的关
系，若
,
b
km
n m n
为常数，代入y
kx
b
得
y
k x
m
n
，则该直线过定点
,
m n
。
考点三：圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为PA
PB
，也可以转化
为
0
PA PB
考点四：与定点问题有关的基本结论
1.若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ，则OA
OB
直线l 过定点
2 ,0
P
p
；
2. 若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ，则
OA
OB
k
k
m
直线l 过定点
2 ,0
P p
m
p
；
3.设点
2
0
0
2
,2
P
pt
pt
是抛物线
2
2
y
px
上一定点，
,
M N 是该抛物线上的动点，则PM
PN
直线MN 过
定点
2
0
0
2
2
, 2
Q
p
pt
pt
。
4.设点
0
0
,
A x y
是抛物线
2
2
y
px
上一定点，
,
M N 是该抛物线上的动点，则
AM
AN
k
k
m
直线MN 过定
点
0
0
2
,
p
P x
y
m
；
5.过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ，则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
；
6.过椭圆
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ，则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
；
7.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点，点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若
0
PA
PB
k
k
，则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
；
8. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点，点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点
考点五：定直线问题的处理方法
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题这类问题的核心在于确定定点的
轨迹，主要方法有：
（1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证
模块二：题型分类
题型一：椭圆中直线过定点问题
1.已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2，F1F2 = 4，过F2的直线l 与椭圆C 交于
P，Q 两点，△PQF1的周长为8 2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，点A，F1分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M，N（M，N 都在x
轴上方）．且∠AF1M = ∠OF1N．证明直线m 过定点，并求出该定点的坐标．
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
1,0
F
，A、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 的
上顶点，PAB
的面积为
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线:l y
kx
m
与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点
2,0
Q
，若直线MQ 的斜率与直线NQ 的斜率
互为相反数，求证：直线l 过定点.
3.已知点
1
1,0
F
，
2 1,0
F
，曲线C 上的动点M 满足
1
2
1
2
2
MF
MF
F F
．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若直线
1
MF 与曲线C 相交于另一点N，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P，证明：
直线PN 恒过一定点．
4.椭圆C 的焦点为
1
2,0
F
，
2
2,0
F
，且点
2,1
M
在椭圆C上．过点
0,1
P
的动直线l 与椭圆相交
于A，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．
5.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
1
2，依次连接四个顶点得到的图形的面积为4 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过直线x = 4 上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M, N，求证：直线MN 过定点.
6.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点，
1
2
F MF
△
是等
腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点，设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
4
k
k
，求证：
直线AB 过定点
1 ,1
2
.
7.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .离心率等于
6
3
，点P 在y 轴正半轴上，
1
2
PF F
△
为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，
直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
题型二：双曲线中直线过定点问题
1.已知圆M：
2
2
5
9
x
y
的圆心为M，圆N：
2
2
5
1
x
y
的圆心为N，一动圆与圆N 内切，与圆
M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C 为双曲线的一支；
(2)已知点
2,0
P
，不经过点P 的直线l 与曲线C 交于A，B 两点，且
0
PA PB
．直线l 是否过定点？若过
定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
2.已知双曲线Ω: mx2 −ny2 = 1 经过点A(8,
7), B(4, −1)．
(1)求Ω的离心率；
(2)设直线l: y = kx + b(k ≠0)经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点M, N，点N 关于x 轴的对称点为点
P，证明：直线PM 过定点．
3．双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的一条渐近线l 的倾斜角为π
6 ，过左、右焦点
1F ，
2
F 分别作l
的垂线，两垂足间的距离为2 3．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点P（1，0）且斜率不为0 的直线1l 与双曲线C 交于M，N 两点，记N 关于x 轴的对称点为Q，证明
直线MQ 过x 轴上的定点．
4.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2，点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A，B 两
点（异于点P），直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.
