3.4 双曲线的简单几何性质
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：双曲线的几何性质.......................................................... 2
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线..................................................3
考点三：直线与双曲线的位置关系..................................................3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：双曲线的几何性质.......................................................... 4
题型二：由双曲线几何性质求标准方程..........................................10
题型三：求双曲线离心率的值......................................................17
题型四：双曲线离心率范围问题...................................................26
题型五：双曲线渐进线相关问题...................................................34
题型六：直线与双曲线的位置关系................................................40
题型七：直线与双曲线的交点及弦长.............................................46
题型八：双曲线的“中点弦”问题................................................56
题型九：双曲线的实际应用........................................................ 62
题型十：双曲线的综合问题........................................................ 71
模块三：综合巩固....................................................................... 83
3.4 双曲线的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：双曲线的几何性质
1.双曲线的几何性质
标准方程
x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)
y
2
a
2－x
2
b
2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±b
a
x
y＝±a
b
x
离心率
e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系
c
2＝a
2＋b
2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
通径
垂直焦点所在轴并经过焦点与双曲线的弦长：
2.双曲线离心率理解
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比
，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为
=
，所以e 越大，
越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=
.
3.双曲线离心率的求法
(1)直接求出a, c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c 的齐次方程(或不等式)，借助于
消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)
求解.
(3)离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2【
b
a一般与渐近线相关】
4.双曲线渐近线求法
根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”
改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
在双曲线中，若
a
b ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：
2
e
；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：
y
x ；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和
135°．
2.共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
与
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
a
b
b
是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）一对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）一对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线x
a
及y
b
的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心
为坐标原点，半径为c（半焦距）；
（4）由于
1
c
e
a
，
2
c
e
b
，则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
a
b
e
e
c
c
，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的
倒数的平方和等于常数1．
考点三：直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组
的解的个数进行判断.
①代入②得
.
当
=0，即
时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当
0，即
时，
=
.
>0
直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
=0
直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
<0
直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：
①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件
；
②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件
> 0
�1 + �2 < 0
�1�2 > 0
；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件
Δ > 0
�1�2 < 0.
2.双曲线与弦长问题
（1）弦长公式：若直线:l y
kx
m
与双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）交于
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点，
则
2
1
2
1
A
k
B
x
x
或
1
2
2
1
1
AB
y
y
k
（
0
k
）．
（2）注意：
①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
③双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论
焦点在x 轴上还是在y 轴上，双曲线的通径总等于
.
3．中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的
这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
4．双曲线的第二定义
平面内，当动点M 到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=
(e>1)
时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心
率.
模块二：题型分类
题型一：双曲线的几何性质
1．已知双曲线
2
2
:
1
9
7
y
x
C
，则下列选项中不正确的是（
）
A．C 的焦点坐标为
4,0
B．C 的顶点坐标为
0, 3
C．C 的离心率为4
3
D．C 的虚轴长为2 7
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可
【详解】因为
2
2
9,
7
a
b
，所以
2
2
3,
7,
4
a
b
c
a
b
，
因为焦点在y 轴上，
所以C 的焦点坐标为(0, 4)
，顶点为
0, 3
，离心率为4
3 ，虚轴长为2 7 ．
故选：A.
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：
(1)
2
2
1
4
9
x
y
；
(2)
2
2
1
9
4
y
x
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】由双曲线的几何性质分别求解即可.
【详解】（1）由双曲线方程
2
2
1
4
9
x
y
，
知双曲线焦点在x 轴，且
2,
3,
13
a
b
c
，
则双曲线的实轴长2
4
a
，虚轴长2
6
b
，
顶点的坐标( 2,0),(2,0)
，
离心率
13
2
c
e
a
，
由
3
2
b
a
，得渐近线方程
3
2
y
x
，
画出双曲线草图（如图）.
（2）由双曲线方程
2
2
1
9
4
y
x
，
知双曲线焦点在y 轴，且
3,
2,
13
a
b
c
，
则双曲线的实轴长2
6
a ，虚轴长2
4
b
，
顶点的坐标(0, 3),(0,3)
，
离心率
13
3
c
e
a
，
由
3
2
a
b
，得渐近线方程
3
2
y
x
，
画出双曲线草图（如图）.
3.若双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m
的实轴长为4 ，则正数m （
）
A．
3
B．2
C．9
4
D．7
2
【答案】A
【解析】由双曲线实轴长为4 ，有
2
2
1
4
m
，又
0
m
，
3
m
.故选：A.
4.双曲线
�2
9 −
�2
3 = 1 的渐近线方程是（
）
A．�=±
3
3 �
B．�=±
1
3 �
C．�=±
3�
D．�=± 3�
【答案】A
【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案．
【详解】根据双曲线的方程可得焦点在�轴，可得�= �, �=
�，
∴渐近线方程为�=±
�
��，即�=±
�
��.
故选：A．
5.若双曲线
2
2
1
mx
y
的虚轴长与实轴长相等，则m 的值为（
）
A．4
B．4
C．1
D．1
【答案】C
【解析】依题意，双曲线的标准方程为
2
2
1
1
x
y
m
，即
2
2
1
1,
a
b
m
，
由于虚轴长与实轴长相等，所以b
a
，即
2
2
b
a
，即
1
1
m
，解得
1
m .故选：C
6．双曲线
2
2
1
x
y
m
的实轴长是虚轴长的3 倍，则m 的值为（
）
A．9
B．－9
C．1
9
D．
1
9
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得
1,
a
b
m
，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由双曲线
2
2
1
x
y
m
，可得
0
m
，且
1,
a
b
m
，
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3 倍，可得
3
a
b
，即1
3 m
，解得
1
9
m
.
故选：C.
7.已知双曲线
�2
�2 −
�2
4 = 1 �> 0 的两条渐近线的夹角为
π
3，则a 为（
）
A．
2 3
3
B．2
C．
2 3
3 或2 3
D．2 3
【答案】C
【分析】先求出双曲线有渐近线方程，再由渐近线的夹角可得渐近线的倾斜角，从而列方程可求得结果
【详解】双曲线
��
��−
��
�= ��> �渐近线方程为�=±
�
��，
因为双曲线
��
��−
��
�= ��> �的两条渐近线的夹角为
π
3，
所以
�
�= ���
π
3或
�
�= ���
π
6，解得�=
��
�或�= ��，
故选：C
8．已知F 为双曲线C：
2
2
1
3
y
x
的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（
）
A．
3
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】先求焦点，再用点到直线的距离公式即可.
【详解】由双曲线的标准方程得
2
2
2
c
a
b
所以F 坐标为
2,0 或
2,0
渐近线方程为
3
y
x
所求距离
2 3
3
1 3
d
故选：A.
【注意：】二级公式：双曲线焦点F 到渐近线的距离为b
9.已知双曲线
2
2
1
9
16
x
y
与
2
2
1
16
9
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
【答案】C
【解析】双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的焦点和顶点都在x 轴上，
而双曲线
2
2
1
16
9
y
x
的焦点和顶点都在y 轴上，故A、B 错误；
双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的渐近线方程为
4
3
y
x
，
双曲线
2
2
1
16
9
y
x
的渐近线方程为
4
3
y
x
，故C 正确；
双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的离心率
1
9 16
5
9
3
e
，
而双曲线
2
2
1
16
9
y
x
的离心率
2
16
9
5
16
4
e
，故D 错误.故选：C.
10．设双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
，
0
b
)的虚半轴长为1，半焦距为
3 ，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
1
2
y
x
D．
2
2
y
x
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出实半轴长，进而求出渐近线方程.
【详解】双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
中，
1
b ，由双曲线半焦距为
3 ，得
2
2
( 3)
2
a
b
，
所以双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
2
2
y
x
.
故选：D
11.曲线
2
2
1
10
6
x
y
m
m
（
6
m
）与曲线
2
2
1
5
9
x
y
n
n
（5
9
n
）的（
）
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．顶点相同
【答案】A
【解析】因为
6
m
，则10
6
0
m
m
，
可知
2
2
1(
6)
10
6
x
y
m
m
m
表示焦点在x 轴上的椭圆，其焦距为2 (10
)
(6
)
4
m
m
，
又因为5
9
n
，则5
0
9
n
n ，
可知曲线
2
2
1(5
9)
5
9
x
y
m
m
m
表示焦点在y 轴上的双曲线，其焦距为2 (9
)
(
5)
4
m
m
，
所以其焦距相等，离心率、焦点和顶点均不相同.故选：A.
12.已知双曲线C：�2 −
�2
�2 = 1 �> 0 ，直线�=−�与双曲线C 的两条渐近线交于A，B 两点，O 为坐标原
点，若△���为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（
）
A．2
B．3
C．2
D．4
【答案】D
【分析】求双曲线的渐近线，由条件求出�, �坐标，根据条件求�，再求双曲线的焦距.
【详解】设双曲线的左焦点为��，右焦点为��，双曲线的半焦距为�，
双曲线��−
��
��= ��> �的渐近线为�= ��和�=−��，
不妨设直线�=−�与�= ��的交点为�，则点�的坐标为−�, −�，
则直线�=−�与�=−��的交点为�，则点�的坐标为�, −�，
因为△���为等边三角形，��= �，
所以�=
�，
所以�=
�+ �= �，
所以双曲线C 的焦距��= �，
故选：D.
13.求双曲线�2 −2�2 = 1 的焦点坐标和渐近线方程.
【答案】���,
�
�
, ���, −
�
�，�=±
��
【分析】通过双曲线的标准方程，求解�，
�
�，即可得到所求的结果．
【详解】双曲线方程化为标准方程形式
��
�−
��
�
�
= �，
∴��= �, ��=
�
�，且焦点在�轴上，
∴�= �, �=
�
�, ��= ��+ ��=
�
�, �=
�
�，
焦点坐标为���,
�
�
, ���, −
�
�，渐近线方程为�=±
��.
题型二：由双曲线几何性质求标准方程
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为
5
4；
(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点−5,3 ；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
3
2x.
【答案】(1)
��
��−
��
��= �或
��
��−
��
��= �
(2)
��
��−
��
��= �
(3)
��
�−
��
��
�
= ��或
��
�−
��
�= �
【分析】（1）首先设双曲线的标准方程，再利用条件求解�, �, �，即可求解；（2）首先根据�, �, �的关系，
双曲线为等轴双曲线，再代入点，即可求解；（3）首先根据渐近线方程，设出相同渐近线的双曲线方程，
��
�−
��
�= �（�≠�），再讨论�> �和�< �两种情况，根据几何性质，即可求解.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �或
��
��−
��
��= �
�> �, �> �.
由题意知��= ��，
�
�=
�
�且��= ��+ ��，
∴�= �，�= ��，�= �
∴双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �或
��
��−
��
��= �；
（2）∵�=
�
�=
�，∴�=
��，��= ��−��= ��.
又∵焦点在�轴上，
∴设双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �，�> �.
把点−�, �代入方程，解得��= ��.
∴双曲线的标准方程为
��
��−
��
��= �.
（3）设以�=±
�
��为渐近线的双曲线方程为
��
�−
��
�= �（�≠�），
当�> �时，��= ��，∴��= ���= �，得�=
�
�；
当�< �时，��=−��，∴��= �−��= �，得�=−�；
∴双曲线的标准方程为
��
�−
��
��
�
= �或
��
�−
��
�= �.
2．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
y
x
C a
b
的一条渐近线斜率为2
，实轴长为4，则C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
4
16
y
x
C．
2
2
1
4
y
x
D．
2
2
1
16
4
y
x
【答案】C
【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.
【详解】由题意双曲线
2
2
2
2
:
1
y
x
C a
b
的焦点在y 轴上，则2
4
a
，
2
a
，
又
2
a
b
，则
1
b ，故C 的标准方程为
2
2
1
4
y
x
.
故选：C
3.过点
4,
3
且与双曲线
2
2
1
4
3
x
y
有相同渐近线的双曲线方程是（
）
A．
2
2
1
12
9
y
x
B．
2
2
1
12
9
x
y
C．
2
2
1
9
12
y
x
D．
2
2
1
9
12
x
y
【答案】B
【解析】因为所求双曲线与双曲线
2
2
1
4
3
x
y
有相同的渐近线，所以设其方程为
2
2
0
4
3
x
y
t t
，
又点
4,
3
在双曲线上，所以
2
2
4
(
3)
4
3
t
，解得
3
t
，
则双曲线方程为
2
2
1
12
9
x
y
.故选：B．
4．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
4
9
x
y
B．
2
2
1
9
4
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
【答案】D
【分析】由距离公式得出
4
b
，进而由双曲线的性质得出方程.
【详解】右焦点
2( ,0)
F c
到渐近线
0
bx
ay
的距离
2
2
|
|
4
bc
b
a
b
，因为实轴长为2
6
a ，
所以
3
a ，即C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
.
故选：D
5.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为5
3 ，且双曲线C 上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线C
的方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
34
9
x
y
【答案】B
【解析】结合题意：双曲线C 上的点到焦点的最近距离为
2
c
a
，
因为双曲线C 离心率为5
3 ，所以
2
2
2
2
5
3
c
a
c
e
a
c
a
b
，解得
5
3
4
c
a
b
，
故双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
.故选：B.
6．已知双曲线C 过点
1,2 ，且与双曲线
2
2
1
2
y
x
有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为
.
【答案】
2
2
1
2
y
x
【分析】由题意设双曲线C 方程为
2
2
2
y
x
，
0
，再由双曲线C 过点
1,2 求解.
【详解】解：因为与双曲线
2
2
1
2
y
x
有共同的渐近线，
所以设双曲线C 方程为：
2
2
2
y
x
，
0
，
又因为双曲线C 过点
1,2 ，
所以将
1,2 代入上式中得
1
，
∴所求双曲线C 的方程为：
2
2
1
2
y
x
，
故答案为：
2
2
1
2
y
x
7．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点．
(2)过点
2,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
2
2
1
25
75
x
y
(2)
2
2
1
4
y
x
【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为
2
2
1,
0
mx
ny
mn
，把已知点的坐标代入即可求出
,
m n ，
从而得解.
（2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出c ，然后根据双曲线的定义求出a ，由平方关系即可求出b ，
从而得解.
【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为
2
2
1,
0
mx
ny
mn
，
若双曲线经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点，
则由题意有
49
72
1
28
9
1
m
n
m
n
，解得
1
25
1
75
m
n
，显然有
0
mn
，
所以满足题意的双曲线的标准方程为
2
2
1
25
75
x
y
.
（2）由题意椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的半焦距
9
4
5
c
，
所以满足题意的双曲线的焦点坐标为
1
2
5,0 ,
5,0
F
F
，
所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
而双曲线上的点
2,2
P
在第二象限，
所以由双曲线的定义有
2
2
2
2
2
1
2
2
5
2
2
5
2
a
PF
PF
10
1
10
1
2
，
解得
1
a ，又
2
2
5
5
c
，所以
2
2
2
5 1
4
b
c
a
，
所以满足题意的双曲线的标准方程为
2
2
1
4
y
x
.
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆
2
2
1
25
16
y
x
有公共焦点，且过点
2, 10
；
(2)焦点在y 轴上，焦距为8，渐近线斜率为
1
3
；
(3)离心率
2
e
，且经过点
5,3
P
；
(4)经过点
4,3 ，且一条渐近线的方程为
1
2
y
x
．
【答案】(1)
2
2
1
5
4
y
x
(2)
2
2
1
8
72
5
5
y
x
(3)
2
2
1
16
16
x
y
(4)
2
2
1
5
20
y
x
【分析】（1）依题意设所求双曲线为
2
2
2
2
1 0
3
9
y
x
a
a
a
，代入点的坐标，求出
2
a ，即可得解；
（2）设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
,
0
a b
，即可得到渐近线方程，从而求出a 、b ，即可得解；
（3）由离心率得到
2
2
a
b
，即可得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为
2
2
x
y
m
，代入点的坐标，
求出m ，即可得解；
（4）设双曲线方程为
2
2
4
x
y
n
0
n
，代入点的坐标，求出n ，即可得解；
【详解】（1）椭圆
2
2
1
25
16
y
x
的焦点
0, 3
，
由题意设所求双曲线为
2
2
2
2
1 0
3
9
y
x
a
a
a
，
双曲线过点
2, 10
，
2
2
10
4
1
9
a
a
，整理得
4
2
23
90
0
a
a
，
解得
2
5
a 或
2
18
a
（舍去），
所求双曲线方程为
2
2
1
5
4
y
x
．
（2）设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1
y
x
a
b
,
0
a b
，
则渐近线为
a
y
x
b
，
焦距为8，渐近线斜率为
1
3
，
4
c
，
1
3
a
b
，
又
2
2
2
c
a
b
，所以
2
8
5
a
，
2
72
5
b
，
双曲线的标准方程为
2
2
1
8
72
5
5
y
x
，
（3）离心率
2
e
，经过点
( 5,3)
P
，
则
2
2
2
2
2
1
2
c
a
b
b
e
a
a
a
，所以
2
2
a
b
，
所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为
2
2
x
y
m
0
m
，
2
2
5
3
m
，解得
16
m
，所以双曲线方程为
2
2
16
x
y
，即
2
2
1
16
16
x
y
.
（4）因为双曲线的一条渐近线的方程为
1
2
y
x
，
所以设双曲线方程为
2
2
4
x
y
n
0
n
，又双曲线过点
4,3 ，
所以
2
2
4
3
4
n
，解得
5
n ，
所以双曲线方程为
2
2
1
5
20
y
x
.
9．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，
5
4
e
；
②渐近线方程是
2
y
x
，虚轴长为4.
【答案】（1）①
2
2
1
16
9
x
y
；②
2
2
1
4
y
x
或
2
2
1
16
4
y
x
；（2）8
【分析】根据双曲线的性质求解即可；
【详解】①由题意，
2
8
5
4
a
c
e
a
，解得
4
a
，
5
c
，则
2
2
2
9
b
c
a
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
16
9
x
y
.
②由题意，当双曲线焦点在x 轴上时，
2
2
4
b
a
b
，解得
1
a ，
2
b
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
y
x
；
当双曲线焦点在y 轴上时，
2
2
4
a
b
b
，解得
4
a
，
2
b
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
16
4
y
x
.
综上所述，双曲线的标准方程为
2
2
1
4
y
x
或
2
2
1
16
4
y
x
.
10.若双曲线�1与双曲线�2:
�2
7 −�2 = 1 有相同的焦距，且�1过点3,1 ，则双曲线�1的标准方程为（
）
A．
�2
6 −
�2
2 = 1
B．
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
C．
�2
6 −
�2
2 = 1 或
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
D．
�2
6 −
�2
2 = 1 或�2 −
�2
3 = 1
【解题思路】利用待定系数法，分焦点在�轴上和焦点在�轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再
利用条件建立方程，即可求出结果.
【解答过程】因为��和��有相同的焦距，又双曲线��:
��
�−��= �的焦距为��，所以双曲线��的焦距��=
��，又��过点�, �，
当��的焦点在x 轴上，设双曲线��的方程为
��
��−
��
��= ��> �, �> �，
若将点�, �代入
��
��−
��
��= ��> �, �> �，得
��
��−
��
��= �①，
又��+ ��= ��= �②，联立①②两式得��= �，��= �，所以双曲线��的标准方程为
��
�−
��
�= �.
