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5.2 导数的运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：基本初等函数的导数公式..................................................2
考点二：导数的四则运算法则....................................................... 2
考点三：复合函数的导数............................................................. 2
考点四：导函数的常用结论.......................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：导数公式与运算法则的简单应用.........................................3
题型二：求复合函数的导数.......................................................... 4
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题............................................ 5
题型四：求某点处的导数值.......................................................... 5
题型五：求切线斜率................................................................... 6
题型六：求切线方程（在型）....................................................... 7
题型七：求切线方程（过型）....................................................... 7
题型八：已知切线求参数范围....................................................... 8
题型九：利用切线求距离最值....................................................... 8
模块三：综合巩固.........................................................................9
5.2 导数的运算
模块一：基础知识
考点一：基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
( )
f x
C
(C 为常数)
( )
0
f
x
( )
n
f x
x
1
( )
n
f
x
nx
( )
sin
f x
x
( )
cos
f
x
x
( )
cos
f x
x
( )
sin
f
x
x
( )
x
f x
a
( )
ln
x
f
x
a
a
( )
x
f x
e
( )
x
f
x
e
( )
log x
a
f x
1
( )
ln
f
x
x
a
( )
ln
f x
x
1
( )
f
x
x
( )
f x
x
1
( )
2
f
x
x
1
( )
f x
x
2
1
( )
f
x
x
考点二：导数的四则运算法则
1、两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的和（或差）的导数法则：
[ ( )
( )]
( )
( )
f x
g x
f
x
g x
.
2、对于两个函数
( )
f x 和
( )
g x 的乘积（或商）的导数，有如下法则：
[ ( ) ( )]
( ) ( )
( )
( )
f x g x
f
x g x
f x g x
；
2
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( )
0)
( )
[ ( )]
f x
f
x g x
f x g x
g x
g x
g x
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出[
( )]
( )
( )
( )
cf x
c f x
cf
x
cf
x
，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[
( )]
( )
cf x
cf
x
考点三：复合函数的导数
1、复合函数的概念
一般地，对于两个函数
( )
y
f u
和
( )
u
g x
，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，
那么称这个函数为
( )
y
f u
和
( )
u
g x
的复合函数，记作
( ( ))
y
f g x
.
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数
( ( ))
y
f g x
的导数和函数
( )
y
f u
，
( )
u
g x
的导数间的关系为
x
u
x
y '
y ' u '
，
即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
3、求复合函数的导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
4、求复合函数的导数注意以下几点：
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁。
考点四：导函数的常用结论
1、奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．
2、函数
( )
y
f x
的导数
( )
f
x
反映了函数
( )
f x 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，
其大小
( )
f
x
反映了变化的快慢，
( )
f
x
越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
模块二：题型分类
题型一：导数公式与运算法则的简单应用
1.函数
( )
2sin
cos
f x
x
x
的导函数是(
)
A．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662B．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
C．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662D．
( )
2cos
sin
f
x
x
x
2.求下列函数的导数．
(1)
3
4
1
1
6
3
2
f x
x
x
；
(2)
5
4 cos
f x
x
x
．
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662
3.下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
( )
x
x
B．
2
cos
2
sin
x
x
x
x
C．
e
e
1
x
x x
D．
1
(ln2)
2
4.（多选）下列函数求导正确的是（
）
A．
sin
cos
x
x
B．
cos
sin
x
x
C．
1
2
2
x
x
x
D．
2
1
1
x
x
5.求下列函数的导数．
（1）
2
3
sin
y
x
x
x
＝
＋
；
（2）
2
3
e
ln
x
y
x
x
＋
＋
；
（3）
ln
1
x x
y
x
.