5.已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2，且F1F2 = 8，过F2作其中一条渐近
线的垂线，垂足为M，延长F2M 交另一条渐近线于点N，且F2M = MN ．
(1)求C 的方程；
(2)如图，过A 6,0 作直线l（l 不与x 轴重合）与曲线C 的两支交于P,Q 两点，直线F1P, F1Q 与C 的另一个
交点分别为S, T，求证：直线ST 经过定点．
题型三：抛物线中直线过定点问题
1.已知抛物线C: x2 = 2py 的焦点与椭圆C':
x2
4 + y2 = 1 的上顶点重合，点A 是直线l: x −2y −8 = 0 上任意
一点，过点A 作抛物线的两条切线，切点分别为M、N．
(1)求抛物线C 的方程．
(2)证明直线MN 过定点，并且求出定点坐标．
2.在平面直角坐标系xOy 中，点
,1
A m
在抛物线
2
:
2
C y
px
上，且A 到C 的焦点的距离为1．
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
两点，
1
2
0
y y
，且
3
OP OQ
，试探究直线l 是否过定点，
若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由．
3.已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线
2
0
x
y
的距离为5 2
4
.点
0
0
0
,
0
N x
y
y
为此抛物线上的一点，
5
2
NF
.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A，B，且
2
NA
NB
k
k
.
（1）求抛物线方程和N 点坐标；
（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.
4.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点
0
(
,4)
M x
在C 上，且
5
2
p
MF
．
（1）求点M 的坐标及C的方程；
（2）设动直线l 与C 相交于
,
A B 两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，
求出该点坐标；若不过，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y＝x－2 上一动点，过点M 作抛物线C：x
2＝y 的两条切线MA，MB，
切点分别为A，B，N 为AB 的中点．
（1）证明：MN⊥x 轴．
（2）直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型四：圆锥曲线中动圆过定点
1.已知抛物线C 的方程为
2
2
y
px
，若不过原点的直线y
kx
b
与抛物线C 相交于A ，B 两点，且以AB 为
直径的圆过坐标原点，证明直线y
kx
b
过定点．
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
(1 0)
F ，，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C交于A ，
B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，
3
AB
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线
4
x
于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的
圆过定点.
3.已知与圆
2
2
: (
1)
3
C
x
y
相切的直线l，过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
的焦点F，且直线l 的倾斜角为
2
3
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）直线1l 与抛物线E 交于点A，B 两点，且A，B 关于直线
5 3
y
x
对称，在
1
2
y
x
上是否存在点N，
使得以AB 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.
4.已知圆
2
2
:(
3)
72
M
x
y
，点
3,0
N
，动圆P 经过点N ，且与圆M 相切，记动圆圆心P 的轨迹为W ．
(1)求轨迹W 的方程；
(2)过点
0, 1
Q
的动直线l 交曲线W 于,
A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这
个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．
5.已知F 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点，点P 在C 上，且满足
3,4
FP
．
(1)求点P 的坐标及C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 相交于,
A B 两点，且l 不过点P ，若直线
,
PA PB 分别交C 的准线于,
S T 两点，证
明：以线段ST 为直径的圆恒过定点．
6.已知常数
0
s
，向量
0,1
a
，
,0
b
s
，经过点
,0
A s
的直线AD 以a
b
为方向向量，经过点
,0
B
s
的直线BD以
4
b
a
为方向向量，其中
R
．
(1)求点D 的轨迹方程，并指出轨迹E ．
(2)当
3
s
时，点A 为轨迹E 与x 轴正半轴的交点，过点
6,0
T
的直线2l 与轨迹E 交于P 、Q 两点，直线AP 、
AQ 分别与直线
6
x
相交于M ，N 两点，试问：是存在定点R 在以M 、N 为直径的圆上？若存在，求出
R 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：椭圆中定直线问题
1.椭圆E 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为
2,0
A
，
2,0
B
，点
1,
6 在椭圆E
上．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)过点
1,0
的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点（异于点A，B），记直线AP 与直线BQ 交于点M，试问点M
是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
2.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左顶点为A −3,0 ，右顶点为B 3,0 ，椭圆上不同于点A, B 的一点P
满足kPA ⋅kPB =−
4
9.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点2,0 的直线l 交椭圆C 于M､N 两点，直线AM､BN 交于点Q，证明：点Q 在定直线上.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左，右顶点分别为A，B，且AB
4
，椭圆C 离心率为1
2 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0 的直线l 交椭圆C 于M，N 两点，直线AM，BN 交于点Q，求证：点Q
在直线
4
x
上．
4.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的离心率为
2
2 ，A，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线y =
kx + 4 与C 交于不同的两点M，N．
(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；
(2)若AB = 4，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．
5.已知双曲线Γ:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左､右焦点分别为F1, F2，左､右顶点分别为A1, A2，在x 轴上位
于F2右侧有一点A，满足AF1 ⋅AF2 = 4, AA1 = 5, AA2 = 1.
(1)求Γ的方程；
(2)过点A 且不与坐标轴垂直的直线l 与Γ交于M, N 两点，以A 为圆心作圆与直线x = 3 交于E, F 两点，
证明：直线ME, NF 的交点恒在直线x =
4
3上.