当��的焦点在y 轴上，设双曲线��的方程为
��
��−
��
��= ��> �, �> �，将点�, �代入
��
��−
��
��= ��>
�, �> �，得
��
��−
��
��= �③，又��+ ��= ��= �④，
联立③④两式得��= �−
��，��=
��−�，所以双曲线��的标准方程为
��
�−��−
��
��−�= �，
综上所述，双曲线��的标准方程为
��
�−
��
�= �或
��
�−��−
��
��−�= �.
故选：C.
11.双曲线
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别为�1、�2. �是双曲线右支上一点，且直线��2的斜率
为2．△��1�2是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（
）13723366289
A．
�2
8 −
�2
2 = 1
B．
�2
8 −
�2
4 = 1
C．
�2
2 −
�2
8 = 1
D．
�2
4 −
�2
8 = 1
【解题思路】可利用△�����三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设���= �，由面积公式求
出�，由勾股定理得出�，结合第一定义再求出�.
【解答过程】如下图：由题可知，点�必落在第四象限，∠�����= ��°，设���= �，
∠�����= ��, ∠�����= ��，由����= �����= �，求得�����=
�
�，
因为∠�����= ��°，所以����⋅����=−�，求得����=−
�
�，即�����=
�
�，
�����=
�
�，由正弦定理可得：���: ���: ����= �����: �����: �����° = �: �:
�，
则由���= �得���= ��, ����= ��=
��，
由�△�����=
�
����⋅���=
�
��⋅��= �得�= ��，
则���= ��, ���= ��, ����= ��= ���, �=
��，
由双曲线第一定义可得：���−���= ��= ��，�=
�, �=
��−��=
�，
所以双曲线的方程为
��
�−
��
�= �.
故选：C.
题型三：求双曲线离心率的值
1.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的右焦点为�2,0 ，且点�2,0 到双曲线�的一条渐近线的距离为1，
则双曲线�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．
2 3
3
D．2 3
【解题思路】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出�，从而求出�，即可求出离心率．
【解答过程】因为双曲线的右焦点为��, �，则�= �，即��+ ��= ��= �，
双曲线�:
��
��−
��
��= ��> �, �> �的渐近线方程为�=±
�
��，
不妨取��+ ��= �，
又点��, �到双曲线�的一条渐近线的距离为�，
可得�=
��
��+��= �，
所以�=
��−��=
�，
所以双曲线的离心率�=
�
�=
�
�=
��
�．
故选：C．
2.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线的倾斜角为π
3 ，则此双曲线的离心率e为（
）
A．2
B．2 3
3
C．2 或2 3
3
D．
3 或2
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的焦点在x 轴上，且一条渐近线的倾斜角为π
3 ，
所以
π
tan
3
3
b
a
，所以
3
b
a
，
又
2
2
2
a
b
c ，所以
2
2
2
3
a
a
c
2
2
4
c
a
2e
4
，
又e
0
，所以e
2
.故选：A
3.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的一条渐近线被圆�+ 2 2 + �2 = 4 所截得的弦长为2 3，则�的离
心率为（
）
A．3
B．
2 3
3
C．2
D．
3 2
2
【答案】B
【分析】根据题意，得出方程
−��
��+��
�
+
�
�= �，求得��= ���，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，双曲线�的一条渐近线方程为��−��= �，
又由圆�+ ��+ ��= �的圆心为( −�, �)，半径为�= �，
因为一条渐近线被圆�+ ��+ ��= �所截得的弦长为��，
可得
−��
��+��
�
+
�
�= �，所以��= ���，即��= ���−��，
所以�=
�
�=
��
�．
故选：B．
4.如图，已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为F ，过原点的直线l 与E 交于
,
A B 两点，A 在第
一象限，延长AF 交E 于多一点C ，若BF
AC
且
4
AC
AF
，则E 的离心率为（
）
A．
10
2
B．10
3
C．17
2
D．
17
3
【答案】A
【解析】设E 的左焦点为
,
F
AF
m
，连接
,
,
AF CF BF
，
则
3 ,
2
,
2
3 ,
2
FC
m AF
a
m CF
a
m FF
c
，
因为BF
AC
，由双曲线的对称性知四边形FAF B为矩形.
在Rt
AF C
△
中，由
2
2
2
|
|
AF
AC
F C
，得
2
2
2
(2
)
(4 )
(2
3 )
a
m
m
a
m
，化简得m
a
.
在Rt
AF F
△
中，由
2
2
2
|
|
AF
AF
F F
，得
2
2
2
(3 )
(2 )
a
a
c
，
化简得
2
2
5
2
c
a
，即离心率
10
2
e
.故选：A.
5.双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 是双曲线左支上一点，
1
2
90
F MF
，直
线
2
MF 交双曲线的另一支于点N ，
2
2
MN
NF
，则双曲线的离心率（
）
A．3
B．9
C．5
D．2
【答案】C
【解析】设
2
NF
n
，则
2
MN
n
，
2
3
MF
n
，
由双曲线定义得
2
1
2
MF
MF
a
，故
1
3
2
MF
n
a
，
由勾股定理得
2
2
2
1
2
1
2
MF
MF
F F
，即
2
2
2
9
3
2
4
n
n
a
c
①，
连接
1
NF ，则
1
2
2
NF
NF
a
，故
1
2
NF
a
n
，
由勾股定理得
2
2
2
1
1
MF
MN
NF
，即
2
2
2
4
3
2
2
n
n
a
a
n
②，
由②得
4
3
n
a
，代入①得
2
2
20
4
a
c
，故
5
c
a
.故选：C
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，过F 作双曲线的一
条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 与另一渐近线交于点N ，若M 是FN 的中点，则双曲线的离心率
为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的性质结合等腰三角形的角度关系求解即可；
【详解】
如图所示，由题意可知，
1
AOF
COF
，
又因为若M 是FN 的中点，OM
FN
,
所以
AOF
AOC
,
所以
π
3
π
3
AOF
AOF
，
，
根据双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为：
b
y
x
a
OF
c
，tan
b
AOF
a
，
所以
3,
b
a
因为
2
2
2
a
b
c ，
所以
2
2
1
2.
c
b
e
a
a
故选：B.
7．已知坐标平面xOy 中，点
2
F 为双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a
的右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，
2
MF 与
双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为
2
MF 的中点，点I 为
2
OMF
△
的外心，若O、I 、D 三点共线，则
双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．3
C．5
D．5
【答案】C
【分析】设
( , )
M m n ，根据题意可知OD 垂直平分
2
MF ，利用两直线垂直斜率之积为1
和中点坐标公式可
得
n
a
m
c
且1
1
2
2
m
c
n
a
，求出m 、n ，得出点M 坐标，代入双曲线方程得到关于a 、c 的方程，结
合离心率的定义化简即可求解．
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为
1
y
x
a
，
2( ,0)
F c
，
不妨设点
( , )
M m n 在第二象限，则
2
MF
n
k
m
c
，
由D 为
2
MF 的中点，O、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分
2
MF ，
则
:
1
OD y
x
a
，有
n
a
m
c
，且1
1
2
2
m
c
n
a
，
解得
2
1
a
m
c
，
2
n
a
c
，所以
2
1 2
(
,
)
a
a
M
c
c
，
将
2
1 2
(
,
)
a
a
M
c
c
，即
2
2
2
2
(
,
)
a
c
a
c
c
，代入双曲线的方程，
得
2
2
2
2
2
2
2
(2
)
4
1
a
c
a
a c
c
，化简可得
2
2
5
c
a
，即
5
e
，
当点M 在第三象限时，同理可得
5
e
．
故选：C.
8．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 作一条直线与双曲线右支交于
,
A B 两
点，坐标原点为O，若
2
2
1
|
|
,|
| 5
OA
a
b
BF
a
，则该双曲线的离心率为
.
【答案】
10
2
/ 1
10
2
【分析】由
1
2
OA
OF
OF
得出
1
2
AF
AF
，由定义结合勾股定理得出m
a
，再由勾股定理得出离心率.
【详解】解：如图，
1
2
1
2
,
OA
OF
OF
c
AF
AF
因为
1
5
BF
a
，则
2
1
|
| |
| 2
3
BF
BF
a
a
，
设
2
AF
m
，则
1
2
AF
m
a
，则
3
AB
m
a
，
由勾股定理可得
2
2
2
1
1
|
|
|
|
|
|
AF
AB
BF
，即
2
2
2
2
3
5
m
a
m
a
a
，
整理可得
2
2
5
6
0
m
am
a
，因为
0
m
，解得m
a
，
所以，
2
AF
a
，
1
3
AF
a
，
由勾股定理可得
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
AF
AF
F F
，即
2
2
2
9
2
a
a
c
，整理可得2
10
c
a
，
因此，该双曲线的离心率为
10
2
c
e
a
.
故答案为：
10
2
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)，如图，过�的右焦点�作直线与�的两条渐近线分别交于点�, �，
与�轴交于点�，若��⊥��，且
��
��=
3
2，则�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．2
D．2 3
【解题思路】根据双曲线渐近线方程和题设条件可得��= �, ��= �，利用相似形求出��与��，借
助于倍角公式和三角函数定义得方程
���+���
���
=
���
��−��，化简即得.
【解答过程】在Rt △���中，因���∠���=
�
�=
|��|
|��|,可设|��| = ��，则|��| = ��，
因��⊥��，则|��|�+ |��|�= |��|�,即(��)�+ (��)�= ��，则�= �，
故��= �, ��= �.由三角形相似可知|��|�= ��⋅|��|，因此��=
��
�.
又因
��
��=
�
�，所以��=
�
��.设∠���= ∠���= �，则tan�=
�
�，
故tan��=
��
�
�−��
��
=
���
��−��，又Rt △���中，tan��=
��
��=
��
�+�
��
�
=
���+���
���
，
故得
���+���
���
=
���
��−��，即���−����−���= �����，从而��−���
���+ ��= �，
故得��= ���，从而离心率为�=
�+
�
�
�
=
�.
故选：B.
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
1F 斜率为4
3 的直线与C 的右支交于点
P ，若线段
1
PF 与y 轴的交点恰为
1
PF 的中点，则C 的离心率为（
）
A．1
3
B．2 3
3
C．2
D．3
【答案】D
【分析】求得P 点坐标，根据直线
1
PF 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】由于线段
1
PF 与y 轴的交点恰为
1
PF 的中点，且O是
1
2
F F 的中点，
所以
2
1
2
PF
F F
，由
2
2
2
2
1
c
y
a
b
解得
2
P
b
y
a
，
则
2
, b
P c a
，而
1
,0
F
c
，所以
1
2
2
2
2
4
2
2
2
3
PF
b
b
c
a
a
k
c
ac
ac
，
2
2
2
2
8
3
3
,3
8
3
0
ac
c
a
c
ac
a
，
两边除以
2
a 得
2
3
8
3
0
e
e
，解得
3
e
或
1
3
e
（舍去）.
故选：D
11．设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点，过点
1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .
若
2
3
MF
b
，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
3
B．
3
3
C．3
D．5
【答案】A
【分析】根据题意，先求得焦点
1F 到渐近线的距离为b ，在直角
1
MOF
△
中，求得
1
cos
b
OF M
c
，再在
1
2
MF F
△
中，利用余弦定理求得
2
2
2
3
4
3
b
c
b
，结合
2
2
2
b
c
a
和离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，可得
1(
,0)
F
c
，渐近线方程为
b
y
x
a
，
如图所示，则焦点
1F 到渐近线
b
y
x
a
的距离为
1
2
2
bc
MF
b
a
b
，
在直角
1
MOF
△
中，可得
1
1
1
cos
MF
b
OF M
OF
c
，
在
1
2
MF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
cos
MF
F F
MF
F F MF
OF M
，
即
2
2
2
2
2
3
4
2
2
4
3
b
b
c
b
cb
c
b
c
，所以
2
2
2
3
c
b
，
又由
2
2
2
b
c
a
，所以
2
2
2
2
3(
)
c
c
a
，可得
2
2
3
c
a
，
所以双曲线的离心率为
3
c
e
a
.
故选：A.
12．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，直线y
a
与双曲线C 交于M，N 两点，直线y
b
与双曲线C
交于P，Q 两点，若|
|
2 |
|
MN
PQ
，则双曲线C 的离心率等于
．
【答案】2 3
3
/ 2
3
3
【分析】将y
a
代入双曲线方程可求|
|
MN ，将y
b
代入双曲线可求|
|
PQ ，根据
2
MN
PQ
，得出
, ,
a b c 的齐次式，从而可求离心率.
【详解】将y
a
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，得
2
2
2
2
1
a
x
a
b
，
即
2
2
2
4
2
2
2
2
a
b
a
a
x
a
b
b
，
解得
2
2
a
b
a
b
x
，
所以
2
2
2a
MN
b
a
b
，
将y
b
代入
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，得
2
2
2
x
a
，即
2
2
2
x
a
，
解得
2
x
a
，
所以
2 2
PQ
a
，
因为
2
MN
PQ
，所以
2
2
2
MN
PQ
，
即
2
2
2
2
2
4
16
a
b
a
a
b
，所以
2
2
3
a
b ，
所以双曲线C 的离心率为
2
2
1
2 3
1
1 3
3
b
a
e
.
故答案为：2 3
3
.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂
足为Q ，若
1
2
PQ
F F
且
1
PF 与
2
QF 垂直，则双曲线C 的离心率为
.
【答案】
3
1
2
【分析】由题意知四边形
1
2
PQF F 为菱形，再结合图形得出
1
2
2 3 ,
2
PF
c PF
c
，最后根据定义即可得出
离心率.
【详解】设双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
焦距为2c，不妨设点P 在第一象限，
由题意知
1
2
PQ
F F
∥
，由
1
2
PQ
F F
且
1
PF 与
2
QF 垂直可知，四边形
1
2
PQF F 为菱形，且边长为2c，而
1
QFO
为直角三角形，
1
1
2 ,
QF
c FO
c
，
故
1
1
30 ,
60
FQO
QFO
，则
1
120
FQP
，
则
1
2
3
2
2
2 3 ,
2
2
PF
c
c PF
c
，
故
1
2
2 3
2
2
PF
PF
c
c
a
，
即离心率
1
3
1
2
3
1
e
.
故答案为:
3
1
2
.
题型四：双曲线离心率范围问题
1.双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点为
1F ,
2
F ，若点P 在双曲线右支上,且
1
2
7
PF
PF
，则双
曲线C 离心率的值不可能是（
）
A．6
5
B．5
4
C．4
3
D．3
2
【答案】D
【解析】由点P 在双曲线右支上，且
1
2
7
PF
PF
，
根据双曲线的定义，可得
1
2
2
6
2
PF
PF
PF
a
，可得
2
3
a
PF
，
结合双曲线的几何性质，可得
2
3
a
PF
c
a
，可得4
3
a
c
，所以
4
3
c
e
a
，
又因为
1
e ，所以离心率的取值范围为
4
(1, ]
3 ，
结合选项，可得D 项，不符合题意.故选：D.
2．已知斜率为2
2 的直线l 过双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0,
0
a
b
）的右焦点，若直线l 与双曲线的左、右两
支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是
．若直线l 与双曲线的一支相交，则双曲线的离心
率e 的取值范围是
．
【答案】
(3,
)
(1,3]
【分析】根据直线与双曲线交点情况，判断渐近线斜率b
a 范围，应用离心率公式求范围.
【详解】当直线l 与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率
2 2
b
a
，
因此该双曲线的离心率
2
2
1
3
c
b
e
a
a
．
当直线l 与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率
2 2
b
a
，
因此该双曲线的离心率
2
2
1
3
c
b
e
a
a
．又
1
e ，则1
3
e
．
故答案为：(3,
)
，(1,3]
3.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左右焦点分别为�1, �2，过�2的直线与双曲线的右支交于�, �两
点，若△���1的周长为10�，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
6
2 , + ∞
B．
10
2 , + ∞
C．1,
6
2
D．1,
10
2
【解题思路】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有��+
���
�≤���，即可求离心率范围.
【解答过程】
根据双曲线定义知：△����的周长为��+ ���，而��≥
���
�，
所以��+ ���≥��+
���
�，而△����的周长为���，
所以��+
���
�≤���，即���≤���，所以���−��≤���，解得�≤
��
�，
双曲线离心率的取值范围是�,
��
�
.
故选：D.
4.已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为双曲线右支上的一点，若M
在以
1
2
F F 为直径的圆上，且
2
1
π 5π
,
3 12
F
MF
，则该双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
1,
2
B．
2,
C．
1, 3
1
D．
2, 3
1
【答案】D
【解析】由于M 在以
1
2
F F 为直径的圆上，故
1
2
F M
F M
，
设
2
1
MF F
，则
1
|
| 2 sin
MF
c
，
2
|
| 2 cos
MF
c
，
根据双曲线的定义
1
2
|
|
|
| 2
MF
MF
a
，
所以2 sin
2 cos
2
c
c
a
，
所以
1
1
sin
cos
2 sin(
)
4
c
a
，
π 5π
,
3 12
，
所以
π
π
π
,
4
12 6
，故
sin
cos
y
在
π 5π
,
3 12
单调递增，
当
π
3
时，
3 1
sin
cos
2
y
-
=
，
当
5π
12
时，
π
π
2
2 sin
2 sin
4
6
2
y
，
所以
π
3
1
2
2 sin
,
4
2
2
y
，所以
2, 3
1
c
a
，故选：D．
5.设双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为e ，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于
2
2
，则e的取值范围是
（
）
A．
6 ,
2
B．
6
1, 2
C．
6 , 3
2
D．
6
0, 2
【答案】B
【解析】依题意，有
2
2
b
a
，即
2
2
1
2
b
a
，
由
2
2
2
2
2
2
2
2
1
c
a
b
b
e
a
a
a
，得
2
1
1
1
2
e
，
所以
6
1
2
e
，即e 的取值范围是
6
1, 2
.故选：B
6．双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
2
a
，
0
b
）的焦距为
2
0
c c
，已知点
,0
A a
，
0,
B
b ，点
2,0 到直线AB 的
距离为
1d ，点
2,0
到直线AB 的距离为
2
d ，且
1
2
4
5
d
d
c
，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
2 ,
2
2
B．
5 , 5
2
C．
10 , 10
2
D．
3,2 3
【答案】B
【分析】首先表示出直线AB 的方程，利用距离公式表示出
1d ，
2
d ，依题意可得2
4
5
ab
c
c
，再根据a 、b 、
c 的关系得到关于e的不等式，解得即可.
【详解】依题意直线AB ：
1
x
y
a
b
，即
0
bx
ay
ab
，又
2
a
，
所以
2
1
2
2
2
2
2
b a
b
ab
a
b
d
a
b
，
2
2
2
2
2
2
2
b a
b
ab
a
b
d
a
b
，
所以
2
2
2
2
1
2
2
4
2
2
5
b a
b a
c
ab
c
d
d
a
b
a
b
，所以
2
2
2
5
2
c
a
a
c
，
即
2
2
2
4
25
4
c
a
a
c
，即
4
2
4
25
25
0
e
e
，解得
2
5
5
4
e
，
又
1
e ，所以
5 , 5
2
e
.