6.下列求导数运算中正确的是（
）
A．
2
2
x
x
B．
2 ln
2 ln
x
x
x
x
x
C．cos
sin
x
x
x
D．
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
7.（多选）下列求导运算正确的是（
）
A．
2
1
1
(
)
1
x
x
x
B．
1
(lg )
x
x
C．(
)
1
kx
b
k
D．
2
1
(tan )
cos
x
x
题型二：求复合函数的导数
1.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
10
1
y
x
；
(2)
3
1
e x
y
；
(3)
sin
2
5
y
x
；
(4)
ln 3
1
y
x
；
(5)
3 2
1
y
x
；
(6)
tan
1
y
x
．
2.求下列函数的导数：
(1)
3
(2
3)
y
x
；
(2)
ln(5
1)
y
x
．
3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：
(1)
2
1
2
1
y
x
；
(2)
sin
1
y
x
；
(3)
2
1
e
x
y
；
(4)
cos
3
y
x
．
4.已知函数
1
f
x
x
，则
f
x
（
）
A．
1
2 1
x
B．
1
2 1
x
C．2 1
x
D．2 1
x
5.函数
2
1
e x
y
的导函数为
．
6.函数
2
1
x
f
x
x
，则
f
x
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289.
7.（多选）下列结论中正确的是（
）
A．若
1
cos
y
x
，则
2
1
1
sin
y
x
x
B．若
2
sin
y
x
，则
2
cos
y
x
C．若
2ex
y
x
，则
2
(
2 )ex
y
x
x
D．若
ln(2
1)
y
x
，则
1
2
1
y
x
题型三：解析式中含f′(x0)的导数问题
1.若
2
2
1
f x
xf
x
，则
0
f
等于（
）
A．2
B．0
C．-2
D．-4
2.已知函数
3
2
1
1
4
f
f
x
x
x
x
，
f
x
是
f
x 的导函数，则
1
2
f
f
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
3.已知函数
3
2
1
2
f x
x
f
x
，则
2
f
（
）
A．2
B．10
3
C．6
D．14
4.已知函数
3
2
1
f x
f
x
x
x
，则
1
f
的值为
．
题型四：求某点处的导数值
1.若函数
2
1
f
x
x
x
，则
1
f
（
）
A．3
B．1
C．3
D．4
2.已知函数
2
3
4
5
3
3
3
3
3
f x
x x
x
x
x
x
，则
0
f
（
）
A．
15
3
B．
14
3
C．
14
3
D．
15
3
3.函数
( )
f x 的导函数为
( )
f
x
，且满足
2
( )
3
2
(2)
f x
x
xf
，则
(5)
f
的值为（
）
A．5
B．1
C．6
D．-2
4.已知函数
3
2
0
0 e
0
x
f x
x
f
x
f
x
f
，则
0
2[ (
)
(0)]
lim
x
f
x
f
x
（
）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
5.函数
1
y
x
在
3
x
处的导数是（
）
A．1
4
B．
1
2
C．2
D．4
6.在可导函数
f
x ，
g x 中，已知
1
1
f
，
1
2
f
，
1
2
g
，
1
1
g
，则
f
x
g x 在
1
x 时
的导数值是（
）
A．5
B．4
C．4
D．2
7.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
8.已知函数
2
1
2
1
ln
2
f x
f
x
x
x
（
f
x
是
f
x 的导函数），则
1
f
（
）
A．3
2
B．1
C．2
D．
1
2
9.已知函数
2
ln
1
1
2
f
x
x
f
x
f
x
，则
(e)
f
（
）
A．1
2e
1
e
B．
2
2e
5e
1
C．1
4e
1
e
D．
2
2e
e
3
题型五：求切线斜率
1.若直线l 过原点，且与函数
ln x
y
x
的图像相切，则该直线的斜率为（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．1
B．1
2e
C．1
e
D．
2
1
e
2.函数
2
( )
2ln
f x
x
x
bx
a
（b＞0，a∈R）在点( ,
( ))
b f b
处的切线斜率的最小值是（
）
A．2
B．
3
C．2 2
D．1
3.已知
ex
f x
x
，过
1 ,0
2
P
作曲线
y
f x
