3.8 圆锥曲线中定值问题
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：定值问题解题思路与策略..................................................2
考点二：与线段长度有关的定值问题...............................................2
考点三：与面积有关的定值问题.................................................... 2
考点四：与斜率有关的定值问题.................................................... 3
考点五：与向量有关的定值问题.................................................... 4
考点六：与代数式有关的定值问题..................................................4
考点七：与定值有关的结论.......................................................... 4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：线段类定值................................................................... 5
题型二：面积类定值................................................................... 8
题型三：斜率类定值................................................................. 10
题型四：向量类定值................................................................. 14
题型五：代数式类定值.............................................................. 16
模块三：综合巩固....................................................................... 17
3.8 圆锥曲线中定值问题
模块一：基础知识
考点一：定值问题解题思路与策略
1.解题思路：
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在
解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.
2.解题步骤：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
3.解题策略：
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求
得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
考点二：与线段长度有关的定值问题
与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化
简,得出结果为定值
圆锥曲线中线段取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点三：与面积有关的定值问题
与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.面积比
值类宜采用同底或同高进行处理化简。
考点四：与斜率有关的定值问题
1.与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表
达式,再利用题中条件或韦达定理化简.
2.斜率和（积）构造与韦达定理
斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一
步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点
)
,0
(
t
P
，在椭圆上的动点
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，那么：
①
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
x
x
t
y
y
t
y
y
x
t
y
x
t
y
k
k
PB
PA
，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直
接代入韦达定理求解.
②
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
)
(
x
x
x
x
t
y
x
y
x
x
t
y
x
t
y
k
k
PB
PA
,这里对交叉项
1
2
2
1
y
x
y
x
的处理可进一步代入直
线方程：
m
kx
y
AB
:
，化简可得：
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
x
x
m
x
kx
m
kx
x
m
kx
x
y
x
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
)
)(
(
2
)
(
x
x
x
x
t
m
k
x
x
x
x
t
y
x
y
x
k
k
PB
PA
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很
重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
③
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
t
y
t
y
y
y
t
y
x
y
x
t
y
x
t
y
x
k
k
PB
PA
.
可进一步代入直线方程：
n
my
x
AB
:
，化简可得：
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
y
y
n
y
my
y
n
my
y
n
my
y
x
y
x
3.椭圆斜率和积结论
（1）P(x0，y0)是椭圆
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0）上一点，若A，B 是椭圆上的两个动点，且满足kPA+kPB=λ是定
值，则
①当λ=0 时，直线AB 的斜率为定值；
②当λ≠0 时，直线AB 恒过定点.
（2）P(x0，y0)是椭圆
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0）上一点，若A，B 是椭圆上的两个动点，且满足kPA.kPB=λ是定
值，则
①当λ=�2
�2 时，直线AB 的斜率为定值；
②当λ≠�2
�2 时，直线AB 横过定点.
考点五：与向量有关的定值问题
与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关
的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.
考点六：与代数式有关的定值问题
与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得
出定值
考点七：与定值有关的结论
1.若点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
；
2.若点A,B 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A,B 不重合的
点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
.
3.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
0
PA
PB
k
k
,则直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
；
4. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若
0
PA
PB
k
k
,直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
；
5. 设点
,
P m n 是抛物线C：
2
2
0
y
px p
一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若
0
PA
PB
k
k
,
直线AB 斜率为定值
0
p n
n
.
6.设
, ,
A B C 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上不同3 点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点
,
M N ,则
2
OM ON
a
.
7.点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上动点,O 为坐标原点,若OA
OB
,则
2
2
1
1
OA
OB
=
2
2
1
1
a
b
（即点
O 到直线AB 为定值）
8. 经过椭圆
2
2
2
2
2
2
b x
a y
a b
（a＞b＞0）的长轴的两端点A1 和A2 的切线,与椭圆上任一点的切线相交
于P1 和P2,则
2
1
2
|
| |
|
PA
PA
b
.
