4.1指数（原卷）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_指数函数与对数函数矢量版PDF

4.1 指数
模块一：基础知识............................................................................................... 2
考点一：n 次方根、n 次根式.................................................................................. 2
考点二：根式的性质............................................................................................. 2
考点三：分数指数幂的意义.................................................................................... 2
考点四：有理数指数幂的运算性质............................................................................2
考点五：无理数指数幂.......................................................................................... 2
考点六：实数指数幂的运算性质...............................................................................3
模块二：题型分类............................................................................................... 3
题型一：利用根式的性质化简或求值.........................................................................3
题型二：指数幂的运算.......................................................................................... 4
题型三：分数指数幂与根式的互化............................................................................5
题型四：指数幂的化简、求值................................................................................. 6
题型五：分数指数幂运算的综合应用.........................................................................8
模块三：综合巩固............................................................................................... 9
4.1 指数
模块一：基础知识
考点一：n 次方根、n 次根式
1．a 的n 次方根的定义
一般地，如果x
n＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N
*.
2．a 的n 次方根的表示
n 的奇偶性
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n
a
a∈R
n 为偶数
±
n
a
[0，＋∞)
3.根式
式子
n
a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
考点二：根式的性质
1.
n
0＝0(n∈N
*，且n>1)．2．(
n
a)
n＝a(a≥0，n∈N
*，且n>1)．
3.
n
a
n＝a(n 为大于1 的奇数)．4.
n
a
n＝|a|＝
a，a≥0，
－a，a<0
(n 为大于1 的偶数)．
考点三：分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂
规定：
m
n
a ＝
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
负分数指数幂
规定：
1
m
n
m
n
a
a


＝
1
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
0 的分数指数
幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂
无意义
考点四：有理数指数幂的运算性质
(1)a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
Q)．
考点五：无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a
α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
考点六：实数指数幂的运算性质
1．a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
R)．
模块二：题型分类
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．化简算式
1
1
2
1
3
2



等于（
）
A．1
B．1
2 2
3


C．2 3
2

D．
3
2

2．化简：



2
3
3
π
4
π
3



（
）
A．1
B．1

C．7
2

D．2
7

3．已知实数,a b 满足
2
2
(
1)(
1)
1
a
a
b
b




，则a
b

（
）
A．1

B．1
C．1

D．0
4．化简下列式子：
（1）
3
3
2
2
3



；（2）
4 2
2 6

；（3）
3
2
3
2
x
2x
1
x
3x
3x
1





5.（1）已知,a b是方程
2
6
4
0
x
x



的两个根，且
0
a
b


，求
a
b
a
b


的值．
（2）已知
1
1
2
2
3
a
a



，求下列各式的值：①
1
a
a

；
②
2
2
a
a

．
6．(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是（
）
A．

2
f x
x

，
3
g x
x

B．

1
f x
x

，
3
3
1
g x
x


C．

2x
f x
x

，
g x
x

D．

1
f x
x


，


2
1
g x
x


7．若
2
0
3
5
x
x



，化简
2
2
25
30
9
(
2)
3
x
x
x




的结果为
．
8．求值：
(1)
0.5
2
3
2
0
27
49
2
(0.2)
(0.081)
8
9
25


















；
(2)π0－
2
2
3
8








＋5 2 ×
1
2
5
4








.
题型二：指数幂的运算
1．已知
0
a 
，化简
a
a a

（
）
A．a
B．
5
2
a
C．
5
4
a
D．
3
8
a
2．下列运算结果中正确的为
A．
2
3
6
a
a
a


B．



3
2
2
3
a
a


C．

0
1
1
a 

D．

3
2
6
a
a


3．下列结论中，正确的是（
）
A．设
0,
a 
则
4
3
3
4
a
a
a


B．若
8
2
m 
，则m 
8 2

C．若
1
3
a
a 


，则
1
1
2
2
5
a
a



D．

4
4 2
2





4．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
7
1
7
7 (
0,
0)
m
m
n
m
n
n









B．
4
3
12
4
12 3
( 3)
3



C．
3
4
3
4
3
(
) (
0,
0)
x
y
x
y
x
y





D．
3
3
9
3

5．已知
1x 和
2x 是方程
2
9
3
3
0
x
x



的两根，则
1
2
1
2
9
9
x
x
x
x



.
6．计算化简：
(1)