6.已知椭圆C 的两个顶点分别为A 0,1 、B 0, −1 ，焦点在x 轴上，离心率为
3
2 ，直线l: y = kx −
5
3 k < 0
与椭圆C 交于M、N 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当k 变化时，是否存在过点A 的定直线m，使直线m 平分∠MAN？若存在，求出该定直线的方程；若
不存在，请说明理由.
题型六：双曲线中定直线问题
1.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线方程为y
x
，且点
6,
2
P
在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为,
A B ，在直线
1
x 上取一点
1,
0
P
t
t
，直线AP 交双曲线右支于点C ，直
线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.
2.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的右焦点F
10, 0 到C 的一条渐近线的距离为6．
(1)求C 的方程．
(2)设C 的左、右顶点分别为A1，A2，过点3,0 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于M，N 两点，直线A1M
与直线A2N 相交于点P．试问点P 是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
3.已知点
1,0
A
，
1 0
B
,
，动点
,
P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3，记动点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
2,0
F
的直线与曲线C 交于
,
M N 两点，直线AM 与BN 相交于Q ．求证：点Q 在定直线上．
4.已知A，B 分别是双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一点，直线PA，
PB 的斜率分别为k1, k2，且k1k2 = |AB| = 4.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点(4,0)的直线l: x = my + 4，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）.
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线AD 与直线BE 交于点Q，求证：点Q 在定直线上.
5.在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，A( −1,0), B(1,0)，动点P 满足kPA ⋅kPB = 3，设点P 的轨迹为
曲线Γ．
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点C(1,1)的直线l 与曲线Γ在y 轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN 上取异于点M，N 的点D，满
足|CM| ⋅|DN| = |MD| ⋅|CN|．证明：点D 在定直线上．
6.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 实轴端点分别为A1 −a, 0 、A2 a, 0 ，右焦点为F，离心率为2，
过A1点的直线l 与双曲线C 交于另一点B x, 3 ，已知△A1BF 的面积为
9
2．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点F 的直线l′与双曲线C 交于M、N 两点，试探究直线A1M 与直线A2N 的交点Q 是否在某条定直
线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
题型七：抛物线中定直线问题
1.已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，设动点P 的坐标为
,
m n ．
(1)若
2,
1
m
n
，求过点P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点P 的两条直线1
2
,l l 均与C 相切，且1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，满足
1
2
1
1
4
k
k
．证明：动
点P 在一条定直线上．
2.已知点F 为抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点，点M、N 在抛物线上，且M、N、F 三点共线.若圆P: (x −
2)2 + (y −3)2 = 16 的直径为MN.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A，B，分别过A、B 两点作抛物线C 的切线l1，l2，证明直线l1，l2
的交点在定直线上，并求出该直线.
3.已知点F 是抛物线
2
4
y
x
的焦点，动点P 在抛物线上.
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)设直线l 与抛物线交于D，E 两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF 为平行四边形，证明：直线
l 过定点，并求出这个定点的坐标.
4.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0)，过点D 0,2 的直线l 与C 交于不同的两点A, B.当直线l 的倾斜角为135°
时，AB = 4 30.
(1)求C 的方程；
(2)在线段AB 上取异于点A, B 的点E，且满足
DA
DB =
AE
EB ，试问是否存在一条定直线，使得点E 恒在这条定
直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
5.已知抛物线E：y2 = 2px（p>0），过点−2,0 的两条直线l1，l2分别交E 于AB 两点和C，D 两点．当l1
的斜率为
2
3时，AB =
13.
(1)求E 的标准方程：
(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上．
6.已知抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点F 关于直线y =−2 的对称点为0, −5 ．
(1)求C 的方程；
(2)若O 为坐标原点，过焦点F 且斜率为1 的直线l 交C 于A、B 两点，求AB ；
(3)过点M 4,1 的动直线l 交C 于不同的A, B 两点，N 为线段AB 上一点，且满足AM ⋅BN = AN ⋅BM ，
证明：点N 在某定直线上，并求出该定直线的方程．
题型八：圆锥曲线中定曲线问题
1.如图，线段AB 的两个端点,
A B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|
| 5
AB
，点M 是AB 上一点，且
2
AM
，
点M 随线段AB 的运动而变化.
(1)求点M 的轨迹方程C ；
(2)动点P 在曲线C 外，且点P 到曲线C 的两条切线相互垂直，求证：点P 在定圆上.