故选：B
7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 右支上一点，
1
PF 与C 的左
支交于点Q .若
2
|
|
|
|
PQ
PF
，则C 的离心率的取值范围是（
）
A．(1,3]
B．(2,3]
C．( 5,3]
D．(2, 7]
【答案】C
【分析】由双曲线的定义可得
1
2
QF
a
，结合余弦定理及双曲线性质可得
3
2
2
2
8
5
a
PF
c
a
c
a
，化简求范
围即可.
【详解】
由题意易得：
1
2
1
2
1
2
PF
PF
PQ
QF
PF
QF
a
，所以
2
4
QF
a
设
1
2
F PF
，
2
PF
m
，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
4
16
cos
2
2
2
m
a
m
c
m
m
a
m m
a
m
3
2
2
8
5
a
m
c
a
，
则
2
2
5
0
5
c
a
e
设点
0
0
0
,
P x
y
x
a
，则
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
1 ,
x
y
b
m
x
c
y
ex
a
a
，
即
0
m
ex
a
c
a
所以
3
2
2
8
1
1
3
0
3
5
a
c
a
e
e
e
e
c
a
，故
5,3
e
.
故选：C
8.已知点
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
的左右焦点，O为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且
满足
1
2
2
F F
OP
，
2
1
tan
4
PF F
，则双曲线C 的离心率的取值范围是（
）
A．1,17
9
B．17 ,
9
C．
17 ,
3
D．
17
1,
3
【答案】D
【解析】∵
1
2
2
F F
OP
，∴
1
2
F P
F P
，
记
1
PF
x
，
2
PF
y
，则
2
2
2
2
(2 )
4
x
y
c
c
，
又
2
x
y
a
①，
∴
2
2
2
4
4
xy
c
a
，∴
2
2
2
2
2
2
(
)
4
4
4
8
4
x
y
c
c
a
c
a
，
2
2
2 2
x
y
c
a
②，
由①②得
2
2
2
2
2
2
x
c
a
a
y
c
a
a
，又
2
1
tan
4
x
PF F
y
，
∴
2
2
2
2
2
4( 2
)
c
a
a
c
a
a
，解得
2
2
17
9
c
a
，
即
17
1
3
c
e
a
．故选：D
9.已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的上、下焦点分别为�1，�2，P 是C 上支上的一点（不在y 轴上），
��2与x 轴交于点A，△���1的内切圆在边��1上的切点为B，若��> 2�，则C 的离心率的取值范围是
（
）
A．(1,
5
2 )
B．(
5
2 , + ∞)
C．(1,
3
2 )
D．(
3
2 , + ∞)
【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得|��| = �，再建立不等关系求出
离心率的范围.
【解答过程】设该内切圆在���, ��上的切点分别为D，E，则有��= ��，��= ��，���= ���，
又���−���= ��，���= ���，则��+ ���−���= ��，即���= ��，解得��= �，
由��> ��，即�> ��，得
�
�<
�
�，所以�=
�+
��
��∈(�,
�
�)．
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
2 6,0
F
，点A 坐标为
0,1 ，点P 为双曲线左支上的
动点，且APF
的周长不小于18，则双曲线C 的离心率的取值范围为
.
【答案】
6
1, 2
【分析】APF
的周长不小于18，可得PA
PF
的最小值不小于13，设
2
F 为双曲线的左焦点，则
2
2
PA
PF
a
的最小值不小于13，分析可得
2
, ,
A P F 三点共线时，
2
2
PA
PF
a
取最小值5
2a
，从而
可求a 的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为
2 6,0
F
，点A 坐标为
0,1 ，可得
24 1
5
AF
.
因为APF
的周长不小于18，所以PA
PF
的最小值不小于13.
设
2
F 为双曲线的左焦点，可得
2
2
PF
PF
a
，
故
2
2
PA
PF
PA
PF
a
，
当
2
, ,
A P F 三点共线时，
2
2
PA
PF
a
取最小值
2
AF
a
,即5
2a
，
所以5
2
13
a
,即
4
a
.
因为
2 6
c
,所以
2 6
6
2
c
e
a
a
.
又
1
e ,所以
6
1, 2
e
.
故答案为:
6
1, 2
.
11．设点F 为双曲线
2
2
:
1
1
3
x
y
C m
m
的左焦点，经过原点O 且斜率
3
k
的直线与双曲线C 交于A､B
两点，AF 的中点为P，BF 的中点为Q.若OP
OQ
，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是
.
【答案】
3
1,
【分析】先根据双曲线的对称性得四边形
2
AFBF 为平行四边形，再结合OP
OQ
得
2
BFF
△
为直角三角形，
设直线AB 倾斜角为2，从而求得离心率
1
π
2sin
4
e
，求解函数的值域即可得范围.
【详解】设双曲线的右焦点为
2
F ，根据双曲线方程知，
2
(
1)
(3
)
4
c
m
m
，则
2
c
.
因为直线过原点，由对称性，原点O平分线段AB ，
又原点O平分线段
2
F ，所以四边形
2
AFBF 为平行四边形.
在
ABF
△
和
2
ABF
△
中，分别有中位线，OP
BF
∥
，OQ
AF
，
因为OP
OQ
，所以AF
BF
，所以四边形
2
AFBF 为矩形，
2
BFF
△
为直角三角形.
不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2，则
π π
2
,
3 2
，且
OFB
OBF
，
在Rt
2
BFF
△
中可得：
2
2
4cos
4sin
a
BF
BF
，
所以
2
1
π
2cos
2sin
2sin 4
c
e
a
，
因为
π π
2
,
3 2
，所以
π π
,
6 4
，
又
1
π
2sin
4
f
在
π π
,
6 4
上为增函数，
所以
1
3
1,
π
2sin
4
e
.
故答案为：
3
1,
12．曲线
2
:
1
0
x
D
y
m
m
且
1
m
过定点,
P Q ，点
,
P Q 在椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上，设椭圆C 的
左右焦点为
1
2
,
F F ，若
1
2
8
PF
QF
，则该椭圆的离心率取值范围是
．
【答案】
6 ,1
3
【分析】令
2
x
可求得定点
,
P Q 坐标，利用椭圆对称性可得
4
a ；由
2
2
4
4
1
a
b
可整理求得
2
2
b
a
的范围，
由
2
2
1
b
e
a
可得结果.
【详解】由曲线D 方程得：令
2
x
，解得：
2
y ，则曲线D 恒过定点
2,2 ，
2, 2
，
不妨设
2,2
P
，
2, 2
Q
，
,
P Q
两点都在椭圆C 上，满足
2
2
4
4
1
a
b
，
由椭圆的对称性可知：
2
2
QF
PF
，
1
2
1
2
2
8
PF
QF
PF
PF
a
，解得：
4
a
，
由
2
2
4
4
1
a
b
得：
2
2
2
4
4
16
a
a
b
，
2
2
3
a
b
，则
2
2
1
0
3
b
a
，
离心率
2
2
2
2
2
2
2
6
1
,1
3
c
c
a
b
b
e
a
a
a
a
.
故答案为：
6 ,1
3
.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到,a c 的值或取值范围，由
c
e
a
求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,a c 的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e，从而得
到结果.
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，点B 的坐标为(0, )
b ，若C 上的任意一点P 都满足PB
b
，则C
的离心率取值范围是
．
【答案】
5
1
1,
2
【分析】设
( , )
P x y ，根据两点距离公式结合
2
2
2
2
1
x
y
a
b
得
2
2
2
2
2
0
c y
by
a
b
恒成立，利用判别式法结合
, ,
a b c 关系进行齐次化化简得
2
1
0
e
e
，注意
1
e ，最后解出即可.
【详解】设
2
2
2
2
( , ),|
|
(
)
2
0
P x y
PB
b
x
y
b
b
x
y
by
,
由
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
y
x
a
a
b
b
,代入不等式*中，
整理得
2
2
2
2
2
0
c y
by
a
b
在
R
y
上恒成立恒成立,因为
2
2
0
c
b
，
则
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
4
0
1
0
a c
b
b
a c
b
ac
c
a
ac
e
e
b
,
解得1
5
1
5
2
2
e
,又
1
e ,则
1
5
1
2
e
,
则C 的离心率取值范围是
5
1
1,
2
.
故答案为：
5
1
1,
2
.
题型五：双曲线渐进线相关问题
1.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的离心率为6，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．�=±
5�
B．�=±
6�
C．�=±
5
5 �
D．�=±
6
6 �
【解题思路】双曲线的渐近线方程为�=±
�
��，离心率�=
�
�，由于��+ ��= ��，由离心率和渐近线斜率
平方，可得出两者之间的关系即可解题.
【解答过程】曲线的渐近线方程为�=±
�
��，因为双曲线C 的离心率为�，所以�=
�
�=
�.
两边平方，即��=
��
��= �，又��+ ��= ��，所以
��
��=
��+��
��
= �+
��
��= �.
解得
�
�=
�，则
�
�=
�
�.
故双曲线C 的渐近线方程为�=±
�
��．
故选：C.
2.已知双曲线��2 −�2 = 1 的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．�=± 2�
B．�=±
1
2 �
C．�=±
2�
D．�=±
2
2 �
【解题思路】由实轴长可列方程求得参数�的值，进一步即可求得渐近线方程.
【解答过程】由题可知双曲线的实轴长为�
�
�，则�
�
�= �，解得�= �，所以该双曲线的渐近线方程为�=
± ��．
故选：A.
3.已知双曲线�:
�2
3�+2 −
�2
�= 1(�> 0)的实轴长等于虚轴长的2 倍，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
1
2 �
B．�=±
2
2 �
C．�=± 2�
D．�=±
2�
【解题思路】先得到方程，求出�= �，得到双曲线方程和渐近线方程.
【解答过程】由题意得��+ �= ��，解得�= �，
�:
��
�−
��
�= �，故渐近线方程为�=± ��.
故选：C.
4.双曲线
2
2
1
3
6
x
y
m
m
的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
y
x
D．
1
2
y
x
【答案】A
【解析】由
2
2
0
3
6
x
y
m
m
，得
2
2
2
y
x
，所以
2
y
x
，
即双曲线的渐近线方程为
2
y
x
.故选：A
5.已知双曲线
2
2
1 :
1(
0)
4
x
y
C
m
m
与双曲线
2
2
2 :
1(
0)
2
y
x
C
m
m
有共同的渐近线，则m （
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
【答案】C
【解析】双曲线
1
C 的渐近线方程为
2
m
y
x
，双曲线
2
C 的渐近线方程为
2
y
x
m
，
所以
2
2
m
m
，所以
2 2
m
.故选：C
6．已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
的左、右焦点，点M 在E 上，
1
2
2
1
:
:
2: 3: 4
F F
F M F M
，则双曲
线E 的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
1
2
y
x
C．
3
y
x
D．
3
3
y
x
【答案】C
【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得
3
b
a
，从而可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】依题，
1
2
2
1
:
:
2: 3: 4
F F
F M F M
，则
1
2
2
1
| 2 ,|
| 3 ,|
|
|
4
F F
F M
c F M
c
c
，
根据双曲线的定义
1
2
4
||
|
|
|| |
3 |
2
c
c
a
F M
F M
c
，
又
2
2
2
2
2
2
4
3
b
c
a
a
a
a
，得
3
b
a
，所以
3
b
a
，
所以其渐近线方程为
3
y
x
.
故选：C
7．过原点的直线l 与双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
交于A，B 两点（点A 在第一象限），AC
x
交x
轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D，且
1
AB
AD
k
k
，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
1
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
2
y
x
【答案】D
【分析】由题可设，
0
0
0
0
1
1
(
,
), (
,
),
( ,
)
A x
y
B
x
y
D x y
，
0
(
,0)
C x
，分别表示出
,
,
AB
BC
AD
k
k
k
，逐步转化，即可
求得本题答案.
【详解】因为
,
A B 直线过原点，所以
,
A B 关于原点对称，设
0
0
0
0
1
1
(
,
), (
,
),
( ,
)
A x
y
B
x
y
D x y
，
因为AC 与x 轴垂直，所以
0
(
,0)
C x
，
设
1
2
3
,
,
AB
BC
AD
k
k k
k k
k
，
则
0
0
1
2
1
0
0
1
,
2
2
y
y
k
k
k
x
x
，
而
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
(
1)
(
1)
y
y
y
y
y
y
x
x
b
k
k
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
所以，
2
1
3
2
3
2
2
2
1
b
k
k
k
k
a
，
所以，
2
2
2
,
2
a
b
a
b
所以渐近线方程为
2
2
y
x
.
故选：D
8.已知双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别�1，�2．�是�上一点(在第一象限)，直线��2
与轴�交于点�，若��1 ⊥��1，且3 ��2 = 2 �2�，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
2 5
5 �
B．�=±
5
2 �
C．�=±
5
5 �
D．�=±
5�
【解题思路】设���= �，用�，�表示△����的各边长，利用勾股定理确定�，�的关系，再探求∠�����
与∠����的关系，利用余弦定理和直角三角形的边角关系，列出等式，再由双曲线中�, �, �的关系，求出
�
�
即可.
【解答过程】如图：
设���= �，则���= �，因为����= ����，所以���=
�
��，根据双曲线的定义：���=
�
��+
��，
因为���⊥���，由勾股定理得：
�
��+ ��
�
+ ��=
�
��
�
⇒
�−��
�+ �= �，所以�= ��.
所以：���= ��，
���= ��，���= ��.
在△�����中，���∠�����=
����+ �����−����
����⋅����
=
���+��
���.
在△����中，���∠����=
���−��
��
.
因为∠�����+ ∠����= ��°，∠����+ ∠����= ��°，所以∠�����= ∠����，
从而���∠�����= ���∠����，即
���+��
���
=
���−��
��
⇒
���−����= �⇒���= ���，
所以���= ���+ ��
⇒
��
��=
�
�⇒
�
�=
��
�，
所以双曲线渐近线的方程为：�=±
��
��.
故选：A.
9.已知
1
2
,
F F 为双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左、右焦点，过
2
F 的直线l 与双曲线的渐近线交于A、B
两点，满足A，B 均在y 轴右侧，且
1
ABF
为正三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（
）
A．
2 3
3
x
y
B．
2 3
3
y
x
C．
2
y
x
D．
2
x
y
【答案】B
【解析】依题意，
1
1
AF
BF
AB
，根据对称性可知
1
2
AB
F F
，从而
1
2
2
3
F F
AF
，
不妨设A 在第一象限，其中一条渐近线方程为
b
y
x
a
，令x
c
得
bc
y
a
，
则
, bc
A c a
，故2
3 bc
c
a
，故
2
2 3
3
3
b
a
，
可得渐近线方程为
2 3
3
b
y
x
x
a
．故选：B
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
虚轴的一个顶点为D，
1
2
,
F F 分别是C 的左，右焦点，直线
2
x
a
与
C 交于A，B 两点．若
ABD
△
的重心在以
1
2
F F 为直径的圆上，则C 的渐近线方程为（
）
A．
7
8
y
x
B．
8
7
y
x
C．
2 14
7
y
x
D．
14
4
y
x
【答案】D
【分析】不妨取
(0, )
D
b ，再求得
,
A B 两点的坐标为
2 ,
3
a
b
，从而求得重心的坐标为4 ,
3
3
b
a
，进而得到
2
2
2
4
3
9
b
a
c
，解得
14
4
b
a
，由此得解.
【详解】因为双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
，则其虚轴上的顶点为(0,
)
b
，不妨取
(0, )
D
b ，
联立
2
2
2
2
2
1
x
a
x
y
a
b
，解得
2
3
x
a
y
b
，则
,
A B 两点的坐标为
2 ,
3
a
b
，
所以
ABD
△
的重心的坐标为2
2
0
3
3
,
3
3
a
a
b
b
b
，即4 ,
3
3
b
a
，
因为△ABD 的重心在以
1
2
F F 为直径的圆上，而
1
2
F F 为直径的圆的方程为
2
2
2
x
y
c
，
所以
2
2
2
2
2
4
3
9
b
a
c
a
b
，解得
14
4
b
a
，
所以C 的渐近线方程为
14
4
y
x
.
故选：D.
11．设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在
第一象限分别交于
,
A B 两点，O为坐标原点，若
1
2
OA
OF
OB
，则双曲线C 的渐近线方程
为
.
【答案】
3
3
y
x
【分析】用直线x
c
分别与
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
和
b
y
x
a
联立，求出
,
A B 的坐标，再根据
1
2
OA
OF
OB
可得
2
c
b
，
3
3
b
a
，从而可得渐进线方程.
【详解】由题意，将x
c
分别与
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0,
0)
a
b
和
b
y
x
a
联立，
可得
2
( ,
)
b
A c a ,
( ,
)
bc
B c a
，
又
(c,0)
F
，且
1
2
OA
OF
OB
，即
2
,
, 2
b
bc
c
c
a
a
,
∴
2
c
b
,
2
2
2
b
b
a
c
b
3
3
，
∴渐近线方程为
3
3
y
x
.
故答案为：
3
3
y
x
12．（多选）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
与双曲线
2
2
2 :
1
4
y
C
x
有公共的焦点，
2
C 的一条渐近线与
以
1
C 的长轴为直径的圆相交于
,
A B 两点，若
1
C 恰好将线段AB 三等分，则（
）
A．
2
11
2
a
B．
2
8
a
C．
2
1
2
b
D．
2
3
b
【答案】AC
【分析】由题意作出图形，一方面：以
1
C 的长轴为直径的圆的直径为2a ，且
1
C 恰好将线段AB 三等分，
由此可知
2
3
a
CD
；另一方面：将双曲线渐近线方程
:
2
AB y
x
与椭圆方程联立，结合弦长公式可得
2
2
2 5
4
ab
AB
a
b
；最终结合
2
2
2
4 1
5
a
b
c
，即可列出方程组求解.
【详解】如图所示：
因为
1
C ，
2
C 有公共焦点，
所以通过
2
C 可得
1
2
5,0 ,
5,0 ,
F
F
从而
5
c
，
由题意以
1
C 的长轴为直径的圆的直径为2a ，
又因为
1
C 恰好将线段AB 三等分，
所以AB 截椭圆的弦长为2
3
a ；
由双曲线
2
2
2 :
1
4
y
C
x
得其一条渐近线方程
:
2
AB y
x
，将其与椭圆方程
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
联立得，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ,
4
2
b x
a y
a b
a b
x
a
b
y
x
所以
2
2
4
ab
x
a
b
，
利用弦长公式可得
2
1
2
2
2
2 5
2
1
2
3
4
ab
AB
x
x
a
a
b
，
整理得
2
2
11
a
b
，
又因为
2
2
2
5
a
b
c
，
所以解得：
2
2
11
2
1
2
a
b
.
故选：AC.
