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微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭
圆 上，满足 ，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 ，点A，B在椭圆 上，点N在直线 ： ，满足 ， ，试问
是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【解析】(1)解：由椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，
因为 ，可得 ，即 ，
又由 面积的最大值为 ，可得 ，即 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)解：由 ， ，可得点 四点共线，如图所示，设过点 的直线方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，则 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，
因为 ， ，可得 ，
所以
则
，
所以 为定值 .
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆 的焦距为2且过点 .
(1)求椭圆C的方程；(2)过点 作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定
点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆 的左右焦点为 ，
由焦距为2可得 ， ①
由椭圆 过点 可得 ②，
由①②可得 ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）设 ， ，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为 ，联立方程组
消去y得 ，由 ，得 ，
所以 ， ．
因为点 ，所以直线AD的方程为 ．
又 ，所以直线AD的方程可化为 ，
，
即 ，
所以直线AD恒过点 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线E： 的离心率为2，左、右焦点分别
为 ，点 为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C： 的一条
切线AM，切点为M，且 ．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线 与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为 ，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点
分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
【解析】（1）双曲线的离心率为 ，因为双曲线上点 切圆C： 于M，
且 ，则 ，即 ，即
，
故双曲线E的标准方程为 .
（2）弦PQ过定点，理由如下：
由（1）得 ，则 ， .
则直线 为 ，联立 得 ，
则 ， ，
，
，
，由 得 ，.
∴ ，∴ 为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心
例4．（2023·山西·统考一模）双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，焦点到渐近
线的距离为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，证明直线 过定点.
【解析】（1）由双曲线 可得渐近线为 ，
不妨取渐近线 即
由焦点到渐近线的距离为 可得 ，即
由题意得 ，得 ，
从而双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
由题意可知：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立直线 与双曲线方程 得 ，
于是 ，从而 ，从而 ，
联立直线 与双曲线方程 得 ，
于是 ，从而 ，从而 ，
于是 ，
从而 ，
化简得 ，从而 过定点 .
例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分
别为 ，右焦点为 ，且 ，以 为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；
（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所
在定直线方程.
【解析】（1） 以 为圆心， 为半径的圆 经过点 ， ，即 ，， ， ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）（ⅰ）由（1）得： ，可设 ， ，
由 得： ，即 ；
由 得： ，
， ，
， ， ；
在 中，由正弦定理得： ，
， ，
则由 得： ，， ，即 ，
， ，
，解得： 或 .
（ⅱ）由题意知：圆 方程为： ； ， ；
不妨令 位于第一象限，可设 ，
由（ⅰ）知： ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，
由 得： ， ，
设 ，则 ，；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；
若直线 斜率不存在，则 ， ， ，
此时 ，则直线 ，设 ，
则 ， ， ，
则 时， ，满足题意；
综上所述：点 在定直线 上.
例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆 （a＞b＞0），左顶点为A，上顶
点为B，且 ，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且 ，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到
这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，则 ，
因为 ，直线 的斜率为 ，
所以 ，又 ，
解得 ，
所以C的方程为 ．（2）由题得 ，当直线l的斜率不为0时，
设直线l的方程为x=my＋1，
联立 消 得， ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
则点M是以 ， 为焦点，长轴长为2的椭圆上的点．
当直线l的斜率为0时，l与C相交于 或 ，
因为 ，则点M为 ，
此时点M也是以 ， 为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，
所以存在两个定点分别为 ， ，点M到这两个定点的距离之和为定值2．
例7．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点且与
轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，且 ．(1)求椭圆 的方程．
(2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 的坐标为 ，且 轴，探究：直线
是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ．
依题意， ，故 ①．
联立 解得 ，故 ②．
联立①②，解得 ， ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，方程为 ．
若直线 过定点，则该定点在 轴上．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 消去 整理，得 ．
设 ， ，
则 ， ，设 ．
所以直线 的方程为 ．
令 ，得
．因为 ，
所以 ．
所以此时直线 过定点 ．
直线 也过点 ．
综上，直线 经过定点 ．
例8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦
点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若双曲线 的右顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点 不是左右顶点），且
.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）因为渐近线方程为 ，所以 ，
焦点坐标 到渐近线 的距离为 ，解得： ，
因为 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）由题意得： ，
与 联立得： ，
设 ，则 ，
，，
化简得： ，
解得： 或 ，
当 时， 恒过点 ，
当 时， 恒过点 ，此时 中有一点与 重合，不合题意，舍去，
综上：直线 过定点，定点为 ，
【过关测试】
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知一动点C与定点 的距离与C到定直线l： 的
距离之比为常数 .
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F做一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点 ，记直
线PM，PF，PN的斜率分别为 ， ， ，证明： 为定值.