的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662）
A．3 e
2
B．
2
3e
C．2e
D．e
4.已知
2cos
0 cos
2
f
x
x
f
x
，则曲线
y
f x
在点3
3
,
4
4
f
处的切线的斜率为（
）
A．
2
B．
2
C．2 2
D．2 2
5.点P 在曲线
3
2
3
y
x
x
上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（
）
A．[0，π
2）
B．π 3π
2
4
（，）
C．3π
π
4
（
，）
D．[0，π
3π
π
2
4
）（
，）
6.已知函数
ln
f
x
x
x
，过点
0, 1
作该函数曲线的切线，则该切线方程为（
B0-A4-60-28-3B-3D）．
A．2
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
2
2
0
x
y
D．
1
0
x
y
7.已知函数
ln
f x
x
x
，过原点作曲线
y
f x
的切线l ，则切线l 的斜率为
13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289．
8.已知函数
2
1
ln
2
f x
x
x
，则曲线
y
f x
所有的切线中斜率最小的切线方程为
．
题型六：求切线方程（在型）
1.设
R
a
，函数
3
2
2
3
f x
x
ax
a
x
的导函数为
f
x
，若
f
x
是偶函数，则曲线
y
f x
在原点
处的切线方程为（
）
A．
3
y
x
B．
2
y
x
C．
3
y
x
D．
2
y
x
2.曲线
3
1
x
f x
xe
x
在
0,1 点处的切线方程是
3.已知函数
sin
f x
x
，曲线
y
f x
在点
0,0 处的切线方程是
．
4.已知函数
2e
2
1
x
f x
x
x
，则
f
x 的图象在
0
x
处的切线方程为
题型七：求切线方程（过型）
1.写出曲线
2
1 ex
y
x
过坐标原点的一条切线方程
B0-A4-60-28-3B-3D
.
2.已知函数
3
2
2
f
x
x
x
．
(1)若曲线
y
f x
在其上一点Q 处的切线与直线
4
1
y
x
平行，求Q 的坐标；
(2)求曲线
y
f x
的过坐标原点O 的切线的方程．
3.过点(0,2) 与曲线
l
(
2
)
n
f x
x
相切的切线方程为
B0-A4-60-28-3B-3D
．
4.已知函数
3
f x
x
．
(1)用导数的定义，求函数
3
f x
x
在
2
x
处的导数；
(2)过点
2 8，作
y
f x
的切线，求切线方程．
题型八：已知切线求参数范围
1.若直线y
ax
是曲线
ln
1
f
x
x
x
在某点处的切线，则实数
a
．
2.若直线
2
y
x
与曲线
3
2
y
x
bx
c b
c
R
，
相切于点
1 3
M
，，则c
B0-A4-60-28-3B-3D
．
3.已知曲线
3
y
x
与曲线
1
ln 3
3
x
y
x
在
0
x
x
处的切线互相垂直，则
0x
．
4.已知函数
3
g x
x
ax
，若曲线
g x 在
0
x
处的切线也与曲线
ln
h x
x
相切，则
a
．
5.若直线y
kx
b
是曲线
e
1
x
y
和
1
ex
y
的公切线，则实数k 的值是（
）
A．
1
e
B．e
C．0
D．1
题型九：利用切线求距离最值
1.已知点P 为函数
2e x
f x
的图象上一点，则点P 到直线:
2
l y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
5
B．1
5
C．
1
2
D．1
4
2.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
B0-A4-60-28-3B-3D
.
3.曲线
( )
ln(
1)
1
f x
x
x
上的点到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为
4.已知点A 在函数
e
2
x
f x
x
的图象上，点B 在直线:
3
0
l x
y
上，则A，B 两点之间距离的最小值
是
．
5.已知函数
e
3
x
f
x
x
，直线: 2
4
0
l
x
y
．若A，B 分别是曲线
y
f x
和直线l 上的动点，则AB
的最小值是
6.已知点P 在函数
e
1
x
f
x
x
的图象上，点Q 在函数
ln x
g x
x
的图象上，则PQ 的最小值为
.
7.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，点Q 是直线
3
0
x
y
上任意一点，则PQ 的最小距离
为
.
8.设点A 在直线
3
1
0
x
y
上，点B 在函数
ln
f x
x
的图象上，则AB 的最小值为
.