13．已知F1，F2 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，P 为双曲线C 上的动点，
1
2
10
F F
，
1
2
8
PF
PF
，点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离分别为
1d ，
2
d ，则
1
2
d d
＝
．
【答案】12
5
【分析】根据已知条件求得, ,
c a b ，求得双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】依题意
1
1
2
2
2
2
8
10,
,
,
4
5
c
P
F F
c
F
PF
a
a
，
所以
2
2
3
b
c
a
，双曲线的标准方程为
2
2
1
16
9
x
y
，
所以双曲线的渐近线为3
4
0,3
4
0
x
y
x
y
，
设
0
0
,
P
x
y
，则
2
2
0
0
1
16
9
x
y
，
2
2
0
0
9
16
144
x
y
，
则
2
2
0
0
0
0
0
0
1
2
9
16
3
4
3
4
144
12
5
5
25
25
5
x
y
x
y
x
y
d
d
.
故答案为：12
5
题型六：直线与双曲线的位置关系
1．讨论直线y
x
b
与双曲线
2
2
1
x
y
的公共点的个数．
【答案】
0
b
时，无公共点；
0
b
时，有一个公共点．
【分析】判断直线与双曲线的公共点的个数，即判断由它们的方程组成的方程组的解的个数．
【详解】联立直线和双曲线方程
2
2
1
y
x
b
x
y
，消去y 得
2
2
1
x
x
b
．
整理得
2
2
1
0
bx
b
①，
若
0
b
，则方程①变为1
0
，无解，此时直线与双曲线无公共点．
事实上，此时直线为y
x
，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．
若
0
b
，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，
原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．
综上可知，
0
b
时，无公共点；
0
b
时，有一个公共点．
2.直线3
4
0
x
y
与双曲线
2
2
1
9
16
y
x
的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】方法一：联立直线3
4
0
x
y
与双曲线
2
2
1
9
16
y
x
的方程，
2
2
1
9
16
3
4
0
y
x
x
y
，得
2
2
16
9
1
9
16
y
y
，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.
方法二：由
2
2
0
9
16
y
x
，得3
4
0
x
y
，所以双曲线的渐近线方程为3
4
0
x
y
，
因为直线3
4
0
x
y
是双曲线
2
2
1
9
16
y
x
的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A
3.已知直线�: �= 2�−8，双曲线�:
�2
4 −�2 = 1，则（
）
A．直线�与双曲线�有且只有一个公共点
B．直线�与双曲线�的左支有两个公共点
C．直线�与双曲线�的右支有两个公共点
D．直线�与双曲线�的左右两支各有一个公共点
【解题思路】发现点��, �在双曲线的右顶点��, �的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到
答案.
【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出�: �= ��−�与�:
��
�−��= �的图象如图所示：
由图可知直线�: �= ��−�过点��, �，它在双曲线的右顶点��, �的右边，
联立直线与双曲线方程得
�= ��−�
��
�−��= �，解得
�=
��
�
�=−
�
�
或
�=
��
�
�=
��
�
，
则直线�与双曲线�的右支有两个公共点�, �.
故选：C.
4.双曲线
2
2
1
9
4
x
y
与直线
2
3
y
x
m m
R 的公共点的个数为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
【答案】C
【解析】因为双曲线
2
2
1
9
4
x
y
的渐近线方程为
2
3
y
x
，
所以，当
0
m
时，直线
2
:
3
l y
x
m
与渐近线重合，此时直线l 与双曲线无交点；
当
0
m
时，直线l 与渐近线平行，此时直线l 与双曲线有一个交点.故选：C
5.过点
1,2
P
的直线l 与双曲线
2
2
1
4
x
y
的公共点只有1 个，则满足条件的直线l 有（
）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
【答案】C
【解析】当直线l 的斜率不存在时，显然= 1
x 与双曲线
2
2
1
4
x
y
没有公共点.
当直线l 的斜率存在时，设方程为
2
1
y
k x
，
与双曲线方程联立可得
2
2
2
2
1
4
8
2
4
16
20
0
k
x
k
k x
k
k
，
当
2
1
4
0
k
时，即
1
2
k
时，此时直线和双曲线的公共点只有1 个，
1
2
k
时，
3
x ；
1
2
k
时，
13
6
x
.
当
2
1
4
0
k
时，
2
2
2
2
64
2
4 1
4
4
16
20
0
k
k
k
k
k
，
整理可得
2
3
4
5
0
k
k
，因为
76
0
，所以
2
3
4
5
0
k
k
有两个不等的实数根，
又因为
1
2
k
不是
2
3
4
5
0
k
k
的根，所以此时直线和双曲线的公共点只有1 个.
综上可知直线和双曲线的公共点只有1 个时，直线l 有4 条.故选：C.
6．直线
1
y
kx
与双曲线
2
2
1
x
y
有且只有一个公共点，则实数k
．
【答案】
2
或1
【分析】由
2
2
1
1
x
y
y
kx
消去y，对二次系数是否为0 分类讨论可得.
【详解】由
2
2
1
1
x
y
y
kx
消去y，整理得
2
2
1
2
2
0
k
x
kx
，
当
2
1
0
k
时，由
2
2
Δ
4
8 1
0
k
k
得
2
k
；
又注意到直线
1
y
kx
恒过点
0, 1
，且渐近线的斜率为1
时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为：
2
或1
7.过双曲线�：�2 −
�2
3 = 1 左焦点为�和点�0,2 3 直线�与双曲线�的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解题思路】求出直线l 的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案.
【解答过程】由题意得双曲线�：��−
��
�= �左焦点为�( −�, �)，
则直线l 的斜率为�=
��−�
�−(−�) =
�，
故直线l 的方程为�=
��+ ��，而双曲线的渐近线方程为�=±
��，
故直线l 与�=
��平行，且l 过双曲线的左焦点，
故直线�与双曲线�的交点个数是1，
故选：B.
8．若直线l 与单位圆（圆心在原点）和曲线
2
2
1
4
8
x
y
均相切，则直线l 的一个方程可以是
【答案】
3
2
0
x
y
（或
3
2
0
x
y
，3
2
0
x
y
，
3
2
0
x
y
，只需写出一个答案即可）
【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意
的直线.
【详解】显然直线l 存在斜率，设直线l ：
2
y
kx
m k
，
联立方程组
2
2
,
1,
4
8
y
kx
m
x
y
,
得
2
2
2
2
2
8
0
k
x
kmx
m
因为直线l 与曲线相切，所以
2
2
2
2
Δ
4
4 2
8
0
k m
k
m
，
即
2
2
8
4
0
m
k
.
因为直线l 与单位圆相切，所以
2
1
1
m
k
联立方程组
2
2
2
8
4
0,
1,
1
m
k
m
k
解得
3
k
，
2
m
故直线l 的方程可能是
3
2
0
x
y
，
3
2
0
x
y
，3
2
0
x
y
，
3
2
0
x
y
故答案为：
3
2
0
x
y
9.若直线�: �+ ��−�−2 = 0 与曲线
�2
4 −�2 = 1 有且只有一个交点，则满足条件的直线�有（
）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
【解题思路】
利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.
【解答过程】
直线�: �+ ��−�−�= �，即��−�+ �−�= �恒过点�, �，
又双曲线的渐近线方程为�=±
�
��，
则点�, �在其中一条渐近线�=
�
��上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线�过点�, �且平行于�=−
�
��或过点�, �且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线�有�条.
故选：C.
10．已知双曲线
2
2
4
x
y
，直线
:
1
l y
k x
，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k 的范
围
．
【答案】1
1
k
【分析】将直线与双曲线方程联立，直线与双曲线的交点分别在两支上等价于联立方程有两个异号的根.
【详解】联立双曲线、直线方程，消去y 整理得
2
2
2
2
1
2
4
0
k
x
k x
k
，
由题意，设方程的两根为
1
2
x
x
，
，则
2
2
2
1
2
2
1
0
Δ
4 4
3
0
4
0
1
k
k
k
x x
k
，解得1
1
k
．
故答案为：1
1
k
11.如果直线l 经过双曲线
2
2
9
4
36
x
y
的中心，且与该双曲线不相交，则l 的斜率的取值范围是（
）
A．
3 3
,
2 2
B．
3
3
,
,
2
2
C．
3
0, 2
D．
3 ,0
2
【答案】B
【解析】依题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，双曲线
2
2
9
4
36
x
y
的中心为
0,0 ，
因为直线l 经过双曲线
2
2
9
4
36
x
y
的中心，所以设直线方程为y
kx
，
由
2
2
9
4
36
y
kx
x
y
，消去y 得，
2
2
9
4
36
k
x
，
因为直线与该双曲线不相交，所以方程
2
2
9
4
36
k
x
没有实数根，
所以
2
9
4
0
k
，即
2
4
9
0
k
，解得
3
2
k
或
3
2
k
，
所以直线l 的斜率的取值范围是：
3
3
,
,
2
2
.故选：B.
题型七：直线与双曲线的交点及弦长
1.过双曲线
�2
3 −
�2
6 = 1 的右焦点�2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B 两点，则��的值为（
）
A．
4
5
3
B．
8
5
3
C．
16
5
3
D．
32
5
3
【解题思路】确定直线��的方程，代入双曲线方程，求出�，�的坐标，即可求线段��的长．
【解答过程】由双曲线的方程得��( −�, �)，��(�, �)，直线��的方程为�=
�
�(�−�)①
将其代入双曲线方程消去�得，���+ ��−��= �，解之得��=−�，��=
�
�．
将��，��代入①，得��=−��，��=−
��
�，
故|��| =
( −�−
�
�)�+ ( −��+
��
�)�=
���
�．
故选：C．
2．已知双曲线C ：
2
2
1
3
x
y
，若直线l 的倾斜角为60°，且与双曲线C 的右支交于M，N 两点，与x 轴
交于点P，若
3
2
MN
，则点P 的坐标为
.
【答案】
3,0
【分析】设直线l 的方程为
3
y
x
m
，与双曲线方程
2
2
1
3
x
y
联立，利用根与系数的关系及弦长公式
列式求解m 的值，即可求出直线l 的方程，令
0
y
即可得出答案.
【详解】双曲线双曲线C ：
2
2
1
3
x
y
的渐近线方程为
3
3
y
x
，
而直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的斜率为
3 ，可设直线l 的方程为
3
y
x
m
，
与双曲线方程
2
2
1
3
x
y
联立，化简可得
2
2
8
6 3
3
3
0
x
mx
m
，
由
2
2
2
Δ
108
32 3
3
12
96
0
m
m
m
，得
2 2
m
或
2 2
m
．
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
2
3 3
0
4
m
x
x
，
2
1
2
3
3
0
8
m
x
x
，
则
0
m
，所以
2 2
m
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
27
3
3
1
3
2
4
2
16
2
m
m
MN
x
x
x
x
x
x
2
3
24
3
2
2
m
，解得：
3
m
（舍去）或
3
m ，
所以直线l 的方程为
3
3
y
x
，令
0
y
，可得
3
x
.
故点P 的坐标为
3,0 .
故答案为：
3,0 .
3．双曲线
2
2
2
2
1(
0
0)
y
x
a
b
a
b
，
的一条渐近线方程为
3
3
y
x
，过焦点且垂直于y 轴的弦长为6．
(1)求双曲线方程；
(2)过双曲线的下焦点作倾角为45的直线交曲线于M 、N ，求MN 的长．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
(2)6
【分析】(1)利用双曲线的一条渐近线方程为
3
3
y
x
,过焦点且垂直于y 轴的弦长为6,建立方程,即可求双
曲线方程;
(2)设直线方程
2
y
x
,联立方程,由韦达定理及弦长公式即可求MN 的长.
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
1
y
x
a
b
的一条渐近线方程为
3
3
y
x
，所以
3
3
a
b
,
双曲线的上焦点为
0,
F
c ，在
2
2
2
2
1
y
x
a
b
中令y
c
得
2
b
x
a
，所以
2
2
6
b
a
，
∴
1,
3
a
b
,
∴双曲线方程为
2
2
1
3
x
y
;
（2）过双曲线的下焦点(0, 2)
且倾角为45的直线斜率为
1
k ，直线方程为
2
y
x
,
代入双曲线方程
2
2
1
3
x
y
可得
2
2
12
9
0
x
x
，
2
12
4
2 9
0
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，故
1
2
1
2
9
6,
2
x
x
x x
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
9
|
|
1
1
4
2
36
4
6
2
MN
k
x
x
k
x
x
x x
故MN 的长为6.
4．已知双曲线C 离心率为
3 ，且过
3,0 点，过双曲线C 的右焦点
2
F 且倾斜角为π
3 的直线l 交双曲线于
,
A B 两点，O为坐标原点，
1F 为左焦点.
(1)写出直线l 的方程；
(2)求双曲线的标准方程；
(3)求AOB
的面积.
【答案】(1)
3
3
y
x
(2)
2
2
1
3
6
x
y
(3)36
【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可；
（2）由（1）条件求出,a b 即可；
（3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题意设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
由题意可得
3
3
3
3
c
c
a
a
a
，
所以
2 3,0
F
，又直线斜率
π
tan
3
3
k
，
∴直线的方程为：
3
3
y
x
（2）由（1）知
3
3
c
a
，
所以
2
2
2
2
2
3
3
6
6
b
c
a
b
，
故双曲线方程为：
2
2
1
3
6
x
y
；
（3）由题意联立
2
2
1
3
6
3
3
x
y
y
x
，
消元整理得：
2
18
33
0
x
x
，
由
2
18
4 1 33
192
0
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
∴
1
2
18
x
x
，
1
2
33
x x
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
3
y
y
x
x
x
x
2
1
2
1
2
AOB
OF
S
y
y
△
1
2
3 3
2
x
x
2
1
2
1
2
3 3
4
2
x
x
x x
2
3 3
18
4 33
36
2
.
5．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，焦点到渐近线的距离为
3 ，且离心率为
7
2
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线:
3
l y
kx
与双曲线交于
,
M N 两点，若
16 3
MN
，求k 的值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2)
2145
65
k
或
1
k
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线, ,
a b c 关系可求得,a b ，由此可得双曲线方程；
（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k 的值.
【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为
b
y
x
a
，设焦点坐标为
,0
c
，
焦点到渐近线的距离
2
2
3
bc
d
b
a
b
，
又离心率
7
2
c
e
a
，
2
2
2
2
3
3
4
b
c
a
a
，解得：
2
4
a
，
双曲线C 的方程为：
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）由
2
2
3
1
4
3
y
kx
x
y
得：
2
2
3
4
24
48
0
k
x
kx
，
则
2
2
3
4
0
Δ
48 12
4
0
k
k
，解得：
2
3
k 且
2
3
4
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
2
24
3
4
k
x
x
k
，
1
2
2
48
3
4
x x
k
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
8 3
3
1
4
1
16 3
3
4
k
MN
k
x
x
x x
k
k
，
即
2
2
2
2
1
3
4 3
4
k
k
k
，解得：
2
33
65
k
或
2
1
k ，均满足
2
3
k 且
2
3
4
k
，
2145
65
k
或
1
k .
6．已知双曲线C 经过点
2,
2
P
，且其两条渐近线相互垂直．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E
F
、
，若OEF
的面积为2 2 （O为坐标原点），求
直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
(2)
2
2
y
x
或
2
2
y
x
【分析】（1）根据题意可知双曲线C 为等轴双曲线，设双曲线C 的方程为
2
2
x
y
，把点
2,
2
P
代入
双曲线方程，可得双曲线方程；
（2）可设直线l 的方程为
1
1
2
2
:
2,
,
,
,
l y
kx
A x y
B x
y
，代入双曲线C 的方程并整理，根据直线l 与双
曲线C 相交于不同的两点E
F
、
，进而可得k 的范围，根据韦达定理可求得
1
2
1
2
,
x
x x x
，进而表示出EF 和
原点O 到直线l 的距离根据OEF
的面积求得k，进而可得直线方程．
【详解】（1）因为双曲线C 的两条渐近线相互垂直，可知双曲线C 为等轴双曲线，
设双曲线C 的方程为
2
2
x
y
，
代入
2,
2
P
，可得
4
2
2
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
2
x
y
，即
2
2
1
2
2
x
y
.
（2）由题意可知：直线l 的斜率存在，设
1
1
2
2
:
2,
,
,
,
l y
kx
A x y
B x
y
，
联立方程
2
2
2
2
y
kx
x
y
，消去y 得
2
2
1
4
6
0
k
x
kx
，
可得
2
2
2
1
0
Δ
16
24 1
0
k
k
k
，解得
2
0
3
k
且
2
1
k ，
则
1
2
1
2
2
2
4
6
,
1
1
k
x
x
x x
k
k
，
可得
2
2
2
2
2
2
2
4
24
2 2 1
3
1
1
1
1
k
k
k
EF
k
k
k
k
，
且O到直线:
2
0
l kx
y
的距离
2
2
1
d
k
，
由题意可得：
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2 2 1
3
2 2 3
2
1
2
2
2
1
1
△OEF
S
d E
k
F
k
k
k
k
k
，
解得
2
2
k
或
2
1
k （舍去），即
2
k
，
所以直线l 的方程为
2
2
y
x
或
2
2
y
x
.
7．已知圆
2
2
:
3
16
M
x
y
，圆
2
2
:
3
4
N
x
y
，圆P 与圆M，圆N 都外切，圆P 的圆心的轨迹记为
Q．
(1)求Q 的方程；
(2)若直线:
3
4
l y
x
与Q 交于A，B 两点，求AB ．
【答案】(1)
2
2
1
1
8
y
x
x
(2) 40 3
【分析】（1）设圆P 的半径为r，由圆P 与圆M 和圆N 都外切，得出PM
PN
等于定值，由双曲线的
定义知，轨迹Q 为双曲线的右支（除去顶点），写出方程即可．
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求出AB 即可．
【详解】（1）
3,0
M
，
3,0
N
，
6
MN
，
设圆P 的半径为r，因为圆M 与圆N 的半径分别为4，2，
所以
4
PM
r
，
2
PN
r
，所以
2
PM
PN
，
又圆M 与圆N 相切于点
1,0 ，
所以轨迹Q 为以
3,0
M
，
3,0
N
为焦点，实轴长为2 的双曲线的右支（除去顶点），
故Q 的方程为
2
2
1
1
8
y
x
x
．
（2）联立
2
2
1,
8
3
4,
y
x
y
x
得
2
24
24
0
x
x
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由韦达定理可得
1
2
1
2
24
x
x
x x
，
故
2
2
1
2
1
2
1 3
4
40 3
A
x
x
x x
B
．
8．已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦距为6，且虚轴长是实轴长的
2 倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π
4 的直线l 与双曲线交于A，B 两点，求AB .
【答案】(1)
2
2
1
3
6
x
y
(2)8 3
【分析】（1）由题意可知得2
6
c
，且
2
b
a
，再结合
2
2
2
b
c
a
求出, ,
a c b ，进而可得双曲线的方程；
（2）由题意可得直线l 的方程为
3
y
x
，设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，然后将直线方程与双曲线方程联立方程
组，消去y ，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.
【详解】（1）由双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦距为6，且虚轴长是实轴长的
2 倍.
得2
6
c
，且
2
b
a
，又
2
2
2
2
3
9
c
a
b
a
，
解得
2
3,
3
c
a
,
所以
2
2
2
9
3
6
b
c
a
，
所以双曲线方程为
2
2
1
3
6
x
y
.