【解析】（1）设动点 ，由题意知， ，
所以动点C的轨迹方程为C： .
（2）当直线斜率不存在时，M，N的坐标分别为 ， ，
则 .
当直线斜率存在时，设直线方程为 ： .联立直线和椭圆的方程 ，
化简得 ，
则 ， ，
，
，
所以
.
即 为定值，定值为2
2．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知圆 和定点 P是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交 于点M，设动点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设 ，过 的直线l交曲线E于M，N两点(点M在x轴上方)，设直线AM与BN的斜率分
别为 ，求证： 为定值．
【解析】（1）依题意，圆 ，则圆心 ，半径为4，
因为线段 的垂直平分线交 于点M，
所以 ，
又因为 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ，
所以曲线E的方程为 .
（2）若直线 的斜率等于零，则M，N两点与 重合，不满足题意，
所以可设 ，
联立 可得 ，即
，
所以
，所以 为定值 .
3．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，上顶
点为 ，点 是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与直线 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：直线 恒过某定点，并求出该定
点.
【解析】（1）因为椭圆 右焦点为 ，所以 ，
因为椭圆 经过点 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）依题意， ，则 ，
设直线 的方程为 （ 且 ），直线 的方程为 （ 且 ），
则直线 与x轴的交点为 ，
易得直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，
则直线 与直线 的交点为 ，联立 ，消去 ，得 ，
解得 或 ，此时 ，
则点P的横坐标为 ，故点P的纵坐标为 ，
将点P的坐标代入直线 的方程 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，
所以直线 的方程为： ，
即 ，
所以直线 过定点 .
4．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆 和圆
，已知圆 将椭圆 的长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的
下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定点．
【解析】（1）由题意可得： ，则 ，
∵ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）由题意知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为k，则直线 ，
联立方程 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ 为圆 的直径，点E在圆 上，则 ，即 ，
∴ ，则直线 ，
故用 去替代k得 ，
∵ ，∴直线 ，即 ，
∴直线 经过定点 ．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知A，B分别为双曲线 的左、
右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为 ，焦距为 ．
(1)求双曲线E的方程；
(2)P为直线 上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线
CD过定点．
【解析】（1）设 ， ，
，
又因为焦距为 ,可得 ,则
结合 ，
所以双曲线的标准方程为: .
（2）设直线 ，
，
则 ，
，直线 ，因为其过点 ，
直线 ，因为其过点 ，
,所以
所以
将 代入上式，得
化简为
若
当 时，代入化简得
，显然不成立，舍去，
当 时，代入化简得
，即 ，即 ，
当 时，此时直线为 ，
经过定点 与 点重合，显然不成立，舍去；
当 时，此时直线为 ，
经过定点 与 点重合，显然不成立，舍去；
所以 ，即 ，所以直线 ，即为 ，直线 过定点 .
6．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆 的右焦点为F，P，Q分别为右
顶点和上顶点，O为坐标原点， （e为椭圆的离心率）， 的面积为 ．
(1)求E的方程；
(2)设四边形 是椭圆E的内接四边形，直线 与 的倾斜角互补，且交于点 ，求证：直线
与 交于定点．
【解析】（1）∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ ， ，
∴椭圆E的方程为 ．
（2）∵直线 与 的倾斜角互补，且交于点 ，
∴直线 与 关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．
设 ， ，则 ， ，
∴直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立解得 ， ，
∴直线 与 交于点 ．
设直线 的方程为 ，
与椭圆E的方程 联立得 ，由题意得， ，解得 ，
又 ， ，
∴ ，
∴直线 与 交于定点 ．
7．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作两条斜率分别为 ， 的动直线 ， 分别交椭圆于点A、B、C、D，点M、N分别为线
段 、 中点，若 ，试判断直线 是否经过定点，并说明理由．
【解析】（1）由题意知， ，解之得 ，
故椭圆E的方程为 ．
（2）设 ， ，
联立 得， ，
因为 在椭圆内部，则必有 ，故 ， ，
设直线 ，
将 代入 ，得 ，
即 ，
同理， ，
显然， ， 是方程 的两根，
则 ，
因为 ，则 ，即 ，
得 ，
故直线 ，
即 ，
故直线 经过定点 ．
8．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，离心率 ，P为椭圆上
一点， 分别为椭圆的左、右焦点，若 的周长为 ，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，M，N为椭圆上不同的两点，且 ，证明椭圆上存在定点Q使得四边形 为
平行四边形．【解析】（1）因为 ，所以 ，依题意 ，所以 ，联立
解得 ，所以椭圆E方程为
（2）当直线 斜率存在时，设方程为 ，则直线 的方程为 ，
设点 ，联立方程 ，
可得： ，
则 ，即 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
即 为方程 的两个根，方程可化为
，所以 ，所以 ，当直线 斜率不
存在时，方程 与椭圆相交于 ，此时 ，所以直线 过原
点，若四边形 为平行四边形，则取对称点 时成立.