9.在函数
2
4
y
x
的图象上求一点P，使P 到直线
4
5
y
x
的距离最短，并求这个最短的距离．
10.若点P 是曲线
2
ln
y
x
x
上任意一点，则点P 到直线:
4
0
l x
y
距离的最小值为（
）
A．
2
2
B．
2
C．2
B0-A4-60-28-3B-3D
D．2 2
11.若动点P 在曲线
ex
y
x
上，则动点P 到直线
2
4
y
x
的距离的最小值为（
）
A．
5
B．e
1
C．2 5
D．2e
模块三：综合巩固
1.下列求导正确的是（
）
A．
π
π
sin
sin
cos
sin
6
6
x
x
B．
2
2
1
2 2
1
x
x
C．
2
1
log
ln 2
x
x
D．
2
2
2
2
x
x
x
x
2.下列求导正确的是（
）
A．(cos )
sin
x
x
B．
2
2
2
2
x
x
x
x
C．
π
1
π
sin
cos
cos
sin
3
3
3
x
x
D．
2
2
log e
log x
x
3.曲线
2x
1
y
x
2
在点
1, 3
处的切线方程为（
）
A．
5
2
y
x
B．
5
2
y
x
C．
5
2
y
x
D．
5
2
y
x
4.若曲线
2e ax
y
在点
0,1 处的切线与直线
2
1
0
x
y
垂直，则
a
（
）
A．2
B．1
C．1
D．2
5.函数
2
log
2
ln2
x
x
f x
x
的图象在
1
x 处切线的斜率为（
）
A．ln2
B．2ln2
C．2
D．
1
2
ln2
6.已知函数
π
cos
2
2
f x
x
xf
，则
π
2
f
（
）
A．－1
B．0
C．1
D．π
2
7.已知曲线
3
2
2
y
x
ax
x
b
在点
1,0 处的切线的倾斜角为3π
4 ，则a
b
（
）
A．
3
4
B．
5
4
C．-2
D．
11
4
8.若曲线
ln
f x
ax
x
与直线
2
2
2ln2
0
x
y
相切，则实数
a
（
）
A．1
B．1
C．2
D．e
9.（多选）下列导数的运算中正确的是（
）
A．
3
3 ln 3
x
x
B．
2ln
2 ln
x
x
x x
x
＝
＋
C．cos x
x
＝
2
sin
cos
x
x
x
x
D．
sin
cos
cos 2
x
x
x
10.已知函数
3
3
1
f x
x
x
，则过点(
)
1, 1
-
且与曲线
y
f x
相切的直线方程可以为（
）
A．2
1
0
x
y
B．
1
y
C．9
4
5
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
11.若动点P 在直线
1
y
x
上，动点Q 在曲线
2
2
x
y
上，则|PQ|的最小值为（
）
A．1
4
B．
2
4
C．
2
2
D．1
8
12.若点
,
A a a ，
,eb
B b
,
R
a b
，则A 、B 两点间距离AB 的最小值为（
）
A．1
B．
2
2
C．
2
D．2
13.已知函数
2
1
ln
f
x
xf
x
x
，则
1
f
.
14.已知曲线
f x
x
与曲线
ln
g x
a
x
（a
R
）相交，且在交点处有相同的切线，则
a
.
15.已知函数
3
f x
x
a
，点
0,0
A
在曲线
( )
y
f x
上.
(1)求曲线
( )
y
f x
在点( 1, 1)
处的切线方程；
(2)求曲线
( )
y
f x
过点
(2,0)
E
的切线方程.
16.已知函数
3
f x
x
.
(1)若曲线
y
f x
在点
1,
1
A
f
处的切线与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，求
MON
△
的面积（O为坐
标原点）；
(2)求与曲线
y
f x
相切，并过点
0,2 的直线方程.
17.已知
2
1
ln
8
f x
x
x
.
(1)求曲线
f
x 在
1
x 处的切线方程；
(2)设P 为曲线
f
x 上的点，求曲线C 在点P 处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
18.已知函数
3
2
3
7
f x
x
ax
x
．
(1)若曲线
y
f x
的切线斜率不小于6
，求a 的取值范围；
(2)当
5
a 时，求曲线
y
f x
过点
1,0 的切线方程．
19.已知
0,
0
a
b
，直线
2
y
x
a
与曲线
1
e
1
x
y
b
相切，则2
1
a
b
的最小值为
.