（2）由（1）可知双曲线C 的右焦点F 为(3,0) ，所以直线l 的方程为
3
y
x
，
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
由
2
2
1
3
6
3
x
y
y
x
，得
2
6
15
0
x
x
，
所以
1
2
1
2
6
15
x
x
x x
，
所以
2
2
1
2
1
2
1 1
(
)
4
2
36
4 ( 15)
8 3
AB
x
x
x x
.
9.过双曲线
2
2
4
x
y
的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B 两点，则弦长AB
．
【答案】8
【解析】由双曲线
2
2
4
x
y
，得
2
a
b
，
2 2
c
，
焦点为
(2 2,0)
F
，倾斜角
30
，
法一：直线斜率
3
3
k
，直线方程为
3
2 2
x
y
，
联立
2
2
4
3
2 2
x
y
x
y
消x 得，
2
2 6
2
0
y
y
，由韦达定理知
1
2
1
2
2 6
2
y
y
y y
，
代入弦长公式
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2 (
)
4
AB
y
y
y
y
y y
k
，得
2
2 ( 2 6)
4 2
8
AB
.
法二：
2
2
2
2
2
2 2 4
8
3
cos
4
8
4
ab
AB
a
c
.
故答案为：8.
10.已知双曲线
2
2
:
1
3
x
C
y
，直线:l y
x
m
被C 所截得的弦长为4 6 ，则m
．
【答案】3 2
【解析】设双曲线C 与直线l 交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
两点，
由
2
2
1,
3
,
x
y
y
x
m
消去y 整理得
2
2
2
6
3
3
0
x
mx
m
，
则
2
2
2
Δ
36
8 3
3
12
24
0
m
m
m
，解得
2
2
m
，且
2
1
2
1
2
3
3
3 ,
2
m
x
x
m x x
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
3
6
AB
x
x
x
x
x x
m
．
由
2
2
3
6
4 6
m
，解得
2
18
m
，所以
3 2
m
．
故答案为：3 2
11.已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
的右焦点为F，过F 的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，若AB
4
，则这样
的直线l 有（
）
A．0 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【解析】由题意，
5,0
F
，
当直线l 的斜率为0 时，直线l 的方程为
0
y
，
在方程
2
2
1
4
x
y
中，令
0
y
，则
2
x ，此时AB
4
，符合题
意，
当直线l 的斜率不等于0 时，设方程为
5
x
my
，
联立
2
2
5
1
4
x
my
x
y
，消x 得
2
2
4
2 5
1
0
m
y
my
，
则
2
2
2
4
0
Δ
20
4
4
0
m
m
m
，解得
2
m ，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
1
2
2
2
2 5
1
,
4
4
m
y
y
y y
m
m
，
故
2
2
1
2
1
2
1
4
AB
m
y
y
y y
2
2
2
2
2
2
4
1
2 5
4
1
4
4
4
4
m
m
m
m
m
m
，
解得
6
2
m
，
综上所述，符合题意得直线l 有3条.故选：C.
12.已知�是双曲线�: �2 −
�2
3 = 1 的左焦点，过点�的直线与�交于�, �两点（点�, �在�的同一支上），且
��= 2 ��，则��=（
）
A．6
B．8
C．
13
2
D．
27
4
【解题思路】首先由双曲线方程求出点�的坐标，并设出过点�的直线方程�= ��−�(�> �)，然后借助
直线与双曲线联立，得到��, ��和与积的关系，再由��= ���，得到��, ��的等量关系，从而解出�, ��
的值，最后根据弦长公式求出��得长.
【解答过程】
由�: ��−
��
�= �可得�−�, �.根据对称性，不妨设过点�的直线为�= ��−�(�> �)，
联立
�= ��−�,
��−
��
�= �, 可得���−���−����+ �= �.
设���, ��, ���, ��，则��+ ��=
���
���−�, ����=
�
���−�.①
由��= ���，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ，又��Ԧ
ሬሬሬሬ= −�−��, −��, ��Ԧ
ሬሬሬሬ= ��+ �, ��所以−��= ���.②
由①②可得��=−
���
���−�, ��=
���
���−�，所以−
���
���−�×
���
���−�=
�
���−�，
解得�=
��
��或�=−
��
��（舍），��=
���
�，
所以��=
�+ ��⋅��−��=
�
��× ���=
�
��×
���
�
=
��
�.
故选：D.
13.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左焦点为�1，圆�: �2 + �2 = �2.若过�1的直线分别交�的左、右
两支于A，B 两点，且圆�与�1�相切，�的离心率为3, �1到�的渐近线的距离为2 2，则|��| =（
）
A．
32
7
B．
30
7
C．
20
7
D．
16
7
【解题思路】由题意可得
|��−�×�|
��+��= �，可得�= �, �= ��, �= �，进而可求直线��的方程�=
�
��(�+ �)，
联立方程组可求弦长.
【解答过程】由�=
�
�= �，得�= ��, �= ���.
双曲线
��
��−
��
��= �的渐近线方程为��± ��= �，��( −�, �)，
因为��到�的渐近线的距离为�，所以
|��−�×�|
��+��= �= ���= ��，解得�= �, �= ��, �= �，所以��−
��
�= �，
过��的直线��与圆��+ ��= �相切于�，则可得���=
��−��= ��，
所以���∠����=
|��|
|���| =
�
��，
过��且与圆��+ ��= �相切的直线方程为�=
�
��(�+ �)，
联立方程组
���−��= �
�=
�
��(�+ �) ，消去�得����−��−��= �.设���, ��, ���, ��，
则��+ ��=
�
��, ����=−
��
��，所以��=
�+
�
�⋅
�
��
�
+
���
��
=
��
�.
故选：D.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
2
1
2
5,0 ,
5,0 ,
4
F
F
MF
MF
，动点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
3
:
4
l y
x
t
交C 于
,
A B 两点，且
2 11
AB
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；(2)
3
2
4
y
x
【解析】（1）根据题意由
1
2
1
2
4
2 5
MF
MF
F F
可知，
动点M 的轨迹为以
1
2
5,0 ,
5,0
F
F
为焦点，实轴长为2
4
a
的双曲线，
即
5,
2
c
a
，所以
2
2
2
2
4,
1
a
b
c
a
，
所以可得C 的方程为
2
2
1
4
x
y
；
（2）如下图所示：
依题意设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
3
:
4
l y
x
t
与C 的方程
2
2
1
4
x
y
，
消去y 整理可得
2
2
5
24
16
1
0
x
tx
t
，则
2
1
2
1
2
16
1
24 ,
5
5
t
t
x
x
x x
；
且
2
2
2
Δ
24
4 5 16
1
256
320
0
t
t
t
，解得
2
5
4
t
；
所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
16
1
3
5
24
5
8
1
4
4
4
5
2 11
4
4
5
5
4
5
t
t
AB
x
x
x x
t
，
解得
2
t ，满足
2
5
4
t
，符合题意；
所以直线l 的方程为
3
2
4
y
x
.
题型八：双曲线的“中点弦”问题
【部分小题可参照双曲线中点弦斜率二级公式快速求解】
1.直线l 与双曲线�2 −
�2
9 = 1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为点�−1, −4 ，则直线l 的斜率为（
）
A．−
4
9
B．
4
9
C．−
9
4
D．
9
4
【解题思路】设���, ��，���, ��，代入双曲线方程，两式相减可得��
�−��
�=
��
�−��
�
�
，由题目条件经整
理后可得答案.
【解答过程】设���, ��，���, ��，则直线l 的斜率为�=
��−��
��−��
代入��−
��
�= �，得
��
�−
��
�
�= �
��
�−
��
�
�= �
，两式相减得：��
�−��
�=
��
�−��
�
�
.
又线段AB 的中点为点�−�, −�，则��+ ��=−�，��+ ��=−�.
则��
�−��
�=
��
�−��
�
�
⇒
��−��
��−��⋅
��+��
��+��= �⋅
−�
−�= �⇒�=
�
�.经检验满足题意.
故选：D.
2.直线�与双曲线�2 −
�2
4 = 1 交于�、�两点，线段��的中点为�(3,2)，则直线�的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
【解题思路】利用点差法计算即可.
【解答过程】设���, ��、���, ��，
则有
��
�−
��
�
�= �
��
�−
��
�
�= �
⇒��+ ��
��−��−
��+��
��−��
�
= �，
化简得
��+��
��+��⋅
��−��
��−��= �⇒
��−��
��−��= �×
��+��
��+��= �×
��
�×�= �，
即���= �.
故选：B.
3.设A，B 为双曲线
2
2
1
8
16
x
y
上的两点，若线段AB 的中点为
1,2
M
，则直线AB 的方程是（
）
A．
3
0
x
y
B．2
3
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
2
3
0
x
y
【答案】C
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则有
2
2
1
1
2
2
2
2
1
8
16
1
8
16
x
y
x
y
，两式相减，得
1
2
1
2
1
2
1
2
8
16
x
x
x
x
y
y
y
x
，
因为线段AB 的中点为
1,2
M
，所以
1
2
1
2
2,
4
x
x
y
y
，
因此由
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
8
16
x
x
x
x
y
y
y
x
y
x
x
x
，
即直线AB 的斜率为1，方程为
2
1
1
0
y
x
x
y
，
代入双曲线方程中，得
2
4
14
0
y
y
，
因为
2
4
4 1
14
0
，所以线段AB 存在，故选：C
4．过点
2,1
P
的直线l 与双曲线
2
2
1
3
y
x
相交于
,
A B 两点，若P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程是（
）
A．6
11
0
x
y
B．6
13
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
4
0
x
y
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设
1
1
1
1
,
,
,
A x y
B x y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
3
1
3
y
x
y
x
，
两式相减得直线的斜率为
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3 2
6
1
x
x
y
y
k
x
x
y
y
，
又直线l 过点
2,1
P
，
所以直线l 的方程为6
11
0
x
y
，
经检验此时l 与双曲线有两个交点.
故选：A
5.已知双曲线
2
2
: 2
2
C
x
y
，过点
(1,2)
P
的直线l 与双曲线C 交于M､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则
弦长|MN|等于（
）
A．4 2
3
B．3 3
4
C．4 3
D．4 2
【答案】D
【解析】由题设，直线l 的斜率必存在，设过
(1,2)
P
的直线MN 为
2
(
1)
y
k x
，
联立双曲线：
2
2
4
(2
)
2 (
2)
(
4
6)
0
k
x
k k
x
k
k
设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，则
1
2
2
2 (
2)
2
2
P
k k
x
x
x
k
，所以
2
2 (
2)
2
2
k k
k
，解得
1
k ，
则
1
2
2
x
x
，
1
2
3
x x .
弦长|MN|
2
2
1
2
1
2
1
(
)
4
2
4 12
4 2
k
x
x
x x
.故选：D.
6.直线
1
y
x
被双曲线
2
2
2
1
x
y
所截得的弦的中点坐标是
.
【答案】( 1, 2)
【解析】设直线
1
y
x
与双曲线
2
2
2
1
x
y
的交点为
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
联立方程组
2
2
1
2
1
y
x
x
y
，整理得
2
2
2
0
x
x
，
则Δ
12
0
，且
1
2
2
x
x
，
设弦AB 的中点为
0
0
(
,
)
M x
y
，则
1
2
0
1
2
x
x
x
，
代入直线方程可得
0
2
y ，
所以截得弦的中点坐标为( 1, 2)
.
故答案为：( 1, 2)
.
7．不与x 轴重合的直线l 过点N（
N
x ,0）（xN≠0），双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
＝（a＞0，b＞0）上存在两点A、B
关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
M
x ．若
4
N
M
x
x
，则C 的离心率为
．
【答案】2
【分析】由点差法得
2
1
OM
AB
k
k
e
，结合
1
l
AB
k k
得
2
(1
)
OM
l
k
e
k
，代入斜率公式化简并利用
4
N
M
x
x
可求得离心率.
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
,
,
M
M
A x y
B x
y
M x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
＝
＝
，两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
y
y
a
a
b
b
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，
即
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
，
所以
2
2
2
1
OM
AB
b
k
k
e
a
，
因为l 是AB 垂直平分线，有
1
l
AB
k k
，所以
2
(1
)
OM
l
k
e
k
，
即
2
1
M
M
M
M
N
y
y
e
x
x
x
，化简得
2
N
M
x
e x
，故
2
e
.
故答案为：2
8．已知
2,0 ,
2,0
A
B
，直线
,
AM BM 相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点
2,3
N
能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P，Q，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m
的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理
3
AM
BM
k
k
可得到结果；
（2）利用点差法可求得直线m 的斜率，得直线m 的方程，与C 的方程联立可知Δ
0
，由此可知直线m
不存在．
【详解】（1）设
,
,
2
M x y
x ，
∵
0
0
,
2
2
AM
BM
y
y
k
k
x
x
，
3
AM
BM
k
k
，
∴
0
0
3
2
2
y
y
x
x
，整理得
2
2
3
12(
2),
x
y
x
即点M 的轨迹C 的方程
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
．
（2）若能作出直线m，则直线m 的斜率存在，设为k，设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
),
P x y
Q x
y
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
12
1
4
12
x
y
x
y
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0,
4
12
x
x
x
x
y
y
y
y
整理可
1
2
1
2
1
2
1
2
3
,
y
y
x
x
x
x
y
y
∵N 是线段PQ 的中点，
1
2
1
2
4
3
2,
6
y
y
x
x
即
2
k
，
故直线m 的方程为
3
2
2
y
x
，即2
1
0
x
y
，
将直线方程代入双曲线方程可得
2
4
13
0,
x
x
2
4
4 13
0
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
9．已知双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
，过点
0,1
A
作直线l 交双曲线于
1P ，
2P ，若线段
1
2
PP 的中点在直线
1
2
x
上，
求直线l 的斜率．
【答案】3 1
【分析】设l 的方程为
1
y
kx
，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，解方程
1
2
2
2
1
2
k
x
x
k
，再
检验即得解.
【详解】由题意可设l 的方程为
1
y
kx
，
联立
2
2
1
2
1
y
x
y
kx
，消去y 整理得
2
2
2
2
3
0
k
x
kx
．
显然
2
2
k
0 ，设
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P
x
y
，则
1
2
2
2
1
2
k
x
x
k
，解得
1
3
k
，
由
2
24
8
0
k
解得
3
3
k
，显然
1
3
k
不适合，
1
3
k
适合，
所以
1
3
k
．
10．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为
7,0
F
，直线
1
y
x
与其相交于M 、N 两点，线段
MN 中点的横坐标为
2
3
，求此双曲线的方程．
【答案】
2
2
1
2
5
x
y
【分析】设双曲线的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，利用点差法求出,a b 的关系，再结合
2
2
7
a
b
，求出,a b ，
即可得解.
【详解】设双曲线的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，由题意可得
2
2
7
a
b
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
由直线
1
y
x
与其相交于M 、N 两点，线段MN 中点的横坐标为
2
3
，
得MN 的中点为
2
5
,
3
3
，则
1
2
1
2
4
10
,
3
3
x
x
y
y
，
由
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
且
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，
则
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
x
x
y
y
y
y
a
b
x
x
，即
2
2
4
10
3
3
a
b
，
所以
2
2
2
5
a
b
，联立
2
2
7
a
b
，解得
2
2
a
，
2
5
b
，
故所求双曲线的方程为
2
2
1
2
5
x
y
．
题型九：双曲线的实际应用
1.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10 米，水面宽��= 20 5米，若
水面上升5 米，则水面宽为（
）
A．10 2米
B．15 2米
C．12 3米
D．30 米
【解题思路】设双曲线方程为
��
��−
��
��= ��> �, �< �，如图建立直角坐标系，水面上升5 米后，设水面
宽为CD，设D �, −�−�.由题可得����, −�−��，代入方程可得�，后可得x，即可得答案.
【解答过程】设双曲线方程为
��
��−
��
��= ��> �, �< �，如图建立直角坐标系.
水面上升5 米后，设水面宽为CD，设D �, −�−�，其中�> �.
又由题可得����, −�−��，代入双曲线方程可得：
�+���
��
−
���
��= �⇒�+ ���−���= ��⇒�= ��，则D �, −��.
将D 点坐标代入双曲线方程可得：
���
���−
��
���= �⇒�= ��，则D ��, −��.
又由对称性可得�−��, −��，则水面上升5 米，则水面宽为30 米.
故选：D.
2．如图，B 地在A 地的正东方向4km处，C 地在B 地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ （曲线）
上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B、C 两地转运
货物．经测算，从M 到B、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km、2a 万元/km，那么修建这两条公路
的总费用最低是（
）
A．(2 7
2)a
万元
B．5a 万元
C．(2 7
1)a
万元
D．(2 3
3)a
万元
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ 的方程，再结合两点间距离公式求解作答.
【详解】以线段AB 的中点O 为原点，射线OB 为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
则
( 2,0),
(2,0),
(3, 3)
A
B
C
，令点
( , )
E x y 为曲线PQ 上任意一点，则|
|
|
| 2 |
|
EA
EB
AB
，
因此曲线PQ 是以点A，B 为左右焦点，实轴长为2 的双曲线右支，其方程为
2
2
1(
0)
3
y
x
x
，
显然点C 在曲线PQ 含焦点B 的区域内，设
0
0
(
,
)
M x
y
，
0
1
x ，有
2
2
0
0
3
3
y
x
，
修建这两条公路的总费用
2
2
2
2
0
0
0
0
|
| 2 |
|
(
2)
2
(
3)
(
3)
W
a MB
a MC
a
x
y
a
x
y
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
( (
2)
3
3
2 (
3)
(
3) )
(2
1
2 (
3)
(
3) )
a
x
x
x
y
a
x
x
y
0
0
0
0
(2
1 2|
3|)
[2
1 2(3
)]
5
a
x
x
a
x
x
a
，当且仅当
0
0
3,1
3
y
x
时取等号，
由
0
3
y
，且
2
2
0
0
3
3
y
x
，
0
1
x 解得
0
2
x
，即
( 2, 3)
M
时
min
5
W
a
，
所以修建这两条公路的总费用最低是5a 万元.
故选：B
【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进
行化简变形即可推理求解.
3.圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用
了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都
经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点分别为�1，�2，
当入射光线�2�和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），cos∠�1�2�=
7−1
4 ，则该双曲线的离心率
为（
）
A．2
B．2
C．
7
2
D．7
【解题思路】根据三角函数的定义表示出���，利用勾股定理表示出���，根据双曲线的定义得到��= �，
即得离心率.
【解答过程】设双曲线C 的焦距为��，因为���∠�����=
�−�
�，���⊥���，
所以���= �������∠�����=
�−�
�
�，���=
�����−����=
�+�
�
�，
所以��= ���−���= �，故该双曲线的离心率为
�
�= �．
故选：B.
4．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，
基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似
为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小
直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为
．
【答案】3
【分析】设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，得到
12
a
，设点
(20, ),
(13,
63)
A
t
B
t
，代入双曲线
的方程，求得
36
b
，求得渐近线方程，即可求解.