9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）平面内定点 ，定直线 ，P为平面内一动点，作 ，
垂足为Q，且 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段 的垂直平分线交x轴于点R，试判
断 是否为定值．
【解析】（1）设 ，因为 ，即 ，
所以
化简整理，得 ，
所以动点P的轨迹方程为
（2）法一：由条件可得直线 的斜率必存在且不为0，可设 ，
联立方程组 消去y，得 ，
设 ，则 ，
设 中点为 ，知 ， ，
∴线段 的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
而 ，∴ 为定值．
法二：设直线 的方程为 ，
联立方程组 整理得 ，
设 中点为 ，则 ，
由 可得 ，
∴ ，
，
又线段 的垂直平分线方程为 ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ 为定值．
10．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知点 在椭圆 上， 的长
轴长为 ，直线 与 交于 两点，直线 的斜率之积为 .
(1)求证： 为定值；
(2)若直线 与 轴交于点 ，求 的值.
【解析】（1）由题意知 椭圆方程为 .
将椭圆平移至 即 ，此时 点平移至 分别平移至 ，
设直线 方程为 代入椭圆 ，
整理得 ，两边同除以
，
令 ，则 可看作关于 的一元二次方程，
的两不等实根，
，即 ，
直线 方程为 ，
的斜率为定值 ，即 的定值 .
（2）设 ，
，即 ，
故 ，
，11．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 满足
，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和，并求出该定值．
【解析】（1）因为 、 ，所以 ，
所以轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，得 ， ，
所以轨迹 的方程为 .
（2）如图所示，设 ，
设直线 的方程为 ，
.
联立 ，化简得 ，
则 ，故 ，
则 ，
设 的方程为 ，同理： ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故该定值为0．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以 为直径的圆经过点
D，且 于点G，证明：存在定点H，使 为定值．
【解析】（1）由题意知，
解得： ，
∴双曲线C的标准方程为： ；
（2）证明：由（1）知， ，设 ，
①当l的斜率存在时，设l的方程为： ，，即： ，
， ，
∵以EF为直径的圆经过点D，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
即：
化简得： ，即： ，
解得： 或 ，且均满足 ，
当 时， ，直线l恒过定点 ，此时定点与D点重合，所以与已知相矛盾；
当 时， ，直线l恒过定点 ，记为点 ；
②当l的斜率不存在时，设l的方程为： ，
设 ， ， 或 ，则 ，
此时 ， ，
∴ ，
整理得： ，解得： 或
∵ 或 ，
∴ ，此时l恒过定点 .综述：l恒过定点 .
又∵ ，即： ，（∵D、E、F三点都在直线l上）
∴点G在以DM为直径的圆上，H为该圆的圆心，即DM的中点， 为该圆的半径，即 的一半.
故存在定点 ，使得 为定值6.
13．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为
F，双曲线C上一点 关于原点的对称点为 ，满足 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与坐标轴不垂直，且不过点 及点 ，设 与 交于 、 两点，点 关于原点的对称点为 ，若
，证明：直线 的斜率为定值.
【解析】（1）由已知可得 ， .
则 ， ，
由 可得， ，所以 .，
又点 在双曲线上，所以 .
联立 ，可得 ，
所以，C的方程为 .
（2）法一：设 ， ，则 ，
所以 ， ，
由 可得， ，所以 ，
整理可得， .由已知可设直线 的方程为 （ 且 ）.
联立直线 与双曲线的方程 可得， .
，所以 .
由韦达定理可得 ，又 ， ，
.
所以，由 可得，
，
整理可得， ，
因为 ， 不恒为0，所以应有 ，解得 .
所以直线l的斜率为定值 .
法二：
设 ，则 ， .
所以 ， ，
所以 .
又由题意知 ，所以 .
将双曲线平移至 ，即 .则P平移至 ， A，B分别平移至 ， .
设直线 的方程为 ，
代入双曲线可得， ，
所以， .
两边同除以 ，可得 ，
所以 ，
所以 .
所以，直线 的方程为 ，
所以 ，所以直线l的斜率为定值 .
14．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，其右焦点为 ，焦距为
4，直线 过点 ，且当直线 的倾斜角为 时，恰好与双曲线 有一个交点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 交双曲线 于 两点，交 轴于 点，且满足 ，判断
是否为常数，并给出理由.