1
1
2
3
2
3
27
7
0.027
2
125
9















；
(2)
2
2
3
1
1
3
1
3
2
a
b
a
b
b a
a
b













.
7.化简（式中的字母均为正实数）：
(1)
1
1
3
4
a
a


；(2)


3
1
2
2
3
a b
ab







；(3)
1
3
3
1
2
15
25
a b c
abc

；(4)
1
8
2
6
4
9
a
b







；(5)
1
1
3
3
3
2
3
2
x
x
x








；
(6)
2
1
3
1
1
3
3
2
4
2
2
x
y
x y
x
y


















；(7)
2
1
1
2
2
x
x








；(8)
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
x
y
x
y












．
题型三：分数指数幂与根式的互化
1．化简


8
4
4 16
0
0
x y
x
,y


得（
）
A．
2
2x y
B．2xy
C．
2
4x y
D．
2
2x y

2．若
3
3 ,
x
x

则x=（
）
A．
2
7
9
B．
2
7
3
C．
2
3
9
D．
2
3
3
3．已知
0
a 
,将
2
3
2
a
a
a

表示成分数指数幂,其结果是
A．
1
2
a
B．
3
4
a
C．
7
6
a
D．
3
2
a
4．(多选)下列命题正确的是（
）
A．
7
8 (
0)
a a a
a
a


B．函数

f x
x

与
3
3
( )
g t
t

表示同一个函数
C．若
2
log 3
a

，则
6
3
log 9
1
a
a


D．函数
3
2
( )
2
1
x
x
f x
x




在区间[
, ](
0)
a a a


上的最大值与最小值之和为4
5．已知
8
17
,
27
71
a
b


，则


2
1
1
2
1
3
3
3
3
3
4
1
3
3
3
3
3
3
3
27
a
a b
b
a
a
b
a
a b






．
6．化简：
(1)
1
1
1
1
1
1
1
3
5
3
6
6
2
2
6
2
2
6
3
4
a b
a b
a b
a b

























；
(2)


2
3
6
5
3
4
0,
0
xy
x
y
x
y



；
(3)


2
3
6
3
3
0,
0
y
x
y
x
y
x
y
x


．
7．化简3
3
2
1
3
8 3
15
3
1
a
a
a
a
a
a






的结果为（
）
A．
1
a
B．
2
a
C．1
D．a
8．已知a ､
R
b
，下列各式中总能成立的是（
）
A．

6
6
6
a
b
a
b


；
B．

2
2
2
2
n
n a
b
a
b



C．
4
4
4
4
a
b
a
b


；
D．

10
10 a
b
a
b



题型四：指数幂的化简、求值
1．已知
1
1
2
2
3
a
a



，则
2
2
a
a 

（
）
A．7
B．9
C．47
D．49
2．若
4
( )
4
2
x
x
f x 

，则
1
2
1000
(
)
(
)
(
)
1001
1001
1001
f
f
f





（）
A．1000
B．600
C．550
D．500
3．计算
1 2
2
1
2
1
(2
)
( )
2
4
8
n
n
n





(n∈N*)的结果为（
）
A．
4
1
6
B．22n
＋5
C．2n2－2n＋6
D．1
( )
2
2n
－7
4．(多选)若实数x ，y 满足
1
2
2
1
x
y 