【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，
因为最小直径为24cm ，可得
12
a
，即
2
2
2
1
144
x
y
b
，
又因为尊高63cm ，上口直径为40cm ，底部直径为26cm ，
设点
(20, ), (13,
63),(
0)
A
t
B
t
t
，
所以
2
2
2
20
1
144
t
b
且
2
2
2
13
(
63)
1
144
t
b
，解得
36,
48
b
t
，即
2
2
1
144
1296
x
y
，
可得双曲线的渐近线为
3
b
y
x
x
a
，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为3 .
故答案为：3.
5．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
1F ，
2
F 是双曲线的左
､右焦点，从
2
F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过
1F ；当P
异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分
1
2
FPF
.若双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，则下列结论正确
的是（
）
A．射线n 所在直线的斜率为k ，则
4 4
,
3 3
k
B．当m
n
时，
1
2
32
PF
PF
C．当n 过点
7,5
Q
时，光线由
2
F 到P 再到Q 所经过的路程为13
D．若点T 坐标为
1,0 ，直线PT 与C 相切，则
2
12
PF
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B 选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C 选项，由双曲线定义可判断.
D 选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，所以
3,
4,
5
a
b
c
，渐近线方程为
4
3
y
x
，
选项A，因为直线
2
PF 与双曲线有两个交点，所以
4 4
,
3 3
k
，即A 正确；
选项B，由双曲线的定义知，
1
2
2
6
PF
PF
a
，
若m
n
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
2
100
PF
PF
F F
c
，
因为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
PF
PF
PF
PF
PF
PF
，
所以
1
2
36
100
2 PF
PF
，
解得
1
2
32
PF
PF
，即B 正确；
选项C：
2
2
2
1
1
2
2
(7
5)
(5
0)
2 3
7
PF
PQ
PF
a
PQ
FQ
a
，即C 错误；
选项D，因为PT 平分
1
2
FPF
，由角分线定理知，
1
2
1
2
PF
PF
TF
TF
，
所以
1
1
2
2
5 1
3
5 1
2
PF
TF
PF
TF
，
又
1
2
6
PF
PF
，
所以
2
2
3
6
2 PF
PF
，解得
2
12
PF
，即D 正确.
故选：ABD.
6.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，
正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报
中心的（）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离680 10m
B．东偏南45°方向，距离680 10m
C．西偏北45°方向，距离680 5m
D．东偏南45°方向，距离680 5m
【解题思路】以接报中心为原点�，正东、正北方向为�轴、�轴正向，建立直角坐标系；设�、�、�分别
是西、东、北观测点，写出�、�、�点的坐标，设�(�, �)为巨响生成点，由双曲线定义知�点在以�、�
为焦点的双曲线上，依题意求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．
【解答过程】解：如图，以接报中心为原点�，正东、正北方向为�轴、�轴正向，建立直角坐标系．
设�、�、�分别是西、东、北观测点，则�−����, �，�����, �，��, ����，
设��, �为巨响为生点，由�、�同时听到巨响声，得��= ��，故�在��的垂直平分线��上，��的
方程为�=−�，因�点比�点晚�s 听到爆炸声，
故��−��= ���× �= ����由双曲线定义知�点在以�、�为焦点的双曲线
��
��−
��
��＝�上，依题意得
�= ���，�= ����，∴��= ��−��= �����−����= �× ����，
故双曲线方程为
��
����−
��
�×����= �，将�=−�代入上式，得�=± ����，∵��> ��，∴�=−����，
�= ����，即�−����，����
故��= �����.
故巨响发生在接报中心的西偏北��°距中心�����m 处．
故选：A.
7.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的
材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成
是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面
图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 22 m，楼顶直径为50 6 m，最细处
距楼底300 m，则该地标建筑的高为（
）
A．350 m
B．375 m
C．400 m
D．450 m
【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是
��
��−
��
��= ��> �, �> �，
由已知可得�，将点�坐标代入解得�的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程
解得�的坐标即可求得地标建筑的高.
【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为�轴，双曲线的虚轴为�轴，建立平面直角坐标系如图
所示.
由题意可得：���, �，�����, −���，
设����, ��
��> �，双曲线的方程是
��
��−
��
��= ��> �, �> �，
则
�= ��
����
�
���
−
−����
��
= �，解得
�= ��
�= ����，
所以双曲线的方程是：
��
����−
��
�����= �，
将点����, ��代入得
����
����−
��
�
�����= �，
解得��= ���，
所以该地标建筑的高为：���+ ���= ���
m
.
故选：C.
8．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P
为双曲线（
1F ，
2
F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分
1
2
FPF
．已知双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
，O 为坐标原
点，l 是点
10
3,
2
P
处的切线，过左焦点
1F 作l 的垂线，垂足为M，则OM
．
【答案】2
【分析】延长
2
PF 交
1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为
1F N 的中点，
1
PN
PF
，从而得到
2
1
2
OM
F N
，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长
2
PF 交
1F M 延长线于点N ，
因为点M 是
1
2
FPF
的角平分线上的一点，且
1F M
MP
，
所以点M 为
1F N 的中点，所以
1
PN
PF
，
又点O为
1
2
F F 的中点，且
1
2
2
4
PF
PF
a
，
所以
2
2
1
1
1
1
4
2
2
2
2
OM
F N
PN
PF
PN
PF
．
故答案为：2．
9．如图，某绿色蔬菜种植基地在A 处，现要把此处生产的蔬菜沿道路
1
AA 或
2
AA 运送到农贸市场
1
2
3
4
A A A A
中去，已知
1
10km
AA
，
2
15km
AA
，
1
2
60
A AA
，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧
的点沿道路
1
AA 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路
2
AA 运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什
么曲线，并求出该曲线的方程.
【答案】能确定一条界线满足题意，该曲线是双曲线一支上的一部分，其方程为.
2
2
4
2
1
0
25
75
x
y
x
>
【分析】根据意义建立平面直角坐标系，利用双曲线定义可分别求出
5
5 7
,
2
2
a
c
，即可得出曲线的方
程.
【详解】以
1
2
A A 所在直线为x 轴，以
1
2
A A 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如上图所示：
在
1
2
AA A
中，由余弦定理可得
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
cos60
175
A A
AA
AA
AA AA
，可得
1
2
5 7
A A
；
设M 是边界上任一点，则满足
1
1
2
2
MA
AA
AA
MA
，所以
1
2
2
1
1
2
15
10
5
5 7
MA
MA
AA
AA
A A
<
；
由双曲线定义可知，点M 所在的界线是以
1
2
,
A A 为焦点，实轴长为2
5
a
的双曲线靠近
2
A 的一支，并且在
农贸市场
1
2
3
4
A A A A 内的部分；
由
5
5 7
,
2
2
a
c
可得
2
2
2
2
2
5 7
5
75
2
2
2
b
c
a
，
所以双曲线方程为
2
2
1
0
25
75
4
2
x
y
x
>
，即
2
2
4
2
1
0
25
75
x
y
x
>
.
10．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），
可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为
55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.
附：
2
660
600
481
5
【答案】
2
2
1
144
600
x
y
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1( ,
0)
x
y
a b
a
b
，
由题意可知：该双曲线过
12,0 ,
13,
,
25,
55
0
A
C
h
B
h
h
，
所以有
12
a
，且
2
2
2
2
169
1
144
55
625
1
144
h
b
h
b
，
由
2
2
169
1
144
h
b
可得
5
12
h
b
，
将其代入
2
2
55
625
1
144
h
b
，得
2
2
5
481
55
12
144
b
b
，即
660
481
5
b
，则
2
600
b
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
144
600
x
y
.
11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地．A 在B 的正东，相距6 千米；C 在B 的北偏西30°，相距4 千米．P
为敌炮兵阵地．某时刻A 发现P 地某种信号，4 秒后B 、C 两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度
为1 千米/秒）．若从A 地炮击P 地，求准确炮击的方位角．
【答案】P 在北30东方向
【分析】以线段AB 的中点为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，求得点P 所在的曲线方程，
再与线段BC 的垂直平分线联立解得P 的坐标，从而求得炮击的方位角．
【详解】以线段AB 的中点为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，则
(3,0) ( 3,0) ( 5,2 3)
A
B
C
，
依题意
4
PB
PA
，
∴P 在以
,
A B 为焦点的双曲线的右支上．
其中
2
2,
3,
5
a
c
b
，其方程为
2
2
1(
0)
4
5
x
y
x
，
又PB
PC
，∴P 又在线段BC 的垂直平分线上，PD：
3
7
0
x
y
，
由方程组
2
2
3
7
0
5
4
20
x
y
x
y
解得
8(
0
5 3
x
x
y
）
，即(8,5 3)
P
.
由于
3
AP
k
，可知P 在北30东方向．
题型十：双曲线的综合问题
1．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
经过点
3, 2 ，其中一条渐近线为
3
3
y
x
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)一条过双曲线C 的右焦点F 且纵截距为2
的直线l ，交双曲线C 于P ，Q 两点，求OP OQ
的值.
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
(2) 7
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和点的坐标列式求解即可；
（2）根据双曲线方程求出焦点进而得到直线方程，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，根据
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
OP OQ
x x
y y
x x
x
x
代入韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，所以
3
3
b
a
①，
又因为点
3, 2 在双曲线上，所以
2
2
9
2
1
a
b
②，
①②联立解得
2
3
a ，
2
1
b ，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
x
y
.
（2）由（1）可知双曲线C 中
2
2
2
4
c
a
b
，
所以右焦点F 坐标为
2,0 ，即直线l 的横截距为2 ，
又因为直线l 的纵截距为2
，所以直线l 的方程为
1
2
2
x
y
，即
2
y
x
，
联立
2
2
1
3
2
x
y
y
x
得
2
2
12
15
0
x
x
，
设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，则
1
2
6
x
x
，
1
2
15
2
x x
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
7
OP OQ
x x
y y
x x
x
x
x x
x
x
.
【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及双曲线方程的求解、平面向量数量积的求解问题，求
解数量积的关键是能够将所求量转化为符合韦达定理的形式，通过直线与双曲线联立得到韦达定理的结论，
代入可整理出结果.
2.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的一条渐近线为y
x
，且双曲线C 的虚轴长为2 2 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)记O为坐标原点，过点
0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点M 、N ，若OMN
的面积为2 2 ，
求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
；(2)
2
2
y
x
或
2
2
y
x
【解析】（1）由题意可得
1
2
2 2
b
a
b
，可得
2
a
b
，
因此，双曲线C 的方程为
2
2
1
2
2
x
y
.
（2）若直线l 与y 轴重合，则直线l 与双曲线C 没有交点，不合乎题意，
所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
2
y
kx
，设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
2
2
y
kx
x
y
可得
2
2
1
4
6
0
k
x
kx
，
由题意可得
2
2
2
1
0
Δ
16
24
1
0
k
k
k
，解得
3, 1
1,1
1, 3
k
，
由韦达定理可得
1
2
2
4
1
k
x
x
k
，
1
2
2
6
1
x x
k
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
24
2 2 3
4
1
1
1
k
k
x
x
x
x
x x
k
k
k
，
2
1
2
2
1
2 2
3
2
2 2
2
1
OMN
k
S
x
x
k
，解得
2
k
，合乎题意，
所以，直线l 的方程为
2
2
y
x
或
2
2
y
x
.
3.已知双曲线
1
C 过点( 4,3 2)
且与双曲线
2
2
2 :
1
2
3
x
y
C
有共同的渐近线，1F ，
2
F 分别是
1
C 的左、右焦点．
(1)求
1
C 的标准方程；
(2)设点P 是
1
C 上第一象限内的点，求
1
2
PF PF
的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
6
x
y
；(2)( 6,
)
【解析】（1）由题意可设
1
C 的方程为
2
2
(
0)
2
3
x
y
，
将( 4,3 2)
代入可得，16
18
2
3
，解得
2
，
1
C 的标准方程为
2
2
1
4
6
x
y
．
（2）设
( , )
P x y ，则
2
2
6
1
4
x
y
，
点P 在第一象限，
2
x
，且
1(
10,0)
F
，
2( 10,0)
F
，
2
2
2
1
2
5
(
10
,
) ( 10
,
)
10
16
( 6,
)
2
PF PF
x
y
x
y
x
y
x
，
1
2
PF PF
的取值范围是( 6,
)
．
4.已知两定点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，满足条件
2
1
2
PF
PF
的点P 的轨迹是曲线E ，直线
1
y
kx
与曲线
E 交于
,
A B 两个不同的点．
(1)求曲线E 的方程；
(2)求实数k 的取值范围；
【答案】(1)
2
2
1(
0)
x
y
x
；(2)
2, 1
【解析】（1）由双曲线的定义可知，曲线E 是以
1
2
(
2,0),
( 2,0)
F
F
为焦点的双曲线的左支，
且
2,
1
c
a
，则
2
2
1
b
c
a
，
故曲线E 的方程为
2
2
1(
0)
x
y
x
．
（2）设
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y ，由题意建立方程组
2
2
1
1
y
kx
x
y
，
消去y ，得
2
2
(1
2
)
2
0
k
x
kx
+
，
又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，
有
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
0
Δ
(2 )
8(1
)
0
2
0
1
2
0
1
k
k
k
k
x
x
k
x x
k
，解得
2
1
k
．
所以k 的取值范围是
2, 1
．
5．已知圆
2
2
1 : (
3)
9
C
x
y
，
2
2
2 : (
3)
1
C
x
y
，动圆M 与圆
1
C ，
2
C 均外切，记圆心M 的轨迹为曲线
C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 过点
2
C ，且与曲线C 交于
,
A B 两点，满足
2
2
3
AC
C B
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
1
8
y
x
x
(2)
35
3
y
x
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设
2
:
3
4
l x
my
m
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，由
2
2
3
AC
C B
可得
1
2
3
y
y
，结合韦达定理
运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆
1
C 的圆心
1
3,0
C
，半径1
3
r
，圆
2
C 的圆心
2 3,0
C
，半径2
3
r
，
由条件可得
1
2
3
1
MC
MC
，即
1
2
1
2
2
MC
MC
C C
，
则根据双曲线的定义可知，点M 是以
1
C ，
2
C 为焦点，以2 为实轴长的双曲线的右支，
则
1,
3
a
c
，可得
2
2
2
8
b
c
a
，
所以曲线C 的方程为
2
2
1
1
8
y
x
x
．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为
2 2
y
x
，即
2
4
x
y
，
由于
2 3,0
C
且直线AB 的斜率不等于0，
不妨设
2
:
3
4
l x
my
m
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
则
2
1
1
3
,
AC
x
y
，
2
2
2
3,
C B
x
y
，
由
2
2
3
AC
C B
可得
1
2
3
y
y
，
联立方程
2
2
3
1
8
x
my
y
x
，消去x 得
2
2
8
1
48
64
0
m
y
my
则
0
，由韦达定理可得
1
2
2
1
2
2
48
8
1
64
8
1
m
y
y
m
y y
m
，
由
1
2
2
1
2
48
8
1
3
m
y
y
m
y
y
，解得
1
2
2
2
72
8
1
24
8
1
m
y
m
m
y
m
，
代入
1
2
2
64
8
1
y y
m
可得
2
2
2
24
72
64
8
1
8
1
8
1
m
m
m
m
m
，
解得
2
1
1
35
8
m
，即
35
35
m
，
因此直线
35
:
3
35
l x
y
，即
35
3
y
x
.
6.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
经过点
2,0
A
，离心率为
5 ，直线l 过点
3,0
D
且与双曲线C 交于
两点
,
P Q （异于点A ）.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
16
x
y
；(2)证明见解析，
4
5
【解析】（1）令双曲线半焦距为c ，依题意，
2,
5
c
a
a
，
由
2
2
2
c
a
b
，解得
4
b
，
则双曲线C 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
，
（2）法一：显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为
3
x
my
，
由
2
2
1
4
16
3
x
y
x
my
消去x 得，
2
2
(4
1)
24
20
0
m
y
my
2
2
4
1
0
Δ
256
80
0
m
m
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
2
1
2
2
2
24
20
,
4
1
4
1
m
y
y
y y
m
m
，
直线
,
AP AQ 的斜率分别为
,
AP
AQ
k
k
，
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
20
4
4
1
20
24
2
2
5
25
5
5
25
4
1
4
1
AP
AQ
y
y
y y
m
k
k
m
x
x
m y y
m y
y
m
m
m
m
法二：①当直线l 垂直于x 轴时，l 的方程为
3
x
，易得
3,2 5
3, 2 5
P
Q
､
2 5
2 5
4
5
5
5
AP
AQ
k
k
②当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为
3
y
k x
，、
由
2
2
1
4
16
3
x
y
y
k x
,消去y 得：
2
2
2
2
(4
)
6
9
16
0
k
x
k x
k
，
2
2
4
0
5
16
0
k
k
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则：
2
2
1
2
1
2
2
2
6
9
16
;
4
4
k
k
x
x
x
x
k
k
直线
,
AP AQ 的斜率分别为
,
AP
AQ
k
k
，
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
9
16
18
9
3
9
4
4
20
4
9
16
12
2
2
2
4
25
5
4
4
4
AP
AQ
k
k
k
k
x
x
x
x
k
k
y
y
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
k
k
k
7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
a
a
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .过
2
F 的直线l 交C 的右支于M，N 两点，
当l 垂直于x 轴时，M，N 到C 的一条渐近线的距离之和为2 2 .
(1)求C 的方程；
(2)证明：
1
1
2
2
MF
NF
MF
NF
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，直接列出方程求解a ，可得答案.
（2）根据题意，分类讨论当l 垂直于x 轴和l 不垂直于x 轴时的情况，对于l 垂直于x 轴的情况，直接列方
程计算；对于l 不垂直于x 轴时的情况，直线与双曲线联立方程，利用韦达定理，计算化简可证明成立.
【详解】（1）根据题意有
2
2 ,0
F
a
，C 的一条渐近线方程为y
x
，
将
2
x
a
代入C 的方程有
2 ,
M
a a ，
2 ,
N
a
a
，
所以M，N 到直线y
x
的距离之和为
2
2
2
2 2
2
2
a
a
a
a
a
，
所以
2
a
，C 的方程为
2
2
1
2
2
x
y
.
（2）
方法1：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，
2
2
2
MF
NF
a
，
且由双曲的定义可知
1
1
2
3
3 2
MF
NF
a
a
a
，故
1
1
2
2
6
MF
NF
MF
NF
.
当l 不垂直于x 轴时，由双曲线的定义可知
1
2
2
2
2 2
MF
MF
a
MF
，
1
2
2 2
NF
NF
，
故
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2 2
MF
NF
MF
NF
MF
NF
.
设
:
2
l y
k x
，代入C 的方程有：
2
2
2
2
1
4
4
2
0
k
x
k x
k
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
2
1
2
2
4
1
k
x
x
k
，
2
1
2
2
4
2
1
k
x x
k
，
所以
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
MF
NF
MN
x
x
MF
NF
MF
NF
MF
NF
k
x
x
4
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
16
16
8
1
1
4
8
8
2
4
2
8
1
2
4
2 1
1
4
1
1
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
k
，
所以
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2 2
2
2 2
2
6
MF
NF
MF
NF
MF
NF
.