9. 过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a＞b＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x
轴于P,则|
|
|
|
2
PF
e
MN
.
10. 点P 为椭圆
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平
行线,交y 轴、x 轴于
,
M N ,交直线
b
y
x
a
于
,
Q R ,记
OMQ
与
ONR
的面积为
1
2
,
S S ,则：
1
2
2
ab
S
S
.
模块二：题型分类
题型一：线段类定值
1.已知椭圆：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，上、下顶点分别为
2
B ，
1
B ，
1
2
2 2
B B
，
四边形
1
1
2
2
A B A B 的周长为8 2 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点F 为椭圆的左焦点，点
3,
T
m
，过点F 作TF 的垂线交椭圆于点P，Q，连接OT 与PQ 交于点
H．试判断
PH
HQ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A 、
2A ,点
6
2,
2
在椭圆C上,过椭圆C的右焦
点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形
1
2
ADA E 的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线
2
2
y
k x
m
m
与椭圆C相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若
2
2
PM
PN
的
值与m无关,求斜率k 的值．
3.已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
过点
5
3, 2
和点
4, 15 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过
0,1
M
的直线与双曲线交于P ，Q 两点，过双曲线的右焦点F 且与PQ平行的直线交双曲线于A ，B
两点，试问
MP
MQ
AB
是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
4.已知椭圆E：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左焦点�1 −1,0 ，过点�1且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
为3.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设A，B 是椭圆E 的左、右顶点，�是椭圆E 的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M，N 两点（点
M 在x 轴的上方），直线AM，BN 分别与y 轴交于点P，Q，试判断
��
��是否为定值？若是定值，求出这个
定值；若不是定值，说明理由.
5.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 , �1, �2分别是�的左、右焦点．若�的离心率�= 2，且点4,6 在�
上．
(1)求�的方程；
(2)若过点�2的直线�与�的左、右两支分别交于�, �两点，与抛物线�2 = 16�交于�, �两点，试问是否存在常
数�，使得
1
��−
�
��为定值？若存在，求出常数�的值；若不存在，请说明理由．
6.已知抛物线E 的准线方程为：�=−1，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，分别过A、B 两点
作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两点，直线DF
与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
1
��+
1
��为定值.
7.已知�是抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，直线�是抛物线�的准线，�是坐标原点，点�在抛物线�上，且
满足��= ��，连接��并延长交�于点�，使得三角形���的面积为2 2.
(1)求抛物线�的方程；
(2)若直线�= ��−
�
2 与抛物线�交于点�, �，线段��中点为�，证明：在�轴上存在点�，使得|��|2 −
1
4 |��|2为定值，并求出该定值.
8.设常数
0
m
且
1
m ,椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 是上的动点．
（1）若点P 的坐标为
2,0 ,求的焦点坐标；
（2）设
3
m,若定点A 的坐标为
2,0 ,求PA 的最大值与最小值；
（3）设
1
2
m
,若上的另一动点Q 满足OP
OQ
（O为坐标原点）,求证：O到直线PQ 的距离是定值．
题型二：面积类定值
1.已知O为坐标原点,椭圆：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右顶点为A ,离心率为
3
2
．动直线l ：
1
1
y
x
m
与
相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B,点B到的两焦点的距离之和为4．
（1）求的标准方程．
（2）若直线B C
与x 轴交于点M , OAC
, AMC
的面积分别为
1S ,
2S ,问
1
2
S
S 是否为定值？若是,求出该定值；
若不是,请说明理由．
2.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的左、右顶点分别为P ，Q ，右焦点F 到渐近线的距离为1，
且离心率为2 3
3
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过点F 的直线l（直线l 的斜率不为0）与双曲线C 交于A ，B 两点，若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y
轴的交点，记OPM
，
OQN
△
的面积分别记为
OPM
S
，
QQN
S△
，求
OPM
OQN
S
S
△
△
的值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
(
0)
a
b
离心率等于
3
2
且椭圆C 经过点
1
3, 2
p
．
(1)求椭圆的标准方程C ；
(2)若直线y
kx
m
与轨迹C 交于M
N
，
两点，O为坐标原点，直线OM
ON
，
的斜率之积等于
1
4
，试探求
OMN
的面积是否为定值，并说明理由．
4.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1( −1,0)、�2(1,0)，�在椭圆�上，且△��1�2
面积的最大值为3.