2.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C 经过点
3,
2
M
，
6, 1
N
．
(1)求C 的方程；
(2)已知点
3,0
D
，直线
:
3,
0
l x
ty
n n
t
与C 交于,
A B 两点，且直线
,
DA DB 的斜率之和为1
t
，证明：
点
,t n 在一条定抛物线上．
3.已知点
2,1
A
，
2,1
B
在双曲线C ：
2
2
1
2
x
y
上，过点
0, 3
D
作直线l 交双曲线于点E ，F （不与
点A ，B 重合）.证明：
(1)记点
0,2
5
P
，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线；
(2)直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.
模块三：综合巩固
1.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为e =
2
2 ，椭圆上的点P 与两个焦点F1、F2构成的三角形的
最大面积为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点Q 为直线x + y −2 = 0 上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD、QE（切点分别为D、E），
试证明动直线DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
2.已知双曲线C1:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的右焦点为F
6, 0 ，双曲线C1与抛物线C2: y2 = 2px 交于点
A 2,2 .
(1)求C1, C2的方程；
(2)作直线l 与C1的两支分别交于点M, N，使得AM ⊥AN，求证：直线MN 过定点.
3.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2，点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A，B 两
点（异于点P），直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.
4.已知抛物线C: y2 = 2px p > 0 的焦点为F，O 为原点，第一象限内的点P 在C 上，PO = PF ，且△POF
的面积为2 2.
(1)求C 的方程；
(2)若M，N 是C 上与P 不重合的两动点，且PM ⊥PN，求证：直线MN 过定点.
5.已知抛物线C：y2 = 2px p > 0 与椭圆E：
y2
a2 +
x2
b2 = 1 a > b > 0 的一个交点为A(1,2)，且E 的离心率
e =
2
2 .
(1)求抛物线C 和椭圆E 的方程；
(2)过点A 作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C 的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ 过定点.
6.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线
4
x
的距离等于点M 到点
(1,0)
D
的距离的2 倍，记动点M 的轨
迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）己知斜率为1
2 的直线l 与曲线C 交于A、B 两个不同点，若直线l 不过点
3
1, 2
P
，设直线PA
PB
、
的
斜率分别为
PA
PB
k
k
、
，求
PA
PB
k
k
的值；
（3）设点Q 为曲线C 的上顶点，点E、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判
断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
7.已知椭圆Γ：
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的右焦点为F，过点F 作x 轴的垂线交椭圆Γ于点P(1,
3
2 )．过点P 作
椭圆Γ的切线，交x 轴于点Q．
(1)求点Q 的坐标；
(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆Γ于A、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D，求证：线
段AD 的中点在定直线上．
8.已知椭圆E:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的短轴长为2 3，左、右顶点分别为C, D，过右焦点F 1,0 的直线l
交椭圆E 于A, B 两点（不与C, D 重合），直线AC 与直线BD 交于点T．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求证：点T 在定直线上.
9.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y = 3 与C 的左、右两支分
别交于M，N 两点，四边形MF1F2N 为矩形，且面积为12．
(1)求四边形MF1F2N 的外接圆方程；
(2)设A，B 为C 的左、右顶点，直线l 过点( −3,0)与C 交于P，Q 两点（异于A，B），直线AP 与BQ 交
于点R，证明：点R 在定直线上．
10.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，过F 作互相垂直的直线l1, l2，分别与C 交于A, B 和D,E 两
点（A，D 在第一象限），当直线l1的倾斜角等于45°时，四边形ADBE 的面积为32．
(1)求C 的方程；
(2)设直线AD 与BE 交于点Q，证明：点Q 在定直线上．
11.已知抛物线C：y2 = 2px p > 0 的焦点为F，过点F 且与x 轴垂直的直线交C 于A，B 两点，且AB = 4.
(1)求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M，N 两点（异于A，B 两点），且M，A 位于x 轴同一侧，直线AM
与直线BN 相交于点G，证明：点G 在定直线上.
12.已知抛物线C1：x2 = 2py(p > 0)和圆C2：x + 1 2 + y2 = 2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2
相切．
(1)求p 的值：
(2)点M 在C1的准线上，动点A 在C1上，C1在A 点处的切线l2交y 轴于点B，设MNԦ
ሬሬሬሬ= MAԦ
ሬሬሬሬ+ MBԦ
ሬሬሬሬ，求证：点
N 在定直线上，并求该定直线的方程．