综上，
1
1
2
2
MF
NF
MF
NF
的值为6.
方法2：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，
2
2
2
MF
NF
a
，
且由双曲的定义可知
1
1
2
3
3 2
MF
NF
a
a
a
，
故
1
1
2
2
6
MF
NF
MF
NF
.
当l 不垂直于x 轴时，设
:
2
l y
k x
，
代入C 的方程有：
2
2
2
2
1
4
4
2
0
k
x
k x
k
.
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
2
1
2
2
4
1
k
x
x
k
，
2
1
2
2
4
2
1
k
x x
k
，
所以
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
MF
NF
x
x
x x
MF
NF
x x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
8
4
2
1
6
4
2
4
1
1
1
k
k
k
k
k
k
.
综上，
1
1
2
2
MF
NF
MF
NF
的值为6.
8．已知双曲线C :
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
（
）的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，双曲线C 的右顶点A 在圆
O :
2
2
1
x
y
上，且
1
2
3
AF
AF
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O 为
坐标原点）的面积．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x
(2)
3
【分析】（1）设双曲线C 的半焦距为c，通过点A 在圆上易得a 的值，通过
1
2
3
AF
AF
，求解c的值，
进而得到双曲线的标准方程；
（2）直线l 与x 轴相交于点D ，当动直线l 的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线l 的斜率存在时，
且斜率
0
k
，不妨设直线y
kx
m
，由直线与双曲线的位置关系得
2
2
3
m
k
，联立方程求解M，N 纵坐
标，求解面积即可.
【详解】（1）设双曲线C 的半焦距为c，
由点
( ,0)
A a
在圆O :
2
2
1
x
y
上，得a=1，
由
1
2
1 0
1 0
3
AF AF
c
c
，
，
，得
2
c
，
所以
2
b =
2
2
c
a
=3，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
3
y
x
.
（2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为
3
y
x
当直线l 的斜率在存在时，直线l 为x 1，
1
OD |，
2 3
MN
得
1
2
OMN
S
|MN||OD|
1
2 3
2
1
3
当直线l 的斜率存在时，设其方程为y
kx
m
，显然
0
k
，则
,0
m
D
k
把直线l 的方程与方程C:
2
2
1
3
y
x
联立得
2
2
2
3
2
k
x
kmx
m
3=0
由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，
且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，
所以
2
3
0
k
，且
0
m
，
于是得
2
2
2
2
2
3
0
4
4 3
3
0
k
k m
k
m
，
得
2
2
3
m
k
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
由
3
y
kx
m
y
x
，得
1
3
m
y
k
，
同理得
2
3
m
y
k
，
所以
1
2
1
2
OMN
S
OD y
y
= 1
|
2
3
3
m
m
m
k
k
k
|=
2
2
3 3
m
k
=
3
综上，△OMN 的面积为
3 .
9．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2 ，过点
1,0
E
的直线l 与C 左右两支分别交于M，
N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若A，B 为双曲线的左右顶点，且AB
4
，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
4
x
【分析】（1）根据题意列出方程组得到a
b
，设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
0
0
(
,
)
P x
y
，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出
2,0
A
，
(2,0)
B
，设直线l：
1
x
ty
，
0
t
，设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，联
立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线AN 与直线BM 的方程得出
4
x
，进而得证.
【详解】（1）由题意得
2
2
2
2
c
e
a
c
a
b
，所以a
b
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
0
0
(
,
)
P x
y
，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
，
作差得
2
2
1
2
1
2
0
2
2
1
2
1
2
0
y
y
b
x
x
b
x
x
x
a
y
y
a
y
，
又MN 的斜率
2
1
2
0
2
1
2
0
MN
y
y
b
x
k
x
x
a
y
，
0
0
OP
y
k
x
，
所以
2
2
1
MN
OP
b
k
k
a
.
（2）∵2
4
a
，∴
2
a
b
，
2,0
A
，
(2,0)
B
，
直线l：
1
x
ty
，
0
t
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
1
0
4
x
ty t
x
y
得
2
2
1
2
3
0
t
y
ty
，
所以
2
2
1
2
2
1
2
2
16
12
0,
1
0,
0
2
1
3
1
t
t
t
t
y
y
t
y y
t
，所以
1
2
1
2
3
2
y
y
ty y
，
设直线AN：
2
2
2
2
y
y
x
x
，BM：
1
1
2
2
y
y
x
x
，
所以
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
9
3
2
3
2
3
2
2
3
3
1
2
2
1
2
2
y
y
x
y ty
x
y
ty y
y
x
x
y
ty
y
ty y
y
y
y
，
所以
4
x
．故存在定直线
4
x
，使直线AN 与直线BM 的交点G 在定直线上．
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的两条渐近线分别为1 :
2
x
l
y
，2 :
2
x
l
y
.
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)O为坐标原点，过双曲线上一点
2 2,1
P
作直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、
第四象限），且
2
PB
AP
，求AOB
的面积.
【答案】(1)
5
2
(2) 9
4
【分析】（1）根据渐近线方程可得
1
2
b
a
，再通过离心率公式求得离心率；
（2）根据双曲线过点
2 2,1
P
可得双曲线方程，由已知可设点
1
1, 2
x
A x
，
2
2,
2
x
B x
，再由
2
PB
AP
，
可得
1
x ，
2
x ，进而可得OA ，OB 设直线OA的倾斜角为，则tan
b
a
，即可得sin
AOB
，即可得AOB
的面积.
【详解】（1）因为双曲线E 的渐近线分别为1 :
2
x
l
y
，2 :
2
x
l
y
，
所以
1
2
b
a
，
2
2
5
2
c
a
b
e
a
a
，
所以双曲线E 的离心率为
5
2 ；
（2）由（1）得
1
2
b
a
，
则可设双曲线
2
2
: 4
x
E
y
，
因为
2 2,1
P
在双曲线上，
所以
2 1 1
，则双曲线E 的方程为
2
2
1
4
x
y
，
又点A ，B 分别在1 :
2
x
l
y
与2 :
2
x
l
y
上，
设
1
1, 2
x
A x
，
2
2,
2
x
B x
，
因为
2
PB
AP
，
所以
2
1
2
1
2 2,
1
2 2 2
,1
2
2
x
x
x
x
，
则
1
3
3 2
2
x
，
2
3 2
3
x
，
又
2
2
1
1
1
3 5
3 10
4
5
2
2
x
OA
x
x
，同理得
2
3 10
5
2
3 5
2
OB
x
，
设OA的倾斜角为，且
1
tan
2
b
a
，则
2
2
2
2
2
2sin
cos
2tan
4
sin
sin2
sin
cos
1
tan
5
1
b
a
AOB
b
a
，
所以
1
1
3 5
3 10
3 10
3 5
4
9
si
4
n
2
2
4
2
5
AOB
S
OA OB
AOB
.
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标
准方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线
方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
2
2
2
2
0
x
y
a
b
，再由条件求出λ的
值即可.
模块三：综合巩固
1．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y
，该双曲线的焦点为（
）
A．
2 3,0
B．
4 3,0
C．
2 5,0
D．
4 5,0
【答案】C
【分析】设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，根据已知列出方程组求得,a b ，即可求解c的值，由此
能求出双曲线的焦点．
【详解】设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
因为双曲线实轴长为4 ，渐近线方程为2
0
x
y
，
所以
2
4
2
a
b
a
，解得
2
a
，
4
b
，
则
2
2
4 16
2 5
c
a
b
，
所以该双曲线的焦点为
2 5,0
，
故选：C
2.双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
的焦距为4，则C 的渐近线方程为（
）
A．
15
y
x
B．
3
y
x
C．
15
15
y
x
D．
3
3
y
x
【答案】B
【解析】由焦距为4 可得2
4
c
，即
2
c
，又
1
a ，
所以
2
2
1
4
c
b
，可得
2
3
b ，即
3
b
；
则C 的渐近线方程为
3
b
y
x
x
a
.故选：B
3．已知双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左焦点为F ，过原点O的直线与C 的右支交于点A ，若
OAF
△
为等腰三角
形，则点A 到x 轴的距离为（
）
A．9
5
B．12
5
C．3
D．5
【答案】A
【分析】由
OAF
△
为等腰三角形，可得OF
OA
，证得AF
AF
，有
2
2
2
100
AF
AF
FF
，又
8
AF
AF
，得
18
AF
AF
，利用面积法求点A 到x 轴的距离.
【详解】设双曲线C 的右焦点为F，由题意可得
2
2
4,
3,
5
a
b
c
a
b
，连接AF，
则有
5,0
F
，
5,0
F
，
若
OAF
△
为等腰三角形，则OF
OA
（线段OF 与AF 显然不相等），
所以
1
2
OA
FF
，又O为FF的中点，所以AF
AF
，
则有
2
2
2
100
AF
AF
FF
．
由双曲线的定义得
8
AF
AF
，
所以
2
2
2
1
18
2
AF
AF
AF
AF
AF
AF
，
设点A 到x 轴的距离为h ，则
18
9
10
5
AF
AF
h
FF
．
故选：A．
4.已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y
，该双曲线的焦点为（）
A．
2 3,0
B．
4 3,0
C．
2 5,0
D．
4 5,0
【答案】C
【解析】设双曲线方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
因为双曲线实轴长为4 ，渐近线方程为2
0
x
y
，
所以
2
4
2
a
b
a
，解得
2
a
，
4
b
，
则
2
2
4 16
2 5
c
a
b
，
所以该双曲线的焦点为
2 5,0
，故选：C
5．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
,
F B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O为坐标原点，OM
交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．2 3
3
【答案】A
【分析】作出图象，根据几何性质可得点
,
M N 的坐标，结合OM
∥ON
可得a
b
，进而求出离心率.
【详解】由题意，在双曲线C:
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，右焦点为F ，FN 垂直于x 轴，
由题意可知：
2
,0 ,
0,
,
,b
F c
B
b
N c a
，
因为M 是BF 中点，则
,
2 2
c b
M
，可得
2
,
,
,
2 2
c b
b
OM
ON
c a
uuur
uuur
，
且
,
,
O M N 三点共线，则OM
∥ON
，可得
2
2
2
c
b
b
c
a
，即a
b
,
所以
2
2
2
2
c
a
b
e
a
a
.
故选：A.
6.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
16
x
y
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
16
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
【答案】D
【解析】双曲线C 的一条渐近线方程为
0
bx
ay
，
焦点
,0
c
到直线
0
bx
ay
的距离为
2
2
1
bc
b
b
a
，
又因为实轴长为2
4
a
，所以
2
a
，
所以C 的方程为
2
2
1
4
x
y
，故选：D.
7．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
b
a
的一条渐近线方程为
5
2
y
x
，且与椭圆
2
2
1
3
12
x
y
有公共焦
点，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
8
10
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
4
3
y
x
D．
2
2
1
5
4
y
x
【答案】D
【分析】由题意可得
2
9
c
，结合渐近线方程列式求,a b ，进而可得结果.
【详解】设双曲线C 的半焦距为
0
c
，由椭圆
2
2
1
3
12
x
y
可得
2
12
3
9
c
，
由题意可得
2
2
2
9
5
2
c
a
b
a
b
，解得
5
2
a
b
，
所以双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
，即
2
2
1
5
4
y
x
.
故选：D.
8.已知双曲线
2
2
1
2
3
x
y
的左右焦点分别是
1F 、
2
F ，过
1F 的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足
3 2
AB
的直线l 有
A．1条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【解析】双曲线
2
2
1
2
3
x
y
，过
1F 的直线l 垂直于x 轴时，
2
2
6
3 2
2
b
AB
a
；
双曲线两个顶点的距离为2 2 ，满足
3 2
AB
的直线l 有3 条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C
9．已知
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，过
1F 的直线分别交双曲线左、右两
支于A，B 两点，点C 在x 轴上，
2
4
CB
F A
，
2
BF 平分
1F BC
，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
6
3
y
x
B．
2 2
3
y
x
C．
6
2
y
x
D．
2 6
3
y
x
【答案】D
【分析】根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进
行求解即可.
【详解】因为
2
4
CB
F A
，所以
1
2
F AF
∽
1F BC
△
．
设
1
2
2
F F
c
，则
2
6
F C
c
，设
1
AF
t
，则
1
4
BF
t
，
3
AB
t
．
因为
2
BF 平分
1F BC
，由角平分线定理可知，
1
1
2
2
2
1
6
3
BF
F F
c
BC
F C
c
，
所以
1
3
12
BC
BF
t
，所以
2
1
3
4
AF
BC
t
．
由双曲线定义知
2
1
2
AF
AF
a
，即3
2
t
t
a
，解得t
a
．
又由
1
2
2
BF
BF
a
，得
2
4
2
2
2
BF
t
a
t
a
，
所以
2
3
AB
AF
a
，即
2
ABF
△
是等腰三角形．
由余弦定理知
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
2
2
BA
BF
AF
BF
BF
F F
F BF
BF BF
AB BF
，
即
2
2
2
2
16
4
4
1
16
3
a
a
c
a
，化简得
2
2
11
3
a
c
，所以
2
2
8
3
a
b
，
则双曲线的渐近线方程为
2 6
3
y
x
．
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.
10.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x
，若双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4
B．1
C．1
D．9
4
【答案】D
【解析】设该弦为AB ，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则有
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
1
9
y
x
y
x
，两式相减，得
1
2
1
2
1
2
1
2
9
y
y
y
x
x
x
x
x
，
因为双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，
所以
1
2
1
2
2,
8
x
x
y
y
，
因此由
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
9
4
y
y
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
，
即这条弦所在直线的斜率为9
4 ，方程为
9
9
7
4
1
4
4
4
y
x
y
x
，
代入双曲线方程中，得
2
63
126
193
0
x
x
，
因为
2
126
4 63
193
0
，所以该弦存在，故选：D
11.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的左右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F c
，若双曲线左支上存在点P 使得
2
3
2
2
PF
c
a
，则离心率的取值范围为（
）
A．(1,4]
B．[6,
)
C．[4,
)
D．[2,
)
【答案】B
【解析】由题意知双曲线左支上存在点P 使得
2
3
2
2
PF
c
a
，
设
,
P x y ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
b
PF
x
c
y
x
c
x
a
a
2
2
2
2
2
c
a
c
cx
x
cx
a
a
a
a
c
a
a
a
，
等号成立当且仅当点P 与双曲线的左顶点重合，
从而双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为a
c
，
故
2
3
2
2
c
P
c
a
F
a
，即1
3
2 c
a
，故
6
c
e
a
，
即离心率的取值范围为[6,
)
.故选：B
12．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
右支上非顶点的一点A 关于原点的对称点为
,
B F 为双曲线的右焦点，
若AF
BF
，设
ABF
，且
π
π
,
12 4
，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A．
1,
2
B．
2,2
C．
2,
D．
2,
【答案】C
【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，则四边形AFBF为矩形．因此
| 2
AB
FF
c
．|
| 2 sin
AF
c
，|
| 2 cos
BF
c
．可得
1
1
π
cos
sin
2 cos
4
c
e
a
，结合余弦函数运
算求解．
【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，
因为AF
FB
，则四边形AFBF为矩形，
所以
2
AB
FF
c
，
则|
| 2 sin
AF
c
，|
| 2 cos
BF
c
．
|
|
|
| 2
AF
AF
a
．
2 cos
2 sin
2
c
c
a．
即(cos
sin
)
c
a ，
则
1
1
π
cos
sin
2 cos
4
c
e
a
，
因为
π
π
,
12 4
，则
π
π π
,
4
3 2
，
可得
π
1
cos
0,
4
2
，即
π
2
2 cos
0,
4
2
，
所以
1
1
2
π
2
2 cos
4
2
e
，
即双曲线离心率的取值范围是
2,，
故选：C．
13．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点
2
F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向
延长线经过左焦点
1F ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双
曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
1
2
,
F F 分别为其左、右焦点，若从右焦
点
2
F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（
2
F ，A，B 在同一直线上），满足
3
,
4
AB
AD
ABC
，
则该双曲线的离心率的平方为（
）
A．
2
1
B．
2
3
C．5
2 2
D．5
2 2
【答案】D
【分析】设
1
2
AF
m AF
n
，
，根据题意可得AB
m
，由双曲线定义得
2
BF 、
1
BF ，进而求出m（用a 表
示），然后在
1
2
AF F
△
中，应用勾股定理得出a
c
、的关系，求得离心率．
【详解】易知
1F
A
D
、、
共线，
1F
B
C
、、
共线，如图，设
1
2
AF
m AF
n
，
，
则
2
m
n
a
.因为
3
4
AB
AD
ABC
，
，所以
1
4
ABF
，
则AB
m
，则
2
2
1
2
BF
AB
AF
m
n BF
m
，
，
又因为
1
1
4
AF
BF
AB
a
，所以
2 2
m
a
，则
2 2
2
n
a
,
在
1
2
AF F
△
中，
2
2
2
(2 )
m
n
c
，即
2
2
20
8 2
4
a
c
，
所以
2
2
2
5
2 2
c
e
a
.
故选：D
14.（多选）已知直线
:
2
l y
k x
，双曲线
2
2
:
1
C x
y
，则（
）
A．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
B．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
C．当
1
2
k
时，l 与C 的左支有两个交点
D．当
2
k
时，l 与C 的左支有两个交点
【答案】ABD
【解析】由题意直线
:
2
l y
k x
过定点
2,0
，即双曲线的左焦点.
当
1
k 时，l 与C 的渐近线平行，l 与C 只有一个交点，
当
1
2
k
时，l 与C 的左支和右支各有一个交点，
当
2
k
时，l 与C 的左支有两个交点.故选：ABD.
15．（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确
的是（
）
A．M 的离心率为2 3
3
B．M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
C．M 的渐近线方程为
3
y
x
D．直线
2
0
x
y
经过M 的一个焦点
【答案】AD
【分析】依题意可得
2
c
，再根据两条渐近线的夹角为60 ,
0
a
b
及
2
2
2
a
b
c ，即可求出双曲线的方
程、离心率、渐近线及焦点坐标；
【详解】依题意得
2
c
，则
2
2
4
a
b
，因为两条渐近线的夹角为60 ,
0
a
b
，
所以两条渐近线的倾斜角分别为30 ,150
，所以
3
3
b
a
，所以
3,
1
a
b
，
所以双曲线方程为
2
2
1
3
x
y
，
所以离心率
2 3
3
e
，渐近线方程为
3
3
y
x
，焦点坐标为
2,0
、
2,0 ，
显然直线
2
0
x
y
过点
2,0 ；
故选：AD
16．（多选）在平面直角坐标系中，已知
(2,0)
F
，过点F 可作直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，使|
| 2
MN
，
则曲线C 可以是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
2
1
6
2
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
【答案】BCD
【分析】根据题意得到点F 为四个曲线的焦点，结合椭圆、双曲线和抛物线的焦点弦的性质，逐项判定，
即可求解.