(1)求椭圆�的方程；
(2)直线�: �= ��+ �与椭圆�相交于P，Q 两点，且4�2 + 3 = 4�2，求证：△���（�为坐标原点）的面
积为定值.
5.已知�−1,0 ，�1,0 ，平面上有动点�，且直线��的斜率与直线��的斜率之积为1.
(1)求动点�的轨迹Ω的方程.
(2)过点A 的直线与Ω交于点�（�在第一象限），过点�的直线与Ω交于点�（�在第三象限），记直线��，
��的斜率分别为�1，�2，且�1 = 4�2.试判断△���与△���的面积之比是否为定值，若为定值，请求出
该定值；若不为定值，请说明理由.
6.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，过�且倾斜角为
π
6的直线�与�交于�，�两点．直线�1，�2与�相
切，切点分别为�，�，�1，�2与�轴的交点分别为�，�两点，且|��| =
2 3
3 ．
(1)求�的方程；
(2)若点�为�上一动点（与�，�及坐标原点均不重合），直线�3与�相切，切点为�，�3与�1，�2的交点分别为
�，�．记△���，△���的面积分别为�1，�2．
①请问：以�，�为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：
�1
�2为定值．
题型三：斜率类定值
1.双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左、右顶点分别为
1A ，
2A ，左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
1F 作直线与双曲线C
的左、右两支分别交于A，B 两点.若
2
2
AB
BF
，且
1
2
1
cos
4
F BF
，则直线
1A B 与
2
A B 的斜率之积为（
）
A．5
3
B．3
5
C．4
3
D．3
4
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点
2
F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，且其离心率为1
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：
MN
OP
k
k
（O 为
坐标原点）为定值.
3.已知椭圆C：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的两个焦点分别为�1 −
2, 0 、�2
2, 0 ．点�1,0 与椭圆短轴的两
个端点的连线互相垂直．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知点�3,2 ，过点M 任作直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，求证：���+ ���为定值．
4.已知圆
2
2
:
1
16
E
x
y
，点
1,0 ,
F
G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H .
(1)求动点H 的轨迹L 的方程；
(2)若
2,0 ,
2,0
A
B
，过F 作直线l 与轨迹L 交于
,
M N 两点（不与
,
A B 重合），记直线AM 与BN 的斜率
分别为
1
2
,
k k ，证明：
1
2
k
k 为定值.
5.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
0,1
P
，离心率为
2
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点定点
0, 3
G
作斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B ，直线PA ，PB 的斜率分别记为
1k ，
2k .求
1
2
k k
的值
6.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)，过点(0,
3)，�，�分别是�的左顶点和下顶点，�是�右焦点，∠���=
π
3.
(1)求�的方程；
(2)过点�的直线与椭圆�交于点�，�，直线��，��分别与直线�= 4 交于不同的两点�，�.设直线��，��
的斜率分别为�1，�2，求证：�1�2为定值.
7.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为4，离心率为
2 ．过点
4,2
P
的直线l 与双曲线C 交
于A，B 两点．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知点
3,4
Q
，若直线QA，QB 的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
8.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0
0
x
y
a
b
a
b
＞，＞
的离心率为
2 ，点
3, 5
A
在双曲线上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线C 上是否存在点B，使得对双曲线C 上任意一点P（其中
3
Px ），都有
PA
PB
k
k
为定值？若存
在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)经过点�−2,0 ，离心率为5，直线�过点�3,0 且与双曲线�交于
两点�, �（异于点�）.