【解析】（1）因为双曲线 ，所以其渐近线为 ，
当直线 的倾斜角为 时，恰好与双曲线 有一个交点，又 经过焦点 ，
可得此时直线 与双曲线的一条渐近线平行，所以 ，则 ，
因为焦距为4，所以半焦距 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，故 ，所以双曲线 的标准方程为 .
（2） 为常数，理由如下：
由题意，知双曲线 的右焦点为 ，直线 的斜率 存在，
设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
显然 ，则 ，
易知 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为常数..
15．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线
与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)设 ， 为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线 与直
线 的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【解析】（1）若双曲线的方程 且 ， ，则 ，
将 代入双曲线并整理得： ，
又直线与双曲线交于A，B两点，故 且 ，
由AB中点的横坐标为 ，所以 ，则 ，
所以 ， ，故 .
（2）由（1），不妨令 ， ，
当直线l斜率不存在时， ，则 ，此时 ， ，则交点
为 ；
当直线l斜率存在时， ，代入 并整理，得： ，过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，故 ，
令 ，则 ， ，
且 ， ，联立直线 与直线 得 ，
所以 ，
则 ，可得 或 （舍），
综上，交点Q在定直线 上.
16．（2023·浙江·高三校联考期末）已知抛物线 的焦点为F，斜率为 的直线过点
P ，交C于A，B两点，且当 时， ．
(1)求C的方程；
(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明 ．
【解析】（1）设斜率为 且过点P的直线为l： ，其中 .
设 .当 时，l： ，将其与 联立，消去x得：
，由韦达定理有 .
又由抛物线定义知 ，又 ，结合
，则 .得C的方程为 ；（2）由（1）可得，P ，则l： ，将其与抛物线方程联立，
消去x得： ，则 .
设C在A点处的切线方程为 ，
C在B点处的切线方程为 .
将 与 联立，消去x得： ，
因 为抛物线切线，则
联立方程判别式 ，
又 ，
则 ，
得 ，同理可得 .
将两切线方程联立有 ，代入 ， ，
解得 ，得 .
则 ，又 ，
则 ，
同理可得 .
注意到 ，则 等价 ，下面说明 .
，因 ，
则 .又
，
则 ，故 .
17．（2023·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线
C于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若 ，求直线l的斜率；
(2)若 ，证明： 为定值.
【解析】（1）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为 ，
联立 与 得： ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
当 时， ，此时 ，解得： ，直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为 ；
（2）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为 ，令 得： ，故 ，
联立 与 得： ，
则 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
解得： ， ，
所以 ，
故 为定值-1.
18．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)动直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ， 是抛物线上异于 ， 的一点，记 ， 的斜率分别为 ， ， 为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① 点坐标为 ；② ；③直线 经过点 .
【解析】（1）因为抛物线 经过点 ，
所以 ，所以 ，所以抛物线 的方程为 ；
（2）设 ， ，
方案一：选择①②，证③
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由已知可知 与 轴不平行，设直线 ，
联立 消去 可得 ，
，所以 ， ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，所以 经过 ；
方案二：选择①③，证②
设直线 的方程为 ，联立 消去 可得 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，所以 ；
方案三：选择②③，证①
设直线 的方程为 ，联立 消去 可得 ，
所以 ， ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，整理可得 ，
因式分解可得 对任意的 恒成立，
所以 ，所以 点坐标为 .
19．（2023·湖北武汉·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系，已知 ， 分别：
的左，右焦点.设点 为线段 的中点.
(1)若 为长轴 的三等分点，求椭圆方程；
(2)直线 （不与 轴重合）过点 且与椭圆 交于 ， 两点，延长 ， 与椭圆 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率存在且分别为 ， ，请将 表示成关于 的函数，即 ，求
的值域.
【解析】（1）因为点 为线段 的中点，所以 ，故 ，
因为 为长轴 的三等分点，所以 即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆方程为
（2）设点 ， ， ， ， ， ，
则 ， ，
由于 ， ， 三点共线，则 ，
直线 的方程为 ，
联立椭圆 的方程可得： ，
化简有： ，
由韦达定理可知： ，
，
同理 ， ，，
从而 ，由于 ，则 .
综上： ，且值域为 .
20．（2023·江苏·高三统考期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过点 作
直线 （与 轴不重合）交 于 两点，且当 为 的上顶点时， 的周长为8，面积为
(1)求 的方程；
(2)若 是 的右顶点，设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
【解析】（1）依题意， 的周长 ，
解得 ，则椭圆 ，令椭圆 的半焦距为c，
当 为 的上顶点时，直线 为： ，由 消去y得 ，
解得 或 ，于是得点 ，
又 的面积为 ，则 ，整理得 ，
则有 ，解得 或 ，有 或 ，因为 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ，直线 的方程为 ，由 消去 得 ，
设 ，则 ，
而 ，
，
所以 为定值.