【详解】由题意，根据选项可得，点F 恰为四个曲线的焦点，
A 中，抛物线
2
8
y
x
焦点弦弦长最小值为2
8
p
，故不存在弦长
2
MN
，所以A 不正确；
B 中，椭圆
2
2
1
6
2
x
y
中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为
2
2
2
b , a
a
，
即2 6 ,2 6
3
，而
2 6
2
,2 6
3
，所以B 正确；
C 中，若
,
M N 同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为
2
2
,
b
a
，即2 3,
3
，
因为
2 3
2
,
3
，所以C 正确；
D 中，若
,
M N 在异支上，则焦点弦弦长取值范围为
2 ,a ，即
2,，
因为
2
2,
，所以D 正确.
故选：BCD.
17.（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0 ,
F
c
F c
P
是C 右支上一点，
下列结论正确的有（
）
A．若C 的离心率为
7
2
，则过点
2,3
M
且与C 的渐近线相同的双曲线的方程是
2
2
1
3
2
y
x
B．若点
2
, 2
b
A c
a
，则
2
AP
PF
的最小值为
4
2
2
4
2
4
b
c
a
a
C．过
1F 作
1
2
FPF
的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 到直线
2
0
x
y
a
的距离的最大值为3a
D．若直线
2
PF 与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M ，且
2
2
PF
PM
，则C 的离心率为
3
【答案】BD
【分析】对于A 项，设出与C 共渐近线的双曲线的方程代入求解即可，对于B 项，运用双曲线的定义及
两点之间线段最短即可求解，对于C 项，由三角形中位线性质可得OQ
a
，即可得点Q 的轨迹为圆，
转化为求圆上的点到直线的最大距离求解即可，对于D 项，设直线
2
PF 的方程，进而求得点M 的坐标，
由
2
2
PF
PM
求得点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线的方程即可求得离心率.
【详解】于A 项，因为双曲线C 的离心率为
7
2
，即
2
2
2
2
2
2
7
4
c
a
b
e
a
a
，则
3
2
b
a
.
因为双曲线与C 的渐近线相同，则设双曲线的方程为
2
2
4
3
x
y
（
0
），
将
2,3
M
代入得4
9
4
3
，解得
2
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
6
8
y
x
，故A 项不正确；
对于B 项，如图所示，
因为P 是C 右支上一点，所以由双曲线定义可知
1
2
2
PF
PF
a
，
又因为
2
( ,
)
2
b
A c
a
在双曲线内，所以
4
2
2
1
1
2
2
2
4
2
4
b
AP
PF
AP
PF
a
AF
a
c
a
a
，故B 项正确；
对于C 项，如图，延长
1FQ 并与
2
PF 相交于点B，连接OQ .
由题可知，Q 为
1
BF 的中点，则
2
1
2
OQ
BF
2
PB
PF
1
2
2
PF
PF
a
，
所以OQ
a
，则Q 是以O为圆心，a 为半径的圆上一点.
又点O到直线
2
0
x
y
a
的距离
0
0
2
2
a
d
a
，
所以点Q 到直线
2
0
x
y
a
的距离的最大值为
2
d
r
a
，故C 项不正确.
对于D 项，如图所示，
根据对称性，不妨设直线
2
PF 的方程为
b
y
x
c
a
，
联立方程组
b
y
x
c
a
b
y
x
a
得
,
2
2
c
bc
M
a
，
设
( , )
P x y ，则
2
(
,
)
PF
c
x
y
，
(
,
)
2
2
c
bc
PM
x
y
a
，
由
2
2
PF
PM
，则
2(
)
2
2(
)
2
c
c
x
x
bc
y
y
a
，解得
2
3
3
c
x
bc
y
a
，
即
2 ,
3
3
c
bc
P
a
，
将点
2 ,
3
3
c
bc
P
a
代入双曲线C 的方程得
2
2
2
2
4
1
9
9
c
c
a
a
，即
2
2
3
c
a
，
所以双曲线C 的离心率
3
c
e
a
，故D 项正确.
故选：BD.
18．直线
1
y
kx
与双曲线
2
2
1
x
y
的左支交于不同两点，则实数k 的取值范围为
．
【答案】
2, 1
【分析】联立直线与双曲线方程，消元得
2
2
(1
2
)
2
0
k
x
kx
+
，依题意可得该方程有两个不等且小于1
的
根，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由
2
2
1
1
y
kx
x
y
，消去y 整理得
2
2
(1
2
)
2
0
k
x
kx
+
，
因为该方程有两个不等且小于1
的根，所以
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
0
Δ
4
8 1
0
2
0
1
2
0
1
k
k
k
k
x
x
k
x x
k
，
解得
2
1
k
，
所以实数k 的取值范围为
2, 1
.
故答案为：
2, 1
19．双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，离心率为
5
2 ，焦点F 到渐近线距离为1，则双曲线方程为
．
【答案】
2
2
1
4
x
y
【分析】由离心率得到
1
2
b
a
，得到渐近线方程，由点到直线距离公式得到
5
c
，进而求出
2
a
，
1
b ，
求出双曲线方程.
【详解】由题可知
5
2
c
a
，故
2
2
5
1
4
b
a
，所以
1
2
b
a
，
则渐近线方程为
1
2
b
y
x
x
a
，即
2
0
x
y
，
焦点
,0
c
到渐近线距离为1，则
1
1
4
c
，解得
5
c
，
所以
2
a
，
由
2
2
2
c
a
b
得
1
b ，所以双曲线方程为
2
2
1
4
x
y
．
故答案为：
2
2
1
4
x
y
20．已知双曲线
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
，其一条渐近线被圆
2
2
3
8
x
y
截得的弦长为2 2 ，则该双曲线的
虚轴长为
.
【答案】4 2
【分析】根据圆的弦长公式，结合勾股定理以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】依题意知
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
的渐近线方程为：
2
b
y
x
．
不妨取渐近线1 :
2
b
l
y
x
，
则圆心(3, 0) 到1l 的距离
2
2
3
|
|
3
2
4
1
4
b
b
d
b
b
．
由勾股定理得
2
2
2
2
3
2 2
(
)
2 2
2
4
b
b
，解得
2 2
b
，
0
b
，
2 2
b
，
故虚轴长为2
4 2
b
故答案为：4 2
21.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的焦点分别为
1
2,
F
F M
、
为双曲线上一点，若
1
2
2π
21
,
3
3
F MF
OM
b
，
则双曲线的渐近线方程为
.
【答案】
2
2
y
x
【解析】由双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，
设
1
2
|
|
,|
|
MF
m MF
n
，又
1
2
2π
3
F MF
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
|
)
1
|
|
|
2
|
| cos
|
2
(
|
2
|
F F
MF
F
m
n
M
MF
MF
MF
mn
F
2
2
2
(
)
3
4
3
4
m
n
mn
a
mn
c
，所以
2
4
3
b
mn
，
因为O为
1
2
F F 的中点，所以
1
2
1 (
)
2
MO
MF
MF
，即
1
2
2MO
MF
MF
，
所以两边平方得
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2π
4
2
2
cos 3
MO
MF
MF MF
MF
m
mn
n
2
2
2
28
(
)
4
3
b
m
n
mn
a
mn
，
所以
2
2
2
4
28
4
3
3
b
a
b
，即
2
2
4
8
a
b
，即
2
2
b
a
，
所以双曲线的渐近线方程为
2
2
y
x
.
故答案为：
2
2
y
x
.
22.已知双曲线C 的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，
1
2
8
F F
，过
2
F 的直线与C 的右支交于A，B 两点，且
1
1
4
AF
BF
AB
.则C 的离心率为
.
【答案】4
【解析】设双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
因为
1
1
1
2
1
2
2
2
4
AF
BF
AB
AF
AF
BF
BF
a
a
，所以
1
a ，
又
1
2
2
8
F F
c
，所以
4
c
，所以C 的离心率为
4
c
e
a
.
故答案为：4.
23.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为2 ，且直线
3
y
x
与双曲线没有公共点，则a
的取值范围是
.
【答案】
2 ,
3
【解析】双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，即
0
bx
ay
，
双曲线的焦点到渐近线的距离为
2
2
2
bc
bc
d
b
c
b
a
，
联立
2
2
2
3
1
4
y
x
x
y
a
可得
2
2
1
9
1
4 x
a
，
由题意可知，关于x 的方程
2
2
9
1
4
a
x
无实数解，则
2
1
9
0
4
a
，
又因为
0
a
，解得
2
3
a
.
因此，实数a 的取值范围是
2 ,
3
.
故答案为：
2 ,
3
.
24．已知双曲线E 的两个焦点分别为
1
2
0
,
,
2 0
, 2
F
F
，并且E 经过点
(2,3)
P
.过点
(0,1)
M
的直线l 与双曲
线E 有且仅有一个公共点，则直线l 的方程为
.
【答案】
3
1
y
x
或
2
1
y
x
【分析】根据条件列出方程求解双曲线方程，分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与
双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.
【详解】由已知可设双曲线E 的方程为
2
2
x
a
2
2
1
y
b
(
0,
0)
a
b
，
则
2
2
2
2
2
2
4
9
1
c
a
b
c
a
b
，解得
2
2
1
3
a
b
，所以双曲线E 的方程为
2
2
1
3
y
x
.
当直线l 的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l 的方程为
1
y
kx
，如图，
联立
2
2
1
1
3
y
kx
y
x
，得
2
2
3
2
4
0
k
x
kx
（*），
①当
2
3
0
k
，即
3
k
或
3
k
时，方程（*）只有一解，
所以直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点，
此时，直线l 的方程为
3
1
y
x
；
②当
2
3
0
k
，即
3
k
时，要使直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点，
则
2
2
2
4 3
4
0
k
k
，解得
2
k ，
此时，直线l 的方程为
2
1
y
x
.
综上所述，直线l 的方程为
3
1
y
x
或
2
1
y
x
.
25．已知P 为双曲线
2
2
1
4
5
x
y
上一点，以P 为切点的切线为l ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于
点
,
M N ，则OMN
（O为坐标原点）的面积为
．
【答案】2 5
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线l 的方程，联立求出点
,
M N 的纵坐标，再利用
直线l 与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.
【详解】双曲线C 的渐近线为
5
2
y
x
，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于点
,
M N ，
显然直线l 不垂直于y 轴，设直线:l x
ty
m
，
2 ,
0
5
t
m
，
由
5
2
x
ty
m
y
x
得点M 的纵坐标
1
5
2
5
m
y
t
，由
5
2
x
ty
m
y
x
得点N 的纵坐标
2
5
2
5
m
y
t
，
由
2
2
5
4
20
x
ty
m
x
y
消去x 得
2
2
2
0
(5
4
10
5
20
)
t
y
mty
m
，
于是
2
2
2
Δ
( 10
)
20(5
0
)(
4
4)
mt
t
m
，化简得
2
2
4
5t
m
，
直线:l x
ty
m
与x 轴交点的横坐标为m ，
所以OMN
的面积
1
2
2
2
5
5
5
1
1
|
| |
|
|
| |
2
2
2 5
| |
| 2
4
5
2
5
2
5
OMN
m
S
m
m
m
y
y
m
t
t
t
.
故答案为：2 5
26．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x 轴上，两顶点间的距离是10，且经过点
10,3 ；
(2)一个焦点坐标为
5,0 ，一条渐近线方程为3
4
0
x
y
．
【答案】(1)
2
2
1
25
3
x
y
(2)
2
2
1
16
9
x
y
【分析】（1）根据题意，设双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，计算,a b ，即可得到结果；
（2）根据题意，设双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，且
5
c
，由渐近线方程可得,a b 关系，然后计算,a b ，即可
得到结果；
【详解】（1）设双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，因为两顶点间的距离是10，且经过点
10,3 ，
则
2
2
2
10
100
9
1
a
a
b
，解得
5
3
a
b
，则双曲线方程为
2
2
1
25
3
x
y
.
（2）因为一个焦点坐标为
5,0 ，可设双曲线方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，且
5
c
，
由一条渐近线方程为3
4
0
x
y
，可得
3
4
y
x
，则
3
4
b
a =
，
设
4 ,
3 ,
0
a
k b
k k
，则
2
2
2
2
2
25
4
3
c
a
b
k
k
，解得
1
k ，
则
4,
3
a
b
，所以双曲线方程为
2
2
1
16
9
x
y
.
27.已知双曲线
2
2
16
9
144
x
y
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据k 的不同取值，讨论直线:
1
l y
kx
与该双曲线的交点个数
【答案】(1)顶点坐标为
3,0
，焦点坐标为
5,0
，离心率为5
3 ，渐近线为
4
3
y
x
；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得
2
2
2
2
16
9
144
1
9
16
x
y
x
y
，可得
3,
4,
5
a
b
c
，
故顶点坐标为
3,0
，焦点坐标为
5,0
，离心率为
5
3
c
e
a
，渐近线为
4
3
y
x
；
（2）联立方程
2
2
16
9
144
1
x
y
y
kx
，消去x 得
2
2
16
9
18
153
0
k
x
kx
，
当
2
16
9
0
k
或
2
2
Δ
18
4
16
9
153
0
k
k
时，
即
4
3
k
或
17
3
k
时，有1 个交点；
当
2
2
Δ
18
4
16
9
153
0
k
k
时，即
17
17
3
3
k
时，有2 个交点；
当
2
2
Δ
18
4
16
9
153
0
k
k
时，即
17
3
k
或
17
3
k
时，无交点.
28.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a
的一条渐近线方程为
1
2
y
x
，点
( ,0)
P t
.
(1)若
3
t
，O为坐标原点，过点P 且斜率为1的直线l 与双曲线C 交于A B
、两点，求OAB
的面积；
(2)若点
( , )
Q x y 是双曲线C 上任意一点，当且仅当Q 为双曲线的顶点时，|
|
PQ 取得最小值，求实数t 的取值
范围．
【答案】(1)2 6 ；(2)
5 5
,
2 2
【解析】（1）由题意得：1
1
2
a
，所以
2
a
，所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
，
直线AB 的方程为
3
y
x
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立方程组
2
2
3
1
4
y
x
x
y
，消去y 整理得
2
3
24
40
0
x
x
，
则
2
1
2
1
2
24
4 3 40
96
0
8
40
3
x
x
x x
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
3
4
2 6
2
2
AOB
S
OP
x
x
x
x
x x
，
所以OAB
的面积为2 6
（2）因为
2
2
1
4
x
y
，所以
2
2
1
0
4
x
y
，所以
2
x 或
2
x
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
5
|
|
(
)
(
)
1
2
1
4
4
x
x
PQ
x
t
y
x
t
tx
t
，对称轴为
4
5
t
x
，
由题意，
4
2
2
5
t
，
5
5
2
2
t
，
所以实数t 的取值范围为
5 5
,
2 2
29．已知双曲线E ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
( 5
)
,0
F
，过F 且斜率为1 的直线与E 的渐近线分别
交于A ，B 两点（A 在第一象限），O为坐标原点，|
|
3
|
|
OA
OB
．
(1)求E 的方程；
(2)过点(4,0) 且倾斜角不为0 的直线与E 交于C ，D 两点，与E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，证明：
|
| |
|
CP
DQ
．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得AB
l
：
5
y
x
，与渐近线方程联立解得
A
y ，
B
y ，结合已知条件得
2
a
b
，进而求
得,a b ，得到E 的方程；
（2）要证明|
| |
|
CP
DQ
，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．设直线CD ：
4
x
my
，与双曲线方程
联立，结合韦达定理求出CD 的中点为M 的坐标，由直线CD 与渐近线方程联立，求出,
P Q 的坐标，进而
得PQ 的中点为N 的坐标，即可得出结论．
【详解】（1）由已知得AB
l
：
5
y
x
，
联立
5,
,
y
x
b
y
x
a
解得
5
A
b
y
a
b
，同理可得
5
B
b
y
a
b
．
∵|
|
3
|
|
OA
OB
，∴
5
3 5
b
b
a
b
a
b
，整理得
2
a
b
．
又
2
2
5
a
b
，∴
2
4
a
，
2
1
b ，
∴E 的方程为
2
2
1
4
x
y
．
（2）要证明|
| |
|
CP
DQ
，只需证明CD 的中点与PQ 的中点重合．
设CD 的中点为M ，直线CD ：
4
x
my
，
联立
2
2
4,
4
4
0,
x
my
x
y
得
2
2
4
8
12
0
m
y
my
，
设
1
1
,
C x y
，
2
2
,
D x
y
，则
1
2
2
8
4
m
y
y
m
，
1
2
2
4
2
4
M
y
y
m
y
m
，
2
2
4
16
4
4
4
M
m
x
m
m
m
，即
2
2
16
4
,
4
4
m
M
m
m
，
双曲线E ：
2
2
1
4
x
y
的渐近线方程为
1
2
y
x
，
由
4,
1 ,
2
x
my
y
x
得
8
,
2
4
,
2
x
m
y
m
可得
8
4
,
2
2
P
m
m
，
由
4,
1 ,
2
x
my
y
x
得
8
,
2
4
,
2
x
m
y
m
可得
8
4
,
2
2
Q
m
m
，
∴PQ 的中点为
2
2
16
4
,
4
4
m
N
m
m
，
∴点M 与点N 重合，∴|
| |
|
CP
DQ
．
30．已知双曲线Γ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
1A ，
2
A 为Γ的左、右顶点，
3
7, 2
P
为Γ上一点，
1
PA 的斜
率与
2
PA 的斜率之积为1
4 ．过点
3,0
A
且不垂直于x 轴的直线l 与Γ交于M，N 两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F 为直线
3
x
上关于x 轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF 的交点在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
；
(2)详见解析.
【分析】（1）由题可知
1
2
,0 ,
,0
A
a
A
a
，根据条件列出方程组，进而即得；
（2）设直线MN 的方程为
3,
0
x
ty
t
，联立双曲线方程求得
1
2
1
2
,
y
y
y y
，再由直线ME 和NF 的方程，
求得交点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）由题意得
1
2
,0 ,
,0
A
a
A
a
，又
3
7, 2
P
为Γ上一点，
1
PA 的斜率与
2
PA 的斜率之积为1
4 ，
所以
2
2
7
3
1
4
3
3
1
2
2
4
7
7
a
b
a
a
，解得
2
2
4,
1
a
b
，
所以双曲线Γ的标准方程为
2
2
1
4
x
y
；
（2）设直线MN 的方程为
3,
0
x
ty
t
，
由
2
2
3
1
4
x
ty
x
y
，可得
2
2
4
6
5
0
t
y
ty
，则
2
4
0
t
，
2
2
6
20
4
0
t
t
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
3,
E
m ，
3,
F
m
，
0
m
，
所以
1
2
1
2
2
2
6
5
,
4
4
t
y
y
y y
t
t
，
直线ME
l
：
1
1
3
3
y
m
y
m
x
x
，NF
l
：
2
2
3
3
y
m
y
m
x
x
，
联立两方程，可得：
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
6
4
2
3
3
3
3
5
3
3
4
tm
y
y
y
m
y
m
y
m
y
m
t
m
x
x
x
x
t
x
x
ty
ty
ty y
t
m
，
解得
4
3
x
，
当直线MN 与x 轴重合时，则
2,0 ,
2,0
M
N
，
ME
l
：
2
5
y
m x
，NF
l
：
2
y
m x
，联立可得
4
3
x
，
综上，直线ME 与NF 的交点在定直线
4
3
x
上.