(1)求双曲线�的方程；
(2)求证：直线��与直线��的斜率之积为定值，并求出该定值.
10.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ,直线
2
1
y
x
与抛物线交于M , N 两点,且|
|
|
| 4
MF
NF
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若
(4
P
,
)(
0)
m m
是抛物线C 上一点,过点
(1, 4)
Q
的直线与抛物线C 交于A , B 两点（均与点P 不重合）,
设直线PA , PB 的斜率分别为
1k ,
2k ,求证：
1
2
k k 为定值．
11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心为C 的动圆过点
2,0 ，且在y 轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹为
曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知
1,2
A
及曲线E 上的两点B 和D ，直线BD 经过定点
3,2
，直线AB
AD
、
的斜率分别为
1
2
k
k
、
，
求证：
1
2
k
k
为定值．
12.设点�为抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，过点�且斜率为5的直线与�交于�, �两点（�为坐标原
点）．�△���= 2 6.
(1)求抛物线�的方程；
(2)过点�0,2 作两条斜率分别为�1, �2的直线�1, �2，它们分别与抛物线�交于点�, �和�, �．已知��⋅��=
��⋅��，问：是否存在实数�，使得�1 + ��2为定值？若存在，求�的值，若不存在，请说明理由．
题型四：向量类定值
1.已知A，B 为椭圆
2
2
2
:
1
y
E
x
a +
=
的左、右顶点，过其焦点
(0,1)
F
的直线与椭圆E 交于C，D 两点，并与x
轴交于点P (异于A，B)，直线AC ，BD 交于点Q ，求证：OP OQ
为定值.
2.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
,
1F ,
2
F 分别为椭圆C的左,右焦点, M 为椭圆C 上一
点,
1
2
MF F
△
的周长为4
2 3
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）P 为圆
2
2
5
x
y
上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A,B,判断PA PB
是否为定值?若是,
求出定值：若不是,说明理由,
3.已知
0,1
P
为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
内一定点,Q 为直线l：
3
y 上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A､B 两点
（点B 位于P､Q 两点之间）,O 为坐标原点.
（1）当直线PQ 的倾斜角为4
时,求直线OQ 的斜率；
（2）当AOB 的面积为3
2 时,求点Q 的横坐标；
（3）设AP
PB
, AB
BQ
,试问
是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
4.已知�为平面上一个动点，�到定直线�= 1 的距离与到定点�(2,0)距离的比等于
2
2 ，记动点�的轨迹为
曲线�．
(1)求曲线�的方程；
(2)过点�的直线�与曲线�交于�，�两点，在�轴上是否存在点�，使得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ为定值？若存在，求出该定值；
若不存在，请说明理由．
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2,0
F
，直线:
3
l x =
，动点
,
0
P x y
x
到l 的距离等于
1
PF .
设动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若直线
4
x
my
与曲线C 交于,
A B 两点，证明：OA OB
为定值.
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:
2
l x 与x 轴交于点A ，过l 右侧的点P 作PM
l
，垂足为M ，
且PA
PM
OA
．
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点
10
B
,
的动直线l交轨迹C 于,
S T ，设
3,0
Q
，证明：QS QT
为定值．
题型五：代数式类定值
1.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，O 为坐标原点，离心率
2
e
，点
5, 3
M
在双曲线上．
(1)求双曲线的方程;
(2)如图，若直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且
0
OP OQ
.求证:
2
2
1
1
OP
OQ
为定值；
2.已知抛物线C：
2
4
y
x
＝
，圆M：
2
2
2
(
)
3
x
y
r
－
＋＝
，圆M 上的点到抛物线上的点距离最小值为
2 ．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 为
7
x
上一点，P 的纵坐标不等于± 2 ．过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不
同的点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
和点
3
3
(
,
)
Q x
y
，
4
4
(
)
,
R x
y
，求证：
1
2
3
4
y y y y 为定值．
3.已知F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A，B 两点，点D 在C 上，使得
ABD
△
的重心G 在x
轴的正半轴上，直线AD ，BD分别交x 轴于Q，P 两点.O 为坐标原点，当AB
OF
时，
4
AB
.