，m
x
y


，
1
1
1
2
2
x
y
n















，则（
）
A．
0
x 
且
1
y 
B．m 的最小值为3

C．n的最小值为7
D．
2
2
m
n

5．已知正实数x ，y 满足
1
16
3
2
3
8
y
x
x
y





，则
2
2
3
y
x
x
x
y


的最小值为
.
6．（1）求值：
2
1
2
6
1
3
2
3
4
9
8
125
16
25
27
























；
（2）已知
0,
0
a
b


，化简：
1
1
2
5
3
3
3
3
6
4
5
4
2
a b
a b
a b

















7.已知
1
4,(0
1)
x
x
x





，则
2
2
1
1
2
2
x
x
x
x




的值等于（
）
A．
6
B．6
C．4 2

D．8
8.化简求值：
(1)计算

4
0
1
3
3
2
1
1
4
0.25
2
2


















；
(2)计算


2
1
1
5
1
0
3
3
3
6
6
2
2
6
3
8
2
a
b
ab
a b
a
b
b

























（式中字母均是正数）
(3)已知
1
3
x
x

，求
1
3
3
2
x
x
x
x





的值.
9.求下列各式的值.
(1)若3
2,3
5
a
b


，求
23 a b
；
(2)已知3
1
2
a
b

，求9
3
3
a
b
a

的值；
(3)若
1
3,
1
2
2
a
b



，求


1
2
2
3
2
a
b ab
a


；(4)若
,
2.5
20
a
b


，求
1
1
12
1
3
3
4
2
3
3
8
2
1
3
1
3
12
4
4
2
a
a
b
a
b
b
a
b
























.
题型五：分数指数幂运算的综合应用
1.用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中
0
a 
，
0
b 
）：
(1)
2
3
2
a
a
a
；(2)
3
5
2
a
b
；(3)
2
2
3
3
6
9
6
9
a
b









；(4)
1
1
1
3
4
4
2
1
3
2
4
3
6
a
a b
a
b









.
2.化简求值：
(1)
1
0.5
0
3
2
2
1
8
2
2
0.75
6
4
27
3
























；
(2)若
1
3
x
x

，求下列各式的值：
①
2
2
x
x

②
1
1
2
2
x
x


3.已知


1
3
0
x
x
x




，求下列各式的值：
(1)
1
1
2
2
x
x


；(2)
1
1
2
2
x
x


；(3)
3
3
2
2
x
x


；(4)
3
3
2
2
x
x


模块三：综合巩固
1.已知10
3
m 
，10
4
n 
，则
3
2
2
10
m
n

（
）
A．4
9
B．4
27
C．4 3
3
D．3 3
4
2．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A．
1
3
3
x
x

（
0
x 
）
B．
3
3
4
4
x
y
y
x














（
0
xy 
）
C．
2
2
1
3
3
2
y
x
y
x


（
0,
0
x
y


）
D．


1
2
x
x


（
0
x 
）
3.下列等式中正确的是（
）
A．
6
5
3 2
2
2


B．
3
3
9
3

C．

4
3
12
3
3



D．
1
a
a
a


4.已知a R ，n

N ，给出下列4 个式子：①
2
6 ( 3) n

；②5
2
a ；③
2
1
6 ( 5) n

；④9
2
a

，其中无意义
的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
5.若
3
2
1
x
x
x


，则
28
27
2
1
1
2
27
28
1
x
x
x
x
x
x
x
x











的值是（
）
A．2
B．0
C．1

D．1
6.计算


2
3
1
2
3
2
3
6
a b
a b
a b






的结果为（
）
A．
2
b

B．
2
b

C．1
D．2
b
7.已知
0
a 
，
0
b 
，且
1
a
b

，a
b
¹ ，则下列不等式成立的是（
）
A．
1
1
2
2
2
a
b
a
b




B．
1
1
2
2
2
a
b
a
b




C．1
1
2
2
2
a
b
a
b




D．1
1
2
2
2
a
b
a
b




8．（多选）若3a·9b＝1
3 ，则下列结论不正确的是（
）
A．a＋b＝－1
B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1
D．a＋2b＝1
9.化简



3
2
3
2
3
2
3
2






.
10.若
*
,
m nR ，且2
4
2
m
n


，则2
1
m
n

的最小值为
.
11.计算下列各式的值.
(1)
0
1
3
4
3
4
1
0.064
16
81
9










(2)
1
1
3
2
0
25
8
1
(π
e)
9
27
4

















(3)


π
2
π
2 2
5
1
3
2
1
3









(4)
2
0.5
3
2
0
7
10
37
2
0.1
2
3π
9
27
48


















；
(5)
4
2
3
3
6
3
8
0.
1
1
3
5
6
81

















.
(6)计算：


4
0
1
1
3
0.75
3
3
2
7
0.064
2
16
0.01
8


















；
(7)





3
1
1
2
1
2
3
3
2
4
1
4
0.1
ab
a b











（
0
a 
，
0
b 
）.