(1)求C 的标准方程.
(2)记P，G，Q 的横坐标分别为
P
x ，
G
x ，
Q
x ，判断2
2
3
P
Q
G
x
x
x
是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
4.已知A,B 是双曲线
2
2
1 :
1
3
y
C
x
的左、右顶点,P 是双曲线
1
C 上不同于A,B 的一点．
（1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB,PA 于点
,
M
M
M x
y
,
,
N
N
N x
y
,求
M
N
x
x
；
（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆
2
2
2 :
1
3
y
C
x
于点Q,设直线PA,PB,QA,QB 的斜率分别为
1k ,
2k ,
3k ,
4k ,
求
2
2
2
2
1
2
3
4
k
k
k
k
的值．
模块三：综合巩固
1.已知动圆M 经过定点�1( −
3, 0)，且与圆�2: (�−
3)2 + �2 = 16 内切.
(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A，B，点P 为轨迹C 上异于A，B 的动点，设直线PB 交直线�= 4
于点T，连接AT 交轨迹C 于点Q；直线AP，AQ 的斜率分别为���，���.
（i）求证：���⋅���为定值；
（ii）设直线��: �= ��+ �，证明：直线PQ 过定点.
2.已知双曲线�:
�
2
�
2 −
�
2
�
2 = 1(�> 0, �> 0)的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线�的方程；
(2)若动直线�与双曲线�恰有1 个公共点，且与双曲线�的两条渐近线分别交于点�，�两点，�为坐标原点，
证明：△���的面积为定值.
3.设双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1（�> 0，�> 0）的一条渐近线为�−3�= 0，焦点到渐近线的距离为1．�1，�2
分别为双曲线�的左、右顶点，直线�过点�2,0 交双曲线于点�，�，记直线��1，��2的斜率为�1，�2．
(1)求双曲线�的方程；
(2)求证
�1
�2为定值．
4.设抛物线�:�2 = 2��(�> 0)的焦点为�，点��, 0 ，过点�且斜率存在的直线交�于不同的�, �两点，当
直线��垂直于�轴时，��= 3.
(1)求�的方程；
(2)设直线��, ��与�的另一个交点分别为�, �，设直线��, ��的斜率分别为�1, �2，证明：
（ⅰ）
�1
�2为定值；
（ⅱ）直线��恒过定点.
5.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的准线为l ,直线
1
x
my
交C于A , B 两点,过点A , B 分别作l 上的垂线,垂足分别
为A, B.
（1）若梯形ABB A
的面积为24 3 ,求实数m的值；
（2）是否存在常数,使得
2
A B
AF BF
成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由?
6．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F,过点F 的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,当l
x
轴时,
2
AB
.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 交y 轴于点D,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P,直线PF 交抛物线C 于另一点
Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：
QAF
QBF
S
S
△
△
为定值.
7．已知过点
0, 1
A
且斜率大于零的直线1l 与抛物线
2
:
2
0
C x
py p
及圆
2
2
6
7
0
x
y
x
都相切.
（1）求p 的值；
（2）过点
0,2
B
的动直线2l 与抛物线C 交于点P,Q,以BP 为直径的圆与直线
0
y
y
交于点M,N,若MN 为
定值,求
0y 的值.
8．已知
1F ,
2
F 分别是双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
,
0
b
)的左、右焦点,
1
2
6
F F
,P 是C 上一点,
1
1
2
PF
F F
,
且
1
2
3 6
PF
PF
.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）经过点
2
F 的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线
2
x
的垂线,垂足为D,过点O 作OM
BD
(O
为坐标原点),垂足为M.则在x 轴上是否存在定点N,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,
请说明理由.
